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    2023-2024学年山东省潍坊市(安丘、诸城、高密)高二上学期期中数学试题含答案

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    这是一份2023-2024学年山东省潍坊市(安丘、诸城、高密)高二上学期期中数学试题含答案,共20页。试卷主要包含了单选题,多选题,填空题,双空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    一、单选题
    1.已知向量,若,则实数( )
    A.B.C.D.
    【答案】A
    【分析】由向量共线的坐标表示形式,可直接得到值.
    【详解】因为向量,且,
    所以,解得,
    故选:A.
    2.若“,”为真命题,则实数的取值范围为( )
    A.B.C.D.
    【答案】D
    【分析】只需的最小值小于即可.
    【详解】,,只需的最小值小于即可,
    由于的最小值为,故.
    故选:D
    3.已知集合,则满足的实数的个数为( )
    A.B.C.D.
    【答案】B
    【分析】由,得,则可得或,求出后,再根据集合中的元素具有互异性判断即可.
    【详解】因为,所以,
    因为,
    所以或,
    当时,,此时集合中有两个1,所以不合题意,舍去,
    当时,得或,
    当时,集合和集合中均有两个1,所以不合题意,舍去,
    当时,,符合题意,
    综上,,
    所以满足的实数的个数为1,
    故选:B
    4.北京故宫博物院展示着一件来自2200年前的宝物——秦诏文权(如图1).此文权下部呈圆台形,上部为鼻钮,被誉为最美、最具文化、最有政治和历史意义的文物之一.某公司仿照该文权制成一纸镇(如图2),已知该纸镇下部的上、下底面半径分别为,,高为,则该纸镇下部的侧面积与体积分别为( )
    A.B.C.D.
    【答案】C
    【分析】先根据上下半径及高求出母线,再利用圆台侧面积公式和体积公式求解即可.
    【详解】因为圆台纸镇下部的上、下底面半径分别为,,高为 ,
    所以圆台的母线为长,
    则该纸镇下部的侧面积为,
    该纸镇下部的体积为.
    故选:C.
    5.设等差数列的前项和为,且公差不为,若,,构成等比数列,,则( )
    A.B.C.D.
    【答案】D
    【分析】根据等差数列前项和性质计算出,根据等比数列中项得,再利用等差数列通项公式计算求解.
    【详解】因为是等差数列的前项和,
    所以,得,
    因为,,成等比数列,所以,
    设等差数列的首项为,公差为,
    则,
    因为,解得,,,
    所以.
    故选:D.
    6.已知则,,的大小关系为( )
    A.B.C.D.
    【答案】B
    【分析】根据指对数函数的性质和特殊值比较法判断,,的大小.
    【详解】因为,,所以,
    ,所以,
    所以,
    故选:B.
    7.设函数,则方程的实根个数为( )
    A.B.C.D.
    【答案】B
    【分析】令,则方程即,结合函数解析式分段求得t的值,继而再解,即可求得的解,即得答案.
    【详解】令,则方程即,
    当时,;当时,;
    当时,若,则,符合题意;
    若,则,不合题意;
    当时,若,则,符合题意;
    若,则,符合题意,
    即方程的实根个数为3,
    故选:B
    8.已知其中则( )
    A.B.C.D.
    【答案】C
    【分析】先根据两角和与差得正弦余弦公式构造并计算出,,再根据同角三角函数商数关系计算出,同理计算出,最后代入即可算出.
    【详解】因为,,得,所以,
    所以,,所以,
    因为,,得,所以,
    ,,所以,
    所以.
    故选:C.
    二、多选题
    9.在正方体中,直线平面,直线平面,直线平面,则直线的位置关系可能是( )
    A.两两垂直B.两两平行
    C.两两相交D.两两异面
    【答案】ACD
    【分析】在正方体中可分别取两两垂直、两两相交,两两异面的直线,即可判断A,C,D选项,结合线面平行的判定以及性质定理可判断B.
    【详解】对于A,当l为,m为,n为时,两两垂直,A正确;
    对于B,不妨假设,和不重合,因为平面,平面,
    则平面,又平面,平面平面,
    故,则,又平面,平面,
    故,则,即不可能两两平行,B错误;
    对于C,当l为,m为,n为时,两两相交,C正确;
    对于D,当l为,m为,n为时,两两异面,D正确,
    故选:ACD
    10.已知函数,把的图象向左平移个单位长度得到函数的图象,则( )
    A.是奇函数
    B.的图象关于直线对称
    C.在上单调递增
    D.不等式的解集为
    【答案】AB
    【分析】A选项,由左加右减得到的解析式,从而判断出奇偶性;B选项,,故B正确;C选项,整体法判断函数的单调性;D选项,由得到,求出不等式的解集.
    【详解】A选项,,
    由于的定义域为R,且,
    故为奇函数,A正确;
    B选项,,故的图象关于直线对称,B正确;
    C选项,时,,其中在上不单调,
    故在上不单调,故C错误;
    D选项,,则,则,
    故,D错误.
    故选:AB
    11.已知,为方程的两个实根,则( )
    A.B.
    C.D.
    【答案】ACD
    【分析】根据根与系数关系求出,,然后再结合基本不等式进行求解.
    【详解】由题意得:,,,;
    对于A项:,
    因为:,所以:,
    所以得:,当且仅当时取等号,故A项正确;
    对于B项:由,所以得:,故B项错误;
    对于C项:,
    所以得:,故C项正确;
    对于D项:
    当时取等号,故D项正确.
    故选:ACD.
    12.已知正项数列满足:,则( )
    A.B.是递增数列
    C.D.
    【答案】BCD
    【分析】利用递推公式计算,由结果判断是递增数列,再把的结果进行放大和缩小可判断C,D选项.
    【详解】由得,即,解得,因为正项数列,所以,故A错误;
    因为,又正项数列,
    所以,即,因此是递增数列,故B正确;
    由上可知,,所以,即,故C正确;
    因为,即,
    所以,,,…,,
    因此,,即,故D正确.
    故选:BCD.
    三、填空题
    13.已知点,将向量绕原点逆时针旋转得到,则点的坐标为 .
    【答案】
    【分析】由旋转特点可知两向量模长相等且互相垂直,由此构造方程组求出,根据可得结果.
    【详解】
    ,设,
    由题意得,
    所以,解得或,
    由图可知,所以,
    故答案为:.
    14.诺沃尔(Knwall)在1740年发现了一颗彗星,并推算出在1823年、1906年……人类都可以看到这颗彗星,即该彗星每隔83年出现一次.从现在(2023年)开始到公元3000年,人类可以看到这颗彗星的次数为 .
    【答案】
    【分析】由题意可知:彗星出现的年份构成一个公差为,首项为的等差数列,求出通项公式,再解不等式即可.
    【详解】设彗星出现的年份为数列
    由题意可知:彗星出现的年份构成一个公差为,首项为的等差数列,
    所以,
    令,即,
    解得,又,所以,
    所以从现在开始到公元3000年,人类可以看到这颗彗星的次数为次.
    故答案为:.
    15.已知函数是上的偶函数,为奇函数,若,则 .
    【答案】
    【分析】根据函数的奇偶性确定函数周期为,计算,根据周期性计算得到答案.
    【详解】是奇函数,故,且,
    偶函数,故,
    则, ,函数周期为,
    ,故,,即,
    ,,,,
    故,.
    故答案为:.
    四、双空题
    16.如图为几何体的一个表面展开图,其中的各面都是边长为的等边三角形,将放入一个球体中,则该球表面积的最小值为 ;在中,异面直线与的距离为 .
    【答案】
    【分析】结合图形发现几何体是由两个相同的正四棱锥共底构成,比较与的大小,可得当球恰好外接时该球表面积的最小值,则该球表面积的最小值可求;找出的平行线,而与相交构成平面,则异面直线与的距离可转化为点到平面的距离,然后等体积法求之即可.
    【详解】因为的各面都是边长为的等边三角形,
    所以结合图像可知,几何体是由两个相同的正四棱锥共底构成.
    正四棱锥中
    将放入一个球体中,当球恰好外接时该球表面积的最小值,
    此时球半径为,
    该球表面积的最小值为,
    因为正方形的对角线的交点,平分与,
    所以四边形为平行四边形,则,
    而与相交构成平面,
    则异面直线与的距离即点到平面的距离,
    三棱锥的体积,
    令点到平面的距离为,
    则,
    解得,
    异面直线与的距离为.
    故答案为:,.
    五、解答题
    17.已知函数.
    (1)判断的奇偶性,并证明;
    (2)解不等式.
    【答案】(1)偶函数,证明见解析
    (2)
    【分析】(1)利用奇偶性的定义判断;
    (2)利用对数函数的性质直接解不等式即可.
    【详解】(1)因为定义域为,
    所以有,即,
    所以的定义域为,关于原点对称,
    又因为,
    所以函数在定义域上为偶函数.
    (2),
    所以即
    因为所以
    故只需
    即解得
    所以不等式的解集为.
    18.已知函数(其中均为常数,)的部分图象如图所示.
    (1)求的解析式;
    (2)求函数在上的值域.
    【答案】(1)
    (2)
    【分析】(1)根据三角函数的图象与性质计算即可.
    (2)根据三角函数在指定区间求值域的方法求值域.
    【详解】(1)由图象知,
    记周期为T,则
    所以
    所以
    又因为
    所以

    因为所以
    所以 ;
    (2)
    因为
    所以
    所以
    所以
    所以函数的值域为
    19.在四棱柱中,底面是矩形,.
    (1)证明:平面⊥平面;
    (2)求二面角的余弦值.
    【答案】(1)证明见解析
    (2)
    【分析】(1)根据面面垂直的判定定理证明即可.
    (2)建系,借助于二面角的向量求法求解.
    【详解】(1)
    设中点为,连接,,
    因为得,
    因为
    所以

    所以
    在中,
    所以
    故为直角三角形,
    因为,平面,平面,
    故平面,
    因为平面,所以平面平面;
    (2)如图,以为坐标原点,分别以方向为轴,轴,轴正方向,建立如图所示空间直角坐标系
    故,,,,
    则﹚
    设平面的一个法向量为
    则,即
    令,则,
    设平面的一个法向量为
    则即
    令则,

    由图可知二面角为锐角,
    所以二面角的余弦值为
    20.为方便居民休闲娱乐,某市计划在一块三角形空地上修建一个口袋公园,如图所示.在公园内部计划修建景观道路(道路的宽度忽略不计),已知把三角形空地分成两个区域,区域为儿童娱乐区,区域为休闲健身区.经测量,米,米.若儿童娱乐区每平方米的造价为元,休闲健身区每平方米的造价为元,景观道路每米的造价为元.
    (1)若,求景观道路的长度;
    (2)求为何值时,口袋公园的造价最低?
    【答案】(1)
    (2)
    【分析】(1)确定,再利用正弦定理计算得到答案.
    (2)设,,计算和得到,确定公园造价的表达式,利用三角恒等变换结合均值不等式计算最值即可.
    【详解】(1)在中,,则,
    ,所以
    在中,,由正弦定理得,

    所以景观道路的长度为米.
    (2)设,在中,,
    所以

    所以
    所以投资总额
    因为
    当且仅当即时取等号.
    所以当时,取最小值.
    所以当为时,口袋公园的造价最低.
    21.设为数列的前项和,
    (1)求的通项公式;
    (2)若数列的最小项为第项,求;
    (3)设数的前项和为,证明:
    【答案】(1)
    (2)
    (3)证明见解析
    【分析】(1)当时,由求出,再验证符合;
    (2)将,代入,结合基本不等式,即可得出答案;
    (3)当求出,对进行放缩,由裂项相消法即可证明.
    【详解】(1)由题意知,当时,
    当时,符合上式,
    所以;
    (2)由(1)知,,,
    所以,
    当且仅当即时,等号成立.
    所以数列的最小项为第一项,故;
    (3)由(1)知
    时,

    记,
    设为数列的前项和,则时,
    时,,
    因为所以
    综上,
    22.已知函数
    (1)当时,求曲线在点处的切线方程;
    (2)若在定义域上存在极值,求的取值范围;
    (3)若恒成立,求.
    【答案】(1)
    (2)
    (3)
    【分析】(1)利用导数的几何意义,求曲线在点处的切线方程;
    (2)利用导数,结合极值存在的条件,求的取值范围;
    (3)通过构造函数,利用导数求最值的方法,解决不等式恒成立问题.
    【详解】(1)当时,,,故切点坐标为,
    又因为,则切线斜率,
    所以切线方程为,即.
    (2),函数定义域为,,
    所以当时,恒成立,不符合题意.
    当时,令,,
    所以时,在定义域上单调递增,
    ,因为,所以,
    当时,,所以在上存在极值点
    当时,,,
    所以为的极值点.
    当时,,因为,,故
    所以在上存在极值点.
    综上所述,的取值范围是.
    (3)恒成立,得,

    则,令,则
    ①当时,在时,,,所以,
    在时,,
    所以,
    所以为在上的唯一极小值点,,
    所以时,恒成立
    ②当时,时,,,有,
    时,,,有,
    又,所以,即为增函数.

    又因为,所以存在使得,
    当时,为减函数,
    所以,不符合题意.
    ③当时,同②有为增函数,
    当时,
    ,又因为,
    所以存在,使得,
    当时,,为增函数,
    所以不符合题意.
    ④当时,时,,,有,
    时,,,有,
    又,所以,为增函数,
    又因为,所以当时,,不符合题意.
    综上所述,.
    【点睛】方法点睛:导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具,而函数是高中数学中重要的知识点,导数研究函数的极值,可导函数在点x0处取得极值的充要条件是,且在x0左侧与右侧的符号不同;若在内有极值,那么在内绝不是单调函数,即在某区间上单调增或减的函数没有极值.证明不等式,构造一个适当的函数,利用它的单调性进行解题,是一种常用技巧.许多问题,如果运用这种思想去解决,往往能获得简洁明快的思路,有着非凡的功效.
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