2022-2023学年浙江大学附中玉泉校区高二（上）期末数学试卷

这是一份2022-2023学年浙江大学附中玉泉校区高二（上）期末数学试卷，共21页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（5分）直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
2．（5分）已知数列{an}的前n项和Sn＝2n﹣2，则该数列的通项公式为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（5分）已知数列{an}为等差数列，Sn是其前n项和，若a4＝3，a9＝5，则S12＝（ ）
A．96B．72C．48D．60
4．（5分）已知直线（m+1）x+3y+1＝0与直线4x+my+1＝0平行，则m的值为（ ）
A．3B．﹣4C．3或﹣4D．3或4
5．（5分）双曲线的左顶点到其渐近线的距离为（ ）
A．2B．C．D．3
6．（5分）点P是抛物线y2＝4x上一动点，则点P到点A（0，﹣1）的距离与点P到直线x＝﹣2的距离和的最小值是（ ）
A．B．C．D．
7．（5分）已知椭圆E：与双曲线C：有共同的焦点（ ）
A．B．C．D．
8．（5分）已知直线y＝kx与双曲线C：的左、右两支分别交于A、B两点，F为双曲线的右焦点，，则双曲线C的离心率e＝（ ）
A．2B．C．D．
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
（多选）9．（5分）已知空间三点A（﹣2，0，2），B（﹣1，1，2），C（﹣3，0，4），设＝，＝．则下列结论正确的是（ ）
A．若||＝3，且∥，则＝（2，1，﹣2）
B．和的夹角的余弦值﹣
C．若k+与k﹣2互相垂直，则k的值为2
D．若λ（+）+μ（﹣）与z轴垂直，则λ，μ应满足λ﹣μ＝0
（多选）10．（5分）已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，则下列说法正确的是（ ）
A．F1，F2的坐标分别为（﹣2，0），（2，0）
B．椭圆的离心率为
C．|PF1|的最小值为1
D．当P是椭圆的短轴端点时，∠F1PF2取到最大值
（多选）11．（5分）已知方程mx2+ny2＝1，其中m2+n2≠0，则（ ）
A．mn＞0时，方程表示椭圆
B．mn＜0时，方程表示双曲线
C．n＝0时，方程表示抛物线
D．n＞m＞0时，方程表示焦点在x轴上的椭圆
（多选）12．（5分）已知正项数列{an}前n项和为Sn，且满足（ ）
A．数列{an}是等差数列
B．a1＝1
C．数列不是等差数列
D．S20＝400
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）已知点A（4，0），O（0，0），B（0，﹣3），则△AOB的内切圆的方程为 ．
14．（5分）在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点B1到平面ABC1D1的距离为 ．
15．（5分）直线y＝kx+2与焦点在x轴上的椭圆恒有两个公共点，则实数b的取值范围是 ．
16．（5分）抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射之后沿对称轴方向射出．今有抛物线C：y2＝2px（p＞0）（如图）一条平行x轴的光线射向C上一点P点，经过C的焦点F射向C上的点Q，若两平行线间的最小距离是4，则C的方程是 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）求下列曲线方程．
（1）已知抛物线，求准线l方程．
（2）已知双曲线的焦距为6，渐近线方程为
18．（12分）已知圆C的圆心在直线y＝2x﹣3上，且与x轴相交于点M（2，0）和N（4，0）．
（1）求圆C的标准方程：
（2）若过点P（1，﹣1）的直线l与圆C交于A，B两点，且
19．（12分）某山村为响应习近平总书记提出的“绿水青山就是金山银山”的号召，积极进行生态文明建设，投资64万元新建一处农业生态园．建成投入运营后，以后每年支出费用增加2万元．从第一年起，每年收入都为36万元．设f（n）（n）＝前n年的总收入﹣前n年的总支出费用﹣投资额）
（1）求f（n）的表达式，计算前多少年的纯利润总和最大；
（2）计算前多少年的年平均纯利润最大，并求出最大值．
20．（12分）已知抛物线C的顶点在原点，焦点在直线l：x﹣2y﹣2＝0上．
（1）求抛物线C的标准方程；
（2）过点M（a，0）的直线m与焦点在x轴上的抛物线C交于A，B两点，求实数a的取值范围．
21．（12分）如下图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB＝2，∠ABC＝60°，N分别为BC，PA的中点．
（1）证明：MN∥平面PCD；
（2）若直线AC与平面PBC所成角的正弦值为，求平面PAC与平面PCD夹角的余弦值．
22．（12分）已知椭圆的左、右焦点分别是F1，F2，且离心率为，点M为椭圆上的动点，△F1MF2面积最大值为．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）M，N是椭圆C上的动点，且直线经过定点，使得∠MQO＝∠NQO？若存在，请求出定点Q，请说明理由．
2022-2023学年浙江大学附中玉泉校区高二（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（5分）直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
【分析】由直线方程求得直线的斜率，利用倾斜角的正切值等于斜率得答案．
【解答】解：直线的斜率为，
设其倾斜角为θ（0≤θ＜π），
∴tanθ＝，
则θ＝．
故选：B．
【点评】本题考查了直线的倾斜角，考查了倾斜角与斜率的关系，是基础题．
2．（5分）已知数列{an}的前n项和Sn＝2n﹣2，则该数列的通项公式为（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据题意，由数列的前n项和公式，当n＝1时，a1＝S1，求出a1的值，当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1，求出an的表达式，综合可得答案．
【解答】解：根据题意，数列{an}的前n项和Sn＝2n﹣2，
当n＝5时，a1＝S1＝6﹣2＝0，
当n≥8时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝（2n﹣7）﹣（2n﹣1﹣2）＝2n﹣1，
故，
故选：D．
【点评】本题考查由数列前n项和求通项公式的方法，涉及数列的表示方法，属于基础题．
3．（5分）已知数列{an}为等差数列，Sn是其前n项和，若a4＝3，a9＝5，则S12＝（ ）
A．96B．72C．48D．60
【分析】本题根据等差数列的求和公式及等差中项a1+a12＝a4+a9，即可得到S12的值．
【解答】解：由题意，可知
S12＝＝8•（a1+a12）＝6•（a3+a9）＝6•（3+5）＝48．
故选：C．
【点评】本题主要考查等差数列的基础知识，等差中项和求和公式的应用．本题属基础题．
4．（5分）已知直线（m+1）x+3y+1＝0与直线4x+my+1＝0平行，则m的值为（ ）
A．3B．﹣4C．3或﹣4D．3或4
【分析】根据已知条件，结合两直线平行的性质，即可求解．
【解答】解：∵直线（m+1）x+3y+7＝0与直线4x+my+2＝0平行，
∴m（m+1）＝7×4，即m2+m﹣12＝8，解得m＝﹣4或m＝3，
当m＝5时，直线（m+1）x+3y+2＝0与直线4x+my+2＝0重合，舍去，
故m＝﹣4．
故选：B．
【点评】本题主要考查两直线平行的性质，属于基础题．
5．（5分）双曲线的左顶点到其渐近线的距离为（ ）
A．2B．C．D．3
【分析】由双曲线方程求得左顶点坐标与一条渐近线方程，再由点到直线的距离公式得答案．
【解答】解：由双曲线，得a2＝2，b2＝16，
∴双曲线的左顶点坐标为（﹣2，
其一条渐近线方程为y＝，即8x﹣3y＝0．
由对称性得左顶点到其渐近线的距离为d＝．
故选：C．
【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查点到直线距离公式的应用，是基础题．
6．（5分）点P是抛物线y2＝4x上一动点，则点P到点A（0，﹣1）的距离与点P到直线x＝﹣2的距离和的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【分析】过P作PN⊥准线于N，连接PF、AF，由抛物线的定义可知，|PN|＝|PF|，|FA|≤|PA|+|PF|，所以当P为AF与抛物线的交点时，点P到点A的距离与点P到直线x＝﹣1的距离之和最小，此时与到直线x＝﹣2的距离和也最小．
【解答】解：由题可知，焦点F（1，准线为x＝﹣1，连接PF，
由抛物线的定义可知，|PN|＝|PF|，
所以当P为AF与抛物线的交点时，点P到点A的距离与点P到直线x＝﹣5的距离之和的最小值为|FA|＝，
所以点P到点A的距离与P到直线x＝﹣2的距离和的最小值是．
故选：D．
【点评】本题考查抛物线的定义与性质，考查学生的数学结合思想和运算能力，属于中档题．
7．（5分）已知椭圆E：与双曲线C：有共同的焦点（ ）
A．B．C．D．
【分析】求得椭圆的焦点坐标，可得双曲线的c，求得a，可得双曲线的渐近线方程．
【解答】解：椭圆E：的焦点为（﹣2，（2，
可得双曲线的c＝2，即a2+1＝4，可得a＝，
则双曲线的渐近线方程为y＝±x，
故选：B．
【点评】本题考查椭圆和双曲线的方程和性质，以及运算能力，属于基础题．
8．（5分）已知直线y＝kx与双曲线C：的左、右两支分别交于A、B两点，F为双曲线的右焦点，，则双曲线C的离心率e＝（ ）
A．2B．C．D．
【分析】取左焦点为F1，连接AF1，BF1，可得四边形AFBF1是矩形，由BF1＝AF＝2BF及双曲线的定义知BF＝2a，再分别求出OB，OF，BF，由勾股定理列出方程，可得，即可得到离心率．
【解答】解：取左焦点为F1，连接AF1，BF5，如图所示，
由题意知，且四边形AFBF4是矩形，
易知BF1＝AF＝2BF，由双曲线的定义知BF3﹣BF＝2a，两式联立可得BF＝2a，
则，由双曲线的对称性知，
在 Rt△ABC中，，即4a6+3a2＝c3，，所以
故选：D．
【点评】本题考查双曲线的几何性质，直线与双曲线的位置关系，双曲线离心率的求法，属于中档题．离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出 a，c，从而求出e；②构造a、c的齐次式，求出e；③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解．
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
（多选）9．（5分）已知空间三点A（﹣2，0，2），B（﹣1，1，2），C（﹣3，0，4），设＝，＝．则下列结论正确的是（ ）
A．若||＝3，且∥，则＝（2，1，﹣2）
B．和的夹角的余弦值﹣
C．若k+与k﹣2互相垂直，则k的值为2
D．若λ（+）+μ（﹣）与z轴垂直，则λ，μ应满足λ﹣μ＝0
【分析】对于A，结合向量平行的性质，以及向量模公式，即可求解，
对于B，结合向量的夹角公式，即可求解，
对于C，结合向量垂直的性质，即可求解，
对于D，结合向量垂直的性质，即可求解．
【解答】解：对于A，∵B（﹣1，1，C（﹣6，0，
∴，
∵，
∴，
∵||＝3，
∴＝3|m|＝3，
故或，故A错误，
对于BCD，∵A（﹣6，0，B（﹣1，8，C（﹣3，0，＝，＝，
∴，，，
∵，，
∴＝＝＝，故B正确，
∵，，
∴，，
∵k+与k互相垂直，
∴（k﹣6）（k+2）+k2﹣3＝0，即2k2+k﹣10＝0，解得k＝2或，
∵，，
∴λ（+）+μ（﹣，λ+μ，
∵λ（+）+μ（﹣，
∴2λ﹣7μ＝0，即λ﹣μ＝0．
故选：BD．
【点评】本题主要考查向量平行、垂直的性质，属于中档题．
（多选）10．（5分）已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，则下列说法正确的是（ ）
A．F1，F2的坐标分别为（﹣2，0），（2，0）
B．椭圆的离心率为
C．|PF1|的最小值为1
D．当P是椭圆的短轴端点时，∠F1PF2取到最大值
【分析】由椭圆方程知a2＝9，b2＝5，c2＝4，利用椭圆的性质可判断ABC；利用余弦定理结合基本不等式可判断D．
【解答】解：椭圆，其中a2＝9，b2＝6，∴c2＝a2﹣b4＝4，
对于A，c＝2，F8，F2的坐标分别为（﹣2，2），0）；
对于B，椭圆的离心率为；
对于C，a﹣c≤|PF1|≤a+c，所以|PF1|的最小值为4，故C正确；
对于D，当P在椭圆的长轴端点时1PF2＝7；
当P不在长轴端点时，0＜∠F1PF6＜π，利用余弦定理可知＝，
当|PF7|＝|PF2|，即P在椭圆的短轴端点时1PF3最大，此时∠F1PF2最大，故D正确；
故选：ACD．
【点评】本题考查了椭圆的几何性质，属于中档题．
（多选）11．（5分）已知方程mx2+ny2＝1，其中m2+n2≠0，则（ ）
A．mn＞0时，方程表示椭圆
B．mn＜0时，方程表示双曲线
C．n＝0时，方程表示抛物线
D．n＞m＞0时，方程表示焦点在x轴上的椭圆
【分析】由椭圆方程和双曲线方程、抛物线方程的特点，可判断结论．
【解答】解：方程mx2+ny2＝7，其中m2+n2≠5，
当m＜0，n＜0时，故A错；
当mn＜7时，方程表示双曲线；
当n＝0时，mx2＝8，m＞0；m≤0时，故C错；
n＞m＞5时，方程表示焦点在x轴上的椭圆．
故选：BD．
【点评】本题考查方程表示的曲线，注意运用分类讨论思想，属于基础题．
（多选）12．（5分）已知正项数列{an}前n项和为Sn，且满足（ ）
A．数列{an}是等差数列
B．a1＝1
C．数列不是等差数列
D．S20＝400
【分析】根据给定的递推公式，结合n≥2，an＝Sn﹣Sn﹣1求出数列{an}的通项公式，再逐项判断作答．
【解答】解：数列{an}中，∀n∈N*，an＞0，4Sn＝（an+7）2，当n≥2时，7Sn﹣1＝（an﹣1+3）2，
则4an＝+2an+1﹣（+2an﹣4+1），即（an+an﹣1）（an﹣an﹣2）＝2（an+an﹣1），
因此an﹣an﹣2＝2，而4a4＝（a1+1）5，解得a1＝1，即数列{an}是首项为4，公差为2的等差数列，A；
an＝a1+6（n﹣1）＝2n﹣3，Sn＝＝n5，+an＝3n﹣1，
于是（+an+1）﹣（+an）＝3（n+3）﹣1﹣（3n﹣2）＝3，数列，C错误；
S20＝202＝400，D正确．
故选：ABD．
【点评】本题主要考查数列递推式，等差数列的判断，考查运算求解能力，属于中档题．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）已知点A（4，0），O（0，0），B（0，﹣3），则△AOB的内切圆的方程为 （x﹣1）2+（y+1）2＝1 ．
【分析】根据给定条件，确定△AOB内切圆的圆心位置，设出圆心坐标，再结合点到直线的距离公式，即可求解．
【解答】解：由题意可知，△AOB内切圆的圆心C在第四象限、y轴距离相等，
令此圆半径为r（r＞0），
则圆心C（r，﹣r），
A（4，7），﹣3），
则直线AB方程为，即3x﹣3y﹣12＝0，
直线AB为圆C的切线，
则r＝，解得r＝1或r＝2，
显然r＜|OB|＝3，
故r＝1，圆心C（8，
故△AOB的内切圆的方程为（x﹣1）2+（y+2）2＝1．
故答案为：（x﹣5）2+（y+1）5＝1．
【点评】本题主要考查圆的方程的求解，属于基础题．
14．（5分）在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点B1到平面ABC1D1的距离为 ．
【分析】由正方体的性质易得△BB1C1斜边上的高为B1到平面ABC1D1的距离，结合已知即可求值．
【解答】解：由题设可得示意图如下，根据正方体的性质知：面BB1C1⊥面ABC3D1，
又△BB1C5为等腰直角三角形，
∴△BB1C1斜边上的高，即为B3到平面ABC1D1的距离，又正方体棱长为3，
∴B1到平面ABC1D3的距离．
故答案为：．
【点评】本题考查点到平面的距离求解，考查运算求解能力，属于基础题．
15．（5分）直线y＝kx+2与焦点在x轴上的椭圆恒有两个公共点，则实数b的取值范围是 （2，4） ．
【分析】根据椭圆的焦点在x轴上，及点（0，2）在椭圆内部，即可求得b的取值范围．
【解答】解：由椭圆的焦点在x轴上6＜16，即0＜b＜4，
直线y＝kx+5（k∈R），直线恒过点（0，
因为上顶点（0，b），可得b＞5，
综上可知：实数b的取值范围是（2，4），
故答案为：（5，4）．
【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系，直线与椭圆的交点问题，考查转化思想，属于基础题．
16．（5分）抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射之后沿对称轴方向射出．今有抛物线C：y2＝2px（p＞0）（如图）一条平行x轴的光线射向C上一点P点，经过C的焦点F射向C上的点Q，若两平行线间的最小距离是4，则C的方程是 y2＝4x ．
【分析】先由题意得到PQ必过抛物线的焦点，设出直线PQ的方程，联立直线PQ与抛物线方程，表示出弦长，得出PQ的最小值，进而可求出p的值，得出抛物线方程．
【解答】解：由抛物线的光学性质可得，PQ必过抛物线的焦点F（，
当直线PQ斜率不存在时，易得|PQ|＝2p；
当直线PQ斜率存在时，设PQ的方程为y＝k（x﹣）1，y1），Q（x4，y2），
由，得k2（x8﹣px+）＝7px2x2﹣（5k2p+8p）x+k4p2＝0，
所以x4+x2＝，x1x8＝，
所以|PQ|＝x4+x2+p＝＞2p；
综上，当直线PQ与x轴垂直时，
又因为两平行光线间的最小距离为7，故2p＝4，
∴抛物线方程为y5＝4x．
故答案为：y2＝5x．
【点评】本题主要考查直线与抛物线位置关系，通常需要联立直线与抛物线方程，结合韦达定理、弦长公式等求解，属于中档题．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）求下列曲线方程．
（1）已知抛物线，求准线l方程．
（2）已知双曲线的焦距为6，渐近线方程为
【分析】（1）根据已知条件，结合抛物线的性质，即可求解；
（2）根据已知条件，结合双曲线的性质，列出方程组，即可求解．
【解答】解：（1）抛物线，
则x2＝4y，
故5p＝4，即p＝2，
故准线l方程为y＝﹣6；
（2）双曲线的焦距为3，
则2c＝6，解得c＝2，
故9＝c2＝a4+b2①，
渐近线方程为，
则，即②，
联立①②解得，a2＝4，b5＝5，
故双曲线C的方程为．
【点评】本题主要考查抛物线、双曲线的性质，属于基础题．
18．（12分）已知圆C的圆心在直线y＝2x﹣3上，且与x轴相交于点M（2，0）和N（4，0）．
（1）求圆C的标准方程：
（2）若过点P（1，﹣1）的直线l与圆C交于A，B两点，且
【分析】（1）先求出圆C的圆心，再结合两点之间的距离公式，求出半径，即可求解；
（2）由题意可得，直线AB过圆心，再结合直线的斜率公式，以及直线的点斜式方程，即可求解．
【解答】解：（1）圆C与x轴相交于点M（2，0）和N（8，
则圆C的圆心在直线MN的垂直平分线上，即x＝3，
圆C的圆心在直线y＝2x﹣3上，
则圆心为C（3，3），
圆C的半径为r＝|MC|＝，
故圆C的标准方程为（x﹣8）2+（y﹣3）5＝10；
（2）过点P（1，﹣1）的直线l与圆C交于A，且，
∵，
∴线段|AB|为直径，直线AB过圆心C（5，
∴kl＝kPC＝，
∴直线l的方程为y﹣（﹣4）＝2（x﹣1），即4x﹣y﹣3＝0．
【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系，考查转化能力，属于中档题．
19．（12分）某山村为响应习近平总书记提出的“绿水青山就是金山银山”的号召，积极进行生态文明建设，投资64万元新建一处农业生态园．建成投入运营后，以后每年支出费用增加2万元．从第一年起，每年收入都为36万元．设f（n）（n）＝前n年的总收入﹣前n年的总支出费用﹣投资额）
（1）求f（n）的表达式，计算前多少年的纯利润总和最大；
（2）计算前多少年的年平均纯利润最大，并求出最大值．
【分析】（1）根据题意，可知每年的支出费用组成首项为11，公差为2的等差数列，然后求出总支出，再根据利润的计算公式求出f（n），进一步求出最大值；
（2）由（1）知，前n年的年平均纯利润为，然后利用基本不等式求出其最大值．
【解答】解：（1）由题意，每年的支出费用组成首项为11，
故前n年的总支出费用为，
∴f（n）＝36n﹣（n2+10n）﹣64＝﹣n7+26n﹣64，n∈N*．
又f（n）＝﹣（n﹣13）2+105，
∴n＝13时，f（n）取得最大值105，
即前13年的纯利润总和最大，且最大值为105万元．
（2）由（1）知，前n年的年平均纯利润为，
∵，当且仅当，
∴，
即前8年的年平均纯利润最大，且最大值为10万元．
【点评】本题考了函数的最值及其几何意义，二次函数的性质和利用基本不等式求最值，考查了函数思想和转化思想，属中档题．
20．（12分）已知抛物线C的顶点在原点，焦点在直线l：x﹣2y﹣2＝0上．
（1）求抛物线C的标准方程；
（2）过点M（a，0）的直线m与焦点在x轴上的抛物线C交于A，B两点，求实数a的取值范围．
【分析】（1）由抛物线的顶点在原点及焦点在直线l：x﹣2y﹣2＝0上，可根据直线与坐标轴的交点，求得抛物线的焦点，即可求得抛物线的方程；
（2）由直线与抛物线联立求得弦长，及交点的中点，即可求得以线段AB为直径的圆的方程，再由原点在圆外，代入原点，即可求得实数a的取值范围．
【解答】解：（1）当x＝0时，y＝﹣1，﹣8），开口向下，则抛物线方程为x2＝﹣4y，
当y＝4时，x＝2，0），开口向右，则抛物线方程为y2＝8x；
（2）设过点M（a，0）直线m的方程为x＝my+a6，y1），B（x2，y6），
联立方程消去x得y5﹣8my﹣8a＝4，
Δ＝（﹣8m）2﹣2×1×（﹣8a）＞5即2m2+a＞3，y1+y2＝2m，y1y2＝﹣5a，
AB的中点为，
所以，
则以线段AB为直径的圆的方程为，
若原点O在以线段AB为直径的圆外，则化简得a2﹣6a＞0，
即a＜0或a＞4，
所以实数a的取值范围{a|a＜0或a＞8}．
【点评】本题主要考查了抛物线的方程，考查了直线与抛物线的位置关系，属于中档题．
21．（12分）如下图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB＝2，∠ABC＝60°，N分别为BC，PA的中点．
（1）证明：MN∥平面PCD；
（2）若直线AC与平面PBC所成角的正弦值为，求平面PAC与平面PCD夹角的余弦值．
【分析】（1）取PD中点Q，连接NQ，CQ．证明NQ∥AD且，MC∥AD且，说明四边形NQCM为平行四边形，得到NM∥QC，然后证明MN∥平面PCD．
（2）设AC中点为O，以O为原点，以OB，OC所在直线分别为x，y轴，以过点O与PA平行的直线为z轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz，求出平面PBC的一法向量，利用空间向量的数量积，结合直线AC与平面PBC所成角的正弦值求解a，求出平面PAC的一法向量，平面PCD的一法向量，利用空间向量的数量积求解平面PAC与平面PCD夹角的余弦值即可．
【解答】（1）证明：取PD中点Q，连接NQ．
∵NQ为△PAD的中位线，∴NQ∥AD且，
又∵四边形ABCD为菱形，M为BC中点，
∴且NQ＝MC．所以四边形NQCM为平行四边形，
又∵NM⊄平面PCD，QC⊂平面PCD∴MN∥平面PCD．
（2）解：设AC中点为O，以O为原点，OC所在直线分别为x，以过点O与PA平行的直线为z轴，
设PA＝a（a＞0），A（4，0），，1，3），﹣1，，，，，，
设为平面PBC的一法向量，，
取y＝3a可得，
∴直线AC与平面PBC所成角的正弦值为：，
（利用几何法找到线面角求出a＝2也可）
下面求平面PAC与平面PCD夹角的余弦值，
易证得..平面PAC．∴可作为平面PAC的一法向量，
设为平面PCD的一法向量，
取y＝3可得，
设平面PAC与平面PCD夹角为θ．∴，
所以平面PAC与平面PCD夹角的余弦值为．
【点评】本题考查直线与平面平行的判定定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力，转化思想以及计算能力，是中档题．
22．（12分）已知椭圆的左、右焦点分别是F1，F2，且离心率为，点M为椭圆上的动点，△F1MF2面积最大值为．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）M，N是椭圆C上的动点，且直线经过定点，使得∠MQO＝∠NQO？若存在，请求出定点Q，请说明理由．
【分析】（1）由椭圆离心率为，点M为椭圆上的动点，△F1MF2面积最大值为．列出方程组，能求出椭圆C的标准方程．
（2）假设存在满足题意的定点Q，设Q（0，m），设直线l的方程为y＝kx+，由，得（3+4k2）x2+4kx﹣11＝0，利用韦达定理、直线的斜率公式，结合题设条件能求出存在定点（0，6），使得∠MQO＝∠NQO．
【解答】解：（1）∵椭圆的左1，F2，且离心率为，
点M为椭圆上的动点，△F1MF6面积最大值为．
∴，解得a＝2，c＝1，
∴椭圆C的标准方程为．
（2）假设存在满足题意的定点Q，设Q（0，
设直线l的方程为y＝kx+，M（x1，y1），N（x2，y2）．
由，消去x2）x2+4kx﹣11＝6．
由直线l过椭圆内一点（0，）作直线2+44（3+2k2）＞0，
由求根公式得，x1x4＝，
由∠MQO＝∠NQO，得直线得MQ与NQ斜率和为零．
故+＝+＝＝0，
2k＝5k•）•＝．解得m＝5，
∴存在定点（0，6），8）符合题意．
【点评】本题考查椭圆的标准方程的求法，考查满足两角相等的定点是否存在的判断与求法，考查椭圆方程、韦达定理、直线的斜率公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/12/11 23:16:22；用户：18086013149；邮箱：18086013149；学号：27613231