浙江省浙大附中玉泉校区2022-2023学年高一下学期数学期中试卷

这是一份浙江省浙大附中玉泉校区2022-2023学年高一下学期数学期中试卷，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


浙江省浙大附中玉泉校区2022-2023学年高一下学期数学期中试卷
一、单选题(共8题；共40分)
1．（5分）已知集合A={−2，0，1}，B={0，1，2}，则A∪B=（　　）
A．{0，1} B．{−2，0，1}
C．{−2，0，1，2} D．{0，1，2}
2．（5分）函数f(x)=sin(2x−π4)的一条对称轴可以为（　　）
A．x=−π8 B．x=−π4 C．x=π8 D．x=π4
3．（5分）在用斜二测画法画水平放置的△ABC时，若∠A的两边分别平行于x轴、y轴，则在直观图中∠A′等于（　　）
A．45° B．135° C．90° D．45°或135°
4．（5分）四边形ABCD为矩形，对角线长为4，若 AB=a,AD=b,BD=c, 则 |a−b−c|= （　　）
A．0 B．6 C．8 D．10
5．（5分）已知i为虚数单位，下列与i相等的是（　　）
A．1i B．(1−i)(1+i)
C．1+i1−i D．i+i2+i3+i4+⋯+i2003
6．（5分）平行四边形ABCD，点E满足AC=4AE，DE=λ2AB+2μAD(λ，μ∈R)，则λ+μ=（　　）
A．18 B．14 C．12 D．1
7．（5分）函数f(x)=ex−e−x2|x|−1的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
8．（5分）如图所示，为测量山高 MN, 选择A和另一座山的山顶 C 为测量观测点，从A点测得 M 点的仰角 ∠MAN=60°,C 点的仰角 ∠CAB=30° 以及 ∠MAC=75°, 从 C 点测得 ∠MCA=60° ，若山高 BC=1002 米，则山高 MN 等于（　　）

A．300米 B．360米 C．240米 D．320米
二、多选题(共4题；共20分)
9．（5分）已知O是△ABC所在平面内一点，则下列结论正确的是（　　）
A．若(AB+AC)⋅(AB−AC)=0，则△ABC为等腰三角形
B．若OA+OB+OC=0，则O是△ABC的外心
C．若AB⋅BC<0，则△ABC为钝角三角形
D．若OA⋅BC=0，OB⋅AC=0，则OC⋅AB=0
10．（5分）下列说法正确的是（　　）
A．在△ABC中，sinA B．将函数y=sin2x的图象向右平移π6个单位长度得到函数y=sin(2x−π6)的图象
C．复数z1，z2，则z1−z2≥0是z1≥z2的充要条件
D．在△ABC中，若sin2A+sin2B 11．（5分）在△ABC中，角A，B，C对边分别是a，b，c，A=π3，b=8，a=213．则下列说法正确的是（　　）
A．△ABC为锐角三角形 B．△ABC面积为43或123
C．AB长度为6 D．△ABC外接圆的面积为52π3
12．（5分）已知f(x)是定义在R上的奇函数，且y=f(x+1)为偶函数，当x∈(0，1]时，f(x)=−x2，下列结论正确的有（　　）
A．函数f(x)的周期是4
B．直线x=2023是函数f(x)的一条对称轴
C．f(x)在[2022，2023]上单调递减
D．f(2022)+f(2023)=1
三、填空题(共4题；共20分)
13．（5分）函数y=sin(2ωx+π6)，(ω>0)的周期是π，则ω=　 　．
14．（5分）已知向量a，b满足|a+b|=|a−2b|，且|b|=1，则a在b上的投影向量是　 　．
15．（5分）函数f(x)=a2x−12x+1+bsinx+1，（a，b为常实数），若f(−2023)=−1，则f(2023)=　 　．
16．（5分）在△ABC中，已知角A=2π3，角A的平分线AD与边BC相交于点D，AD=2.则AB+2AC的最小值为　 　.
四、解答题(共6题；共70分)
17．（10分）已知向量a=(m，1)，b=(2，m+1)，m∈R．
（1）（5分）若向量a，b能构成一组基底，求实数m的范围；
（2）（5分）若c=(1，3)，且c⊥(a−b)，求向量a与b的夹角大小．
18．（12分）设复数z=m2−2m−3+(m2+3m+2)i，m为实数
（1）（6分）当m为何值时，z是纯虚数；
（2）（6分）若复数z在复平面内对应的点在第一象限，求实数m的取值范围．
19．（12分）已知π3是函数f(x)=2asinxcosx−2cos2x−1的一个零点．
（1）（6分）求实数a的值；
（2）（6分）求f(x)单调递减区间
20．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若2c−ba=cosBcosA
（1）（6分）求角A的大小；
（2）（6分）若a=2，求中线AD长的最大值（点D是边BC中点）．
21．（12分）锐角△ABC的三个内角是A、B、C，满足(sin2B+sin2C−sin2A)tanA=sinBsinC．
（1）（6分）求角A的大小及角B的取值范围；
（2）（6分）若△ABC的外接圆圆心为O，且OB⋅OC=12，求AO⋅(AB+AC)的取值范围．
22．（12分）已知函数f(x)=ex−x在(−∞，0)上单调递减，在(0，+∞)上单调递增．记函数g(x)=f(lnx)．
（1）（6分）写出函数y=g(x)的单调区间（无需说明理由）及其最小值；
（2）（6分）若直线y=b与函数y=f(x)和y=g(x)的图象共有三个不同的交点，从左到右依次记为A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，试证明：x1+x3=2x2．

答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】并集及其运算
【解析】【解答】∵A={−2，0，1}，B={0，1，2}，
则A∪B={−2，0，1}∪{0，1，2}={−2，0，1，2}．
故答案为：C

【分析】利用已知条件结合并集的运算法则，进而得出集合A和集合B的并集。
2．【答案】A
【知识点】正弦函数的奇偶性与对称性
【解析】【解答】对于A，因为f(−π8)=sin(−π2)=−1，
所以x=−π8是函数f(x)=sin(2x−π4)的一条对称轴，A符合题意；
对于B，因为f(−π4)=sin(−3π4)=−22，
所以x=−π4不是函数f(x)=sin(2x−π4)的一条对称轴，B不符合题意；
对于C，因为f(π8)=sin(π4−π4)=0，
所以x=π8不是函数f(x)=sin(2x−π4)的一条对称轴，C不符合题意；
对于D，因为f(π4)=sinπ4=22，
所以x=π4不是函数f(x)=sin(2x−π4)的一条对称轴，D不符合题意.
故答案为：A.

【分析】利用已知条件结合正弦型函数的图象求对称轴的方法，进而得出函数f(x)=sin(2x−π4)的一条对称轴。
3．【答案】D
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】因为∠A的两边分别平行于x轴、y轴，
故∠A＝90°，在直观图中，按斜二测画法规则知∠x′O′y′＝45°或135°，
即∠A′＝45°或135°.
故答案为：D.

【分析】利用已知条件结合斜二测画直观图的方法，进而得出直观图中的角A的值。
4．【答案】C
【知识点】向量的模；平面向量数量积的运算
【解析】【解答】由题意知： |a|2+|b|2=|c|2=42,cos∠ABD=|a||c|,cos∠CBD=|b||c| ，
|a−b−c|2=(a−b−c)2=a2+b2+c2−2a⋅b−2a⋅c+2c⋅b
=|a|2+|b|2+|c|2−2|a|⋅|b|⋅cos90∘−2|a|⋅|c|⋅cos(π−∠ABD)+2|c|⋅|b|⋅cos∠CBD
=2|c|2−2|a|⋅|c|⋅(−|a||c|)+2|c|⋅|b|⋅|b||c|
=2|c|2+2|a|2+2|b|2
=4|c|2
=4×16
=64
所以 |a−b−c|=8 .
故答案为：C.

【分析】首先由题意得到|a|2+|b|2=|c|2=42,cos∠ABD=|a||c|,cos∠CBD=|b||c|，进一步求解将 |a→−b→−c→|平方后由模的性质求解。

5．【答案】C
【知识点】虚数单位i及其性质；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】对于A，1i=−i−i2=−i，A不相等；
对于B，(1−i)(1+i)=1−i2=2，B不相等；
1+i1−i=(1+i)(1+i)(1−i)(1+i)=2i2=i，C相等；
i+i2+i3+i4+⋯+i2003=500(i−1−i+1)+i−1−i=−1，D不相等.
故答案为：C.

【分析】利用已知条件结合复数的乘除法运算法则、虚数单位的运算法则和周期性，进而找出与i相等的复数。
6．【答案】A
【知识点】平面向量的基本定理及其意义
【解析】【解答】DE=AE−AD=14AC−AD=14(AB+AD)−AD=14AB−34AD，
又因为DE=λ2AB+2μAD，
所以λ2=142μ=−34，所以λ=12μ=−38，
所以λ+μ=12−38=18.
故答案为：A.


【分析】利用已知条件结合平面向量基本定理得出λ，μ的值，从而得出λ+μ的值。
7．【答案】C
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】函数的定义域为{x|x≠±12}，f(−x)=e−x−ex2|−x|−1=−ex−e−x2|x|−1=−f(x)，
所以函数f(x)=ex−e−x2|x|−1为奇函数，图像关于原点对称，排除B选项，
因为当x>0时，ex>1>e−x>0，
所以当012时，f(x)=ex−e−x2|x|−1>0，故排除D，
当x趋近于+∞时，由于指数呈爆炸型增长，故函数值f(x)趋近于+∞，故排除A选项，
故答案为：C

【分析】利用已知条件结合函数的定义域、奇函数的图象的对称性、特定区间求函数的值域的方法、函数求极限的方法，从而找出函数的大致图象。
8．【答案】A
【知识点】解三角形的实际应用
【解析】【解答】因为在 Rt△CAB 中， BC=1002 ， ∠CAB=30° ，
所以 AC=BCsin30°=2002 ，
在 △CAM 中， ∠AMC=180°−∠MCA−∠MAC=45° ，
由正弦定理得： ACsin∠AMC=AMsin∠MCA ，即 2002sin45°=AMsin60° ，
所以 AM=2003 ，
在 Rt△AMN 中， ∠MAN=60° ，
所以 MN=AMsin60°=2003×32=300 （米）
故答案为：A

【分析】在相关三角形中，两次利用正弦定理，就可以求解。
9．【答案】A,D
【知识点】数量积判断两个平面向量的垂直关系；三角形五心；三角形的形状判断
【解析】【解答】由(AB+AC)⋅(AB−AC)=0，得|AB|2=|AC|2，即|AB|=|AC|，A对；
由OA+OB+OC=0，取BC中点D，连接OD，则OB+OC=2OD=−OA，
所以OA，OD共线，且O在线段AD上，OAOD=21，即O为△ABC的重心，B不符合题意；

由AB⋅BC=|AB|⋅|BC|cos(π−B)<0，得cos(π−B)<0，所以π−B为钝角，B为锐角，角A与角C不一定为钝角，△ABC不一定为钝角三角形，C不符合题意；
由OA⋅BC=0，OB⋅AC=0，得OA⊥BC，OB⊥AC，知O为△ABC的垂心，所以OC⋅AB=0，D对.
故答案为：AD.

【分析】利用已知条件结合三角形的结构特征，再结合等腰三角形的定义和钝角三角形的定义、三角形外心的定义、数量积为0两向量垂直的等价关系，进而找出结论正确的选项。
10．【答案】A,D
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；三角形的形状判断
【解析】【解答】对于A，在△ABC中，因为sinA 在△ABC中，因为BC 所以在△ABC中，sinA 对于B，将函数y=sin2x的图象向右平移π6个单位长度，
得y=sin2(x−π6)=sin(2x−π3)，B不符合题意；
对于C，若z1=2+i，z2=1+i，则z1−z2=1>0，
但是z1=2+i，z2=1+i不能比较大小，则此时由z1−z2≥0不能推出z1≥z2，C不符合题意；
对于D，在△ABC中，因为sin2A+sin2B a2+b2 则cosC=a2+b2−c22ab<0，∵C∈(0，π)，所以角C为钝角，
所以△ABC是钝角三角形，D符合题意.
故答案为：AD.

【分析】利用已知条件结合充分条件和必要条件的判断方法、正弦型函数的图象变换、钝角三角形的定义，进而找出说法正确的选项。
11．【答案】B,D
【知识点】正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算；三角形的形状判断
【解析】【解答】由A=π3，b=8，a=213，所以(213)2=82+c2−2×8×c×cosπ3，
即c2−8c−12=0，解得c=2或c=6，C不符合题意；
当c=2时，cosB=a2+c2−b22ac=(213)2+22−822×2×213=−113<0，所以B为钝角，
此时△ABC为钝角三角形，A不符合题意；
当c=2时，S=12bcsinA=12×8×2×32=43；
当c=6时，S=12bcsinA=12×8×6×32=123，
所以△ABC面积为43或123，B符合题意；
设△ABC外接圆的半径为R，由正弦定理得2R=asinA=21332=4133，所以R=2133，
所以△ABC外接圆的面积为πR2=π(2133)2=523π，D符合题意；
故答案为：BD.

【分析】利用已知条件结合锐角三角形的定义、三角形的面积公式、余弦定理求AB的长度的方法、正弦定理求三角形的外接圆的半径的方法，圆的面积公式，进而找出说法正确的选项。
12．【答案】A,B,D
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的性质；函数的周期性；函数的值；图形的对称性
【解析】【解答】对于A，因为函数f(x+1)为偶函数，所以f(x+1)=f(−x+1)，
即f(x)的图象关于直线x=1对称，
因为f(x)为奇函数，所以f(−x)=−f(x)，
则f(x+2)=f[−(x+1)+1]=f(−x)=−f(x)，所以f(x+4)=−f(x+2)=f(x)，
所以f(x)是周期为4的函数，A符合题意；
因为f(x)关于直线x=1对称，且为奇函数，
所以f(x)关于直线x=−1对称，又f(x)是周期为4的函数，
所以f(x)关于直线x=3对称，
因为2023=505×4+3，所以直线x=2023是函数f(x)的一条对称轴，B符合题意；
由f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)=0，
当x∈(0，1]时，f(x)=−x2，可得当x∈[0，1]时，f(x)=−x2，
令x∈[2，3]，则x−2∈[0，1]，所以f(x)=−f(x−2)=(x−2)2，
此时f(x)单调递增，
因为2022=505×4+2，，
所以f(x)在[2022，2023]上的单调性相当于f(x)在[2，3]上的单调性，故此时递增，C不符合题意；
f(2022)=f(2)=0，f(2023)=f(3)=1，
所以f(2022)+f(2023)=1，D符合题意.
故答案为：ABD.

【分析】利用已知条件结合奇函数和偶函数的定义，再结合函数的周期性、函数的对称性、减函数的定义、函数的周期性求函数的值的方法，进而找出结论正确的选项。
13．【答案】1
【知识点】复合三角函数的周期性及其求法
【解析】【解答】因为函数y=sin(2ωx+π6)，(ω>0)的周期是π，
所以2π2ω=π，解得ω=1.
故答案为：1.

【分析】利用已知条件结合正弦型函数的最小正周期公式，进而得出ω的值。
14．【答案】12b
【知识点】向量的投影
【解析】【解答】因为|a+b|=|a−2b|，且|b|=1，
所以(a+b)2=(a−2b)2 ，解得a⋅b=12，
所以a在b上的投影向量是 a⋅b|b|2b=12b，
故答案为：12b

【分析】利用已知条件结合数量积求向量的模的公式，再结合数量积的运算法则，进而得出a→⋅b→的值，再结合数量积求投影向量的方法，进而得出a在b上的投影向量。
15．【答案】3
【知识点】奇函数；函数的值
【解析】【解答】令g(x)=a2x−12x+1+bsinx，则f(x)=g(x)+1，f(−2023)=g(−2023)+1，
因为f(−2023)=−1，所以g(−2023)=−2，
因为g(−x)=a2−x−12−x+1+bsin(−x)=−(a2x−12x+1+bsinx)=−g(x)，
所以g(x)为奇函数，
所以g(2023)=−g(−2023)，
所以f(2023)=g(2023)+1=−g(−2023)+1=2+1=3，
故答案为：3

【分析】令g(x)=a2x−12x+1+bsinx，则f(x)=g(x)+1，再结合已知条件和代入法得出g(−2023)的值，再结合奇函数的定义判断出函数g(x)为奇函数，再结合奇函数的定义和f(x)=g(x)+1，进而得出函数的值。
16．【答案】6+42
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】AB=c，AC=b，BC=a，AD=2，
依题意AD是角A的角平分线，

由三角形的面积公式得12×2×c×sinπ3+12×2×b×sinπ3=12×bc×sin2π3，
化简得2c+2b=bc，1b+1c=12，
AB+2AC=c+2b=2(c+2b)(1b+1c)=2(3+cb+2bc)
≥2(3+2cb⋅2bc)=6+42.
当且仅当cb=2bc，c=2b，2⋅2b+2b=b⋅2b，b=2+2，c=22+2时等号成立.
故答案为：6+42

【分析】由三角形的面积公式得1b+1c=12，AB+2AC=c+2b=2(c+2b)(1b+1c)=2(3+cb+2bc)，利用基本不等式即可求出AB+2AC的最小值 。
17．【答案】（1）解：若向量a，b能构成一组基底，
则向量a，b不共线，
则m(m+1)−2≠0，解得m≠−2且m≠1；
（2）解：因为c⊥(a−b)，所以c⋅(a−b)=c⋅a−c⋅b=0，
即m+3−2−3(m+1)=0，解得m=−1，
所以a=(−1，1)，b=(2，0)，
则cos⟨a，b⟩=a⋅b|a||b|=−222=−22，
又因为0≤⟨a，b⟩≤π，所以⟨a，b⟩=3π4，
即向量a与b的夹角为3π4.
【知识点】平面向量的基本定理及其意义；平面向量共线（平行）的坐标表示；数量积的坐标表达式；数量积表示两个向量的夹角；数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合平面向量的基底的判断方法，再结合向量共线定理，进而得出实数m的取值范围。
（2）利用已知条件结合向量的坐标运算和数量积为0两向量垂直的等价关系，再结合数量积的坐标表示得出实数m的值，再结合数量积求向量夹角公式和两向量的夹角的取值范围，进而得出向量a与b的夹角大小。
18．【答案】（1）解：因为z是纯虚数，
所以m2−2m−3=0m2+3m+2≠0，解得m=3；
（2）解：z=m2−2m−3−(m2+3m+2)i，
因为复数z在复平面内对应的点在第一象限，
所以m2−2m−3>0−(m2+3m+2)>0，解得−2 所以实数m的取值范围为(−2，−1)．
【知识点】复数的基本概念；复数的代数表示法及其几何意义
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合复数为纯虚数的判断方法，进而得出实数m的值。
（2）利用已知条件结合复数与共轭复数的关系，进而得出复数z的共轭复数，再结合复数的几何意义得出共轭复数对应的点的坐标，再利用点的坐标确定点所在的象限的方法，进而得出复数z在复平面内对应的点所在的象限，从而得出实数m的取值范围。
19．【答案】（1）解：f(x)=2asinxcosx−2cos2x−1=asin2x−2⋅1+cos2x2−1=asin2x−cos2x−2，
由题意可得f(π3)=0，即32a+12−2=0，解得a=3；
（2）解：由（1）得f(x)=3sin2x−cos2x−2=2sin(2x−π6)−2，
令π2+2kπ≤2x−π6≤3π2+2kπ，得π3+kπ≤x≤5π6+kπ，k∈Z，
所以f(x)单调递减区间为[π3+kπ，5π6+kπ]，k∈Z.
【知识点】函数的单调性及单调区间；函数的零点
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合二倍角的余弦公式和正弦公式，再结合辅助角公式化简函数为正弦型函数，再结合函数的零点求解方法，进而得出实数a的值。
（2）利用（1）得出的实数a的值得出函数的解析式，再结合正弦型函数的 图象判断其单调性，从而得出函数的单调递减区间。
20．【答案】（1）解：因为2c−ba=cosBcosA，
由正弦定理可得：2sinC−sinBsinA=cosBcosA，
即(2sinC−sinB)⋅cosA=sinA⋅cosB，
2sinCcosA=sin(A+B)=sin(π−C)=sinC，
因为C∈(0，π)，所以sinC>0，
所以cosA=12，
因为A∈(0，π)，所以A=π3.
（2）解：由（1）得A=π3，
则cosA=b2+c2−a22bc=12，
所以b2+c2=bc+4≥2bc，即bc≤4，
当且仅当b=c=2时等号成立，
因为点D是边BC中点，
所以2AD=AB+AC，
两边平方可得：4|AD|2=|AB|2+|AC|2+2AB⋅AC=b2+c2+2bc⋅cosA，
则4|AD|2=b2+c2+bc=bc+4+bc=2bc+4≤12，
所以|AD|≤3，
中线AD长的最大值为3.
【知识点】两角和与差的正弦公式；运用诱导公式化简求值；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合正弦定理和两角和的正弦公式，再结合三角形内角和为180度的性质和诱导公式，从而由三角形内角的取值范围，进而得出角A的余弦值，再结合三角形中角A的取值范围，从而得出角A的大小。
（2） 由（1）得A=π3，再利用余弦定理和均值不等式求最值的方法得出bc的最大值，再结合点D是边BC中点，再利用平行四边形法则，所以2AD=AB+AC，两边平方结合bc的最大值，从而得出中线AD长的最大值。

21．【答案】（1）解：设△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，
因为(sin2B+sin2C−sin2A)tanA=sinBsinC，
由正弦定理可得(b2+c2−a2)tanA=bc，所以，b2+c2−a22bc⋅sinAcosA=12，
故sinA=cosA⋅sinAcosA=12，因为A为锐角，则A=π6，
因为△ABC为锐角三角形，则0 所以，角B的取值范围是(π3，π2).
（2）解：设△ABC的外接圆半径为R，所以|OA|=|OB|=|OC|=R，
因为A=π6，所以∠BOC=2A=2×π6=π3，
又OB⋅OC=12，所以|OB|⋅|OC|cos∠BOC=12R2=12，所以R=1，
设∠AOC=θ，则θ=2B∈(2π3，π)，则∠AOB=5π3−θ，
所以OA⋅(AB+AC)=OA⋅(OB−OA+OC−OA) =OA⋅OB+OA⋅OC−2OA2
 =1×1×cos(5π3−θ)+1×1×cosθ−2=12cosθ−32sinθ+cosθ−2
 =32cosθ−32sinθ−2=3(32cosθ−12sinθ)−2=3cos(θ+π6)−2，
因为θ∈(2π3，π)，所以5π6<θ+π6<7π6，
所以−1≤cos(θ+π6)<−32，所以−(2+3)≤OA⋅(AB+AC)<−72，
所以，AO⋅(AB+AC)=−OA⋅(AB+AC)∈(72，2+3]，
所以OA⋅(AB+AC)的取值范围为(72，2+3].
【知识点】平面向量数量积的含义与物理意义；复合三角函数的最值；同角三角函数间的基本关系；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合正弦定理和余弦定理、同角三角函数基本关系式和锐角A的取值范围，进而得出角A的值，再利用锐角三角形的取值范围和三角形内角和为180度的性质，进而得出角B的取值范围。
（2） 设△ABC的外接圆半径为R，所以|OA|=|OB|=|OC|=R，利用A=π6，进而得出∠BOC的值，再利用OB⋅OC=12和数量积的定义得出R的值，设∠AOC=θ，则θ=2B∈(2π3，π)，则∠AOB=5π3−θ，再利用数量积的运算法则和数量积的定义以及辅助角公式得出OA→⋅(AB→+AC→)=3cos(θ+π6)−2，再利用θ∈(2π3，π)结合不等式的基本性质和余弦型函数的图象求值域的方法得出OA⋅(AB+AC)的取值范围。
22．【答案】（1）解：因为f(x)=ex−x，所以g(x)=f(lnx)=x−lnx，
因为f(x)=ex−x在(−∞，0)上单调递减，在(0，+∞)上单调递增，
又函数y=lnx在其定义域上单调递增，x∈(0，1)时y=lnx<0，x∈(1，+∞)时y=lnx>0，
所以y=g(x)在(0，1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增，
即函数y=g(x)的单调减区间为(0，1)，单调增区间为(1，+∞)，
函数y=g(x)的最小值为g(1)=1；
（2）证明：由题可知f(x)=ex−x在(−∞，0)上单调递减，在(0，+∞)上单调递增，最小值为f(0)=1，
函数y=g(x)在(0，1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增，最小值为g(1)=1，
所以要使直线y=b与函数y=f(x)和y=g(x)的图象共有三个不同的交点，
则直线y=b过函数y=f(x)和y=g(x)的图象的交点，
作出函数y=f(x)和y=g(x)的大致图象，

则x1<0 所以ex1−x1=ex2−x2=x2−lnx2=x3−lnx3，
又lnx2<0，ex1−x1=x2−lnx2=elnx2−lnx2，f(x)=ex−x在(−∞，0)上单调递减，
所以x1=lnx2，
又lnx3>0，ex2−x2=x3−lnx3=elnx3−lnx3，f(x)=ex−x在(0，+∞)上单调递增，
所以x2=lnx3，即x3=ex2，
由ex2−x2=x2−lnx2，可得ex2+lnx2=2x2，
所以x1+x3=lnx2+ex2=2x2.
【知识点】函数的单调性及单调区间；函数的最值及其几何意义；函数的图象；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合函数的解析式和代入法得出函数g(x)的解析式，再结合单调函数的定义判断出函数的单调性，从而得出函数的单调区间，再结合函数的单调性得出函数的最小值。
（2） 由题可知f(x)=ex−x在(−∞，0)上单调递减，在(0，+∞)上单调递增，进而得出函数f(x)=ex−x的最小值，再利用函数y=g(x)在(0，1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增，进而得出函数y=g(x)的最小值，所以要使直线y=b与函数y=f(x)和y=g(x)的图象共有三个不同的交点，则直线y=b过函数y=f(x)和y=g(x)的图象的交点，作出函数y=f(x)和y=g(x)的大致图象，再利用函数的图象和函数的单调性，进而证出x1+x3=2x2成立。