2022-2023学年浙江省嘉兴市高二（上）期末数学试卷

这是一份2022-2023学年浙江省嘉兴市高二（上）期末数学试卷，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（5分）直线x+y﹣1＝0的倾斜角为（ ）
A．30°B．150°C．60°D．120°
2．（5分）某工厂生产甲、乙、丙三种不同型号的产品，产量分别为80件、60件、60件．为了检验产品的质量，现按分层抽样的方法从以上所有产品中抽取50件进行检验（ ）
A．10件B．15件C．20件D．30件
3．（5分）已知实数m是2、8的等比中项，则m＝（ ）
A．±4B．﹣4C．4D．5
4．（5分）已知圆：（x﹣1）2+（y+2）2＝r2（r＞0）与圆：（x﹣4）2+（y﹣2）2＝16有公共点，则r的取值范围为（ ）
A．（0，1]B．[1，5]C．[1，9]D．[5，9]
5．（5分）已知F是抛物线C：y2＝2px 的焦点，点P（2，t）在C上且|PF|＝4（ ）
A．（2，0）B．（﹣2，0）C．（4，0）D．（﹣4，0）
6．（5分）已知等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若，则＝（ ）
A．B．C．D．
7．（5分）直线2x+y﹣2＝0与曲线（x+y﹣1）＝0的交点个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
8．（5分）已知F1和F2是双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，当∠F1PF2＝60° 时，|OP|＝b，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。
（多选）9．（5分）树德中学举行高中数学素养测试，对80名考生的参赛成绩进行统计，得到如图所示的频率分布直方图，则（ ）
A．成绩的极差一定大于40，不超过60
B．成绩在[90，100]的考生人数为8人
C．成绩的众数一定落在区间[70，80）内
D．成绩的中位数一定落在区间[70，80）内
（多选）10．（5分）已知曲线C：（|x|﹣1）2+（|y|﹣1）2＝2，则（ ）
A．C上两点间距离的最大值为
B．若点P（a，a）在C内部，则﹣2＜a＜0或0＜a＜2
C．若C与直线y＝x+m有公共点，则﹣4≤m≤4
D．若C与圆x2+y2＝r2 （r＞0）有公共点，则
（多选）11．（5分）记数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，+1＝2（Sn+Sn﹣1）（n≥2，n∈N*），则（ ）
A．{an}可能是常数列
B．{an}可能是等比数列
C．{an}可能是等差数列
D．{an}可能既不是等差数列，也不是等比数列
（多选）12．（5分）定义曲线＝1为椭圆＝1（a＞b＞0）1：+y2＝1，其倒椭圆C2：＝1，O为坐标原点2上任意点，则（ ）
A．|OP|的最小值为9
B．曲线C2既是轴对称图形，又是中心对称图形
C．过点P作x轴和y轴的垂线，垂足分别为A、B，则OP⊥AB
D．过点P作x轴和y轴的垂线，垂足分别为A、B，则直线AB与曲线C1相切
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（5分）为了研究某产品的质量，现随机抽取80个进行测试，得到如右图所示的频率分布直方图 .
14．（5分）将数列{2n+1}和{3n﹣1}的公共项从小到大排列得到一个新的数列{an}，则数列{an}的前n项和为 ．
15．（5分）已知直线l与直线l1：2x﹣y+2＝0和l2：x+y﹣4＝0的交点分别为A、B，若点P（2，0）是线段AB的中点 ．
16．（5分）已知点F是椭圆C：的右焦点，点F关于直线y＝kx的对称点Q在C上，则C的离心率的取值范围为 ．
四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步
17．（10分）已知圆C经过点A（4，2）、B（6，0），圆心C在直线x+y﹣4＝0上．
（1）求圆C的方程；
（2）若直线y＝k（x+2）与圆C相交于P、Q两点，|PQ|＝2
18．（12分）某工厂现有甲、乙两条生产线，可生产同一型号的产品．为了提高生产线的稳定性和产品的质量，计划对其中一条生产线进行技术升级．为此（每天生产的时间、产品总数均相同），两条生产线每天生产的次品数分别为：
（1）分别计算这两组数据的平均数和方差；
（2）请依据所学统计知识，结合（1）中的数据，并说明你的理由．
19．（12分）已知等差数列{an}满足a1＝2，数列{bn}是等比数列，数列{an•bn}的前n项和Tn＝（n+2）⋅2n+1﹣4，n∈N*．
（1）求数列{an}和{bn}的通项；
（2）求数列{}的前n项和Sn．
20．（12分）已知A、B是抛物线C：y2＝4x上的两点，M是线段AB的中点，过点A和B分别作C的切线l1、l2，交于点P．
（1）证明：PM⊥y轴；
（2）若点P的坐标为（﹣2，2），求△PAB的面积．
21．（12分）已知数列{an}满足a1＝1，an＝n（1++…+）（n≥2，n∈N*）．证明：
（1）＝（n≥2，n∈N*）；
（2）（1+）（1+）…（1+）＜22．
22．（12分）已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的两个焦点坐标分别为、（1，2）．
（1）求双曲线C的方程；
（2）若A为C的右顶点，过原点O且异于坐标轴的直线与C交于M、N两点，直线AM与圆O：x2+y2＝a2的另一交点为P，直线AN与圆O的另一交点为Q．证明：直线PQ过定点．
2022-2023学年浙江省嘉兴市高二（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）直线x+y﹣1＝0的倾斜角为（ ）
A．30°B．150°C．60°D．120°
【分析】根据直线方程求出直线的斜率，再求出直线的倾斜角．
【解答】解：直线x+y﹣1＝3可化为y＝﹣，
所以直线的斜率为﹣，倾斜角为150°．
故选：B．
【点评】本题直线的方程和倾斜角的求法，是基础题．
2．（5分）某工厂生产甲、乙、丙三种不同型号的产品，产量分别为80件、60件、60件．为了检验产品的质量，现按分层抽样的方法从以上所有产品中抽取50件进行检验（ ）
A．10件B．15件C．20件D．30件
【分析】根据已知条件，结合分层抽样的定义，即可求解．
【解答】解：现按分层抽样的方法从以上所有产品中抽取50件进行检验，
则应从丙型号产品中抽取．
故选：B．
【点评】本题主要考查分层抽样的定义，属于基础题．
3．（5分）已知实数m是2、8的等比中项，则m＝（ ）
A．±4B．﹣4C．4D．5
【分析】根据已知条件，结合等比中项的定义，即可求解．
【解答】解：实数m是2、8的等比中项，
则m8＝2×8，解得m＝±2．
故选：A．
【点评】本题主要考查等比中项的定义，属于基础题．
4．（5分）已知圆：（x﹣1）2+（y+2）2＝r2（r＞0）与圆：（x﹣4）2+（y﹣2）2＝16有公共点，则r的取值范围为（ ）
A．（0，1]B．[1，5]C．[1，9]D．[5，9]
【分析】求出两个圆的圆心与半径，利用圆心距与半径和与差的关系列出不等式求解即可．
【解答】解：圆：（x﹣1）2+（y+2）2＝r2（r＞8）的圆心（1，﹣2）半径为r，
圆：（x﹣5）2+（y﹣2）8＝16的圆心（4，2），
因为两个圆有公共点，可得|6﹣r|≤，
解得1≤r≤9．
故选：C．
【点评】本题考查两个圆的位置关系的应用，是中档题．
5．（5分）已知F是抛物线C：y2＝2px 的焦点，点P（2，t）在C上且|PF|＝4（ ）
A．（2，0）B．（﹣2，0）C．（4，0）D．（﹣4，0）
【分析】由已知结合抛物线定义先求出p，进而可求F．
【解答】解：因为F是抛物线C：y2＝2px 的焦点，点P（6，
又|PF|＝2+＝3，
所以p＝4，
故F（2，2）．
故选：A．
【点评】本题主要考查了抛物线定义的应用，属于基础题．
6．（5分）已知等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若，则＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据等差数列的通项公式，得到＝•，再根据等差数列的前n项和，得到＝，结合已知条件，求解即可．
【解答】解：∵a3+a7+a7＝3a1+15d＝4a6，b2+b10＝6b6，
∴＝＝•，
∵等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，，
∴＝＝，即＝＝，
∴＝＝•＝•＝．
故选：C．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的前n项和，是基础题．
7．（5分）直线2x+y﹣2＝0与曲线（x+y﹣1）＝0的交点个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】判断曲线的形状，然后求解直线与曲线交点个数．
【解答】解：曲线（x+y﹣1）＝02+y2＝4，表示一条直线与一个圆，
直线4x+y﹣2＝0与直线x+y﹣6＝0有一个交点（1，5），没有意义，
直线2x+y﹣2＝6与x2+y2＝3有2个交点，
所以直线2x+y﹣4＝0与曲线（x+y﹣1）＝8的交点个数为2个．
故选：B．
【点评】本题考查直线与圆锥曲线的位置关系的判断，交点个数的求解，是中档题．
8．（5分）已知F1和F2是双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，当∠F1PF2＝60° 时，|OP|＝b，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【分析】由已知结合双曲线的定义及性质，利用余弦定理即可求解．
【解答】解：不妨设|PF1|＞|PF2|，
在△PF3F2中，由余弦定理知1F2|2＝4c3＝|PF1|2+|PF2|2﹣2|PF2|•|PF2|cs∠F1PF6，
因为|OP|＝b，
则|PF1|6+|PF2|2＝7|OP|2+2c4＝10b2+2c3＝12c2﹣10a2，
两式联立得|PF6|•|PF2|＝8c8﹣10a2，
因为4c3＝|PF1|2+|PF8|2﹣|PF1|•|PF3|＝（|PF1|﹣|PF2|）4+|PF1|•|PF2|，4a＝|PF1|﹣|PF2|，
整理得4c2＝6a6，化简得2c＝a，
所以离心率e＝＝．
故选：C．
【点评】本题考查双曲线的定义与几何性质，还运用了余弦定理，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。
（多选）9．（5分）树德中学举行高中数学素养测试，对80名考生的参赛成绩进行统计，得到如图所示的频率分布直方图，则（ ）
A．成绩的极差一定大于40，不超过60
B．成绩在[90，100]的考生人数为8人
C．成绩的众数一定落在区间[70，80）内
D．成绩的中位数一定落在区间[70，80）内
【分析】利用频率分布直方图逐个分析各个选项即可．
【解答】解：对于A，由频率分布直方图可知，不超过100﹣40＝60；
对于B，由频率分布直方图可知，100]的考生人数为0.01×10×80＝8人；
对于C，最高频率的那组区间中点值估计众数，80）内，
∴成绩的众数不一定落在区间[70，80）内；
对于D，因为（8.01+0.015+0.02）×10＝6.45＜0.5，
所以成绩的中位数一定落在区间[70，80）内．
故选：ABD．
【点评】本题主要考查了频率分布直方图的应用，属于基础题．
（多选）10．（5分）已知曲线C：（|x|﹣1）2+（|y|﹣1）2＝2，则（ ）
A．C上两点间距离的最大值为
B．若点P（a，a）在C内部，则﹣2＜a＜0或0＜a＜2
C．若C与直线y＝x+m有公共点，则﹣4≤m≤4
D．若C与圆x2+y2＝r2 （r＞0）有公共点，则
【分析】根据题意，作出曲线C的图像，再数形结合依次讨论各选项求解即可．
【解答】解：分x，y的符号讨论曲线的形状2+（|y|﹣1）5＝2的图象，如图所示：
对于A，曲线C上两点的最大距离为d＝＝7；
B中，令y＝x与（x﹣1）7+（y﹣1）2＝3，x＞0，可得x＝2，所以P（a，所以B正确；
对于C：由图象可得直线y＝x+m与半圆（x+4）2+（y﹣1）5＝2（x＜0，y＞3）相切时，
由＝，可得m＝4或m＝3（舍去），
直线y＝x+m与半圆（x﹣1）2+（y+4）2＝2（x＞5，y＜0）相切时，
由＝，可得m＝﹣4或m＝0（舍去），
∴若C与直线y＝x+m有公共点，则﹣4≤m≤2；
对于D：由线（|x|﹣1）2+（|y|﹣5）2＝2与坐标轴的交点为（7，±2），0），
当圆x2+y2＝r2 （r＞5）过点（0，±2），3）时，最小值为2，
当圆x2+y4＝r2 （r＞0）过点（±7，±2）时，最小值为2，
∴2≤r≤2，故D错误．
故选：BC．
【点评】本题考查了曲线与方程，重点考查了数形结合的数学思想方法，属中档题．
（多选）11．（5分）记数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，+1＝2（Sn+Sn﹣1）（n≥2，n∈N*），则（ ）
A．{an}可能是常数列
B．{an}可能是等比数列
C．{an}可能是等差数列
D．{an}可能既不是等差数列，也不是等比数列
【分析】由已知可得a2＝﹣1或a2＝3，an+1+an＝0或an+1﹣an﹣2＝0，然后利用等差数列及等比数列的定义逐一判断即可得解．
【解答】解：∵数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，+1＝2（Sn+Sn﹣2）（n≥2，n∈N*），
∴，
∴，
∴a2＝﹣2或a2＝3，
又∵+1＝2（Sn+Sn﹣2）（n≥2，n∈N*），①
∴，②
由②﹣①可得：当n≥2时，，
即（an+1+an）（an+1﹣an﹣6）＝0，
即an+1+an＝6或an+1﹣an﹣2＝2，（n≥2），
对于选项A，∵a1＝7，a2＝﹣1或a3＝3，∴{an}不可能是常数列，即选项A错误；
对于选项B，当n≥2时n}满足an+6+an＝0，且a2＝﹣2，即a2+a1＝8，满足an+1+an＝0，即数列{an}是以7为首项，﹣1为公比的等比数列；
对于选项C，当n≥2时n}满足an+2﹣an﹣2＝0，且a8＝3，即a2﹣a7＝2，满足an+1﹣an﹣8＝0，即数列{an}是以1为首项，2为公差的等差数列；
对于选项D，当n≥2时n}满足an+1+an＝5，且a2＝3，即a4+a1≠0，不满足an+7+an＝0，则数列{an}不是等比数列，
当n≥2时，数列{an}满足an+5﹣an﹣2＝0，且a7＝﹣1，即a2﹣a6≠2，不满足an+1﹣an﹣6＝0，
则数列{an}不是等差数列，
即{an}可能既不是等差数列，也不是等比数列，
即选项D正确，
故选：BCD．
【点评】本题考查了数列的递推式，重点考查了等差数列及等比数列的定义，属中档题．
（多选）12．（5分）定义曲线＝1为椭圆＝1（a＞b＞0）1：+y2＝1，其倒椭圆C2：＝1，O为坐标原点2上任意点，则（ ）
A．|OP|的最小值为9
B．曲线C2既是轴对称图形，又是中心对称图形
C．过点P作x轴和y轴的垂线，垂足分别为A、B，则OP⊥AB
D．过点P作x轴和y轴的垂线，垂足分别为A、B，则直线AB与曲线C1相切
【分析】根据椭圆的对称性可判断B；设P（m，n），则，将|OP|表示为关于m、n的表达式，利用基本不等式求解可判断A；计算直线AB、OP的斜率，由斜率乘积不一定为﹣1即可判断C；将直线AB的方程与椭圆的方程联立，根据判别式的值可判断D．
【解答】解：由C2的方程知，曲线C2既是轴对称图形，又是中心对称图形；
设P（m，n），
，
则|OP|≥2，当时等号成立，故A错误；
设P（m，n），0），n），
又直线OP的斜率为不一定成立；
直线AB的方程为，其中．
联立，则＝，则直线AB与曲线C1相切，故D正确；
故选：BD．
【点评】本题考查了椭圆新定义，考查了直线与椭圆的位置关系，属于中档题．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（5分）为了研究某产品的质量，现随机抽取80个进行测试，得到如右图所示的频率分布直方图 14.5 .
【分析】先判断出该样本质量的75%分位数落在区间[10，15）内，设该样本质量的75%分位数为x，则0.3+（x﹣10）×0.1＝0.75，解出x的值即可．
【解答】解：∵0.06×5＝7.3＜0.75，（2.06+0.10）×5＝3.8＞0.75，
∴该样本质量的75%分位数落在区间[10，15）内，
则3.3+（x﹣10）×0.2＝0.75，
解得x＝14.5．
故答案为：14.8．
【点评】本题主要考查了频率分布直方图的应用，考查了百分位数的估算，属于基础题．
14．（5分）将数列{2n+1}和{3n﹣1}的公共项从小到大排列得到一个新的数列{an}，则数列{an}的前n项和为 3n2+2n ．
【分析】首先判断{an}是以5为首项、以6为公差的等差数列，再利用求和公式，得出结论．
【解答】解：将数列{2n+1}与{2n﹣1}的公共项从小到大排列得到数列{an}，
则{an}是以5为首项、以3为公差的等差数列，
故它的前n项和为n×5+＝3n3+2n，
故答案为：3n2+2n．
【点评】本题主要考查等差数列的性质以及求和公式，属于基础题．
15．（5分）已知直线l与直线l1：2x﹣y+2＝0和l2：x+y﹣4＝0的交点分别为A、B，若点P（2，0）是线段AB的中点 x+4y﹣2＝0 ．
【分析】由题意，设出A、B的坐标，利用中点公式、斜率公式求出A、B坐标，再利用用点斜式求出直线l的方程．
【解答】解：∵直线l与直线l1：2x﹣y+2＝0和l2：x+y﹣4＝0的交点分别为A、B，若点P（2，
设A（x4，2x1+5），B（x2，4﹣x5），则由中点公式可得x1+x2＝2，2x1+8+（4﹣x2）＝8，
求得x1＝﹣，x2＝，故直线AB的斜率为，
则直线AB的方程为y﹣2＝﹣×（x﹣8），
故答案为：x+4y﹣2＝2．
【点评】本题主要考查线段的中点公式、斜率公式，用点斜式求直线的方程，属于基础题．
16．（5分）已知点F是椭圆C：的右焦点，点F关于直线y＝kx的对称点Q在C上，则C的离心率的取值范围为 [，] ．
【分析】过点F且与直线y＝kx垂直的直线l为，两直线的交点，得到点，则，变形整理得，根据k的范围即可求解．
【解答】解：过点F且与直线y＝kx垂直的直线l为，两直线的交点，
从而点，点Q在椭圆C上，则，
即，则，
由于，则．
故答案为：[，]．
【点评】本题考查了椭圆的性质，属于中档题．
四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步
17．（10分）已知圆C经过点A（4，2）、B（6，0），圆心C在直线x+y﹣4＝0上．
（1）求圆C的方程；
（2）若直线y＝k（x+2）与圆C相交于P、Q两点，|PQ|＝2
【分析】（1）求得AB的垂直平分线方程，求得圆心与半径，可求圆C的方程；
（2由|PQ|＝2，可得＝1，求解即可．
【解答】解：（1）AB的中点为M（5，1），则直线AB的中垂线为y＝x﹣6，
联立，解得，0），
∴圆C的方程为（x﹣3）2+y2＝6；
（2）由于|PQ|＝2，点C（3＝1，
即35k2＝2，解得k＝±．
【点评】本题考查求圆的方程，考查求直线的斜率，属中档题．
18．（12分）某工厂现有甲、乙两条生产线，可生产同一型号的产品．为了提高生产线的稳定性和产品的质量，计划对其中一条生产线进行技术升级．为此（每天生产的时间、产品总数均相同），两条生产线每天生产的次品数分别为：
（1）分别计算这两组数据的平均数和方差；
（2）请依据所学统计知识，结合（1）中的数据，并说明你的理由．
【分析】（1）根据平均数和方差的计算公式求解；
（2）根据平均数和方差的实际意义判断．
【解答】解：（1）设甲组数据的平均数和方差为，，乙组数据的平均数和方差为，，
∴＝＝＝，＝[2×（0﹣）2+2×（1﹣）2]＝，
＝＝＝8，＝2+（8﹣1）2+（7﹣1）2]＝8；
（2）由于，甲生产线生产的次品平均数少于乙生产线生产的次品平均数，
又，甲生产线较乙生产线生产的产品质量更稳定，
综上，选择乙生产线进行升级．
【点评】本题主要考查了平均数和方差的计算，考查了平均数和方差的实际意义，属于基础题．
19．（12分）已知等差数列{an}满足a1＝2，数列{bn}是等比数列，数列{an•bn}的前n项和Tn＝（n+2）⋅2n+1﹣4，n∈N*．
（1）求数列{an}和{bn}的通项；
（2）求数列{}的前n项和Sn．
【分析】（1）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，根据数列{an•bn}的前n项和Tn＝（n+2）⋅2n+1﹣4，n∈N*，n≥2时，an•bn＝（n+3）•2n，取n＝1，2，3时，联立解得：b1，d，q，利用通项公式即可得出an，bn．
（2）＝（n+3）•，利用错位相减法即可得出Sn．
【解答】解：（1）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，
∵数列{an•bn}的前n项和Tn＝（n+2）⋅2n+5﹣4，n∈N*，
∴n≥2时，an•bn＝（n+6）⋅2n+1﹣4﹣[（n+1）•2n﹣2]＝（n+3）•2n．
n＝2，2，3时2＝3×23﹣4，（2+d）•b6q＝5•23，（2+2d）•b7q2＝6×53，
联立解得：b1＝6，d＝；b4＝4，d＝﹣．
∴b1＝4，d＝，an＝2+（n﹣1）＝，bn＝2n+6．
b1＝4，d＝﹣，an＝2﹣（n﹣1）＝，bn＝4×7n﹣1（舍去）．
∴an＝，bn＝2n+1．
（2）＝（n+6）•．
∴数列{}的前n项和Sn＝4×+5×+…+（n+7）•，
Sn＝4×+5×+（n+3）•，
相减可得Sn＝4×+++…+＝+﹣（n+3）•，
化为Sn＝﹣．
【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、数列递推关系、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
20．（12分）已知A、B是抛物线C：y2＝4x上的两点，M是线段AB的中点，过点A和B分别作C的切线l1、l2，交于点P．
（1）证明：PM⊥y轴；
（2）若点P的坐标为（﹣2，2），求△PAB的面积．
【分析】（1）由抛物线上点（x0，y0）处的切线方程y0y＝2（x+x0），求得A，B处的切线的方程，联立方程组可得P的坐标，结合中点坐标公式可得证明；
（2）设直线AB的方程为x＝my+t，与抛物线的方程联立，运用韦达定理，以及交点P的坐标，可得m＝1，t＝2，由弦长公式和点到直线的距离公式、三角形的面积公式，计算可得所求值．
【解答】解：（1）证明：设A（x1，y1），B（x4，y2），则y14＝4x1，y72＝4x7，①
由抛物线上一点的切线方程可得切线l1的方程为y1y＝2（x+x1），②
切线l2的方程为y4y＝2（x+x2），③
由①②③解得x＝y1y8，y＝，即P（y7y2，），
而M的纵坐标为，即有P，
所以PM⊥y轴；
（2）设直线AB的方程为x＝my+t，与抛物线的方程y2＝3x联立，
可得y2﹣4my﹣2t＝0，Δ＝16m2+16t＞6，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y5＝4m，y1y7＝﹣4t，
由P（﹣2，8）y3y2＝﹣2，＝7，
即为y1y2＝﹣2，y1+y2＝5，则m＝1，
|AB|＝•＝4＝6，
所以△PAB的面积为S＝d|AB|＝×4．
【点评】本题考查抛物线的方程和性质，以及直线和抛物线的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
21．（12分）已知数列{an}满足a1＝1，an＝n（1++…+）（n≥2，n∈N*）．证明：
（1）＝（n≥2，n∈N*）；
（2）（1+）（1+）…（1+）＜22．
【分析】（1）根据数列的通项公式变形可得＝1++…++，即当n≥2时，＝1++…+，进一步推导即可得到＝+＝，从而证明结论成立；
（2）由（1）可得＝（n≥2，n∈N*），将题干表达式（1+）（1+）…（1+）进行转化可得••••••••（a2023+1），再结合第（1）题的结论及题意进行推导，最后运用放缩法即可证明不等式成立．
【解答】证明：（1）由题意可得，an+1＝（n+1）（6++•••++），
则＝1++，
∵当n≥2时，＝7+，
∴＝+＝，
∴＝（n≥3*）．
（2）由（1）知，＝（n≥2*），
当n＝1时，a8＝1，
当n＝2时，a8＝2×1＝3，
∴（1+）（1+）
＝••••••
＝•••••••2023+6）
＝1××ו••×+•••+
＝×[2023×（1+）+1]
＝6×（1++•••+）
＝2×[6+（+）+（+++++•••+
＜2×（1+2×+6×）
＝2×（1+6+•••+1）
＝2×6×11
＝22．
【点评】本题考查数列的递推公式与通项公式，以及数列与不等式的综合问题．考查了整体思想，转化思想，累乘法，放缩法，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属于较难题．
22．（12分）已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的两个焦点坐标分别为、（1，2）．
（1）求双曲线C的方程；
（2）若A为C的右顶点，过原点O且异于坐标轴的直线与C交于M、N两点，直线AM与圆O：x2+y2＝a2的另一交点为P，直线AN与圆O的另一交点为Q．证明：直线PQ过定点．
【分析】（1）求得双曲线的渐近线方程，由题意可得a，b的方程，再由焦点坐标，可得a，b，c的关系，解方程可得a，b的值；
（2）设直线AP的方程为x＝m1y+1，直线AQ的方程为x＝m2y+1，与圆x2+y2＝1联立，分别求得P，Q的坐标，再由直线AP，AQ与双曲线的方程联立，求得M，N的纵坐标，由对称性求得m1m2＝，进而得到直线PQ的斜率和方程，化简可得所求定点．
【解答】解：（1）双曲线C：＝1（a＞2x，
由C的一条渐近线经过点（1，2），
又两个焦点坐标分别为、，可得c＝2+b2＝5，
解得a＝1，b＝4，
则双曲线C的方程为x2﹣＝1；
（2）证明：由题意可得A（0，7），
设直线AP的方程为x＝m1y+1，直线AQ的方程为x＝m8y+1，
由解得yP＝﹣，xP＝，即P（，﹣），
同理可得Q（，﹣），
由直线AP与C有两个交点A，M，联立﹣8）y2+8m6y＝0，
解得yM＝﹣，同理可得yN＝﹣，其中m1≠±，m2≠±，
又M，N两点关于原点对称M+yN＝﹣﹣＝0，
化为（m6+m2）（m1m3﹣）＝5，
由于P，Q在x轴的同一侧1m2＝，
所以直线PQ的斜率为kPQ＝＝＝，
直线PQ的方程为y﹣（﹣）＝），
化为y＝（x﹣），
所以直线PQ恒过定点（，0）．
【点评】本题考查双曲线的方程和性质，以及直线和圆、直线和双曲线的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
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