四川省广安第二中学2023-2024学年高二上学期第二次月考数学试卷(含答案)

这是一份四川省广安第二中学2023-2024学年高二上学期第二次月考数学试卷(含答案)，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．直线的倾斜角为( )
A.B.C.D.
2．设等差数列的公差为d,若,,则( )
A.4B.6C.8D.10
3．已知,,且,则x的值为（ ）
A.6B.-6C.D.
4．如图,在四面体OABC中,N是BC的中点.设,,,用,,表示,则( )
A.B.
C.D.
5．已知表示的曲线是圆,则k的值为( )
A.B.C.D.
6．已知双曲线的离心率为,且双曲线C上的点到焦点的最近距离为2,则双曲线C的方程为( )
A.B.C.D.
7．直线与曲线只有一个公共点,则实数k范围是( )
A.B.C.D.
8．已知F为椭圆的右焦点,P为C上的动点,过F且垂直于x轴的直线与C交于M,N两点,若等于的最小值的3倍,则C的离心率为( )
A.B.C.D.
9．已知数列的通项公式为,则( )
A.数列为递增数列B.
C.为最小项D.为最大项
10．已知曲线C的方程为,则下列说法正确的是( )
A.存在实数,使得曲线C为圆
B.若曲线C为椭圆,则
C.若曲线C为焦点在x轴上的双曲线,则
D.当曲线C是椭圆时,曲线C的焦距为定值
11．如图,在四棱锥中,平面ABCD,,,,
,M为PD的中点,则( )
A.直线CM与AD所成角的余弦值为B.
C.D.点M到直线BC的距离为
12．已知圆,过直线上一点P作圆O的两条切线,切点分别为A,B,则( )
A.若点,则直线AB的方程为
B.面积的最小值为
C.直线AB过定点
D.以线段AB为直径的圆可能不经过点O
二、填空题
13．直线与直线的距离为__________.
14．已知,,,则向量在上的投影向量的坐标是______.
15．已知抛物线的焦点为F,,P为C上一点,则的最小值为________.
三、双空题
16．如图,我们把由半椭圆和半椭圆合成的曲线称作“果圆”.,是曲线的焦点,是曲线的焦点,则的周长为______.过且斜率为的直线l交曲线于A,B两点,则=________.
四、解答题
17．已知数列前n项和为.
（1）试写出数列的前5项;
（2）求的通项公式.
18．已知的三个顶点,,,D为BC的中点.求：
（1）中线AD所在直线的方程;
（2）BC边上的高所在直线的方程.
19．已知圆C的圆心在直线上,且经过点和.
（1）求圆C的标准方程;
（2）若过点的直线l与圆C交于A,B两点,且,求直线l的方程.
20．在四棱锥中,底面ABCD为直角梯形,,,侧面底面ABCD,,且E,F分别为PC,CD的中点.
（1）证明：平面PAB;
（2）若直线PF与平面PAB所成的角为,求平面PAB与平面PCD的夹角的余弦值.
21．已知圆,,动圆M与圆,均外切,记圆心M的轨迹为曲线C.
（1）求曲线C的方程;
（2）直线l过点,且与曲线C交于A,B两点,满足,求直线l的方程.
22．已知椭圆的上顶点为B,左、右焦点分别为,,离心率,的面积为.
（1）求椭圆E的标准方程;
（2）直线与椭圆E相交于点P,Q,则直线BP,BQ的斜率分别为,,且,,其中t是非零常数,则直线l是否经过某个定点A?若是,请求出A的坐标.
参考答案
1．答案：C
解析：将直线化为斜截式方程为,斜率.
设直线的倾斜角为,则.又,所以.
故选：C.
2．答案：B
解析：由已知可得,解得.
故选：B.
3．答案：A
解析：因为,所以,,解得,
故选：A.
4．答案：D
解析：由N是BC的中点,可知,
所以,
故选：D.
5．答案：C
解析：由方程可得,
所以当时表示圆,解得.
故选：C.
6．答案：B
解析：
结合题意：双曲线C上的点到焦点的最近距离为,
因为双曲线C离心率为,所以,解得,
故双曲线C的方程为.
故选：B.
7．答案：C
解析：由题知,直线恒过定点,
曲线表示圆心为,半径为1,
且位于直线右侧的半圆,包括点,,
当直线l经过点时,l与曲线C有2个交点,此时,不满足题意,直线记为,
当直线l经过点时,l与曲线C有1个交点,此时,满足题意,直线记为,
如图,当直线l与半圆相切时,由,解得,直线记为,
由图知,当或,l与曲线C有1个交点,
故选：C.
8．答案：B
解析：F为椭圆的右焦点,P为C上的动点,
由椭圆的性质,可得.
过F且垂直于x轴的直线与C交于M,N两点,.
等于的最小值的3倍,.
椭圆中,,即,则.
,,解得或（舍）.
故选：B.
9．答案：CD
解析：,
当()时,,且单调递减;当()时,,且单调递减,
则为最小项,为最大项,故C、D正确,A错误;
,,则,故B错误,
故选：CD.
10．答案：AC
解析：A正确：曲线C为圆即;
B错误：C为椭圆,,,,
C正确：C为焦点在x轴上的双曲线,
D错误：C是椭圆,此时焦距,不是定值.
故选：AC.
11．答案：ABD
解析：过A作,垂足为E,则,
以A为原点,分别以AE,AB,AP所在直线为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,
则,,,,,,
,,,,,
因为,
所以直线CM与AD所成角的余弦值为,故A正确;
因为,所以B正确;
因为,
所以BM与PC不垂直,故C不正确;
设点M到直线BC的距离为d,则,
即点M到直线BC的距离为,故D正确.
故选：ABD.
12．答案：BCD
解析：
A选项,若,则直线PA的方程为,,
以P为圆心,4为半径的圆的方程为,即,
由,两式相减得,,故A错误;
B选项,O到直线的距离为,
而,所以的最小值为,
所以面积最小值为,故B正确;
C选项,设,,线段OP的中点坐标为,
所以以OP为直径的圆的方程为,
化简得：,
由,两式相减得,即,
由,解得,所以直线AB过定点,故C正确;
D选项,由A选项,由,解得或,
即,,,即此时以线段AB为直径的圆不经过点O,故D正确.
故选：BCD.
13．答案：
解析：由直线,可化为,
则直线和直线之间的距离.
故答案为：
14．答案：
解析：因为,,
所以,向量在上的投影向量是,
其坐标为.
故答案为：.
15．答案：5
解析：
过P作准线的垂线,垂足为B,则,
显然点P在抛物线内,则当P,A,B三点共线时,最小,其最小值为.
故答案为：5.
16．答案：①②
解析：①由题意得,,,
,,
的周长为
故答案为：.
②根据题意得直线l的方程为
将直线l与曲线联立,得
设,,则,.
弦长.
故答案为：;.
17．答案：（1）,,,,
（2）
解析：（1）数列前n项和为,
,
,
,
,
.
（2）由题得时,,
又,不符合上式,.
18．答案：（1）
（2）
解析：（1）BC的中点,中线AD所在直线的斜率为,
所以BC边上的中线AD所在直线的方程为,即.
（2）
、,BC边斜率,则BC边上的高线的斜率,
所以BC边上的高线所在直线的方程为,即.
19．答案：（1）
（2）或
解析：（1）点和的中点为,,
所以中垂线的,利用点斜式得方程为,联立方程,
得圆心坐标为, 所以圆C的标准方程为.
（2）当过点的直线l斜率不存在时,直线方程为,
此时弦长,符合题意.当过点的直线l斜率存在时,设直线方程为,
化简得,弦心距,所以,解得,
所以直线方程为.综上所述直线方程为或.
20．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）证明：取PB中点M,连接AM,EM,
E为PC的中点,,,
又,,,,
四边形ADEM为平行四边形：,
平面PAB,平面PAB,平面PAB;
（2）平面平面ABCD,平面平面,平面ABCD,,
平面PAB,取AB中点G,连接FG,则,平面PAB,
,,
,,又,,,
如图以G为坐标原点,GB为x轴,GF为y轴,GP为z轴建立空间直角坐标系,
,,,
,,设平面PCD的一个法向量,,
则,取,则,
平面PAB的一个法向量可取,
设平面PAB与平面PCD所成的夹角为,
,平面PAB与平面PCD所成的夹角的余弦为
21．答案：（1）
（2）
解析：（1）
由题意可知：圆的圆心,半径,圆的圆心,半径,
由条件可得,即,
则根据双曲线的定义可知,点M是以,为焦点,以2为实轴长的双曲线的右支,
则,,可得,
所以曲线C的方程为.
（2）由（1）可知：双曲线的渐近线方程为,即,
由于且直线AB的斜率不等于0,
不妨设,,,
则,,由可得,
联立方程,消去x得
则,由韦达定理可得,
由,解得,
代入可得,解得,即,
因此直线,即.
22．答案：（1）;
（2）直线经过定点.
解析：（1）因为,的面积,且,
故解得,,,则,,则椭圆E的标准方程为.
（2）假设,,直线与椭圆联立得
消去y整理得,
则,,又因为,
所以,,则,
即,代入韦达定理得,
即,化简得,
因为,则,即,代入直线得,
所以恒过,故直线l经过定点.