四川省南充市重点中学2023-2024学年高二上学期第一次月考（10月）数学试卷(含答案)

这是一份四川省南充市重点中学2023-2024学年高二上学期第一次月考（10月）数学试卷(含答案)，共18页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1、若一个圆锥的轴截面是面积为9的等腰直角三角形,则这个圆锥的底面半径为( )
A.1B.2C.3D.4
2、已知平面的一个法向量是,,则下列向量可作为平面β的一个法向量的是( )
A.B.C.D.
3、若直线l不平行于平面,且,则下列说法正确的是( )
A.内存在一条直线与l平行B.内不存在与l平行的直线
C.内所有直线与l异面D. 内所有直线与l相交
4、水平放置的四边形ABCD的斜二测直观图是直角梯形,如图所示.其中,则原平面图形的面积为( )
A.B.C.D.
5、已知l是直线,、是两个不同平面,下列命题中是真命题的是( )
A.若,,则B.若,,则
C.若,,则D.若,,则
6、,,若,则实数值为( )
A.2B.C.D.
7、已知向量为平面的一个法向量,为一条直线l的方向向量,则是的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
8、如图所示,一个棱长为4的正四面体,沿棱的四等分点作平行于底面的截面,截去四个全等的棱长为1的正四面体,得到截角四面体,则该截角四面体的体积为( )
A.4B.C.5D.
二、多项选择题
9、下列关于空间向量的命题中,正确的有( )
A.若向量,与空间任意向量都不能构成基底,则
B.若非零向量,,满足,,则有
C.若,,是空间的一组基底,且,则A,B,C,D四点共面
D.若,,是空间的一组基底,则向量,,也是空间一组基底
10、如图是正方体的平面展开图,在这个正方体中下列命题中,正确的有( )
A.平面DCMNB.平面BCMF
C.平面平面AFND.平面平面NCF
11、如果一个凸n面体共有m个面是直角三角形,那么我们称这个凸n面体的直度为,则( )
A.三棱锥的直度的最大值为1B.直度为的三棱锥只有一种
C.四棱锥的直度的最大值为1D.四棱锥的直度的最大值为
12、正方体中,,点P在线段上运动,点Q在线段上运动,则下列说法中正确的有( )
A.三棱锥的体积为定值
B.线段PQ长度的最小值为2
C.当P为的中点时,三棱锥的外接球表面积为
D.平面BPQ截该正方体所得截面可能为三角形､四边形､五边形
三、填空题
13、已知向量,,且,那么等于___________.
14、如图,M是三棱锥的底面的重心.若,则_________
15、已知三棱锥中,平面BCD,,,,则三棱锥的外接球的表面积为_________.
16、如图,在棱长为4的正方体中,M是的中点,点P是侧面上的动点.且平面,则线段MP长度的取值范围是__________.
四、解答题
17、已知圆锥的轴截面是一个底边长为8?m,腰长为5?m的等腰三角形,求：
(1)圆锥的表面积;
(2)圆锥的体积.
18、如图,在直三棱柱中,,,,,点D是AB的中点.求证：
(1);
(2)平面.
19、如图,在四棱锥中,平面PAD,,,,点N是AD的中点.求证：
(1);
(2)求异面直线PA与NC所成角余弦值.
20、如图,在三棱锥中,,.
(1)求二面角的余弦值;
(2)求三棱锥的体积.
21、如图,在正方体中,点E､F分别为棱､的中点,点P为底面对角线AC与BD的交点,点Q是棱上一动点.
(1)证明：直线平面;
(2)证明：.
22、用文具盒中的两块直角三角板(直角三角形和直角三角形)绕着公共斜边翻折成二面角,如图和,,,,,将翻折到,使,E为边CD上的点,且.
(1)证明：平面平面BCD;
(2)求直线与平面所成角的大小.
参考答案
1、答案：C
解析：设底面半径为r.因为轴截面是等腰直角三角形,所以圆锥的高也是r.
据题意得,解得.
故选：C.
2、答案：D
解析：平面的一个法向量是,,
设平面的法向量为,
则,,
对比四个选项可知,只有D符合要求,
故选：D.
3、答案：B
解析：若内存在一条直线与l平行,则由和线面平行判定定理可知,与已知矛盾,故内不存在直线与l平行,A错误,B正确;
记,当内直线a过点A,则l与a相交,C错误;
当内直线b不过点A,则l与b异面,D错误.
故选：B.
4、答案：C
解析：由直角梯形中,且,作于P,
则四边形为正方形,为等腰直角三角形,故,.
故原图为直角梯形,且上底,高,下底.
其面积为.
故选：C.
5、答案：C
解析：对于A,若,,则或,错误;
对于B,若,,则或或l与相交（含）,错误;
对于C,若且,则存在过l的平面,有,于是,所以,正确;
对于D,若,,则或,错误.
故选：C.
6、答案：A
解析：,
又,,解得.
故选：A.
7、答案：C
解析：向量为平面的一个法向量,为一条直线l的方向向量,
若,则向量为平面的一个法向量,,充分性成立;
若,则向量为平面的一个法向量,,必要性成立,
则是的充要条件.
故选：C.
8、答案：D
解析：如图所示正四面体的棱长为4,所以,
所以,
所以此正四面体的体积为,
同理可计算出棱长为1的正四面体的体积为,
所以截角四面体的体积为：,
故选：D.
9、答案：ACD
解析：对于A,若向量,与空间任意向量都不能构成基底,则可得向量,是共线向量,即,所以A正确,
对于B,若非零向量,,满足,,则向量与不能确定,可能平行,所以B错误,
对于C,若,,是空间的一组基底,且,则由空间向量基本定理可得A,B,C,D四点共面,所以C正确,
对于D,因为,,是空间的一组基底,所以对于空间中的任意一个向量,存在唯一的实数组,使,所以向量,,也是空间一组基底,所以D正确,
故选：ACD.
10、答案：CD
解析：展开图可以折成如图①所示的正方体.
在正方体中,连接AN,如图②所示.
易知BM与平面DCMN有公共点M,CN与平面BCMF有公共点C,所以AB错误;
如图③所示,连接NF,BE,BD,DM,CF,
由于,平面AFN,平面AFN,所以平面AFN,
同理可得平面AFN,,BM,平面BDM,
则平面平面AFN,
同理可证平面平面NCF,所以CD正确.
故选：CD
11、答案：AD
解析：如图,借助于正方体模型,图1中三棱锥的四个面都是直角三角形,
其直度为1,A正确;

图1中三棱锥,三个面CED,CBD,BCE都是直角三角形,
面BDE为正三角形,其直度为;
图2中三棱锥,三个面ABD,CBD,ABC都是直角三角形,
面ACD为正三角形,其直度为,故直度为的三棱锥不止一种,B错误;
四棱锥的共有5个面,底面为四边形,故其直度不可能为1,C错误;
图3中的四棱锥的四个侧面都是直角三角形,底面为正方形,
故四棱锥的直度的最大值为,D正确,
故选：AD.
12、答案：AB
解析：如图,由正方体可得,
故四边形为平行四边形,故,而平面,平面,
故平面,上任一点到平面距离为定值,
即P到平面距离为定值,而面积为定值,故为定值,A对.
,B对.
底面为等腰直角三角形,且边长为2, 外接圆半径为,
三棱锥的高为,
如图,取的中点为M,连接MP,MB,则,
故,故M为三棱锥的外接球的球心,
且半径为,故表面积为,故C不对.
如下图所示：平面BPQ截该正方体所得截面可能为三角形､四边形,不可能为五边形,故D错.
故选：AB.
13、答案：-4
解析：
,即,解得,.
14、答案：1
解析：由于M是三棱锥的底面的重心,连接AM,
所以,
则,
所以.
故答案为：1.
15、答案：
解析：因为平面BCD,平面BCD,所以,
因为,,所以,即,
因为,AB,平面ABC,所以平面ABC,
因为平面ABC,所以,取AD的中点E,连接BE、CE,
可得,
所以三棱锥的外接球的球心即为点E,外接球的半径为AE,
由得,
则三棱锥的外接球的表面积为.
故答案为：.
16、答案：
解析：如图,取DC的中点N,的中点R,的中点H,连接NM、NR、MH、HR,
根据正方体的性质可得,平面,平面,
所以平面,
同理可证平面,
,MN,平面MNRH,所以平面平面,
又平面平面,且平面,平面MNRH,
点P是侧面上的动点,所以P在线段NR上,
又,所以,,,
所以,则,
所以线段MP长度的取值范围是.
故答案为：.
17、答案：;.
解析：如图所示,可得,,
设圆锥的底面半径为r,高为h,母线长为l,则,,可得,
所以该圆锥的表面积为,
圆锥的体积为.
18、答案：(1)证明见解析
(2)证明见解析
解析：（1）直三棱柱,,,,,
因为,所以.
AC,BC,两两垂直.
如图,以C为坐标原点,直线CA,CB,分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,
则,,,,,,
,,
,.
（2）设与的交点为E,则.
,,
,
.
平面.
平面,
平面.
19、答案：(1)见解析
(2)
解析：（1）在四棱锥中,平面PAD,平面ABCD,
平面平面,
,
（2）由于点N是AD的中点,,,所以,,故四边形ABCN为平行四边形,则,
故或其补角即为异面直线PA与NC所成角,
在中,,
故异面直线PA与NC所成角的余弦值为
20、答案：(1)
(2)
解析：（1）取BC的中点D,连结PD,AD,
,,
,,
为二面角的平面角,
在中,,,
,
二面角的余弦值为.
（2）由（1）得,,,
平面PDA,平面PDA,
平面PDA
,
.
21、答案：(1)证明见详解
(2)证明见详解
解析：（1）如图,以D为坐标原点DA,DC,,分别为x,y,z轴所在的直线,
建立空间直角坐标系,不妨设,则,,,,,
可得,,可知,
则,且平面,平面,所以平面.

（2）设,则,可得,
由（1）可知：,
因为,所以.
22、答案：(1)证明见解析
(2)
解析：（1）由已知,又三角形为等腰直角三角形,
,又,所以,
,又,,平面
平面,又平面BCD,
平面平面BCD.
（2）取BC中点F,连接,EF,
中,,,,
所以,则,,
中,,根据余弦定理可知,,
所以,即,
由（1）可知, 平面平面BCD,且平面平面,
且A'E⊂平面A'CD,所以A'E⊥平面BCD
中,,,,
根据余弦定理可知,
中,,所以,
以,分别为x,y轴的正方向,过点F作z轴,z轴平行于,建立空间直角坐标系,
则,,,
故,,,
设平面的法向量,则,则,
令,则,,即,
设直线与平面所成角为,,
则.
所以直线与平面所成角的为.