湖南省衡阳市衡南县2024届九年级上学期期中教学质量检测数学试卷(含解析)

这是一份湖南省衡阳市衡南县2024届九年级上学期期中教学质量检测数学试卷(含解析)，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≤3B．x≥3C．x＜3D．x≠3
解析：解：由题意得：2x﹣6≥0，
解得：x≥3，
故选：B．
2．（3分）下列四条线段成比例的是（ ）
A．4，2，1，3B．1，2，2，4C．3，4，5，6D．1，2，3，5
解析：解：A、∵，故选项不符合题意；
B、∵，故选项符合题意；
C、∵，故选项不符合题意；
D、∵，故选项不符合题意．
故选：B．
3．（3分）将一个三角形按2：1的比放大后，它的面积（ ）
A．保持不变B．放大到原来的2倍
C．放大到原来的4倍D．无法确定
解析：解：根据相似三角形的性质，面积比等于相似比的平方，
相似比为2，则面积就是原来面积的四倍．
故选：C．
4．（3分）观察下列各组式子：
①，；
②，；
③，．
可猜想得到：（a≥0，b≥0），上述探究过程体现的数学思想方法是（ ）​
A．从特殊到一般B．类比
C．转化D．公理化
解析：解：由题意得：探究过程体现的数学思想方法是：从特殊到一般．
故选：A．
5．（3分）下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
解析：解：A．的被开方数中含有能开方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
B．的被开方数中的因数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
C．的被开方数中含有能开方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
D．是最简二次根式，故本选项符合题意；
故选：D．
6．（3分）方程（x+1）（x﹣3）＝0的解是（ ）
A．x1＝1，x2＝3B．x1＝1，x2＝﹣3
C．x1＝﹣1，x2＝3D．x1＝﹣1，x2＝﹣3
解析：解：∵（x+1）（x﹣3）＝0，
∴x+1＝0或x﹣3＝0，
解得：x＝﹣1或x＝3，
故选：C．
7．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
解析：解：与无法合并，则A不符合题意；
2﹣＝，则B不符合题意；
×＝＝，则C符合题意；
÷3＝＝，则D不符合题意；
故选：C．
8．（3分）用配方法解方程x2﹣2x﹣5＝0时，原方程应变形为（ ）
A．（x+1）2＝6B．（x+2）2＝9C．（x﹣1）2＝6D．（x﹣2）2＝9
解析：解：由原方程移项，得
x2﹣2x＝5，
方程的两边同时加上一次项系数﹣2的一半的平方1，得
x2﹣2x+1＝6
∴（x﹣1）2＝6．
故选：C．
9．（3分）下列方程中，有两个相等实数根的是（ ）
A．x2﹣1＝0B．x2+1＝2xC．x2﹣2x＝3D．x2﹣2x＝0
解析：解：A、Δ＝02﹣4×（﹣1）＝4＞0，此方程有两个不相等的实数根，不符合题意；
B、Δ＝（﹣2）2﹣4×1×1＝0，此方程有两个相等的实数根，符合题意；
C、Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣3）＝16＞0，此方程有两个不相等的实数根，不符合题意；
D、Δ＝（﹣2）2﹣4×1×0＝4＞0，此方程有两个不相等的实数根，不符合题意．
故选：B．
10．（3分）如图，AD、BC相交于点O，由下列条件不能判定△AOB与△DOC相似的是（ ）
A．AB∥CDB．∠A＝∠DC．D．
解析：解：A、由AB∥CD能判定△AOB∽△DOC，故本选项不符合题意．
B、由∠AOB＝∠DOC、∠A＝∠D能判定△AOB∽△DOC，故本选项不符合题意．
C、由、∠AOB＝∠DOC能判定△AOB∽△DOC，故本选项不符合题意．
D、已知两组对应边的比相等：，但其夹角不一定对应相等，不能判定△AOB与△DOC相似，故本选项符合题意．
故选：D．
11．（3分）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝1，x2＝﹣3，则关于y的一元二次方程a（y+1）2+b（y+1）+c＝0的解是（ ）
A．y1＝2，y2＝﹣4B．y1＝0，y2＝﹣4
C．y1＝3，y2＝﹣3D．y1＝1，y2＝﹣3
解析：解：∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝1，x2＝﹣3，
∴关于（y+1）的一元二次方程a（y+1）2+b（y+1）+c＝0的解是y1+1＝1，y2+1＝﹣3，
∴关于y的一元二次方程a（y+1）2+b（y+1）+c＝0的解是y1＝0，y2＝﹣4．
故选：B．
12．（3分）若a，b是方程x2+2x﹣2024＝0的两个实数根，则a2+3a+b的值是（ ）
A．2021B．2022C．2023D．2024
解析：解：∵a，b是方程x2+2x﹣2024＝0的两个实数根，
∴a2+2a＝2024，a+b＝﹣2，
∴a2+3a+b＝（a2+2a）+a+b＝2024+（﹣2）＝2022，
故选：B．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
13．（3分）最简二次根式是同类二次根式，则a的值为 4 ．
解析：解：∵最简二次根式是同类二次根式，
∴a+1＝5，
∴a＝4．
故答案为：4．
14．（3分）式子的值为 2 ．
解析：解：原式＝|﹣2|＝2．
故答案为：2．
15．（3分）已知关于x方程x2﹣3x+a＝0有一个根为﹣1，则方程的另一个根为 4 ．
解析：解：设方程的另一个根为m，
根据题意得：﹣1+m＝3，
解得：m＝4．
故答案为：4．
16．（3分）根据表格估计方程x2+2x＝6其中一个解的近似值．
根据上表，求方程x2+2x＝6的一个解大约是 1.65 .（精确到0.01）
解析：解：根据题意得：
6﹣5.9696＝0.0304，
6.0225﹣6＝0.0225，
0.0304＞0.0225，
可见6.0225比5.9696更逼近6，
当精确度为0.01时，方程x2+2x＝6的一个解约是1.65；
故答案为：1.65．
17．（3分）如图，用一个卡钳（AD＝BC，＝＝）测量某个零件的内孔直径AB，量得CD长度为6cm，则AB等于 18 cm．
解析：解：∵＝＝，∠COD＝∠AOB，
∴△COD∽△AOB，
∴AB：CD＝3，
∵CD＝6cm，
∴AB＝6×3＝18（cm），
故答案为：18．
18．（3分）我国古代数学家曾经研究过一元二次方程的几何解法，以方程x2+5x＝14为例，三国时期的数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载的方法是：构造如图所示的大正方形ABCD，它由四个全等的长方形和中间一个小正方形组成，根据面积关系可求得AB的长，从而解得x．根据此法，图中正方形ABCD的面积是 81 ．
解析：解：由x2+5x＝14得到：．
解得：x1＝2，x2＝﹣7（负值舍去），
所以正方形ABCD的面积＝（x+x+5）2＝（4+5）2＝81，
故答案为：81．
三、解答题（本大题共8小题，满分66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（6分）计算：×．
解析：解：原式＝﹣﹣2
＝4﹣2﹣2
＝0．
20．（6分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，F是边AB上一点，且CB＝CF，过点A作CF的垂线，交CF的延长线于点D，求证：△ADF∽△ACB．
解析：解：∵CB＝CF，
∴∠B＝∠CFB，
∴∠CFB＝∠AFD，
∵AD⊥CD，∠ACB＝90°，
∴∠D＝∠BCA，
∴△ADF∽△ACB．
21．（8分）已知长方形长a＝，宽b＝．
①求长方形的周长；
②求与长方形等面积的正方形的周长，并比较长方形周长与正方形周长大小关系．
解析：解：①长方形的周长为2×（+）＝2×（2+）＝6；
②长方形的面积为×＝2×＝6，
则正方形的边长为，
∴此正方形的周长为4，
∵6＝，4＝，且＜，
∴6＞4，
则长方形的周长大于正方形的周长．
22．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣1）x+m﹣2＝0．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若该方程两个实数根的差为3，求m的值．
解析：（1）证明：∵一元二次方程x2﹣（m﹣1）x+m﹣2＝0，
∴Δ＝（1﹣m）2﹣4（m﹣2）
＝m2﹣2m+1﹣4m+8
＝（m﹣3）2．
∵（m﹣3）2≥0，
∴Δ≥0．
∴该方程总有两个实数根．
（2）解：∵一元二次方程x2﹣（m﹣1）x+m﹣2＝0，
解方程，得x1＝1，x2＝m﹣2．
∵该方程的两个实数根的差为3，
∴|1﹣（m﹣2）|＝3．
∴m＝0或m＝6．
综上所述，m的值是0或6．
23．（8分）如图，在△ABC中，D、E、F分别是AB、BC上的点，且DE∥AC，AE∥DF．
（1）当，BF＝6cm时，求BE的长；
（2）求证：BE2＝BF•BC．
解析：（1）解：∵，
∴＝，
∵AE∥DF，
∴＝＝，
∴BE＝BF＝×6＝10（cm）；
（2）证明：∵DE∥AC，
∴＝，
∵AE∥DF，
∴＝，
∴＝，
∴BE2＝BF•BC．
24．（8分）小明在解一元二次方程时，发现有这样一种解法：
如：解方程x（x+4）＝6，
解：原方程可变形，得：[（x+2）﹣2][（x+2）+2]＝6．
（x+2）2﹣22＝6，
（x+2）2＝6+22，
（x+2）2＝10．
直接开平方并整理，得．，，
我们称小明这种解法为“平均数法”．
（1）下面是小明用“平均数法”解方程（x+3）（x+7）＝5时写的解题过程．
解：原方程可变形，得：[（x+a）﹣b][（x+a）+b]＝5．
（x+a）2﹣b2＝5，
（x+a）2＝5+b2．
直接开平方并整理，得．x1＝c，x2＝d．上述过程中的a，b，c，d表示的数分别为 5 ， 2 ， 2 ， ﹣8 ；
（2）请用“平均数法”解方程：（x﹣5）（x+3）＝5．
解析：解：（1）由题意知a＝5，b＝2，
∴（x+a）2＝5+b2．可变形为（x+5）2＝9，
∴x+5＝3或x+5＝﹣3，
解得x1＝2，x2＝﹣8，
即c＝2，d＝﹣8，
故答案为：5、2、2、﹣8；
（2）原方程可变形为[（x﹣1）﹣4][（x﹣1）+4]＝5．
（x﹣1）2﹣42＝5，
（x﹣1）2＝5+42，
（x﹣1）2＝21．
直接开平方并整理，得x1＝1+，x2＝1﹣．
25．（10分）解决问题：邓州公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔7月份到9月份的销量，该品牌头盔7月份销售500个，9月份销售720个，且从7月份到9月份销售量的月增长率相同．
（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；
（2）若此种头盔的进价为30元/个，经市场预测，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，该品牌头盔的实际售价应定为多少元？
解析：解：（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，
依题意，得：500（1+x）2＝720，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．
答：该品牌头盔销售量的月增长率为20%．
（2）设该品牌头盔的实际售价为y元，
依题意，得：（y﹣30）[600﹣10（y﹣40）]＝10000，
整理，得：y2﹣130y+4000＝0，
解得：y1＝80（不合题意，舍去），y2＝50，
答：该品牌头盔的实际售价应定为50元．
26．（12分）综合与实践
问题情境：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点B顺时针旋转得到Rt△EBD，连接AE，连接CD并延长交AE于点F．
猜想验证：（1）试猜想△CBD与△ABE是否相似？并证明你的猜想．
探究证明：（2）如图，连接BF交DE于点H，AB与CF相交于点G，是否成立？并说明理由．
拓展延伸：（3）若CD＝EF，直接写出的值．
解析：解：（1）△CBD与△ABE相似，
∵将△ABC绕点B顺时针旋转得到Rt△EBD，
∴CB＝BD，AB＝BE，∠CBD＝∠ABE，
∴，
∴，
∴△CBD∽△ABE；
（2）成立，
理由：由（1）知△CBD∽△ABE，
∴∠GCB＝∠GAF，
∵∠CGB＝∠AGF，
∴△CGB∽△AGF，
∴＝，
∴＝，
∵∠AGC＝∠FGB，
∴△AGC∽△FGB，
∴∠BAC＝∠BFG，
∵∠BAC＝∠BED，
∴∠BFG＝∠BED，
∵∠DHF＝∠BHE，
∴△DHF∽△BHE，
∴＝；
（3）由（2）知，＝，
∴＝，
∵∠DHB＝∠FHE，
∴△DHB∽△FHE，
∴∠EFH＝∠BDH＝90°，
∴BF⊥AE，
∴AF＝EF＝AE，
∴CD＝EF＝AE，
∴＝＝，
∴的值为．x
1.63
1.64
1.65
1.66
…
x2+2x
5.9169
5.9696
6.0225
6.0756
…