2022-2023学年浙江省宁波市海曙区九年级（上）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2022-2023学年浙江省宁波市海曙区九年级（上）期末数学试卷（含详细答案解析），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列事件中，是必然事件的是( )
A. 购买1张彩票，中奖
B. 任意画一个三角形，其内角和是180∘
C. 随意翻到一本书的某页，这页的页码是奇数
D. 射击运动员射击一次，命中靶心
2.将抛物线y=(x−1)2−3先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到的新抛物线解析式是( )
A. y=(x−3)2−4B. y=(x+1)2−4C. y=(x+1)2−2D. y=(x−3)2−2
3.如图，点A、B、C、D、E在⊙O上，AE的度数为60∘，则∠B+∠D的度数是( )
A. 180∘
B. 120∘
C. 100∘
D. 150∘
4.如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，DE//BC，BE与CD相交于F，则下列结论一定正确的是( )
A. ADBD=DEBC
B. ADAB=AEAC
C. DFFC=AEEC
D. DFBF=EFFC
5.如图，平面直角坐标系中，点C位于第一象限，点B位于第四象限，四边形OABC是边长为1的正方形，OC与x轴正半轴的夹角为15∘，则点B的纵坐标为( )
A. −2
B. − 22
C. − 23
D. −12
6.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，当y>0时，x的取值范围是( )
A. −1B. x>2
C. x<−1
D. x<−1或x>2
7.如图，边长为1的小正方形网格中，点A、B、C、E在格点上，过A、B、E三点的圆交BC于点D，则∠AED的正切值是( )
A. 12
B. 2
C. 52
D. 55
8.如图，扇形AOB圆心角为直角，OA=10，点C在AB上，以OA，CA为邻边构造▱ACDO，边CD交OB于点E，若OE=8，则图中两块阴影部分的面积和为( )
A. 10π−8
B. 5π−8
C. 25π−64
D. 50π−64
9.如图，将含有60∘锐角的三角板△ABC绕60∘的锐角顶点C逆时针旋转一个角度到△ECD，若AB、CE相交于点F，AE=AF，则旋转角是( )
A. 45∘
B. 40∘
C. 35∘
D. 30∘
10.如图，点I为△ABC的内心，连接AI并延长交△ABC的外接圆于点D，交BC于点E，若AI=2CD，则AEED的值为( )
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
11.从3名男生和2名女生中任选1名学生参加志愿者服务，则选出的这名学生恰好为女生的概率是______ .
12.若扇形的弧长为34π，圆心角为45∘，则该扇形的半径为______.
13.如图，在△ABC与△ADE中，∠ACB=∠AED=90∘，∠ABC=∠ADE，连接BD、CE，若AC：BC=3：4，则BD：CE为______ .
14.已知点P(m,n)在二次函数y=x2+4的图象上，则m−n的最大值等于______ .
15.如图，⊙O的半径为4，AB为⊙O的直径，∠ABC=90∘，直线CE与⊙O相切于点D，交BA的延长线于点E，若AC=10，则AE的长是______ .
16.如图，已知∠MON=120∘，点P、A分别为射线OM、射线ON上的动点，将射线PA绕点P逆时针旋转30∘交射线ON于点B，则OAAB的最大值为______ .
三、解答题：本题共8小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
在科学实验复习备考中，王老师为本班学生准备了下面3个实验项目：A.测量物质的密度；B.实验室制取二氧化碳；C.探究凸透镜成像.并准备了如图的三等分转盘，规定每名学生可转动一次转盘，并完成转盘停止后指针所指向的实验项目(若指针停在等分线上，则重新转动转盘).根据数学知识回答下列问题：
(1)请直接写出：小明同学转动一次转盘，正好选中自己熟悉的“A”实验的概率是______ ；
(2)请你求出小明和小红两名同学各转动一次转盘，都没有选中“C”实验的概率(用树状图或列表法求解).
18.(本小题8分)
如图1是一台多功能手机支架，图2是其侧面示意图，DE为地面，支架CD垂直地面，AB，BC可分别绕点B，C转动，测量知BC=30cm，CD=100cm.当AB，BC转动到∠ABC=75∘，∠BCD=120∘，且A、C、D三点共线时，求点A到地面的距离.
19.(本小题8分)
如图，在6×6的正方形网格中，点A，B，C均在格点上，请按要求作图.
(1)在图1中画一个格点△ADE，使△ADE∽△ABC.
(2)在图2中画一条格点线段BP，交AC于点Q，使CQ=2AQ.
20.(本小题10分)
如图，抛物线y1=ax2−2x+c与x轴交于A(−1,0)和B(3,0)两点.
(1)求此抛物线的解析式；
(2)过点A的直线y2=mx+n与抛物线在第一象限交于点D，若点D的纵坐标为5，请直接写出当y221.(本小题10分)
如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，AD平分∠CAB交⊙O于点D，过点D作⊙O的切线EF，交AB的延长线于点E，交AC的延长线于点F.
(1)求证：AF⊥EF；
(2)若CF=1，AC=2，AB=4，求BE的长.
22.(本小题10分)
某农户生产经销一种农副产品，已知这种产品的成本价为20元/千克，市场调查发现，该产品每天的销售量W(千克)与销售价x(元/千克)有如下关系：W=−2x+80，设这种产品每天的销售利润为y(元).
(1)求y与x之间的函数关系式．
(2)当销售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
23.(本小题12分)
[基础巩固]
(1)如图1，在四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，∠ADB=∠DCB，求证：BD2=BA⋅BC；
[尝试应用]
(2)如图2，四边形ABCD为平行四边形，F在AD边上，AB=AF，点E在BA延长线上，连接EF、BF、CF，若∠EFB=∠DFC，BE=4，BF=5，求AD的长；
[拓展提高]
(3)如图3，在△ABC中，D是BC上一点，连接AD，点E、F分别在AD、AC上，连接BE、CE、EF，若DE=DC，∠BEC=∠AEF，BE=18，EF=7，CEBC=23；求AFFC的值.
24.(本小题14分)
如图，AB为⊙O的弦，P是劣弧AB上的动点，PO交AB于点C，交⊙O于点D，作PE⊥AB，分别交AB、OA于点E、F，交⊙O于点G，连结AG，GD，DB，CF.
(1)求证：AG=BD；
(2)当∠OAB=∠AOC=30∘时，求∠GDB的大小；
(3)当CF//OB时，①求证：DP平分∠GDB；
②若AG=4，tan∠GPD=23，求⊙O的面积.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A.购买1张彩票会中奖是随机事件，因此选项A不符合题意；
B.任意画一个三角形，其内角和是180∘是必然事件，因此选项B符合题意；
C.随意翻到一本书的某页，这页的页码可能是奇数，有可能是偶数，因此是随机事件，所以选项C不符合题意；
D.射击运动员射击一次，可能命中靶心，有可能不命中靶心，它是随机事件，因此选项D不符合题意；
故选：B.
根据必然事件、不可能事件，随机事件的意义，结合具体的问题情境进行判断即可．
本题考查必然事件、不可能事件，随机事件，理解必然事件、不可能事件，随机事件的意义是正确判断的前提．
2.【答案】B
【解析】解：将抛物线y=(x−1)2−3先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到的新抛物线解析式为y=(x−1+2)2−3−1，
即y=(x+1)2−4，
故选：B.
根据左加右减，上加下减的平移规律求解即可．
本题考查了二次函数图象的平移规律，熟练掌握二次函数图象的平移规律是解题的关键．
3.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了圆周角定理和圆内接四边形的性质，作出辅助线构建圆内接四边形是解题的关键．
连接AB、DE，先求得∠ABE=∠ADE=30∘，根据圆内接四边形的性质得出∠ABE+∠EBC+∠ADC=180∘，即可求得∠EBC+∠ADC=150∘.
【解答】
解：连接AB、DE，则∠ABE=∠ADE，
∵AE的度数为60∘，
∴∠ABE=∠ADE=30∘，
∵点A、B、C、D在⊙O上，
∴四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠ABC+∠ADC=180∘，
∴∠ABE+∠EBC+∠ADC=180∘，
∴∠EBC+∠ADC=180∘−∠ABE=180∘−30∘=150∘.
故选：D.
4.【答案】B
【解析】解：∵DE//BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴ADAB=AEAC=DEBC，故A不正确，B正确，
∵DE//BC，
∴△DEF∽△CBF，
∴DFFC=EFBF=DEBC，故C、D不正确，
故选：B.
根据DE//BC，得△ADE∽△ABC，△DEF∽△CBF，再利用相似三角形对应边成比例即可．
本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的对应边成比例是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：如图，连结OB，作BD⊥x轴于点D，则∠ODB=90∘，
∵四边形OABC是边长为1的正方形，
∴OC=BC=1，∠C=90∘，
∴OB= OC2+BC2= 12+12= 2，
∵∠COB=∠CBO=45∘，∠COD=15∘，
∴∠DOB=∠COB−∠COD=45∘−15∘=30∘，
∴BD=12OB=12× 2= 22，
∴点B的纵坐标为− 22，
故选：B.
连结OB，作BD⊥x轴于点D，由OC=BC=1，∠C=90∘，得OB= OC2+BC2= 2，由∠COB=45∘，∠COD=15∘，得∠DOB=30∘，则BD= 22，则点B的纵坐标为− 22，于是得到问题的答案．
此题重点考查图形与坐标、正方形的性质、直角三角形中30∘角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
6.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
根据函数图象中的数据和二次函数的性质，可以写出当y>0时，x的取值范围，本题得以解决．
【解答】
解：由图象可知，
当y>0时，x的取值范围是x<−1或x>2，
故选：D.
7.【答案】A
【解析】解：连接OD，
∵AD⊥BC，O是AB中点，
∴OD=12AB=1，
∴OD=OA=OE=OD，
∴点A、D、B、E在以O为圆心，1为半径的同一个圆上，
∴∠ABC=∠AED，
∴tan∠AED=tan∠ABD=12，
故选：A.
连接OD，证明点A、D、B、E在以O为圆心，1为半径的同一个圆上，把求∠AED的正切值转化为求∠ABC的正切值．
本题考查了解直角三角形，掌握四点共圆的证明及三角函数的应用是解题关键，其中连接OD，证明点A、D、B、E在以O为圆心，1为半径的同一个圆上是本题的难点．
8.【答案】C
【解析】解：连接OC.
∵四边形OACD是平行四边形，
∴OA//CD，
∴∠OEC+∠EOA=180∘，
∵∠AOB=90∘，
∴∠OEC=90∘，
∴EC= OC2−OE2= 102−82=6，
∴S阴=S扇形AOB−S梯形OECA=90π×102360−12×(6+10)×8=25π−64.
故选：C.
连接OC.利用勾股定理求出EC，根据S阴=S扇形AOB−S梯形AOEC，计算即可．
本题考查扇形的面积的计算，平行四边形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是掌握割补法求阴影部分的面积．
9.【答案】B
【解析】解：设旋转角=α，
∴直角三角板ABC绕直角顶点C逆时针旋转角度α，得到△DCE，
∴∠ACF=α，CA=CE，
∴∠CAE=∠CEA=12(180∘−α)=90∘−12α，
∵AE=AF，
∴∠AEF=∠AFE，
∵∠AFE=α+∠CAF=α+30∘，
∴α+30∘=90∘−12α，
∴α=40∘，
故选：B.
设旋转角=α，先根据旋转的性质得CA=CE，再利用三角形内角和得到∠CAE=∠CEA=90∘−12α，由等腰三角形的性质可得出∠AEF=∠AFE，根据三角形外角的性质可得出答案．
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等腰三角形的性质．
10.【答案】D
【解析】解：如图，连接IC，
∵I是△ABC的内心，
∴∠IAC=∠IAB，∠ICA=∠ICB，
∵∠DIC=∠IAC+∠ICA，∠DCI=∠BCD+∠ICB，
∴∠DIC=∠DCI，
∴DI=DC，
∵AI=2CD，
∴AI=2DI，AD=3CD，
∵∠BCD=∠BAD=∠CAI，∠D=∠D，
∴△CDE∽△ADC，
∴DECD=CDAD=13，
∴DE=13CD，
∴AE=AD−DE=3CD−13CD=83CD，
∴AEED=8CD3×3CD=8.
故选：D.
根据三角形的内心性质证明△CDE∽△ADC，得DECD=CDAD=13，所以DE=13CD，然后表示出AE，进而可以解决问题．
本题考查三角形的内心、三角形的外接圆、相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题．
11.【答案】25
【解析】解：一共有5种结果，任选1名学生参加志愿者服务，则选出的这名学生恰好为女生的概率是25.
故答案为：25.
根据题意，一共有5种结果，任选1名选出的这名学生恰好为女生的概率是25.
本题考查概率，解题的关键在于掌握概率公式．
12.【答案】3
【解析】解：设扇形的半径为r，根据扇形公式得：45πr180=34π，
解得：r=3.
故答案为：3.
根据弧长的公式直接计算即可．
考查了弧长的计算，解题的关键是牢记弧长的公式，难度不大．
13.【答案】5：3
【解析】解：∵∠ACB=∠AED=90∘，∠ABC=∠ADE，
∴△ABC∽△ADE，
∴∠BAC=∠DAE，ACAB=AEAD，
∵∠BAC+∠BAE=∠DAE+∠BAE，
∴∠CAE=∠BAD，
∵ACAB=AEAD，
∴△ACE∽△ABD，
∴BDCE=ABAC，
∵AC：BC=3：4，∠ACB=∠AED=90∘，
则设AC=3x，BC=4x，
在Rt△ABC中，AB2=AC2+BC2，
∴AB= AC2+BC2= (3x)2+(4x)2=5x，
∴AC：BC：AB=3：4：5，
∴BD：CE=5：3，
故答案为：5：3.
根据相似三角形的判定得出△ABC∽△ADE，利用相似三角形的性质得出∠BAC=∠DAE，进而证明△ACE∽△ABD，利用相似三角形的性质和勾股定理进行解答即可．
本题考查了相似三角形的判定和性质和勾股定理的运用，解决本题的关键是证明△ABC∽△ADE.
14.【答案】−154
【解析】解：∵点P(m,n)在抛物线y=x2+4上，
∴n=m2+4，
∴m−n=m−(m2+4)=−m2+m−4=−(m−12)2−154，
∴当m=12时，m−n取得最大值，m−n=−154.
故答案为：−154.
根据题意，可以得到m和n的关系，然后将m、n作差，利用二次函数的性质，即可得到m−n的最大值，本题得以解决．
本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
15.【答案】325
【解析】解：连接OD，如图，
∵直线CE与⊙O相切于点D，∠ABC=90∘，
∴OD⊥CE，CD=BC= AC2−AB2=6，
∴∠ODE=90∘，
设AE=x，则OE=4+x，BE=8+x，
在Rt△ODE中，ED= (4+x)2−42，
在Rt△BCE中，EC= (8+x)2+62，
(4+x)2−42+6= (8+x)2+62，
∴x=325，即AE=325.
故答案为：325.
连接OD，如图，根据切线的性质得∠ODE=90∘，在Rt△ODE中利用正弦的定义可求出∠E=30∘，接着再在Rt△BCE中利用含30度的直角三角形三边的关系求出BC，然后利用勾股定理计算AC的长．
本题考查了切线的性质，解题的关键是掌握圆的切线垂直于经过切点的半径．
16.【答案】2 33−1
【解析】解：以PB为底作等腰△BDP且PD=BD，过B作BH⊥射线PD于H，过O作OC⊥PD于C，
∵将射线PA绕点P逆时针旋转30∘交射线ON于点B，
∴∠BPA=∠PBD=30∘，
∴∠BDP=120∘，∠BDH=60∘，
∴点P，O，D，B在以点E为圆心的圆上，当OE⊥PD时，OC的值最大，
∵∠OCA=∠BHA=90∘，∠CAO=∠BAH，
∴△AOC∽△ABH，
∴OAAB=OCBH，
∵∠MON=120∘，∠BDP=120∘，
∴∠PEB=120∘，
∴∠PEB=∠EBP=30∘，
∵∠DPB=30∘，
∴∠EPC=60∘，
∴∠EPC=60∘，
∵OC⊥PD，
∴PD=2PC，
∴PE=PCcs∠EPC=2PC=PD，EC=PC，tan∠EPC= 3PC= 32PD′，
∴OC=OE−EC=PD− 32PD′，
∵∠BDH=60∘，
∴BH=BD⋅sin∠BDH= 32BD= 32PD′，
∴OCBH=PD− 32PD′ 32PD′=2 33−1，
∴OAAB的最大值为2 33−1；
故答案为：2 33−1.
以PB为底作等腰△BDP且PD=BD，过B作BH⊥射线PD于H，过O作OC⊥PD于C，根据旋转的性质得到∠BPA=∠PBD=30∘，求得∠BDP=120∘，∠BDH=60∘，推出点P，O，D，B在以点E为圆心的圆上，当OE⊥PD时，OC的值最大，根据相似三角形的性质得到OAAB=OCBH，根据等腰三角形的性质得到∠PEB=∠EBP=30∘，求得PD=2PC，得到OC=OE−EC=PD− 32PD′，求得BH=BD⋅sin∠BDH= 32BD= 32PD′，于是得到结论．
本题考查了旋转的性质，解直角三角形，垂径定理，相似三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
17.【答案】解：(1)13；
(2)画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中小明和小红两名同学各转动一次转盘，都没有选中“C”实验的结果有4种，
∴小明和小红两名同学各转动一次转盘，都没有选中“C”实验的概率为49.
【解析】解：(1)小明同学转动一次转盘，正好选中自己熟悉的“A”实验的概率是13，
故答案为：13；
(2)见答案.
(1)直接由概率公式求解即可；
(2)画树状图，共有9种等可能的结果，其中小明和小红两名同学各转动一次转盘，都没有选中“C”实验的结果有4种，再由概率公式求解即可．
此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
18.【答案】解：如图2，过B作BH⊥AC于H，
∵∠BCD=120∘，
∴∠BCA=60∘，
∵∠ABC=75∘，
∴∠A=180∘−∠ABC−∠ACB=45∘，
在Rt△BCH中，∵BC=30cm，∠CBH=30∘，
∴CH=12BC=15(cm)，BH= 32BC=15 3(cm)，
在Rt△ABH中，∵∠A=45∘，
∴△ABH是等腰直角三角形，
∴AH=BH=15 3cm，
∴点A到地面的距离为AH+CH+CD=15 3+15+100=(115+15 3)cm.
【解析】如图2，过B作BH⊥AC于H，根据平角的定义得到∠BCA=60∘，根据三角形的内角和定理得到∠A=180∘−∠ABC−∠ACB=45∘，解直角三角形即可得到结论．
本题考查了解直角三角形的应用，正确地作出辅助线是解题的关键．
19.【答案】解：(1)如图1所示，△ADE即为所求；
(2)如图2所示，线段BP即为所求．
【解析】本题主要考查作图-相似变换，解题的关键是掌握相似三角形的判定与性质．
(1)根据相似三角形的判定，并结合网格求解即可；
(2)根据相似三角形的判定与性质，并结合网格特点求解即可．
20.【答案】x>4或x<0
【解析】解：(1)由题意设抛物线的解析式为：y=a(x+1)(x−3)=ax2−2ax−3a，
∴ax2−2x+c=ax2−2ax−3a，
∴a=1，c=−3，
∴抛物线的解析式为y=x2−2x−3；
(2)当y=5时，x2−2x−3=5，解得：x=−2或x=4，
∵D在第一象限，
∴D(4,5)，
由图象得：当x>4或x<0时，y2故答案为：x>4或x<0.
(1)先设抛物线的交点式，再列方程求解；
(2)先求出D的坐标，再根据图象求解．
本题考查了二次函数和不等式的关系，掌握数形结合思想是解题的关键．
21.【答案】(1)证明：连接OD，如图：
∵AD平分∠CAB，
∴∠FAD=∠OAD，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∴∠FAD=∠ODA，
∴OD//AF，
∵EF是⊙O的切线，OD是⊙O的半径，
∴OD⊥EF，
∴AF⊥EF；
(2)解：∵OD⊥EF，
又∵AF⊥EF，
∴△AEF∽△ODE，
∴AFOD=AEOE，
设BE=x，
∴1+22=4+x2+x，
∴x=2.
答：BE的长为2.
【解析】(1)连接OD，由AD平分∠CAB，OA=OD，可得OD//AF，而EF是⊙O的切线，OD是⊙O的半径，有OD⊥EF，即得AF⊥EF；
(2)证明△AEF∽△ODE，进而列比例式求出BE的长．
本题考查圆的综合应用，涉及相似三角形判定与性质，锐角三角函数，圆的切线等知识，解题的关键是作辅助线，构造相似三角形解决问题．
22.【答案】解：(1)y=(X−20)(−2x+80)
=−2x2+120x−1600；
(2)方法一：
y=−2x2+120x−1600
=−2(x2−60x)−1600
=−2(x−30)2+200；
∴当x=30时，y最大=200；
方法二：−b2a=30，4ac−b24a=200.
∴当x=30时，y最大=200.
【解析】(1)用商品的利润乘每天的销售量得出每天的销售利润；
(2)由(1)的函数解析式直接配方求出最值或利用公式法即可；
此题主要考查了二次函数的应用，关键是根据题目中的数量关系列出式子，求出函数关系式．
23.【答案】(1)证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
∵∠ADB=∠DCB，
∴△ABD∽△DBC，
∴BDBC=BABD，
∴BD2=BA⋅BC.
(2)解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC，
∴∠AFB=∠FBC，∠DFC=∠FCB，
∵AB=AF，
∴∠AFB=∠ABF，
∴∠ABF=∠FBC，
∵∠EFB=∠DFC，
∴∠EFB=∠FCB，
∴△EBF∽△FBC，
∴BEBF=BFBC，
∵BE=4，BF=5，
∴45=5BC，
解得BC=254，
∴AD=254.
(3)解：过点C作CM//AD，交EF的延长线于点M，
∴∠EMC=∠AEF，∠ECM=∠DEC，
∵∠BEC=∠AEF，
∴∠BEC=∠EMC；
∵DE=DC，
∴∠DCE=∠DEC，
∴∠BCE=∠ECM，
∴△BCE∽△ECM，
∴EMBE=ECBC=23，
∵BE=18，EF=7，
∴EM=23×18=12，FM=EM−EF=12−7=5，
∵CM//AD，
∴AFFC=EFFM=75.
【解析】(1)证明△ABD∽△DBC即可．
(2)证明△EBF∽△FBC即可．
(3)过点C作CM//AD，交EF的延长线于点M，证明△BCE∽△ECM，再利用CM//AD，得到AFFC=EFFM=75.
本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，等腰三角形的性质，熟练掌握三角形相似的判定和性质是解题的关键．
24.【答案】(1)证明：∵PD是OO的直径，
∴∠PGD=90∘，
∴PG⊥DG，
∵PE//AB，
∴AB//GD，
∴AG=BD，
∴AG=BD；
(2)解：∵∠OAB=∠AOC=30∘，
∴∠BCO=∠OAB+∠AOC=30∘+30∘=60∘，
∵AB//GD，
∴∠GDP=∠BCO=60∘，
∵OA=OB，
∴∠OBA=∠OAB=30∘，
∴∠OBA+∠BCO=30∘+60∘=90∘，
∴∠BOC=90∘，
∴∠BOD=90∘，
∵OB=OD，
∴∠ODB=∠OBD=12×(180∘−90∘)=45∘，
∴∠GDP+∠ODB=60∘+45∘=105∘，
即∠GDB=105∘；
(3)①证明：如图，连接AP，
∵CF//OB，
∴∠ACF=∠OBA，
∵∠OBA=∠OAB，
∴∠ACF=∠OAB，
∴AF=CF，
∵PE⊥AB，
∴AE=CE，
∴AP=CP，
∴∠PAC=∠PCA，
∵AB//GD，
∴∠PCA=∠GDP，
∵∠PAC=∠BDP，
∴∠GDP=∠BDP，
∴DP平分∠GDB；
②解：如图，连接BP，
∵PD是⊙O的直径，
∴∠PGD=∠PBD=90∘，
在△PGD和△PBD中，
∠PGD=∠PBD ∠GDP=∠BDP PD=PD ，
∴△PGD≌△PBD(AAS)，
∴DG=BD，
∵AG=BD，AG=4，
∴DG=4，
∵∠PGD=90∘，tan∠GPD=23，
∴DGPG=23，
∴PG=6，
∴PD= PG2+DG2=2 13，
∴⊙O的半径 13，
∴⊙O的面积=π⋅( 13)2=13π.
【解析】(1)根据圆周角定理及平行线的判定定理推出AB//GD，根据圆的有关性质即可得解；
(2)根据三角形外角性质、平行线的性质得出∠GDP=∠BCO=60∘，根据三角形内角和定理及直角三角形的性质得出∠ODB=∠OBD=45∘，根据角的和差求解即可；
(3)①连接AP，根据平行线的性质得出∠ACF=∠OBA，结合等腰三角形的性质推出AF=CF，根据等腰三角形的性质、线段垂直平分线的判定推出AP=CP，则∠PAC=∠PCA，根据圆周角定理、平行线的性质、角平分线的定义即可得解；
②连接BP，根据圆周角定理得出∠PGD=∠PBD=90∘，利用AAS证明△PGD≌△PBD，根据全等三角形的性质得出DG=BD，结合(1)得到DG=4，解直角三角形得出PG=6，PD=2 13，进而得到⊙O的半径 13，根据圆的面积公式求解即可．
此题是圆的综合题，考查了圆周角定理、圆的有关性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质、解直角三角形、圆的面积公式等知识，熟练掌握圆周角定理、圆的有关性质、全等三角形的判定与性质、解直角三角形、圆的面积公式等知识并作出合理的辅助线是解题的关键．