2022-2023学年浙江省宁波市南三县九年级（上）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2022-2023学年浙江省宁波市南三县九年级（上）期末数学试卷（含详细答案解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.若一个正n边形的每个外角为30∘，则这个正n边形的边数是( )
A. 10B. 11C. 12D. 14
2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，AB=5，AC=3，则csB的值为( )
A. 35
B. 45
C. 34
D. 54
3.要将抛物线y=−3x2平移后得到抛物线y=−3(x+1)2+3，下列平移方法正确的是( )
A. 向左平移1个单位，再向上平移3个单位B. 向左平移1个单位，再向下平移3个单位
C. 向右平移1个单位，再向上平移3个单位D. 向右平移1个单位，再向下平移3个单位
4.利用六张编号为1，2，3，4，5，6的扑克牌进行频率估计概率的试验中，同学小张统计了某一结果出现的频率，绘出的统计图如图所示，则符合这一结果的试验可能是( )
A. 抽中的扑克牌编号是3的概率B. 抽中的扑克牌编号是3的倍数的概率
C. 抽中的扑克牌编号大于3的概率D. 抽中的扑克牌编号是偶数的概率
5.二次函数y=kx2−4x+2的图象与x轴有两个交点，则k满足的条件是( )
A. k>2B. k=3C. k<2且k≠0D. k≤2
6.如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，AC=8，BC=14，点D在边BC上，CD=6，以点D为圆心作⊙D，其半径长为r，要使点A恰在⊙D外，点B在⊙D内，则r的取值范围是( )
A. 8B. 6C. 6D. 27.如图，在⊙O中，点A、B、C在圆上，点D在AB的延长线上，已知∠AOC=130∘，则∠CBD=( )
A. 68∘
B. 65∘
C. 50∘
D. 70∘
8.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E为AD三等分点且AE>DE，连接CE交BD于点F，若△DEF的面积为1，则平行四边形ABCD的面积为( )
A. 16B. 20C. 24D. 18
9.如图所示为二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象，对称轴是直线x=1，下列结论：①b2>4ac；②9a+3b+c>0；③abc<0；④3a+c<0；其中正确的个数是( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
10.如图，在平行四边形FBCE中，点J，G分别在边BC，EF上，JG//BF，四边形ABCD∼四边形HGFA，相似比k=3，则下列一定能求出△BIJ面积的条件( )
A. 四边形HDEG和四边形AHGF的面积之差B. 四边形ABCD和四边形HDEG的面积之差
C. 四边形ABCD和四边形ADEF的面积之差D. 四边形JCDH和四边形HDEG的面积之差
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
11.若2x=y，则2x+yx−3y的值是______ .
12.从π，0，137， 3，−1中任取一个数，取到无理数的概率是______ .
13.抛物线y=(x+1)2+2的顶点坐标为______.
14.如图，小明借助太阳光线测量树高.在早上8时小明测得树的影长为2m，下午3时又测得该树的影长为8m，且这两次太阳光线刚好互相垂直，则树高为______ m.
15.在圆O中，A，B，C，E四点在圆上，OC⊥AB，AB=8，CD=2，则CE的值为______ .
16.如图，在正方形ABCD中，点E在AB上，AE=3BE，连接CE，取CE中点F，过F作GF⊥CF且使得GF=CF，连接AG并延长，将△CFG绕点C旋转到△CF′G′，当A，G，G′三点共线且AG=3 7时，KG′=______ .
三、解答题：本题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
3cs30∘−tan60∘+2sin30∘−sin245∘.
18.(本小题8分)
如图，在正方形网格中，每个小正方形边长为1，当三角形的三个顶点都在正方形网格线的交点上时，我们称三角形为格点三角形.
(1)如图1，请在图1中画一个格点三角形与原三角形相似，且所画三角形与原三角形的相似比为 2：1.
(2)请在图2中画一个格点三角形与原三角形相似且有一条公共边，并写出所画三角形与原三角形相似比.相似比为：______ .
19.(本小题8分)
随着教育部“双减”政策的深入，某校开发了丰富多彩的课后托管课程，并于开学初进行了学生自主选课活动.小明和小王分别打算从以下四个特色课程选择一个参加：A.竞技乒乓；B.围棋博弈；C.名著阅读；D.街舞少年.
(1)小明选择街舞少年的概率为______ .
(2)用画树状图或列表的方法求小明和小王选择同一个课程的概率.
20.(本小题8分)
如图1是一个简易手机支架，由水平底板DE、侧支撑杆BD和手机托盘长AC组成，侧面示意图如图2所示.已知手机托盘长AC=10cm，侧支撑杆BD=10cm，∠CBD=75∘，∠BDE=60∘，其中点A为手机托盘最高点，支撑点B是AC的中点，手机托盘AC可绕点B转动，侧支撑杆BD可绕点D转动.
(1)如图2，求手机托盘最高点A离水平底板DE的高度h(精确到0.1cm).
(2)如图3，当手机托盘AC绕点B逆时针旋转15∘后，再将BD绕点D顺时针旋转α，使点C落在水平底板DE上，求α(精确到0.1∘).(参考数据：tan26.6∘≈0.5， 2≈1.41， 3≈1.73)
21.(本小题8分)
生鲜水果店采购了某品牌樱桃，进价每千克50元.而据统计发现樱桃的日销售量y(千克)与每千克售价x(元)之间满足一次函数关系y=−2x+200.
(1)该生鲜水果店要想每日获得1200元的利润，则樱桃的售价每千克应定为多少元？
(2)当每千克樱桃的售价定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少？
22.(本小题8分)
如图，在△ABC中，以边AB为直径作⊙O分别交BC，AC于点D，E，点D是BC中点，连接OE，OD.
(1)求证：△ABC是等腰三角形.
(2)若AB=6，∠A=40∘，求AE的长和扇形EOD的面积.
23.(本小题8分)
已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过三点A(−1,0)，B(4,0)，C(0,3).
(1)求二次函数的表达式.
(2)二次函数的图象上若有两点(72,y1)，(m,y2)且y1(3)点D是第一象限内二次函数的图象上的一动点，作DE//y轴交BC于点E，作DF⊥BC于点F.当D点运动时，求△DEF面积的最大值.
24.(本小题8分)
如图1，△ABC为圆O的内接三角形，△ABC的三条角平分线交于点I，延长AI交圆O于点D，连接DC.
(1)求证：DI=DC.
(2)如图2，连接BD，设BC与AD交于点P，若OI⊥AD，AB=8，求BP的长.
(3)如图3，四边形ABCD内接于圆O，连接对角线AC，BD交于点E，且AC平分∠BAD，过B作BF//CD交AC于点F，BG平分∠ABD交AC于点G，若sin∠BAC=13，AD=6，求FG的最大值，并求此时圆O的半径.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：∵一个正n边形的每一个外角都是30∘，
∴n=360∘÷30∘=12，
故选：C.
由多边形的外角和为360∘，结合每个外角的度数，即可求出n的值，此题得解．
本题考查了多边形的外角和，牢记多边形的外角和为360∘是解题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：根据勾股定理可得BC= AB2−AC2= 52−32=4，
则csB=BCAB=45.
故选：B.
先根据勾股定理计算出BC，再根据三角函数的定义，即可得解．
本题考查的是锐角三角函数的定义及勾股定理，牢固掌握相关知识是解题关键．
3.【答案】A
【解析】解：要将抛物线y=−3x2平移后得到抛物线y=−3(x+1)2+3，
需要将抛物线y=−3x2向左平移1个单位，再向上平移3个单位，
故选：A.
根据函数图象的平移规则“上加下减，左加右减”，进行判断即可．
此题考查了二次函数图象的平移，解题的关键是熟练掌握二次函数图像的平移规则．
4.【答案】B
【解析】解：A、抽中的扑克牌编号是3的概率为16≈16.67%，不符合试验的结果；
B、抽中的扑克牌编号是3的倍数的概率13≈33.33%，基本符合试验的结果；
C、抽中的扑克牌编号大于3的概率为12=50%，不符合试验的结果；
D、抽中的扑克牌编号是偶数的概率12=50%，不符合试验的结果．
故选：B.
计算出各个选项中事件的概率，根据概率和统计图进行对比即可．
本题考查了频率估计概率，理解当试验的次数较多时，频率稳定在某一固定值附近，这个固定值即为概率是解题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：对于二次函数y=kx2−4x+2可知k≠0，
∵二次函数y=kx2−4x+2的图像与x轴有两个交点，
∴Δ=b2−4ac=(−4)2−8k=16−8k>0，
∴k<2且k≠0，
故选：C.
根据二次函数图像与x轴有两个交点，可知当y=0时，kx2−4x+2=0的判别式Δ>0，代值解不等式即可得到答案，在求解过程中一定要注意对于二次函数k≠0.
本题考查二次函数定义及二次函数与x轴有两个交点对应的判别式，熟记二次函数与x轴交点情况与判别式的关系是解决问题的关键．
6.【答案】A
【解析】解：在Rt△ABC中，∠C=90∘，AC=8，CD=6，
则BD=BC−CD=14−6=8，AD= AC2+CD2= 82+62=10，
∵点A恰在⊙D外，点B在⊙D内，
∴8故选：A.
先根据勾股定理求出AD的长，进而得出BD的长，由点与圆的位置关系即可得出结论．
本题考查的是点与圆的位置关系、勾股定理，解题的关键是掌握点与圆的三种位置关系，如设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：①点P在圆外⇔d>r；②点P在圆上⇔d=r；③点P在圆内⇔d7.【答案】B
【解析】解：如图，
在优弧AC上取一点M，连接AM，CM，
则∠AMC=12∠AOC=12×130∘=65∘，
四边形ABCM是⊙O的内接四边形，
∴∠ABC+∠AMC=180∘，
∴∠ABC=180∘−∠AMC=115∘，∠CBD=180∘−∠ABC=65∘.
故选：B.
在优弧AC上取一点M，连接AM，CM，根据圆周角定理求出∠AMC，根据圆内接四边形对角互补求出∠ABC，从而求解．
本题考查了圆周角定理、圆内接四边形对角互补；解题的关键是根据圆心角构造圆周角．
8.【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC，OB=OD，
∴∠DEF=∠BCF，∠EDF=∠FBC，
∴△EFD∼△CFB，
∴EDBC=DFBF，
∵E为AD三等分点且AE>DE，
∴EDBC=DFBF=13，
∴BF=3DF，
∴S△EFDS△CFB=(DFBF)2=19，
∴S△CFDS△BCF=13，
∵△DEF的面积为1，
∴S△BCF=9，
∴S△CFD=3，
∴S△BCD=S△CFD+S△CFB=3+9=12，
∴S平行四边形ABCD=2S△BCD=2×12=24，
故选：C.
证明△EFD∼△CFB，由相似三角形的性质得出EDBC=DFBF，S△EFDS△CFB=(DFBF)2=19，得出S△CFDS△BCF=13，求出三角形BCD的面积，则可得出答案．
此题考查了相似三角形的判定与性质，掌握平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质是解本题的关键．
9.【答案】C
【解析】解：∵抛物线与x轴有2个交点，
∴Δ=b2−4ac>0，
∴b2>4ac，故①正确；
当x=3时，y<0，
∴9a+3b+c<0，故②错误；
∵抛物线开口向下，抛物线与y轴交于正半轴，
∴a<0，c>0，
∵抛物线的对称轴为直线x=−b2a=1，
∴b=−2a>0，
∴abc<0，故③正确；
∵抛物线的对称轴为直线x=−b2a=1，
∴b=−2a，
当x=−1时，y<0，
即a−b+c<0，
∴a+2a+c=3a+c<0，故④正确；
故选：C.
利用判别式的意义和抛物线与x轴有2个交点可以对①进行判断；利用x=3时，x=3可以对②进行判断；由抛物线开口向下得到a<0，然后利用对称轴的位置以及抛物线与y轴的交点可得到b、c的符号，可以对③进行判断；利用抛物线的对称轴方程得到b=−2a，加上x=−1时，y<0，即a−b+c<0，可以对④进行判断．
本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当a>0时，抛物线开口向上，当a<0时，抛物线开口向下；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置，当a与b同号时(即ab>0)，对称轴在y轴的左边，当a与b异号时(即ab<0)，对称轴在y轴的右边；常数项c决定抛物线与y轴的交点；抛物线与x轴交点个数由Δ决定，Δ>0抛物线与x轴有2个交点，Δ=0，抛物线与x轴有1个交点，Δ<0，抛物线与x轴没有交点．
10.【答案】C
【解析】解：如图，分别过点A，D作BC的平行线交CE于点M，交BF于点N，
∵四边形ABCD∼四边形HGFA，相似比k=3，
∴CD=3AF=3ME，BC=3FG=3BJ，△BCD∼△BJI，相似比k=3，
则S平行四边形BCDN=3S平行四边形MEFA=2S△BCD，9S△BJI=S△BCD，
∵S△ADN=S△ADM，
∴S四边形ABCD−S四边形ADEF=S▱BCDN−S▱MEFA=43S△BCD=12S△BIJ，选项C符合题意，
故选：C.
分别过点A，D作BC的平行线，根据相似比，找出对应相似图形的面积关系，然后找出符合的选项即可．
本题考查了根据相似比求面积关系，平行四边形的性质，相似多边形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，适当添加辅助线，找出对应面积关系，采用面积作差方法是解题关键．
11.【答案】−45
【解析】解：∵2x=y，
∴x=12y，
∴2x+yx−3y
=y+y12y−3y
=2y−52y
=−45，
故答案为：−45.
根据已知可得x=12y，然后代入式子中进行计算即可解答．
本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
12.【答案】25
【解析】解：π，0，137， 3，−1这5个数中，无理数为π、 3共2个，
∴由概率公式可得从π，0，137， 3，−1中任取一个数，取到无理数的概率是25，
故答案为：25.
根据概率公式为满足要求的事件结果数÷事件总的结果数，代值求解即可得到答案．
本题考查简单概率公式，读懂题意，分析出满足要求的事件结果数是解决问题的关键．
13.【答案】(−1,2)
【解析】解：抛物线y=(x+1)2+2的顶点坐标为(−1,2).
故答案为：(−1,2).
利用二次函数的性质求解即可．
本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟记二次函数的性质．
14.【答案】4
【解析】解：根据题意作图，BD=2m，CD=8m，∠BAC=90∘，AD⊥BC，
∵∠BAD+∠CAD=90∘，∠BAD+∠B=90∘，
∴∠CAD=∠B，
∵∠ADB=∠CDA=90∘，
∴△ADB∼△CDA，
∴BDAD=ADCD，
∴AD2=BD⋅CD=16，AD=4m.
故答案为：4.
先根据题意作出相应的图，然后可根据条件得到△ADB∼△CDA，最后利用相似比即可得解．
本题考查了相似三角形的应用，掌握相似三角形的性质与判定是解题关键．
15.【答案】4 5
【解析】解：连接AC，如图所示：
∵OC⊥AB，AB=8，CD=2，设圆O半径为r，
∴AD=BD=12AB=4,OD=r−2,AC= AD2+CD2= 42+22=2 5，
在Rt△AOD中，OA2=OD2+AD2，则r2=42+(r−2)2，
∴4r=20，解得r=5，
在Rt△ACE中，AC=2 5，AE=2r=10，
则CE= AE2−AC2= 102−(2 5)2=4 5，
故答案为：4 5.
连接AC，如图所示，由直径所对的圆周角为直角可知CE= AE2−AC2，根据垂径定理及勾股定理求出AC、AE，代入求值即可得到答案．
本题考查的是垂径定理，涉及圆周角定理的推论、勾股定理及解方程等知识，熟练掌握圆的性质及勾股定理是解决问题的关键．
16.【答案】5123 7
【解析】解：如图，过G作GT⊥BC于T交CE于R，过G作GQ⊥AB于Q，交DC于N，连接EG，
∵CE中点为F，GF⊥CF，GF=CF，
∴GE=GC，EF=FC=GF，
设BE=a，
∵正方形ABCD中，AE=3BE，
∴AE=3a，AB=BC=CD=AD=4a，
∴CE= 17a，tan∠BCE=BEBC=14，
∴EF=FC=GF= 172a，EG=CG= 2× 172a= 342a，
∵∠GFR=∠CTR=90∘，∠GRF=∠CRT，
∴∠FGR=∠RCT，
∴tan∠FGR=FRFG=14，
∴FR=14FG= 178a，
∴GR= 17× 178a=178a，
∴CR=CE−EF−FR=3 178a，
∴RT=38a，CT=38a×4=32a，
∴GT=178a+38a=52a=QB，
∴AQ=4a−52a=32a，QE=3a−32a=32a，QG=BT=4a−32a=52a，
∴AQ=QE，
∴AG=GE= (32a)2+(52a)2= 342a=CG=CG′，
∵GT⊥BC于T交CE于R，过G作GQ⊥AB于Q，交DC于N，
∴∠GNC=∠NCT=∠CFG=90∘，
∴四边形GTCN为矩形，
∴GN=CT=32a，CN=GT=52a，
∴tan∠AGQ=32a52a=35=tan∠NGJ=NJGN，
∴NJ=910a，GJ= (32a)2+(910a)2=3 3410a，
∴CJ=52a−910a=85a，
过C作CS⊥GG′于S，
同理可得：JS=12 3485a，CS=4 3417a，
∴GS=3 3410a+12 3485a=15 3434a，
∵CG=CG′，
∴GS=G′S=15 3434a，
∵CG=CG′，
∴∠CGG′=∠CG′G，
∴tan∠CG′G=CSG′S=4 3417a15 3434a=815，
过K作KV⊥CG′于V，
由旋转可得：∠F′CG=∠FCG=45∘，
∴设KV=CV=n，
∴VG′=CG′−CV=CG−n= 342a−n，
∴tan∠KG′V=n 342a−n=815，
∴KV：VG′：KG′=8：15：17，
∴n=4 3423a，
∴K′G=4 3423a×178=1723× 342a，
∵AG= 342a=3 7，
∴K′G=1723× 342a=1723×3 7=51 723.
故答案为：51 723.
如图，过G作GT⊥BC于T交CE于R，过G作GQ⊥AB于Q，交DC于N，连接EG，证明GE=GC，EF=FC=GF，设BE=a，求解tan∠FGR=FRFG=14，求解AQ=4a−52a=32a，QE=3a−32a=32a，QG=BT=4a−32a=52a，证明AQ=QE，AG=GE= (32a)2+(52a)2= 342a=CG=CG′，过C作CS⊥GG′于S，求解JS=12 3485a，CS=4 3417a，GS=G′S=15 3434a，可得tan∠CG′G=CSG′S=4 3417a15 3434a=815，过K作KV⊥CG′于V，可得KV：VG′：KG′=8：15：17，再解直角三角形可得答案．
本题考查的是正方形的性质，勾股定理的应用，旋转的性质，矩形的判定与性质，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质与判定，锐角三角函数的应用，本题难度很大，计算量大，对学生要求高，细心的计算是解本题的关键．
17.【答案】解：3cs30∘−tan60∘+2sin30∘−sin245∘
=3× 32− 3+2×12−( 22)2
=3 32− 3+1−12
= 32+12.
【解析】直接利用特殊角的三角函数值分别代入计算得出答案．
本题主要考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角三家函数值是解题的关键．
18.【答案】1： 2
【解析】解：(1)由勾股定理可得原三角形的各边长分别为1， 2， 5，
所画三角形与原三角形的相似比为 2:1，则所画三角形的各边长分别为 2、2、 10，如下图所示
(2)由勾股定理可得原三角形的各边长分别为2，2 2，2 5，
有一个边为公共边，假设公共边为2，并且所画三角形边长为2的边与原三角形边长为2 2边相对应，此时相似比为1: 2，
则所画三角形的各边长为 2，2， 10，如下图所示：
故答案为：1： 2.
(1)先利用勾股定理求出原三角形的三边长，再根据相似比，求得格点三角形的各边长，即可求解；
(2)先利用勾股定理求出原三角形的三边长，再根据有一条公共边，确定相似比以及各边的长，即可求解．
此题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质．
19.【答案】14
【解析】解：(1)根据概率的计算公式，小明选择街舞少年的概率为14；
(2)画树状图如下：
共有16种等可能的结果，其中小明和小王选择同一个课程的结果有4种，
∴小明和小王选择同一个课程的概率为416=14.
(1)直接根据概率公式进行计算，即可求解；
(2)根据题意画出树状图，可得共有16种等可能的结果，其中小明和小王选择同一个课程的情况有4种，由概率计算公式可求解．
本题考查概率的计算公式，列树状图或表格求概率，准确掌握概率的计算方法是解题的关键．
20.【答案】解：(1)如图2，作BF⊥DE于点F，BG//DE，AG⊥BG于点G，
∵∠BDE=60∘，
∴∠DBF=30∘，
又∵BD=10cm，
∴BF=5 3cm，
∵∠CBD=75∘，
∴∠CBF=45∘，
∴∠ABG=45∘，
∵AC=10cm，B是AC的中点，
∴AB=5cm
∴AG=5 22，
∴h=AG+BF=5 22+5 3≈12.2cm；
(2)由条件，得：∠DBC=90∘，
又∵BD=10cm，BC=5cm，
∴tan∠BDC=BCBD=0.5，
∴∠BDC≈26.6∘，
∴α=60∘−26.6∘=33.4∘.
【解析】(1)作BF⊥DE于点F，BG//DE，AG⊥BG于点G，构造直角三角形，根据题中的已知条件，可求出AG，BF的长，可得答案．
(2)由题意可得∠DBC=90∘，在Rt△DBC中，已知两直角边，可求得∠BDC的正切值，进而可求得α的度数．
本题主要考查解直角三角形的实际应用，正确理解题意，构造出直角三角形是解题的关键．
21.【答案】解：(1)由题意可列式：(−2x+200)(x−50)=1200，
解得：x1=70，x2=80.
答：樱桃的售价每千克定为70元或80元时日获得1200元的利润；
(2)设销售利润为W元，
根据题意可得：W=(−2x+200)(x−50)=−2(x−75)2+1250，
当x=75时，W最大=1250元．
答：当每千克樱桃的售价定为75元时，日销售利润最大，最大利润是1250元．
【解析】(1)根据每日获得1200元的利润列出方程，解方程即可得到答案；
(2)设销售利润为W元，根据题意列出W与x之间的函数关系式，再利用二次函数的性质求解即可得到答案．
本题考查了一元二次方程的应用、二次函数的应用，依据题意，正确建立方程和函数关系式是解题的关键．
22.【答案】解：(1)连接AD，
∵AB为⊙O直径，
∴∠ADB=90∘，即AD⊥BC，
又∵D是BC中点，
∴AD是线段BC的中垂线，
∴AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形；
(2)∵∠A=40∘，OA=OE，
∴∠A=∠AEO=40∘，
∴∠AOE=100∘，
∵AB=6，
∴OA=OE=3，
∴lAE=100π×3180=53π，
∵AB=AC，OB=OD，
∴∠ABC=70∘=∠ODB，
∴∠AOD=140∘，
∴∠EOD=40∘，
∴S扇形EOD=40π×32360=π.
【解析】(1)连接AD，由AB为⊙O直径，得到∠ADB=90∘，继而得出AD是线段BC的中垂线，即可求解；
(2)由等边对等角及三角形外角的性质求出∠AOE，∠EOD的度数，再根据弧长公式和扇形面积公式求解即可．
本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质和判定，三角形外角的性质，弧长公式和扇形面积公式，垂直平分线的判定，熟练掌握知识点是解题的关键．
23.【答案】解：(1)由交点式设二次函数表达式为y=a(x+1)(x−4)，
把C(0,3)带入二次函数得：a×1×(−4)=3，
解得：a=−34，
∴二次函数表达式为y=−34(x+1)(x−4)=−34x2+94x+3；
(2)由(1)得，二次函数解析式为：y=−34x2+94x+3，
∴对称轴为x=−b2a=−942×−34=32，
∴72对应的点关于x=32对称的点的横坐标为−12，
∵二次函数的图象上若有两点(72,y1)，(m,y2)且y1∴由图象可得m的取值范围为−12(3)设直线BC的解析式为：y=kx+b(k≠0)，
将B(4,0)，C(0,3)代入得：4k+b=0b=3，
解得：k=−34b=3，
∴直线BC的解析式为y=−34x+3，
设D(m,−34m2+94m+3)，则点E(m,−34m+3)，
则DE=−34m2+94m+3−(−34m+3)=−34m2+3m=−34(m−2)2+3，
∴当m=2时，DEmax=3，
∵DE//y轴，
∴∠DEF=∠OCB，
∵DF⊥BC，
∴∠DFE=∠BOC=90∘，
∴△DFE∽△BOC，
∴DFDE=OBBC,EFDE=OCBC，
∵OB=4，OC=3，
∴BC= OB2+OC2= 42+32=5，
∴DFDE=45,EFDE=35，
∴DF=45DE,EF=35DE，
∴S△DEF=12DF⋅EF=12×45DE×35DE=625DE2，
当DE最大时，S△DEF最大，即当m=2时，DEmax=3，
此时：(S△DEF)max=625DE2=625×9=5425.
【解析】(1)根据题意设二次函数表达式为y=a(x+1)(x−4)，将C(0,3)带入二次函数得：a×1×(−4)=3，求出a的值，即可得到答案；
(2)直接根据二次函数的图象观察即可得到答案；
(3)用待定系数法求出直线BC的解析式，设D(m,−34m2+94m+3)，则点E(m,−34m+3)，则DE=−34m2+94m+3−(−34m+3)=−34m2+3m=−34(m−2)2+3，当当m=2时，DEmax=3，易证△DFE∽△BOC，从而得到DF=45DE,EF=35DE，因此S△DEF=12DF⋅EF=12×45DE×35DE=625DE2计算即可得到答案．
本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象的性质、三角形相似的判定与性质，熟练掌握待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象的性质、三角形相似的判定与性质是解题的关键，注意数形结合思想的运用．
24.【答案】(1)证明：∵△ABC的三条角平分线交于点I，
∴∠BAD=∠CAD，∠ACI=∠BCI，
∵∠BCD=∠BAD，
∴∠BCD=∠CAD，
∴∠BCD+∠BCI=∠CAD+∠ACI，即∠DCI=∠DIC，
∴DC=DI；
(2)解：∵OI⊥AD，
∴AI=DI=12AD，
∵AD平分∠BAC，
∴点D为弧BC的中点，
∴DC=BD，
由(1)知DC=DI，
∴DI=DC=BD，
∴AI=BD=ID=12AD.
∵△ABC的三条角平分线交于点I，
∴∠BAD=∠CAD，
∵∠PBD=∠CAD，
∴∠PBD=∠BAD，
又∵∠BDP=∠ADB，
∴△BDP∽△ADB，
∴BPAB=BDAD=12，
∴BP=12AB=4；
(3)解：如图：过C作CH⊥BD于点H，连接CH，
∵AC平分∠BAD，BG平分∠ABD，
∴∠BAC=∠DAC=∠CBD=∠CDB，
同(1)可证得BC=DC=CG，
∴sin∠BAC=sin∠CBD=13，
设CH=m，则CB=CD=CG=3m，BH=DH=2 2m，
∴BD=4 2m，
∵BF//CD，
∴∠BFC=∠ACD，∠ACD=∠ABD，
∴∠BFC=∠ABD，
又∵∠BCF=∠ADB，
∴△BCF∽△ADB，
∴BCAD=CFDB，
∴3m6=CF4 2m，
∴CF=2 2m2，
∴FG=CG−CF=3m−2 2m2，
∴当m=3−2×(−2 2)=3 28时，FG最大，最大值为FG=−94×(−2 2)=9 216，
此时，BC=9 28，
如图：作直径CP，连接BP，
则sin∠BAC=sin∠BPC=13，
∴PC=3BC=27 28，
∴此时圆O的半径为27 216.
【解析】(1)根据角平分线的定义，通过外角性质及圆周角定理，即可证明∠DCI=∠DIC，从而证得结论；
(2)首先由垂径定理，可得AI=DI=12AD，根据圆周角定理及(1)可得DI=DC=BD，AI=BD=ID=12AD，再根据角平分线的定义及圆周角定理，即可证得△BDP∽△ADB，根据相似三角形的性质即可求解；
(3)过点C作CH⊥BD于点H，根据角平分线的定义及(1)，可证得：∠BAC=∠DAC=∠CBD=∠CDB，可得：sin∠BAC=sin∠CBD=13，设CH=m，则CB=CD=CG=3m，BH=DH=2 2m，再根据平行线的性质及圆周角定理，可证得∠BFC=∠ABD，∠BCF=∠ADB，可证得：△BCF∽△ADB，根据相似三角形的性质可得CF=2 2m2，FG=CG−CF=3m−2 2m2，根据二次函数的性质可得，当m=3 28时，FG最大，最大值为：FG=9 216，此时，BC=9 28，再作直径CP，连接BP，则sin∠BAC=sin∠BPC=13，即可求得PC=3BC=27 28，据此即可得半径．
本题考查了三角形角平分线的定义，圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定与性质，二次函数的性质，正弦的定义，作出辅助线是解决本题的关键．