2022-2023学年吉林省长春市净月高新区八年级（上）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年吉林省长春市净月高新区八年级（上）期末数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  在实数、、、、、和之间的逐次加个中，无理数的个数为(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

2.  是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  估计的值可能是(    )
 

A. 点 B. 点 C. 点 D. 点

4.  若≌，则根据图中提供的信息，可得出的值为(    )

 

A.  B.  C.  D.

5.  如图，中，，是中点，下列结论中不正确的是(    )

A.
B.
C. 平分
D.

6.  一块三角形的草坪，现要在草坪上建一个凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三边的距离相等，凉亭的位置应选在(    )

A. 三角形三条边的垂直平分线的交点 B. 三角形三条角平分线的交点
C. 三角形三条高所在直线的交点 D. 三角形三条中线的交点

7.  若，，则(    )

A.  B.  C.  D.

8.  作等腰底边上的高线，按以下作图方法正确的个数有个．(    )
 

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

9.  计算： ______ ．

10.  分解因式：______．

11.  如图，，为两边，的中点，将沿线段折叠，使点落在点处，若，则等于        ．

12.  如图，在中，，，，边的垂直平分线交于点，连接，则的长为          ．

13.  是一个完全平方式，则______．

14.  如图，图中是第七届国际数学教育大会会徽图案、它是由一串有公共顶点的直角三角形如图演化而成的．如果图中的，若代表的面积，代表的面积，以此类推，代表的面积，则的值为______．

三、解答题（本大题共10小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15.  本小题分
计算：；
．

16.  本小题分
先化简，再求值：，其中．

17.  本小题分
轮船以海里时的速度离开港口向东北方向航行，轮船在同时同地以海里时的速度向西北方向航行试求、两船离开港口一个半小时后的距离．

18.  本小题分
在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长为，点、在方格纸中小正方形的顶点上，每个小正方形的顶点叫做格点．

按下列要求画图：
以为腰作等腰，使得点在格点上；
以为底作等腰，使得点在格点上．
的面积是        ．

19.  本小题分
如图，，，垂足分别为点和点，与相交于点，求证：点在的平分线上．

20.  本小题分
以人工智能、大数据、物联网为基础的技术创新促进了新业态蓬勃发展，新业态发展对人才的需求更加旺盛某大型科技公司上半年新招聘软件、硬件、总线、测试四类专业的毕业生，现随机调查了名新聘毕业生的专业情况，并将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图．

请根据统计图提供的信息，解答下列问题．
       ，        ．
请补全条形统计图；
若该公司新招聘名毕业生，请你估计“总线”专业的毕业生有        名

21.  本小题分
将图中的阴影部分剪下来，拼成如图的长方形．

上述操作能验证的等式是        请选择正确的一个；
A.
B.
C.
若，，求的值；
应用公式计算：．

22.  本小题分
数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：
如图，在中，，，是的中点，求边上的中线的取值范围．
【阅读理解】小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：
如图，延长到，使，连接根据        可以判定≌，得出这样就能把线段、、集中在中利用三角形三边的关系，即可得出中线的取值范围是        ．
【方法感悟】当条件中出现“中点”、“中线”等条件时，可以考虑做“辅助线”一把中线延长一倍，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中，这种作辅助线的方法称为“中线加倍”法．
【问题解决】如图，在中，，是边的中点，，交于点，交于点，连接，求证：．
【问题拓展】如图，中，，，是的中线，，，且直接写出的长        ．
 

23.  本小题分
如图，在中，，，，动点从点出发沿线段以每秒个单位长的速度运动至点，过点作，交射线于点设点的运动时间为秒．
线段的长为        ．
连结，当是以为腰的等腰三角形时，求的值．
当直线把分成的两部分图形中有一个是轴对称图形时，直接写出的值．

24.  本小题分
我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式例如图可以得到请回答下列问题：
写出图中所表示的数学等式        ；
猜测        ．
利用中得到的结论，解决下面的问题：
已知，，求的值；
在的条件下，若、、分别是一个三角形的三边长，请判断该三角形的形状，并说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、是有理数，
，，，和之间的逐次加个是无理数，共有个，
故选：．
逐个数进行判断得出答案．
本题考查无理数的意义，掌握无限不循环的小数是无理数是正确判断的前提．
 

2.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
根据算术平方根的定义可知表示的算术平方根，即．
本题主要考查了算术平方根的意义，熟练掌握二次根式的性质是解答本题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
，
估计的值可能是点．
故选：．
根据估算无理数的大小的方法即可得出答案．
本题考查了估算无理数的大小，掌握估算无理数的大小的方法是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：≌，
，
故选：．
直接利用全等三角形的性质得出对应边相等进而得出答案．
此题主要考查了全等三角形的性质，正确得出对应边是解题关键．
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了等腰三角形的性质有关知识，根据等腰三角形“三线合一”的性质解答．
【解答】
解：中，，是中点，
故B正确，
平分故C正确，
故D正确，
无法得到，故A不正确．
故选A．  

6.【答案】 

【解析】解：根据角平分线的性质，角的平分线上的点到角的两边的距离相等，
三角形三条角平分线的交点到三角形三边的距离相等，
故选：．
根据角平分线的性质，角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
本题考查角平分线的性质，要充分理解并加以运用性质中的线段关系．
 

7.【答案】 

【解析】解：，，
．
故选：．
根据同底数幂的乘法法则、幂的乘方解决此题．
本题主要考查同底数幂的乘法、幂的乘方，熟练掌握同底数幂的乘法法则、幂的乘方是解决本题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：根据等腰三角形的三线合一的性质可知：图，图中的作法正确；
根据对称性可知，图中，线段和线段的交点在等腰三角形的对称轴上，所以线段是的高，
如图中，根据对称性可知：线段和线段的交点在在等腰三角形的对称轴上，所以线段是的高，
综上所述，四种作图方法都是正确的，
故选：．
关键点等腰三角形的三线合一的性质以及等腰三角形的对称性即可一一判断．
本题考查作图基本作图，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

9.【答案】 

【解析】解：，
，
．
故填．
根据单项式乘单项式，把系数和相同字母分别相乘，只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数，作为积的一个因式．同底数幂相乘，底数不变，指数相加，计算即可．
先确定符号，相应的关于整式乘除法的法则需熟练掌握且区分清楚，才不容易出错．
 

10.【答案】 

【解析】解：．
和分别是和的平方，并且和的符号相反，符合平方差公式结构特征，因此可利用平方差公式进行因式分解．
本题考查了平方差公式因式分解．能用平方差公式进行因式分解的式子的特点是：两个平方项，符号相反．
 

11.【答案】 

【解析】解：由折叠的性质知，，
点是的中点，
，
，
，
．
故答案为：．
利用折叠的性质求解．
本题利用了：折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；中点的性质，等边对等角，三角形内角和定理求解．
 

12.【答案】 

【解析】解：是的垂直平分线，
，
，
，
，
，
，
由勾股定理得：，
，
，
故答案为：．
根据线段垂直平分线的性质得到，根据三角形的外角性质得到，根据含角的直角三角形的性质求出，根据勾股定理求出，进而求出．
本题考查的是直角三角形的性质、勾股定理、线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质求出是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：，
，
解得．
故答案为：．
先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定的值．
本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要．
 

14.【答案】 

【解析】解：，，，

．
；
；
；

的面积．
，
故答案为：．
利用勾股定理依次计算出，，，，然后依据计算出前几个三角形的面积，然后依据规律解答求得的面积即可得到结论．
本题考查了勾股定理，能根据求出的结果得出规律是解此题的关键．
 

15.【答案】解：原式
；
原式
． 

【解析】先算乘方，开方，再算加减即可；
先算开方，去绝对值符号，再算加减即可．
此题主要考查了实数的运算，涉及到二次根式的性质以及立方根的性质、绝对值的性质，正确化简各数是解题关键．
 

16.【答案】解：原式，
，
原式


． 

【解析】先将各因式展开，然后合并同类项，最后代入数值进行计算．
本题考查了整式的混合运算化简求值，掌握整式的混合运算化简方法是关键．
 

17.【答案】解：由题意可得：海里，海里，，
故，
海里，
答：、两船离开港口一个半小时后的距离为海里． 

【解析】根据题意得出，根据勾股定理即可得到结论．
此题主要考查了勾股定理的应用，得出是解题关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：如图，点即为所求．
如图，点即为所求．

由网格可得，，
由勾股定理得，，
的面积为．
故答案为：．
利用网格，取格点，使即可；利用网格，取格点，使即可．
结合网格，利用勾股定理及三角形面积公式计算即可．
本题考查作图应用与设计作图、等腰三角形、勾股定理、三角形的面积，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

19.【答案】证明：，，
，
在和中，
，
≌
，
又，，
点在的平分线上． 

【解析】要证点在的平分线上，证出即可；证明≌，得出．
本题考查了全等三角形的判定与性质和角的平分线的判定；证明三角形全等是关键．
 

20.【答案】     

【解析】解：，
，
故答案为：，；
硬件专业的毕业生有：人，
补全的条形统计图如右图所示；
名，
即估计“总线”专业的毕业生有名，
故答案为：．
根据总线的人数和所占的百分比，可以求得的值，然后即可计算出的值；
根据中的结果和硬件所占的百分比，可以求得硬件专业的毕业生，从而可以将条形统计图补充完整；
根据统计图中的数据，可以计算出“总线”专业的毕业生的人数．
本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

21.【答案】 

【解析】解：根据题意，由图可得，
阴影部分的面积为：，
由图可得，拼成的长方形长为，宽为，面积为，
所以．
故选：．
，
，
；




．
根据题意，由图可得，阴影部分的面积为大正方形面积减去小正方形：，由图可得，拼成的长方形长为，宽为，面积为，因为两部分面积相等，即可得出答案；
根据平方差公式原式可化为，，根据已知条件即可得出答案；
根据平方差公式原式可化为则约分即可得出答案．
本题主要考查了平方差公式的几何背景及平方差公式的应用，熟练掌握平方差公式的几何背景平方差公式的应用进行求解是解决本题的关键．
 

22.【答案】     

【解析】解：如图，延长到点，使，

是的中点，
，
，
≌，
，
中，，
，
；
故答案为：，；
证明：如图，延长至，使，连接，，
，
是的垂直平分线，
，

由同理得：≌，
，，
，
，
，
，
；
解：如图，延长，交于点，

，
，
，
是中线，
，
，
≌，
，，
，
，，
是的垂直平分线，
．
故答案为：．
延长到点，使，根据定理证明≌，可得结论；
如图，延长至，使，连接，，由同理得：≌，则，，再利用勾股定理得出答案；
延长，交于，证明≌，则，，所以，根据线段垂直平分线的性质可得的长．
本题是三角形的综合题和倍长中线问题，考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系等知识，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键，并运用类比的方法解决问题．
 

23.【答案】 

【解析】解：，，，
．
故答案为：；

当时，，
．
当时，，此时，
．
综上所述，满足条件的的值为或；

由知，，，或，
当时，四边形是轴对称图形，
则，

，
当时，设和相交于，
当时，四边形是轴对称图形，

则，
，
综上所述，当直线把分成的两部分图形中有一个是轴对称图形时，的值为或．
利用勾股定理求出即可；
分两种情形：，，分别构建方程求解；
分两种情况讨论计算，由轴对称图形的定义，用相等的线段建立方程求解即可．
本题属于三角形综合题，考查了直角三角形的性质，锐角三角形的性质，轴对称图形，勾股定理相似三角形的判定与性质，熟练掌握直角三角形和轴对称图形，证明三角形相似是解题的关键．
 

24.【答案】   

【解析】解：，
故答案为：；
，
故答案为：；
，
，
；
，，
，即，
，
，
，
，，，
，，，
，
该三角形是等边三角形．
直接求得正方形的面积，然后再根据正方形的面积各个矩形的面积之和求解即可；
根据中等式，猜想得出；
将，代入中得到的关系式，然后进行计算；
根据得到等式，再对等式进行转化，进而进行因式分解，最后根据非负数的性质得到三边的关系．
本题考查的是多项式乘多项式、完全平方式的应用和因式分解，尤其是中对等式进行因式分解需要对其进行转化，这是盲点和易错点，应加以注意．