2022-2023学年广东省广州市荔湾区九年级（上）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2022-2023学年广东省广州市荔湾区九年级（上）期末数学试卷（含详细答案解析），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.两个不透明口袋中各有三个相同的小球，将每个口袋的小球分别标号为1，2，3.从这两个口袋中分别摸出一个小球，则下列事件为随机事件的是( )
A. 两个小球的标号之和等于1B. 两个小球的标号之和大于1
C. 两个小球的标号之和等于6D. 两个小球的标号之和大于6
2.在以下绿色包装、可回收、节水、低碳四个环保图形中，是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
3.如图，在两个同心圆中，四条直径把大圆分成八等份，若往圆面投掷飞镖，则飞镖落在黑色区域的概率是( )
A. 15B. 310C. 13D. 12
4.如图，在⊙O中，弦AB=2 2，点C是圆上一点且∠ACB=45∘，则⊙O的直径为( )
A. 2B. 3 2C. 3 22D. 4
5.如图，在△ABC中，∠BAC=55∘，∠C=20∘，将△ABC绕点A逆时针旋转α(0<α<180∘)得到△ADE，若DE//AB，则α的值为( )
A. 65∘B. 75∘
C. 85∘D. 130∘
6.如图是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，使y≥−1成立的x的取值范围是( )
A. x≥−1B. x≤−1
C. −1≤x≤3D. x≤−1或x≥3
7.如图，正方形ABCD的顶点A、B在⊙O上，顶点C、D在⊙O内，将正方形ABCD绕点B顺时针旋转α，使点C落在⊙O上．若正方形ABCD的边长和⊙O的半径相等，则旋转角度α等于( )
A. 36∘B. 30∘
C. 25∘D. 22.5∘
8.已知k1<0A. B.
C. D.
9.二次函数y=(k+1)x2−2x+1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是( )
A. k≥0B. k≤0
C. k≤0且k≠−1D. k<0且k≠−1
10.如图，在圆O的内接四边形ABCD中，AB=3，AD=5，∠BAD=60∘，点C为弧BD的中点，则AC的长是( )
A. 4B. 2 3C. 4 33D. 8 33
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.在平面直角坐标系中，点P(2,3)与点Q(−2,m+1)关于原点对称，则m=__________.
12.如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD=6，EB=1，则⊙O的半径为__________.
13.某厂今年一月份新产品的研发资金为a元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年三月份新产品的研发资金y(元)关于x的函数关系式为y=__________.
14.随机抽取了某地区1000名九年级男生的身高数据，统计结果如下：
根据以上统计结果，随机抽取该地区一名九年级男生，估计他的身高不低于170cm的概率是__________.
15.如图，正比例函数y=kx(k>0)与反比例函数y=1x的图象相交于A，C两点，过A作x轴的垂线交x轴于B，连接BC，则△ABC的面积为__________.
16.将二次函数y=−x2+2x+3的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折后，所得新函数的图象如图所示．当直线y=x+b与新函数的图象恰有3个公共点时，b的值为__________.
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标是A(2,4)，B(1,0)，C(3,1).试画出△ABC绕点O逆时针旋转90∘的△A1B1C1，并写出A1、C1坐标．
18.(本小题8分)
如图，AD=CB，求证：AB=CD.
19.(本小题8分)
如图，一次函数y=ax+b与反比例函数y=kx的图象相交于A，B两点，且与坐标轴的交点为(−6,0)，(0,6)，点B的横坐标为−4.
(1)试确定反比例函数的解析式；
(2)直接写出不等式ax+b>kx的解集．
20.(本小题8分)
已知函数y=(m+3)xm2+4m−3+5是关于x的二次函数．
(1)求m的值；
(2)函数图象的两点A(1,y1)，B(5,y2)，若满足y1>y2，则此时m的值是多少？
21.(本小题8分)
某校计划组建航模、摄影、乐器、舞蹈四个课外活动小组，要求每名同学必须参加，并且只能选择其中一个小组．为了解学生对四个课外活动小组的选择情况，学校从全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并把此次调查结果整理并绘制成如图两幅不完整的统计图．
根据图中提供的信息，解答下列问题：
(1)本次被调查的学生有____人；
(2)请补全条形统计图，并求出扇形统计图中“航模”所对应的圆心角的度数；
(3)通过了解，喜爱“航模”的学生中有2名男生和2名女生曾在市航模比赛中获奖，现从这4个人中随机选取2人参加省青少年航模比赛，请用列表或画树状图的方法求出所选的2人恰好是1名男生和1名女生的概率．
22.(本小题8分)
新年将至，家家户户准备大扫除迎接新年，清洁用品需求量增加，商店新进一批桶装消毒液，每桶进价50元，每天销售量y(桶)与销售单价x(元)之间满足一次函数关系，其图象如图所示．
(1)试求每天利润w与x之间的函数表达式及x的取值范围；
(2)每桶消毒液的销售价定为多少元时，商店每天获得的利润最大，最大利润是多少元？
23.(本小题8分)
如图，已知AB是⊙O的直径，CD与⊙O相切于点D，且AD//OC.
(1)求证：BC是⊙O的切线；
(2)延长CO交⊙O于点E.若∠CEB=30∘，⊙O的半径为2，求BD的长．(结果保留π)
24.(本小题8分)
如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(−1,0)、B(3,0)，与y轴交于点C，顶点为D.以AB为直径在x轴上方画半圆交y轴于点E，圆心为I，P是半圆上一动点，连接DP，点Q为PD的中点．
(1)试用含a的代数式表示c；
(2)若IQ⊥PD恒成立，求出此时该抛物线解析式；
(3)在(2)的条件下，当点P沿半圆从点B运动至点A时，点Q的运动轨迹是什么，试求出它的路径长．
25.(本小题8分)
如图，等腰Rt△ABC中，∠BAC=90∘，D是平面上任意一点，且BD⊥CD，过点A作DB、DC的垂线，垂足为E、F.
(1)求证：BE=CF；
(2)当点D在平面上任意运动时，试探究线段DA、DB、DC之间的数量关系，并说明理由；
(3)点D在平面上任意运动，当△ABD面积取最大值时，此时，若CD=1，请直接写出AD的长．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】
根据事件的概念：事件分为确定事件和不确定事件(随机事件)，确定事件又分为必然事件和不可能事件，其中，①必然事件发生的概率为1，即P(必然事件)=1；②不可能事件发生的概率为0，即P(不可能事件)=0；③如果A为不确定事件(随机事件)，那么0【解答】
解：A、两个小球的标号之和等于1是不可能事件，故A不符合题意；
B、两个小球的标号之和大于1是必然事件，故B不符合题意；
C、两个小球的标号之和等于6是随机事件，故C符合题意；
D、两个小球的标号之和大于6是不可能事件，故D不符合题意；
故选：C.
2.【答案】A
【解析】【分析】把一个图形绕某一点旋转180∘，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，根据中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A.是中心对称图形，故本选项符合题意；
B.不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C.不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D.不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：A.
3.【答案】D
【解析】【分析】两个同心圆被均分成八等份，飞镖落在每一个区域的机会是均等的，由此计算出黑色区域的面积，利用几何概率的计算方法解答即可．
【解答】解：因为两个同心圆等分成八等份，飞镖落在每一个区域的机会是均等的，其中黑色区域的面积占了其中的四等份，
所以P(飞镖落在黑色区域)=48=12.
故选：D.
4.【答案】D
【解析】解：∵∠ACB=45∘，
∴∠AOB=2∠ACB=2×45∘=90∘，
在Rt△AOB中，
∵OA=OB，AB=2 2，
∴由勾股定理得：OA=2.
则⊙O的直径为2OA=2×2=4.
故选：D.
根据圆周角定理可得∠AOB=90∘，在等腰直角三角形AOB中，应用勾股定理进行计算即可得出OA的长度，从而得出答案．
本题主要考查了圆周角定理，等腰直角三角形，熟练掌握圆周角定理进行求解是解决本题的关键．
5.【答案】B
【解析】【分析】根据三角形内角和定理求出∠ABC，根据旋转得出∠ADE=∠ABC=105∘，根据平行线的性质求出∠DAB即可．
【解答】
解：∵在△ABC中，∠BAC=55∘，∠C=20∘，
∴∠ABC=180∘−∠BAC−∠C=180∘−55∘−20∘=105∘，
∵将△ABC绕点A逆时针旋转α(0<α<180∘)得到△ADE，
∴∠ADE=∠ABC=105∘，
∵DE//AB，
∴∠ADE+∠DAB=180∘，
∴∠DAB=180∘−∠ADE=75∘
∴旋转角α的度数是75∘，
故选：B.
6.【答案】C
【解析】【分析】
观察函数图象在y=−1上和上方部分的x的取值范围便可．
【解答】
解：由函数图象可知，当y≥−1时，二次函数y=ax2+bx+c不在y=−1下方部分的自变量x满足：−1≤x≤3，
故选：C.
7.【答案】B
【解析】【分析】连接AO，BO，OF，证△AOB、△FBO是等边三角形，继而知∠FBA=2∠OBA=120∘，从而得出答案．
【解答】解：连接AO，BO，OF，
∵AB=AO=BO，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠AOB=∠OAB=60∘，
同理：△FBO是等边三角形，∠FBA=2∠OBA=120∘，
∴∠α=120∘−90∘=30∘，
故选：B.
8.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象与系数的关系，要掌握它们的性质才能灵活解题．根据反比例函数的图象性质及一次函数的图象与系数的关系可作出判断．
【解答】
解：∵k1<0∴直线过一、三、四象限；双曲线位于二、四象限．
故选C.
9.【答案】C
【解析】【分析】根据二次函数的定义可得k+1≠0，再根据当二次函数图象与x轴有交点时，b2−4ac≥0，即可求解．
【解答】解：∵二次函数y=(k+1)x2−2x+1的图象与x轴有交点，
∴4−4(k+1)≥0k+1≠0，解得：k≤0且k≠−1；
故答案为：C.
10.【答案】D
【解析】【分析】将△ACD绕点C逆时针旋转120∘得△CBE，根据旋转的性质得出∠E=∠CAD=30∘，BE=AD=5，AC=CE，推出A、B、E三点共线，利用勾股定理求出即可．
【解答】
解：∵A、B、C、D四点共圆，∠BAD=60∘，
∴∠BCD=180∘−60∘=120∘，
∵∠BAD=60∘，点C为弧BD的中点，
∴∠CAD=∠CAB=30∘，
如图1，
将△ACD绕点C逆时针旋转120∘得△CBE，
则∠E=∠CAD=30∘，BE=AD=5，AC=CE，
∵∠ABC+∠ADC=180∘，
∠EBC=∠ADC，
∴∠ABC+∠EBC=180∘，
∴A、B、E三点共线，
过C作CM⊥AE于M，
∵AC=CE，
∴AM=EM=12×(5+3)=4，
在Rt△AMC中，
设MC=x，则AC=2x，AM= AC2−CM2= 3x，
∴ 3x=4，解得x=4 33，
AC=8 33；
故选：D.
11.【答案】−4
【解析】【分析】
本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特征．
平面直角坐标系中任意一点P(x,y)，关于原点的对称点是(−x,−y)，即求关于原点的对称点时，横、纵坐标都变成原数的相反数，据此解答．
【解答】
解：根据两个点关于原点对称，则横、纵坐标均互为相反数，
得m+1=−3，
∴m=−4.
故答案为−4.
12.【答案】5
【解析】【分析】
本题考查了垂径定理和勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键．
连接OC，由垂径定理知，点E是CD的中点，CE=12CD，在Rt△OCE中，利用勾股定理即可得到关于半径的方程，求得圆半径即可．
【解答】解：连接OC，
∵AB为⊙O的直径，AB⊥CD，
∴CE=DE=12CD=12×6=3，
设⊙O的半径为x，
则OC=x，OE=OB−BE=x−1，
在Rt△OCE中，OC2=OE2+CE2，
∴x2=32+(x−1)2，解得：x=5，
∴⊙O的半径为5，
故答案为：5.
13.【答案】a(1+x)2
【解析】【分析】由一月份新产品的研发资金为a元，根据题意可以得到二月份研发资金为a(1+x)元，而三月份在二月份的基础上又增长了x，那么三月份的研发资金也可以用x表示出来，由此即可确定函数关系式．
【解答】解：∵一月份新产品的研发资金为a元，
二月份起，每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，
∴二月份研发资金为a(1+x)元，
∴三月份的研发资金为y=a(1+x)(1+x)=a(1+x)2元．
故答案为：a(1+x)2.
14.【答案】0.68
【解析】【分析】先计算出样本中身高不低于170cm的频率，然后利用频率估计概率求解．
本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
【解答】样本中身高不低于170cm的频率为550+1301000=0.68，
所以估计该地区九年级男生的身高不低于170cm的概率是0.68.
故答案为：0.68.
15.【答案】1
【解析】【分析】
过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，点A，C关于原点对称，则△ABC的面积为△AOB面积的2倍，即S△ABC=|k|.
【解答】
解：因为过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，即S=12|k|，
依题意有S△ABC=2S△AOB=2×12×|k|=1.
故答案为：1.
16.【答案】−214或−3
【解析】【分析】分两种情形：如图，当直线y=x+b过点B时，直线y=x+b与该新图象恰好有三个公共点，当直线y=x+b与抛物线y=(x−1)2−4(−1≤x≤3)只有1个交点时，直线y=x+b与该新图象恰好有三个公共点，分别求解即可．
【解答】
解：二次函数解析式为y=−x2+2x+3=−(x−1)2+4，
∴抛物线y=−x2+2x+3的顶点坐标为(1,4)，
当y=0时，x2−2x−3=0，
解得：x1=−1，x2=3，
则抛物线y=−x2+2x+3与x轴的交点为A(−1,0)，B(3,0)，
把抛物线y=−x2+2x+3图象x轴上方的部分沿x轴翻折到x轴下方，
则翻折部分的抛物线解析式为y=(x−1)2−4(−1≤x≤3)，顶点坐标M(1,−4)，
如图，当直线y=x+b过点B时，直线y=x+b与该新图象恰好有三个公共点，
∴3+b=0，
解得：b=−3；
当直线y=x+b与抛物线y=(x−1)2−4(−1≤x≤3)只有1个交点时，直线y=x+b与该新图象恰好有三个公共点，
即(x−1)2−4=x+b有相等的实数解，
整理得：x2−3x−b−3=0，Δ=32−4(−b−3)=0，
解得：b=−214，
所以b的值为：−3或−214，
故答案为：−214或−3.
17.【答案】解：如图△A1B1C1即为所作：
由图可知：A1(−4,2)、C1(−1,3).

【解析】【分析】
先画出点A、B、C绕点O逆时针旋转90∘的对应点，再依次连接即可，最后根据图形写出A1、C1坐标即可．本题主要考查了作图——旋转变换，熟练掌握旋转的作图方法和步骤是解题的关键．
18.【答案】证明：∵同弧所对对圆周角相等，
∴∠A=∠C，∠D=∠B.
在△ADE和△CBE中，
∠A=∠CAD=CB∠D=∠B，
∴△ADE≌△CBE(ASA).
∴AE=CE，DE=BE，
∴AE+BE=CE+DE，即AB=CD.

【解析】【分析】
同弧所对的圆周角相等，可得出△ADE和△CBE中两组对应角相等，已知两组对应角的夹边相等，可证得△ADE≌△CBE，得AE=CE，DE=BE，从而证得AB=CD.
本题主要考查圆周角定理，全等三角形的判定和性质等知识的应用能力.
19.【答案】解：(1)把(−6,0)，(0,6)代入y=ax+b得：0=−6a+b6=b，
解得：a=1b=6，
∴一次函数的解析式为y=x+6，
把x=−4代入得：y=−4+6=2，
∴B(−4,2)，
把B(−4,2)代入y=kx得：2=k−4，
解得：k=−8，
∴反比例函数的解析式为y=−8x.
(2)联立一次函数解析式和反比例函数解析式为：y=x+6y=−8x，
解得：x1=−4y1=2，x2=−2y2=4，
∴A(−2,4)，B(−4,2)，
由图可知：当−40时，ax+b>kx.

【解析】【分析】
(1)先用待定系数法求出一次函数的解析式，再把x=−4代入求出点B的坐标，即可求出反比例函数解析式；
(2)先求出点A的坐标，再根据图象，即可进行解答．
本题主要考查了反比例函数和一次函数综合，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求函数表达式的方法和步骤，会根据图象求不等式的解集．
20.【答案】解：(1)由题意得，m2+4m−3=2，m+3≠0，
解得，m=1或−5，
∴m的值为1或−5.
(2)二次函数y=(m+3)xm2+4m−3+5图象的对称轴为y轴，
∵图象上的两点A(1,y1)，B(5,y2)，满足y1>y2，
∴x>0时，y随x的增大而减小，
∴m+3<0，
∴m<−3，
∴此时m的值是−5.

【解析】【分析】
(1)根据二次函数的定义列式计算，得到答案；
(2)根据二次函数的性质即可判断m<−3，从而得出此时m的值是−5.
本题考查了二次函数的定义，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
21.【答案】解：(1)60.
(2)航模的人数为60−9−15−12=24，
补全条形统计图如图：
“航模”所对应的圆心角的度数是360∘×2460=144∘.
(3)设两名男生分别为男1、男2，两名女生分别为女1、女2，列表如下：
由表格可以看出，所有可能出现的结果有12种，
其中恰好是1名男生和1名女生的结果有8种，
则所选的2人恰好是1名男生和1名女生的概率是812=23.

【解析】【分析】
本题考查扇形统计图，条形统计图以及列举法求概率，理解题意，看懂扇形统计图，条形统计图是解答本题的关键.
(1)根据喜爱摄影的人数除以其所占的百分比即可解答本题；
(2)根据总人数减去摄影，乐器，舞蹈，航模的人数即可解答；
(3)用列表法即可解答.
【解答】
(1)9÷15%=60(人)
(2)(3)见答案.
22.【答案】解：(1)设销量y与销售单价x之间的函数关系式为：y=kx+b，
将点(60,100)、(70,80)代入一次函数表达式得：100=60k+b80=70k+b，
解得：k=−2b=220，
∴y与x的函数表达式为：y=−2x+220(x≥50)；
∴w=(x−50)(−2x+220)=−2(x−80)2+1800，
∴每天利润w与x之间的函数表达式为w=−2(x−80)2+1800(x≥50)；
(2)由题意得：
w=−2(x−80)2+1800，
∵−2<0，函数有最大值，
∴当x=80时，w有最大值，此时最大值是1800，
故销售单价定为80元时，该商店每天获得的利润最大，最大利润为1800元．

【解析】【分析】
(1)设y与x之间的函数表达式为y=kx+b，将点(60,100)、(70,80)代入即可求出y与x的函数表达式，进而可求出w与x的函数解析式.
(2)根据二次函数的性质即可求解．
本题主要考查了二次函数的应用以及用待定系数法求一次函数解析式等知识，正确利用销量×每件的利润=w得出函数关系式是解题关键．
23.【答案】(1)证明：连接OD，
∵CD与⊙O相切于点D，
∴∠ODC=90∘，
∵OD=OA，
∴∠OAD=∠ODA，
∵AD//OC，
∴∠COB=∠OAD，∠COD=∠ODA，
∴∠COB=∠COD，
在△COD和△COB中，
OD=OB∠COD=∠COBOC=OC，
∴△COD≌△COB(SAS)，
∴∠ODC=∠OBC=90∘，
∴BC是⊙O的切线；
(2)解：∵∠CEB=30∘，
∴∠COB=60∘，
∵∠COB=∠COD，
∴∠BOD=120∘，
∴BD的长=120π⋅2180=43π.

【解析】【分析】
(1)根据切线的性质和平行线的性质证明△COD≌△COB，得到∠ODC=∠OBC=90∘，即可证得结论；
(2)根据圆周角定理得到∠BOD=120∘，然后根据弧长公式求得即可．
本题考查了切线的判定和性质，平行线的性质，圆周角定理以及三角形全等的判定和性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
24.【答案】解：(1)∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(−1,0)、B(3,0)，
∴该函数的解析式为y=a(x+1)(x−3)=ax2−2ax−3a，
∴c=−3a.
(2)连接DI，
∵P是半圆上一点，点Q为PD的中点，且IQ⊥PD，
∴点D在⊙I上，
∴DI=12AB=12×[3−(−1)]=2，
∵该抛物线的对称轴为直线x=−1+32=1，
∴D(1,−2)，
把D(1,−2)代入y=ax2−2ax−3a得：−2=a−2a−3a，
解得：a=12，
∴该抛物线解析式为：y=12x2−x−32；
(3)∵IQ⊥PD，
∴∠IQD=90∘，
∴点Q在以DI为直径的圆上运动，
∵A(−1,0)、B(3,0)，D(1,−2)，
∴当点P与点B重合时，Q1(1+32,−22)，即Q1(2,−1)，
当点P与点A重合时，Q2(1−12,−22)，即Q2(0,−1)，
∴Q1Q2 //x轴，Q1Q2=2，
∴点Q在以DI中点为圆心的半圆上运动，点Q的路径长为：12×2π=π.
答：它的路径长为π.

【解析】【分析】
(1)根据点A(−1,0)、B(3,0)可得该函数的解析式为y=a(x+1)(x−3)，展开即可得出答案；
(2)根据点Q为PD的中点，且IQ⊥PD，可得点D在⊙I上，进而得出点D的坐标，即可求解；
(3)根据题意得∠IQD=90∘，则点Q在以DI为直径的圆上运动，求出点P与点A和点B重合时点Q的坐标，进而得出Q1Q2 //x轴，Q1Q2=2，则点Q在以DI中点为圆心的半圆上运动，再根据圆的周长公式求解即可．
本题主要考查了二次函数与圆的综合，解题的关键是掌握垂径定理，用待定系数法求解二次函数表达式的方法，点的运动轨迹，点与圆的位置关系．
25.【答案】(1)证明：∵△ABC为等腰直角三角形，
∴AB=AC，∠BAC=90∘，
∵BD⊥CD，AE⊥DE，AF⊥CD，
∴∠EAF=90∘，∠AFC=∠AEB=90∘，
∵∠BAC=∠BAF+∠CAF=90∘，∠EAF=∠BAF+∠BAE=90∘，
∴∠CAF=∠BAE，
在△ACF和△ABE中，
∠AFC=∠AEB=90∘∠CAF=∠BAEAC=AB，
∴△ACF≌△ABE(AAS)，
∴BE=CF.
(2)解：①当点D在BC上方时，
由(1)可得△ABE≌△ACF，
∴AE=AF，
∵∠BAC=90∘，BD⊥CD，AE⊥DE，AF⊥CD，
∴四边形AEDF为正方形，
∴DE=DF，
∴DA2=DE2+AE2=2DE2，则DA= 2DE，
∵DB+DC=(DE−BE)+(DF+CF)=2DE，
∴DB+DC= 2DA；
②当点D在BC下方，点A左侧时，过点A作AM⊥AD交DC于点M，
∵∠BAC=90∘，BD⊥CD，
∴∠BAC−∠BAM=∠DAM−∠BAM，即∠BAD=∠CAM，
∵∠BAC=90∘，BD⊥CD，
∴B、D、A、C四点共圆，则∠ABD=∠ACD，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=45∘，
∴∠ABC=∠ADC=45∘，AD=AM，
∵AM⊥AD，
∴DM= 2DA，
在△ABD和△ACM中，
∠BAD=∠CAMAB=AC∠ABD=∠ACD，
∴△ABD≌△ACM(ASA)，
∴DB=CM，
∴DM=DC−CM=DC−DB，
∴DC−DB= 2DA；
③当点D在BC下方时，点A右侧时，
同理可得：DM= 2DA，DM=BD−DC，
∴DB−DC= 2DA，
综上：DB+DC= 2DA或|DB−DC|= 2DA.
(3)解：由(2)可得B、D、A、C四点共圆，
过点D作DN⊥AB于点N，
∵S△ABD=12AB⋅DN，AB为定值，
∴当DN最大时，S△ABD取最大值，
当DN经过点O时，DN取得最大值，
∴DN垂直平分AB，
∴DA=DB，
∵当点D在BC上方时，DB+DC= 2DA，
∴DA+1= 2DA，整理得：DA=1 2−1= 2+1.

【解析】【分析】(1)通过证明△ABE≌△ACF，即可求证；
(2)根据题意，进行分类讨论，当点D在BC上方时，通过证明四边形AEDF为正方形，得出DA= 2DE，DB+DC=2DE，即可得出结论；当点D在BC下方时，过点A作AM⊥AD于点A，通过证明△ABD≌△ACM(ASA)得出DM=|DC−DB|，再证明∠ABC=∠ADC=45∘，得出DM= 2DA，即可得出结论；
(3)过点D作DN⊥AB于点N，根据S△ABD=12AB⋅DN，AB为定值，得出当DN最大时，S△ABD取最大值，最后当DN经过点O时，DN取得最大值，即可求解．
身高x/cm
x<160
160≤x<170
170≤x<180
x≥180
人数
60
260
550
130