2022-2023学年广东省韶关市仁化县九年级（上）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2022-2023学年广东省韶关市仁化县九年级（上）期末数学试卷（含详细答案解析），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列各图中，不是中心对称图形的是( )
A. ①③B. ②④C. ②③D. ①④
2.一元二次方程x2−6x−5=0配方可变形为( )
A. (x−3)2=14B. (x−3)2=4C. (x+3)2=14D. (x+3)2=4
3.方程2x2−5x+3=0的根的情况是( )
A. 有两个相等的实数根B. 没有实数根
C. 有两个不相等的实数根D. 只有一个实数根
4.小兰画了一个函数y=x2+ax+b的图象如图，则关于x的方程x2+ax+b=0的解是( )
A. 无解
B. x=1
C. x=−4
D. x=−1或x=4
5.在平面直角坐标系xOy中，点A(−1,2)关于原点对称的点的坐标是( )
A. (1,−2)B. (−1,2)C. (−2,1)D. (−1,−2)
6.如图所示，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BCD=130∘，则∠BOD的大小是( )
A. 50∘
B. 100∘
C. 110∘
D. 120∘
7.如图，AB是O的直径，∠D=32∘，则∠BOC等于( )
A. 32∘
B. 58∘
C. 60∘
D. 64∘
8.下列事件中，是随机事件的是( )
A. 明天下雨B. 15个人中至少有两个人出生在同月
C. 三角形内角和为180∘D. 太阳从西方升起
9.不透明的袋中装有只有颜色不同的10个小球，其中6个红色，4个白色，从袋中任意摸出一个球是红球的概率是( )
A. 23B. 35C. 12D. 25
10.如图，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=1，经过点(3,0).下列结论：
①abc>0；
②b2−4ac>0；
③3a+c=0；
④抛物线经过点(−3,y1)和(4,y2)，则y1>y2；
⑤am2−b≤a−bm(m为任意实数).
其中，正确结论的个数是( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.若关于x的方程x2−kx−12=0的一个根为2，则k的值为______ .
12.如果点M(−2,y1)，N(−1,y2)在二次函数y=−x2+2x的图象上，则y1______y2.(填“>”，“<”或“=”).
13.已知圆锥的底面半径是3cm，母线长为6cm，侧面积为______cm2.(结果保留π)
14.如图，小明的健康绿码示意图，用黑白打印机打印于边长为10cm的正方形区域内，为了估计图中黑色部分的总面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，据此可以估计黑色部分的总面积约为______ cm2.
15.如图，正△ABO的边长为4，O为坐标原点，A在x轴上，△ABO沿x轴正方向作无滑动的翻滚，经一次翻滚后得到△A1B1O，翻滚2022次后AB中点M坐标为______.
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
16.已知抛物线顶点坐标为(3,−1)，且经过点(2,3)，求该抛物线的解析式．
四、解答题：本题共7小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
解方程：x2−8x−9=0.
18.(本小题8分)
不透明的口袋里装有白、黄、蓝三种颜色的乒乓球(除颜色外其余都相同)，其中白球有2个，黄球有1个，现从中任意摸出一个是白球的概率为12.
(1)试求袋中蓝球的个数；
(2)随机摸两球，请用画树状图或列表格法，求摸到的都是白球的概率．
19.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A(2,4)，B(1,1)，C(4,3).
(1)请画出△ABC关于原点对称的△A1B1C1；
(2)请画出△ABC绕点B逆时针旋转90∘后的△A2B2C2，求点A到A2所经过的路径长．
20.(本小题8分)
如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于E，连接AC，OC，BC.
(1)求证：∠1=∠2；
(2)若BE=2，CD=6，求⊙O的半径长．
21.(本小题8分)
某校计划利用一片空地建一个学生自行车车棚，其中一面靠墙，墙的最大可用长度为12米.另三边用总长为26米的木板材料围成.车棚形状如图中的矩形ABCD.为了方便学生出行，学校决定在与墙平行的一面开一个2米宽的门.
(1)求这个车棚的最大面积是多少平方米？此时AB与AD的长分别为多少米？
(2)如图2，在(1)的结论下，为了方便学生取车，施工单位决定在车棚内修建几条等宽的小路，使得停放自行车的面积为70平方米，那么小路的宽度是多少米？
22.(本小题8分)
如图，点B、C、D都在⊙O上，过点C作AC//BD交OB延长线于点A，连接CD，且∠CDB=∠OBD=30∘，BD=6 3cm.
(1)求证：AC是⊙O的切线．
(2)求⊙O的半径长．
(3)求由弦CD、BD与弧BC所围成的阴影部分的面积(结果保留π).
23.(本小题8分)
如图，已知抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于A(−1,0)，B(5,0)两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C.
(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线的对称轴上存在一点P，使得PA+PC的值最小，求此时点P的坐标；
(3)点D是第一象限内抛物线上的一个动点(不与点C、B重合)，过点D作DF⊥x轴于点F，交直线BC于点E，连接BD，直线BC把△BDF的面积分成两部分，若S△BDE：S△BEF=3：2，请求出点D的坐标.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：第一个图形不是中心对称图形；
第二个图形是中心对称图形；
第三个图形是中心对称图形；
第四个图形不是中心对称图形；
故选：D.
根据把一个图形绕某一点旋转180∘，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心进行分析即可．
此题主要考查了中心对称图形，关键是掌握中心对称图形定义．
2.【答案】A
【解析】解：x2−6x−5=0，
x2−6x=5，
x2−6x+9=14，
所以(x−3)2=14.
故选：A.
先把常数项移到方程右侧，再把方程两边加上9，然后把方程左边写成完全平方的形式即可．
本题考查了解一元二次方程-配方法：熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：∵a=2，b=−5，c=3，
∴Δ=(−5)2−4×2×3=1>0，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选：C.
计算出判别式的值即可作出判断．
本题主要考查根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2−4ac有如下关系：
①当Δ>0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当Δ=0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当Δ<0时，方程无实数根．
4.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了抛物线与x轴的交点．求二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)与x轴的交点坐标，令y=0，即ax2+bx+c=0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．
关于x的方程x2+ax+b=0的解是抛物线y=x2+ax+b与x轴交点的横坐标．
【解答】
解：∵函数y=x2+ax+b的图象与x轴交点坐标分别是(−1,0)，(4,0)，
∴关于x的方程x2+ax+b=0的解是x=−1或x=4.
故选：D.
5.【答案】A
【解析】解：∵点A(−1,2)，
∴A点关于原点对称的点为(1,−2)，
故选：A.
两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反．由此可求点A关于原点对称的点的坐标．
本题考查关于原点对称的点的坐标，熟练掌握关于原点对称的点的坐标特点是解题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠A+∠BCD=180∘，
∵∠BCD=130∘，
∴∠A=50∘，
∴∠BOD=2∠A=100∘，
故选：B.
根据圆内接四边形的性质得出∠A+∠BCD=180∘，求出∠A=50∘，根据圆周角定理得出∠BOD=2∠A，再求出答案即可．
本题考查了圆周角定理和圆内接四边形的性质，能熟记圆内接四边形的对角互补是解此题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：∵∠D和∠BOC都对BC，
∴∠BOC=2∠D=2×32∘=64∘.
故选：D.
直接利用圆周角定理求解．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
8.【答案】A
【解析】解：A、明天下雨，是随机事件，符合题意；
B、15个人中至少有两个人出生在同月，是必然事件，不符合题意；
C、三角形内角和为180∘，是必然事件，不符合题意；
D、太阳从西方升起，是不可能事件，不符合题意．
故选：A.
根据事件发生的可能性大小判断即可．
本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
9.【答案】B
【解析】解：摸出红球的概率：P=610=35，
故选：B.
从袋中任意摸出一个球的等可能情况数为10，摸出红球的等可能情况数为6，按照概率公式计算即可．
本题考查了简单的概率计算；掌握简单概率的计算方法是解题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：∵二次函数的图象开口向上，
∴a<0，
∵二次函数的图象交y轴的负半轴于一点，
∴c<0，
∵对称轴是直线x=1，
∴−b2a=1，
∴b=−2a>0，
∴abc<0，故①错误；
∵图象与x轴交点的交点有两个，
∴方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，
∴Δ=b2−4ac>0，故②正确；
∵当x=3时，y=9a+3b+c=0，
∵b=−2a，
∴3a+c=0，故③正确；
∵抛物线开口向下，对称轴为x=1，(−3,y1)和(4,y2)在图象上，
∴y1∵当x=1时，y有最大值，
∴am2+bm+c≤a+b+c(m为任意实数)，
∴am2−b≤a−bm，故⑤正确．
故结论正确的有3个．
故选：C.
根据开口方向确定a的符号，根据抛物线与y轴的交点确定c的符号，根据对称轴确定b的符号，判断①；利用图象与x轴交点的个数判断②；利用图象得出与x轴的另一交点，进而得出a+b+c=0，即可判断③；根据函数增减性，判断④；根据函数的最大值判断⑤．
本题考查的是二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的性质、灵活运用数形结合思想是解题的关键．重点把握抛物线的对称性．
11.【答案】−4
【解析】解：把x=2代入x2−kx−12=0得4−2k−12=0，
解得k=−4.
故答案为：−4.
根据一元二次方程的定义，把x=2代入方程得到关于k的一次方程，然后解一次方程即可．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
12.【答案】<
【解析】解：∵y=−x2+2x，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x=−2−2=1，
∴x<1时，y随x增大而增大，
∵−2<−1<1，
∴y1故答案为：<.
由二次函数解析式可得抛物线开口方向及对称轴，进而求解．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与不等式的关系．
13.【答案】18π
【解析】解：底面圆的半径为3cm，则底面周长=2π×3=6πcm，
侧面面积=12×6π×6=18π(cm2).
故答案为：18π.
根据圆锥的侧面积公式计算即可．
本题考查了圆锥计算，正确记忆圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2是解题关键．
14.【答案】60
【解析】解：∵经过大量重复试，点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，
∴P=0.6，
∴黑色部分的总面积=10×10×0.6=60(cm2).
故答案为：60.
根据大量重复实验后，事件发生的频率会稳定在一个常数附近，这个常数等于概率，可得：点落入黑色部分的概率为0.6，即可求出黑色部分的总面积．
本题主要考查了用频率估算概率，解题的关键是掌握大量重复实验后，事件发生的频率会稳定在一个常数附近，这个常数等于概率．
15.【答案】(8085, 3)
【解析】解：如图所示，把△ABO经3次翻滚后，点B落到点B3处，点M经过点N、点H落到点M′处，点A落到点K处，作B3E⊥x轴于点E，
则∠B3KE=60∘，B3K=4，
∴KE=12B3K=2，B3E= 32B3K=2 3，
∴OE=3×4−2=10，
∴K(8,0)，B3(10,2 3).
∴M′(9, 3).
由图象可知，翻滚三次为一个循环，
∵2022=3×674，
∴翻滚2022次后AB中点M的纵坐标与点M′的纵坐标相同，横坐标为2022×4−3=8085，
∴翻滚2022次后AB中点M的坐标为(8085, 3).
故答案为：(8085, 3).
作出把△ABO经3次翻滚后的图形，作B3E⊥x轴于点E，由勾股定理可得B3E的长，从而可知点B3的纵坐标，再根据等边三角形的边长为4及等腰三角形的三线合一性质，可得OE的长，从而可知点B3的坐标；由图象可知翻滚的循环规律，从而可知翻滚2022次后AB中点M的坐标．
本题考查的是坐标与图形变化-旋转，等边三角形的性质等知识，找到旋转规律是解题的关键．
16.【答案】解：已知抛物线的顶点坐标为(3,−1)，
设此二次函数的解析式为y=a(x−3)2−1，
把点(2,3)代入解析式，得：
a−1=3，即a=4，
∴此函数的解析式为y=4(x−3)2−1.
【解析】因为抛物线的顶点坐标为M(3,−1)，所以设此二次函数的解析式为y=a(x−3)2−1，把点(2,3)代入解析式即可解答．
本题考查了用待定系数法求函数解析式的方法．若题目给出了二次函数的顶点坐标，则采用顶点式求解简单．
17.【答案】解：(x+1)(x−9)=0，
x+1=0或x−9=0，
所以x1=−1，x2=9.
【解析】【分析】
利用因式分解法解方程．
本题考查了解一元二次方程-因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了(数学转化思想).
18.【答案】解：(1)设袋中蓝球的个数为x个，
∵从中任意摸出一个是白球的概率为12，
∴2x+2+1=12，
解得：x=1，
∴袋中蓝球的个数为1；
(2)画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，两次都是摸到白球的有2种情况，
∴两次都是摸到白球的概率为：212=16.
【解析】(1)首先设袋中蓝球的个数为x个，由从中任意摸出一个是白球的概率为12，利用概率公式即可得方程：2x+2+1=12，解此方程即可求得答案；
(2)首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次都是摸到白球的情况，再利用概率公式求解即可求得答案
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比．
19.【答案】解：(1)如图所示△A1B1C1即为所求
(2)如图所示△A2B2C2即为所求．
点A到A2经过的路径长l=90π⋅ 10180= 102π.
【解析】(1)分别作出A，B，C关于原点对称的对应点A1，B1，C1即可．
(2)分别作出A，B，C绕点B逆时针旋转90∘后的对应点A2，B2，C2即可．再利用弧长公式求解即可．
本题考查作图-旋转变换，中心对称等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
20.【答案】(1)证明：∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，
∴BC=BD，
∴∠A=∠2，
又∵OA=OC，
∴∠1=∠A，
∴∠1=∠2.
(2)∵AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，CD=6，
∴∠CEO=90∘，CE=ED=3，
设⊙O的半径是R，EB=2，则OE=R−2，
在Rt△OEC中，R2=(R−2)2+32，
解得：R=134，
∴⊙O的半径是R=134.
【解析】(1)利用垂径定理证明∠A=∠2，再证明∠A=∠1即可解决问题；
(2)设⊙O的半径是R，EB=2，则OE=R−2，利用勾股定理构建方程求解即可．
本题考查圆周角定理，勾股定理，垂径定理等知识，解题的关键是掌握垂径定理，灵活运用所学知识解决问题．
21.【答案】解：(1)设垂直于墙面的边AB=xm，则长AD=(26−2x+2)m，
则面积S=x(28−2x)，
S=−2x2+28x=−2(x−7)2+98，
又∵26−2x+2≤12，26−2x>0，
则8≤x<13，
当x=8时，S取最大值为96m2，此时AB=8m，AD=12m，
答：最大面积是96平方米？此时AB=8m，AD=12m；
(2)设小路宽am，
由(1)知车棚最大面积为96m2，AB=8m，AD=12m，
当停放自行车的面积为70平方米，小路的占地面积为96−70=26m2，
∴16a+12a−2a2=26，
解得：a=1或a=13(舍去)，
答：小路宽1米．
【解析】(1)设垂直于墙面的边为x m，则长为：(26−2x+2)m，面积S=x(28−2x)，利用二次函数求最值即可；
(2)由(1)车棚最大面积为96m2，当停放自行车的面积为70平方米，小路的占地面积为96−70=26m2，设小路宽为a米，根据题意列方程16a+12a−2a2=26求解即可．
本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，读懂题意，搞清楚数量关系是解决问题的关键．
22.【答案】(1)证明：连接CO.
∵∠CDB=∠OBD=30∘，
∴∠BOC=60∘.
∵AC//BD，
∴∠A=∠OBD=30∘.
∴∠ACO=90∘.
∴AC为⊙O切线．
解：(2)∵∠ACO=90∘，AC//BD，
∴∠BEO=∠ACO=90∘.
∴DE=BE=12BD=3 3.
在Rt△BEO中，sin∠O=sin60∘=BEOB，
∴ 32=3 3OB.
∴OB=6.
即⊙O的半径长为6cm.
(3)∵∠CDB=∠OBD=30∘，
又∵∠CED=∠BEO，BE=ED，
∴△CDE≌△OBE.
∴S阴=S扇OBC=60π×62360=6π(cm2)
答：阴影部分的面积为6πcm2.
【解析】(1)连接CO，由角的等量关系可以证得∠ACO=90∘，即能证得切线存在，
(2)由AC//BD得到∠BEO=∠ACO=90∘，在Rt△BEO中解得OB，
(3)首先证明△CDE≌△OBE，阴影部分面积等于S扇形OBC.
本题考查了切线的判定，扇形面积的计算和解直角三角形等知识点．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点(即为半径)，再证垂直即可．
23.【答案】解：(1)将A(−1,0)，B(5,0)代入y=−x2+bx+c，得：
−1−b+c=0−25+5b+c=0，
解得：b=4c=5，
∴抛物线的解析式为y=−x2+4x+5；
(2)∵抛物线的对称轴为直线x=−42×(−1)=2，点B是点A关于函数对称轴的对称点，
∴PA+PC=PB+PC，
∴当点P在BC上时，PA+PC的值最小，
连接BC交抛物线对称轴于点P，则点P为所求点，
令x=0，则y=5，
∴点C的坐标为(0,5)，
∵B(5,0)，
设直线BC的解析式为y=kx+5，
∴5k+5=0，
解得：k=−1，
∴直线BC的解析式为y=−x+5，
当x=2时，y=−x+5=3，
∴点P(2,3)；
(3)如图，
设点D(m,−m2+4m+5)，则点E(m,−m+5)，
∵S△BDE：S△BEF=3：2，
∴DEDF=35，即−x2+4x+5−(−x+5)−x2+4x+5=35，
解得：x=32或5(舍去)，
经检验，x=32是原方程的解，
∴点D(32,354).
【解析】(1)将A(−1,0)，B(5,0)代入y=−x2+bx+c求解即可；
(2)点B是点A关于函数对称轴的对称点，连接BC交抛物线对称轴于点P，此时PA+PC的值最小；
(3)设点D(m,−m2+4m+5)，则点E(m,−m+5)，由三角形的面积关系列出方程求解即可．
本题是二次函数的综合题，考查了利用待定系数法求解析式，点的对称性，图形的面积计算，勾股定理，两点间的距离公式，熟练掌握知识点并灵活运用是解题的关键．