2022-2023学年广东省广州市天河区九年级（上）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年广东省广州市天河区九年级（上）期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列垃圾分类标识图案，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列事件中，属于不可能事件的是(    )

A. 经过红绿灯路口，遇到绿灯 B. 射击运动员射击一次，命中靶心
C. 班里的两名同学的生日是同一天 D. 从一个只装有白球的袋中摸球，摸出黄球

3.  在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  用配方法解方程时，配方后正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  如图，内接于，是的直径，若，则的度数是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如图，为外一点，与相切于点，，，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

8.  一个扇形的弧长是，面积为，则其半径为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  点，都在抛物线上若，则的取值范围为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  用米长的围栏围成一边靠墙墙足够长的菜园，为了让菜园面积尽可能大，小红提出了围成矩形、等腰三角形底边靠墙、半圆形这三种方案，最佳方案是(    )
 

A. 方案 B. 方案 C. 方案 D. 方案或方案

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.  抛物线的顶点坐标为______ ．

12.  一个布袋里放有个红球和个白球，它们除颜色外其余都相同，从布袋中任意摸出个球，摸到白球的概率是______ ．

13.  关于的方程有两根，其中一根为，则两根之积为______ ．

14.  右表是某球员在罚球线上投篮的结果则估计该球员投篮一次投中的概率约为______ 结果保留小数点后一位

15.  的直径为，弦的长为，若为的中点，则 ______ ．

16.  一副三角板按图放置，是边的中点，如图，将绕点顺时针旋转，与相交于点，则的长是______ ．
 

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
解方程：．

18.  本小题分
如图，已知中，是中线，且．
用尺规作，使它与关于点中心对称；
若，求的取值范围．

19.  本小题分
已知抛物线与轴相交于点，与的部分对应值如表所示，写出抛物线的开口方向，对称轴，顶点坐标及点的坐标．

20.  本小题分
某校九班学生成立了一个“关于新冠肺炎个知识点”的防疫科普宣传小组，其中男生人，女生人，现从小组中选人进社区宣传．
若选人，则恰好选中女生的概率是______ ；
若选人，求恰好选中一男一女的概率．

21.  本小题分
如图，在中，，完成以下两个小题的解答：
用尺规作的中点，并以为半径作不写作法，保留作图痕迹，求证：与边相切；
若恰好交于边的中点，求的半径长．

22.  本小题分
某宾馆有个房间供游客居住，当每个房间定价元时，房间会全部住满，当每个房间定价每增加元时，就会有一个房间空闲，若宾馆在某一个时间段把每个房间定价增加元为正整数且．
当宾馆每天收入为元，求的值．
如果宾馆每天收入要最大，请直接写出每个房间的定价．

23.  本小题分
老师给小明出了一道题，小明感到有困难，请你帮助小明解决这个问题，题目是这样的：一个三角形两边长分别是和，第三边长是的一个实数根，请结合作图求这个三角形的外接圆面积．

24.  本小题分
已知关于的方程有两个相等的实数根．
若，求的值；
在中，已知点，点，点在轴上，且该方程的解是点的横坐标．
过点作轴，交边于点，求证：的长为定值；
求面积的最小值．

25.  本小题分
在边长为的正方形中，以为直径作半圆，圆心为，是半圆上一动点，过点作，垂足为，连接．

如图，若直线与圆相切，求线段的长；
求的最小值；
如图，若，求的最小值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
D、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．
 

2.【答案】 

【解析】解：、经过红绿灯路口，遇到绿灯是随机事件，不符合题意；
B、射击运动员射击一次，命中靶心是随机事件，不符合题意；
C、班里的两名同学的生日是同一天是随机事件，不符合题意；
D、从一个只装有白球的袋中摸球，摸出黄球是不可能事件，符合题意；
故选：．
一定不能发生的事件是不可能事件，据此判定即可．
本题考查了不可能事件即一定不能发生的事件，熟练掌握定义是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：点关于原点对称的点的坐标是，
故选：．
根据关于原点对称的点横坐标和纵坐标都互为相反数，即可进行解答．
本题主要考查了关于原点对称点的坐标特征，解题的关键是掌握关于原点对称的点横坐标和纵坐标都互为相反数．
 

4.【答案】 

【解析】解：两边同时加，得：，
配方，得：．
故选：．
方程两边同时加上，再写为完全平方式即可．
本题主要考查了用配方法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握配方的方法和步骤．
 

5.【答案】 

【解析】解：关于的一元二次方程没有实数根，
，
解得：．
故选：．
根据一元二次方程根的判别式，即可求解．
本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：连接，

是的直径，
，
，
，
，
故选：．
连接，根据直径所对的圆周角是直角可得，从而可求出的度数，然后利用同弧所对的圆周角相等即可解答．
本题考查了圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：连接，

与相切于点，
，
．
故选：．
连接，则，再根据即可求解．
本题主要考查了切线的定义以及解直角三角形，解题的关键是掌握经过圆上一点，且垂直于半径的直线是原点切线．
 

8.【答案】 

【解析】解：，弧长是，面积为，
，
解得，
故选：．
根据代入计算即可．
本题考查了扇形的面积公式，熟练掌握扇形面积与弧长的关系是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：点，都在二次函数的图象上，
，
，
，
，
，
即，
，
故选：．
根据列出关于的不等式即可解得答案．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据已知列出关于的不等式．本题属于基础题，难度不大．
 

10.【答案】 

【解析】解：方案：
设垂直于墙面的一边长为，则平行于墙面的边长为，
则菜园面积，
当时，有最大值，最大值为；
方案：
设等腰三角形底边长为，高为，
为等腰三角形，
，，
，即，整理得：，
，
，
令，则，
当时，有最大值，最大值为，
当时，有最大值，最大值为，

方案：
设半圆半径为，
半圆的弧长为米，
，解得：，
，
，
最佳方案是方案．
故选：．
分别计算三个方案的菜园面积进行比较即可．
本题主要考查了用二次函数求图形面积的最大值，和求弧的半径，解题的关键是熟练掌握二次函数的图图象和性质，以及根据弧长求半径的方法．
 

11.【答案】 

【解析】解：抛物线，
抛物线的顶点坐标为．
故答案为：．
根据抛物线的顶点式确定顶点坐标即可．
本题考查了抛物线顶点式确定抛物线的顶点坐标，熟练掌握顶点式的特点是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：摸到白球的概率，
故答案为：．
根据概率公式进行计算即可．
本题主要考查了求等可能时间的概率，解题的关键是掌握概率所求情况数与总情况数之比．
 

13.【答案】 

【解析】解：设方程的另一个根为，
方有两根，其中一根为，
，
解得：，
即两根之积为．
故答案为：．
设方程的另一个根为，利用一元二次方程根与系数的关系，即可求解．
本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握是一元二次方的两个实数根与系数的关系是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
，
，
由此发现，随着投篮次数的增多，投中的频率在附近摆动．
根据频率的稳定性，估计这名球员一次投中的概率为．
故答案为：．
根据投篮投中的频率估计投篮投中的概率，关键看随着投篮次数的增多，投中频率越接近的数就是投中的概率．
本题考查了用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定的数据附近左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的数据的近似值就是这个事件的概率．
 

15.【答案】 

【解析】解：连接，，

为的中点，
，，
的直径为，
，
根据勾股定理可得：．
故答案为：．
连接，，根据垂径定理和勾股定理即可求解．
本题主要考查垂径定理和勾股定理，解题的关键是正确会出图形，构造直角三角形，用勾股定理求解．
 

16.【答案】 

【解析】解：如图所示，交于点，

由题意得，，，，，，
根据点是边的中点，可得：
绕点顺时针旋转，，
，
，
，
是直角三角形，
，
，，
，，
，
是直角三角形，
，
是等腰直角三角形，
，
，
故答案为：．
交于点，由题意得，，，，，，根据锐角三角函数即可得，，根据旋转的性质得是直角三角形，根据直角三角形的性质得，即，，根据角之间的关系得是等腰直角三角形，即，问题随之得解．
本题考查了含度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，旋转的性质，勾股定理，解题的关键是掌握含度角的直角三角形的性质以及理解三角板中自带的角度．
 

17.【答案】解：，
，
则或，
解得，． 

【解析】利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于的一元一次方程，再进一步求解即可．
本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．
 

18.【答案】解：如图，延长到点，使得，连接，
则即为所求．

≌，，
，
． 

【解析】延长到点，使得，连接即可．
根据≌，得到，结合三角形三边关系定理计算即可．
本题考查的是作图旋转变换，涉及到三角形三边关系定理，熟练掌握中心对称的性质是解题的关键．
 

19.【答案】解：由表可知：抛物线经过，，
该抛物线的对称轴为直线：，
当时，，
该抛物线顶点坐标为，
当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，
抛物线开口向下，
该抛物线对称轴为直线，且经过，
当时，，即，
综上：抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标，点坐标为． 

【解析】根据表格中的数据可得抛物线经过，即可求出抛物线的对称轴，进而得出顶点坐标，分析该抛物线的增减性，即可判断开口方向．
本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握熟练掌握二次函数的增减性，对称性等知识点．
 

20.【答案】 

【解析】解男生人，女生人，
选人，则恰好选中女生的概率是．
故答案为：．
根据题意，画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中符合题意的有种，
．
根据概率公式计算即可．
画树状图计算即可．
本题考查了概率公式计算，用画树状图法或列表法求概率，熟练掌握画树状图计算概率是解题的关键．
 

21.【答案】解：如图，点和即为所求；

证明：，为的中点，
，
为的半径，
与边相切；
解：设边的中点为点，的半径为，
，
，
，
在中，
，
，
解得：负值舍去，
即的半径为． 

【解析】作的平分线交于点，再以为半径作，再根据等腰三角形 的性质可得即可；
设边的中点为点，的半径为，可得，在中，根据勾股定理求出，即可求解．
本题主要考查的是作图基本作图，涉及到切线的判定，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握切线的判定，等腰三角形的性质，作已知角的平分线，灵活运用勾股定理是解题的关键．
 

22.【答案】解：由题意可得，
宾馆每个房间定价增加元后，这天游客租住了间房，每间房间的利润是元，
由题意可得，，
解得，，
为正整数且，
，
答：宾馆每天的收入为元时，；
设利润为元，
由题意可得，
该函数图象开口向下，对称轴为，
为正整数且，，
时取得最大值，此时，，
答：房价定为元时，宾馆每天的利润最大． 

【解析】根据题意和题目中的数据，可知宾馆每个房间定价增加元，也就会有个房间空闲，然后即可得到这天游客租住的房间数和每间房间的利润；根据宾馆每天的利润能达到元可以列出相应的方程，从而求出答案；
根据题意，可以得到利润和之间的函数关系式，然后化为顶点式，利用二次函数的性质，即可得到房价定为多少时，宾馆每天的利润最大．
本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程，写出相应的函数解析式，利用二次函数的性质解答．
 

23.【答案】解：，
解得：，，
当第三边长是时，三角形三边长为，，，

如图，，，点为的外接圆，连接，，交于点，
点为的外接圆，，
垂直平分，
，
，
设，
，
，
解得：，
这个三角形的外接圆面积为；
当第三边长是时，三角形三边长为，，，

如图，，，，点为的外接圆，连接，
，，，，
，
，
点为的外接圆，
为圆的直径，
，
这个三角形的外接圆面积为；
综上所述，这个三角形的外接圆面积为或 

【解析】利用因式分解法求出三角形的第三边长，然后分两种情况：当第三边长是时，当第三边长是时，结合三角形外接圆的性质解答，即可．
本题主要考查了解一元二次方程，三角形的外接圆，勾股定理，垂径定理等知识，熟练掌握解一元二次方程，三角形的外接圆，勾股定理，垂径定理，利用分类讨论思想解答是解题的关键．
 

24.【答案】解：关于的方程有两个相等的实数根，
，
，，
当时，；

关于的方程有两个相等的实数根，
，
点，
点，
，
点在点的左侧，
，，
，点，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为，
当时，，
，
，是定值．
，，
即，
，
面积的最小值为． 

【解析】利用根的判别式计算即可；
根据方程确定点的横坐标，判定点的位置，统一字母表示，确定直线的解析式，再确定点的坐标，计算的长即可；
根据，得到，即，结合，计算即可．
本题考查了一元二次方程根的判别式，求方程的解，一次函数的解析式，完全平方式的性质，熟练掌握根的判别式，解析式的确定，完全平方式的非负性是解题的关键．
 

25.【答案】解：连接，，

边长为的正方形，直线与相切，为切点，
，，，
在和中，
，
≌，
．
如图，连接，

设与半圆于点，当点与点重合时，最短，
边长为的正方形，
，，，
，
．
为直径，
，，
是定值，
故的最小值，有的最小值确定，
点在半圆弧上，
在正方形中，只能是锐角三角形或者直角三角形，不可能是钝角三角形，
，
当且当位于正方形对角线交点处时此时是直角三角形，取等号．
，
，
故的最小值为． 

【解析】连接，，根据正方形的性质，切线的性质，证明≌即可．
设与半圆于点，当点与点重合时，最短，运用勾股定理计算即可．
根据为直径，则，，得到是定值，故的最小值，有的最小值确定，且当位于正方形对角线交点处时，取得最小值．
本题考查了正方形的性质，圆的性质，勾股定理，熟练掌握正方形的性质，圆的性质，勾股定理是解题的关键．