2023-2024学年北师大版（2012）九年级下册第一章直角三角形的边角关系单元测试(含答案)

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2023-2024学年 北师大版（2012）九年级下册 第一章� �直角三角形的边角关系� 单元测试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________1．如图所示，的顶点是正方形网格的格点，则的值为（    ）  A． B． C． D．2．如图，在中，，，为线段延长线一点，为线段上一点，连接交于点，连接，若，设，则可表示为（    ）A． B． C． D．3．把一块直尺与一块三角板如图放置，若，则的度数为（    ）A． B． C． D．4．在中，，若，则的值是（    ）A． B． C． D．5．如图，是一条斜坡，若，点到点的铅垂距离为，则斜坡的坡度为（    ）A． B． C． D．6．已知，则下列各式中正确的是（   ）A． B． C． D．7．如图，已知E是正方形中边延长线上一点，且，连接与交于点N，F是的中点，连接交于点M，连接．有如下结论：①；②；③ ④，其中正确的是（　　）A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④8．如图，在中，，，则（    ）A． B．3 C． D．9．在中，是的中线，则的值是（    ）A． B． C． D．10．把边长为4的正方形的顶点C折到的中点M，折痕的长等于（   ）A． B． C． D．11．如图是拦水坝的横断面，斜面坡度为，斜坡AB的水平宽度米，则斜坡的铅直高度的长为 米．  12．在中，，，点D是边上一点，，，则 ．13．如图，在的正方形网格中，点、、都在格点上，则 ．14．如图是一张矩形纸片，点M是对角线中点，点E在边上，把沿直线折叠，使点C落在对角线上的点F处，连接，．若，则 ．  15．若三个边长为1的正方形按如图的方式放在内，其中为的直角，D，E两点都是正方形的顶点，点D在边上，点E在线段上，则斜边的长为 ．16．如图，在菱形中，，．在其内部作形状、大小都相同的菱形和菱形，四点分别在边上，点在对角线上．若，则的长为 ．17．已知在等腰中，，，．如图1，点D是边上的一个动点，点E是边上的一个动点，且，与交于点F．  (1)求证：．(2)若是等腰三角形，求的度数（请用含的代数式表示）．(3)如图2，当时，将沿着翻折，得到，连，交于点G，交于点H．记四边形的面积为，的面积为，当时，请直接写出的值18．如图，是正方形的对角线，平分交于，点在上，且，连接并延长，分别交，于点G，F．(1)求证：；(2)求的值；(3)求的值．评卷人得分一、单选题评卷人得分二、填空题评卷人得分三、解答题参考答案：1．D【分析】本题主要查了解直角三角形，勾股定理的逆定理．取格点D，连接，根据勾股定理的逆定理可证得，即可求解．【详解】解：如图，取格点D，连接，  根据题意得：，，，∴，∴，∴．故选：D2．C【分析】本题考查三角形全等的性质与判定，解直角三角形，直角三角形斜边上中线等于斜边一半，三角形内外角关系，过点F作，证明，结合内外角关系求解即可得到答案；【详解】解：过点F作，∵，，∴，∵，∴，∵，，∴，∴，在与中，，∴，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，故选：C．3．B【分析】本题考查特殊角的三角函数值，与三角板有关的角度的计算．根据，得到，进而得到，平行，得到，再根据邻补角进行求解即可．熟记特殊角的三角函数值，是解题的关键．【详解】解：∵，∴，∴，∵直尺的两边平行，∴，∴；故选B．4．A【分析】本题主要考查了勾股定理、三角函数正弦值的定义等知识．由已知条件设，，然后根据勾股定理求出，最后根据三角函数正弦值定义即可求出．【详解】解：在中，，若，设，，∴，∴．故选：A．5．A【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟悉坡度的概念，是解答本题的关键．根据坡度的概念，得到斜坡的坡度为，由此得到答案．【详解】解：根据题意得：，，，斜坡的坡度为：，故选：．6．D【分析】本题考查同角的三角函数的关系，特殊锐角三角函数值以及锐角三角函数的增减性，掌握锐角三角函数的定义，特殊锐角三角函数值以及锐角三角函数的增减性是正确判断的前提．根据逐项进行判断即可．【详解】解：A．由于一个锐角的余弦值随着锐角的增大而减小，而，所以 ，因此选项A不符合题意；B．由于一个锐角的正切值随着锐角的增大而增大，而所以，即，因此选项B不符合题意；C．由于，而，即，所以，即，因此选项C不符合题意；D．由于锐角的对边除以斜边，锐角的对边除以锐角的邻边，而锐角的邻边小于斜边，所以，因此选项D符合题意．故选：D．7．D【分析】根据“角角边”，证明，根据全等三角形的性质，得到，判断①；根据两边对应成比例、夹角相等的两个三角形相似判断②；作于G，根据等腰直角三角形的性质、正切的定义求出，即可判断③；根据三角形的面积公式计算，判断④．【详解】解：∵四边形为正方形，，∴，∴，又∵∴，∴，故①结论正确；∵是的中点，∴，∴，∴，∴，∵，∴，故②结论正确； 作于G，则，∴，∴，，故③结论正确；，，即，∵F是的中点，∴，∴，∴，故④结论正确；故选：D．【点睛】本题主要考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定、全等三角形的判定与性质，正确证明两三角形相似和全等是解答本题的关键．8．C【分析】本题主要考查了勾股定理和求角的正弦值，先利用勾股定理求出，再根据正弦的定义可得．【详解】解：∵在中，，，∴，∴，故选C．9．B【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质、勾股定理、三角形中线的定义、正切的定义，由含角的直角三角形的性质及勾股定理可得，，由中线的定义可得，最后根据正切的定义进行计算即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．【详解】解：在中，，，，，是的中线，，，故选：B．10．A【分析】连接，交于点，延长，交于点，折叠的性质，设，勾股定理求出的值，利用锐角三角函数，勾股定理，求出，，利用，求解即可．【详解】解：∵正方形，边长为4，M是的中点，∴，，，连接，交于点，延长，交于点，∵翻折，∴，垂直平分，设，则：，在中，由勾股定理，得：，解得：，∴，∵，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴．故选：A．【点睛】本题考查正方形的性质，折叠的性质，解直角三角形，勾股定理．本题的难度较大，属于选择题中的压轴题，熟练掌握相关性质，构造特殊三角形，是解题的关键．11．6【分析】本题主要考查了坡度的知识，理解并掌握坡度的定义是解题关键．根据坡度的定义可得，代入数值求解，即可获得答案．【详解】解：根据题意，斜面坡度为，斜坡AB的水平宽度米，即在中，，∴可有，解得米．故答案为：6．12．6或【分析】此题主要考查了锐角三角函数，相似三角形的判定和性质，勾股定理，过点D作于E，根据，可得出，设，则，在中，由勾股定理得构造关于k的方程并解出k，进而可求出，然后证和相似，最后利用相似三角形的性质可求出的长．【详解】解：过点D作于E，如图所示：∵，在中，，∴，设，由勾股定理得：，，，在中，，由勾股定理得：，即，整理得：，解得：，或，当时，，，，，，即，，当时，，同理：，即，．综上所述：或，故答案为：或．13．/【分析】本题考查了正弦函数的定义以及勾股定理．先求得，利用勾股定理求得和的长，再利用正弦函数的定义求解即可．【详解】解：∵，都是正方形的对角线，∴，又∵，，∴，故答案为：．14．/【分析】本题考查了矩形与折叠问题，相似三角形的判定与性质，以及锐角三角函数的知识，证明是解答本题的关键．由折叠的性质可知，，，证明得，设，则，代入比例式求出，然后根据正弦定义求解即可．【详解】如图，与交于点G，  由折叠的性质可知，，．∵四边形是矩形，∴，，∴，∵，∴，∴．设，则，∴，∴（负值舍去），∴．故答案为：．15．/【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，正方形的性质，解直角三角形，证得是解题的关键．根据余角的性质得到，根据全等三角形的性质得到，根据勾股定理得出，得到，得到，求得，于是得到结论．【详解】解：如图，，，，，在与中，，，，，∵，，，，，，，，，，，故答案为：．16．【分析】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定与性质，根据菱形的性质和锐角三角函数，可以求得和的长，然后即可计算出的长．【详解】解：连接交于点O，作于点I，作交的延长线于点J，如图所示，∵四边形是菱形，，，，是等边三角形，，，，，，∵菱形和菱形大小相同，，，，，∴，同理可得，，故答案为：．17．(1)见解析(2)或(3)【分析】（1）通过证明，根据全等三角形的性质即可求解；（2）先根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出，由（1）得出，设，则，， ，分三种情况：①当时，②当时，③当时，求解即可；（3）过点F作于点I，根据折叠的性质得出，，，，根据题意推出是等边三角形，结合等边三角形的性质利用证明，根据全等三角形的性质及等腰三角形的判定推出，根据等腰三角形的性质求出，，，则，根据题意求出，，根据相似三角形的性质求出， ，，根据三角形面积公式求出，解直角三角形求出，再根据求解即可．【详解】（1）∵，∴，∵，，∴，∴，∴（2）若是等腰三角形，设，  ①若时，∴，∴，，∴，解得，∴，②若时，∴，∴，∵，∴，即，③∵，，∴，又∵，，∴；综上所述，当是等腰三角形时，的度数为或；（3）解：过点F作于点I，  由折叠的性质得，，，，，，是等边三角形，，又，，，，，，，，，，，∴，设，则，∴，，，，，即，，，，，，，，，，，，，，，故答案为：．【点睛】此题是四边形综合题，考查了等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、折叠的性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形、三角形面积等知识，熟练运用全等三角形的判定与性质、折叠的性质、相似三角形的判定与性质是解题的关键．18．(1)见解析(2)(3)【分析】（1）由，平分，，得再结合正方形的性质可证，得，再证，得，进而即可证明结论；（2）设正方形的边长为，则，，得，结合正方形的性质可证，得，再由等腰三角形的性质得，进而即可求解；（3）由等腰三角形的性质和正方形的性质可证得，设正方形的边长为，由（2）得，得，则，在中，可知，进而即可求解．【详解】（1）证明：，平分，，，正方形，，，，，，，，，，，∴，；（2）解：设正方形的边长为，则，，，正方形，，则，，，，，平分，，；（3）解：，，，，，，，设正方形的边长为，由（2）得，，，在中，，．【点睛】本题考查正方形的性质，相似三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，求角的正切值等知识．利用正方形的性质及等腰三角形的性质证明三角形相似和三角形全等是解决问题的关键．