(新高考)高考数学一轮复习学案+分层提升2.2《函数的单调性与最值》(2份打包，原卷版+教师版)

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1.借助函数图象，会用数学符号语言表达函数的单调性、最值，理解实际意义.
2.掌握函数单调性的简单应用．
知识梳理
1．函数的单调性
(1)单调函数的定义
(2)单调区间的定义
如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．
2．函数的最值
常用结论
1．∀x1，x2∈D且x1≠x2，有eq \f(fx1－fx2,x1－x2)>0(<0)或(x1﹣x2)[f(x1)﹣f(x2)]>0(<0)⇔f(x)在区间D上单调递增(减)．
2．在公共定义域内，增函数＋增函数＝增函数，减函数＋减函数＝减函数．
3．函数y＝f(x)(f(x)>0或f(x)<0)在公共定义域内与y＝﹣f(x)，y＝eq \f(1,fx)的单调性相反．
4．复合函数的单调性：函数y＝f(u)，u＝φ(x)在函数y＝f(φ(x))的定义域上，如果y＝f(u)与u＝φ(x)的单调性相同，那么y＝f(φ(x))单调递增；如果y＝f(u)与u＝φ(x)的单调性相反，那么y＝f(φ(x))单调递减．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若f(x)的定义域为R，且f(﹣3)(2)函数f(x)在(﹣2,3)上单调递增，则函数的单调递增区间为(﹣2,3)．( )
(3)因为y＝x与y＝ex都是增函数，所以y＝xex在定义域内为增函数．( )
(4)函数y＝eq \f(1,x)的单调递减区间是(﹣∞，0)∪(0，＋∞)．( )
教材改编题
1．下列函数中，在区间(0,1)上单调递增的是( )
A．y＝|x＋1| B．y＝2﹣x
C．y＝eq \f(1,x) D．y＝x2﹣x＋1
2．函数y＝eq \f(x,x－1)在区间[2,3]上的最大值是________．
3．函数y＝eq \f(a,x－1)在(﹣∞，1)上为增函数，则实数a的取值范围是________．
题型一 确定函数的单调性
命题点1 求具体函数的单调区间
例1 (多选)下列函数在(0，＋∞)上单调递增的是( )
A．y＝ex﹣e﹣x B．y＝|x2﹣2x|
C．y＝x＋cs x D．y＝eq \r(x2＋x－2)
命题点2 判断或证明函数的单调性
例2 试讨论函数f(x)＝eq \f(ax,x－1)(a≠0)在(﹣1,1)上的单调性．
教师备选
1．设函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1，x>0，,0，x＝0，,－1，x<0，))g(x)＝x2f(x﹣1)，则函数g(x)的单调递减区间是__________．
2．已知a>0，函数f(x)＝x＋eq \f(a,x)(x>0)，证明：函数f(x)在(0，eq \r(a)]上单调递减，在[eq \r(a)，＋∞)上单调递增．
思维升华 确定函数单调性的四种方法
(1)定义法；(2)导数法；(3)图象法；(4)性质法．
跟踪训练1 (1)函数f(x)＝ln(4＋3x﹣x2)的单调递减区间是( )
A.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(3,2))) B.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，＋∞)) C.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－1，\f(3,2))) D.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，4))
(2)函数f(x)＝|x﹣2|x的单调递减区间是________．
题型二 函数单调性的应用
命题点1 比较函数值的大小
例3 已知函数f(x)为R上的偶函数，对任意x1，x2∈(﹣∞，0)，均有(x1﹣x2)[f(x1)﹣f(x2)]<0成立，若a＝f(ln eq \r(2))，b＝f( SKIPIF 1 < 0 )，c＝f( SKIPIF 1 < 0 )，则a，b，c的大小关系是( )
A．c命题点2 求函数的最值
例4 函数y＝eq \f(\r(x2＋4),x2＋5)的最大值为________．
命题点3 解不等式
例5 已知函数f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))x﹣lg2(x＋2)，若f(a﹣2)>3，则a的取值范围是________．
命题点4 求参数的取值范围
例6 函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ax，x≥1，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4－\f(a,2)))x＋2，x<1，))且满足对任意的实数x1≠x2都有eq \f(fx1－fx2,x1－x2)>0成立，则实数a的取值范围是( )
A．[4,8) B．(4,8) C．(1,8] D．(1,8)
教师备选
1．函数f(x)＝ln(x2﹣ax﹣3)在(1，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是( )
A．(﹣∞，﹣2] B．(﹣∞，﹣2)
C．(﹣∞，2] D．(﹣∞，2)
2．对于任意实数a，b，定义min{a，b}＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a，a≤b，,b，a>b.))设函数f(x)＝﹣x＋3，g(x)＝lg2x，则函数h(x)＝min{f(x)，g(x)}的最大值是______．
思维升华
(1)比较函数值的大小时，转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决．
(2)求解函数不等式，由条件脱去“f”，转化为自变量间的大小关系，应注意函数的定义域．
(3)利用单调性求参数的取值(范围)．根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图象的升降，再结合图象求解．对于分段函数，要注意衔接点的取值．
跟踪训练2
(1)已知函数f(x)＝e|x|，记a＝f(lg23)，b＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(lg3\f(1,2)))，c＝f(2.11.2)，则a，b，c的大小关系为( )
A．a(2)设函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x2＋4x，x≤4，,lg2x，x>4，))若函数y＝f(x)在区间(a，a＋1)上单调递增，则实数a的取值范围是( )
A．(﹣∞，1] B．[1,4]
C．[4，＋∞) D．(﹣∞，1]∪[4，＋∞)
(3)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递减，则不等式f(2x﹣1)>f(x＋1)的解集为________．
课时精练
1．下列函数中，在区间(0，＋∞)内单调递减的是( )
A．y＝eq \f(1,x)﹣x B．y＝x2﹣x C．y＝ln x﹣x D．y＝ex
2．若函数f(x)＝eq \f(2x2＋3,1＋x2)，则f(x)的值域为( )
A．(﹣∞，3] B．(2,3) C．(2,3] D．[3，＋∞)
3．已知函数f(x)在(﹣∞，＋∞)上单调递减，且为奇函数，若f(1)＝﹣2，则满足﹣2≤f(x﹣2)≤2的x的取值范围是( )
A．[﹣2,2] B．[﹣1,1] C．[1,3] D．[0,4]
4．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ex－e－x，x>0，,－x2，x≤0，))若a＝50.01，b＝lg32，c＝lg20.9，则有( )
A．f(a)>f(b)>f(c) B．f(b)>f(a)>f(c)
C．f(a)>f(c)>f(b) D．f(c)>f(a)>f(b)
5．(多选)已知函数f(x)＝x﹣eq \f(a,x)(a≠0)，下列说法正确的是( )
A．当a>0时，f(x)在定义域上单调递增
B．当a＝﹣4时，f(x)的单调递增区间为(﹣∞，﹣2)，(2，＋∞)
C．当a＝﹣4时，f(x)的值域为(﹣∞，﹣4]∪[4，＋∞)
D．当a>0时，f(x)的值域为R
6．(多选)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ln x＋2x，x>0，,\f(2,1－x)，x≤0，))则下列结论正确的是( )
A．f(x)在R上为增函数
B．f(e)>f(2)
C．若f(x)在(a，a＋1)上单调递增，则a≤﹣1或a≥0
D．当x∈[﹣1,1]时，f(x)的值域为[1,2]
7．函数y＝﹣x2＋2|x|＋1的单调递增区间为__________，单调递减区间为________．
8．已知函数f(x)＝e|x﹣a|(a为常数)，若f(x)在区间[1，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是________．
9．已知函数f(x)＝ax﹣eq \f(1,ax)＋eq \f(2,a)(a>0)，且f(x)在(0,1]上的最大值为g(a)，求g(a)的最小值．
10．已知函数f(x)＝a﹣eq \f(2,2x＋1).
(1)求f(0)；
(2)探究f(x)的单调性，并证明你的结论；
(3)若f(x)为奇函数，求满足f(ax)11．定义max{a，b，c}为a，b，c中的最大值，设M＝max{2x,2x﹣3,6﹣x}，则M的最小值是( )
A．2 B．3 C．4 D．6
12．如果几个函数的定义域相同、值域也相同，但解析式不同，称这几个函数为“同域函数”. 函数y＝eq \r(x－1)﹣eq \r(2－x)的值域为________，则与y是“同域函数”的一个解析式为________．
13．设函数f(x)＝eq \f(ax＋1,x＋2a)在区间(﹣2，＋∞)上单调递增，那么a的取值范围是________．
14．设函数f(x)＝x3﹣sin x＋x，则满足f(x)＋f(1﹣2x)<0的x的取值范围是________．
15．函数g(x)＝ax＋2(a>0)，f(x)＝x2﹣2x，对∀x1∈[﹣1,2]，∃x0∈[﹣1,2]，使g(x1)＝f(x0)成立，则a的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,3))) B．[1,2) C.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2))) D.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，＋∞))
16．已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋1，且当x>0时，f(x)>﹣1.
(1)求f(0)的值，并证明f(x)在R上是增函数；
(2)若f(1)＝1，解关于x的不等式f(x2＋2x)＋f(1﹣x)>4.
增函数
减函数
定义
一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I，如果∀x1，x2∈D
当x1f(x1)当x1f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减
图象描述
自左向右看图象是上升的
自左向右看图象是下降的
前提
设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
条件
(1)∀x∈I，
都有f(x)≤M；
(2)∃x0∈I，
使得f(x0)＝M
(1)∀x∈I，
都有f(x)≥M；
(2)∃x0∈I，
使得f(x0)＝M
结论
M为最大值
M为最小值