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(新高考)高考数学一轮复习学案+分层提升1.5《一元二次方程、不等式》(2份打包，原卷版+教师版)
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这是一份(新高考)高考数学一轮复习学案+分层提升1.5《一元二次方程、不等式》(2份打包，原卷版+教师版)，文件包含新高考高考数学一轮复习讲义+巩固练习15《一元二次方程不等式》原卷版doc、新高考高考数学一轮复习讲义+巩固练习15《一元二次方程不等式》原卷版pdf、新高考高考数学一轮复习讲义+巩固练习15《一元二次方程不等式》教师版doc、新高考高考数学一轮复习讲义+巩固练习15《一元二次方程不等式》教师版pdf等4份试卷配套教学资源，其中试卷共37页， 欢迎下载使用。
1.会从实际情景中抽象出一元二次不等式.
2.结合二次函数图象，会判断一元二次方程的根的个数，以及解一元二次不等式.
3.了解简单的分式、绝对值不等式的解法．
知识梳理
1．二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
2.分式不等式与整式不等式
(1)eq \f(fx,gx)>0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0)；
(2)eq \f(fx,gx)≥0(≤0)⇔f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.
3．简单的绝对值不等式
|x|>a(a>0)的解集为(﹣∞，﹣a)∪(a，＋∞)，|x|0)的解集为(﹣a，a)．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若方程ax2＋bx＋c＝0无实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.( × )
(2)若不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(x1，x2)，则a<0.( √ )
(3)若ax2＋bx＋c>0恒成立，则a>0且Δ<0.( × )
(4)不等式eq \f(x－a,x－b)≥0等价于(x﹣a)(x﹣b)≥0.( × )
教材改编题
1．若集合A＝{x|x2﹣9x>0}，B＝{x|x2﹣2x﹣3<0}，则A∪B等于( )
A．R B．{x|x>﹣1}
C．{x|x<3或x>9} D．{x|x<﹣1或x>3}
答案 C
解析 A＝{x|x>9或x<0}，B＝{x|﹣19}．
2．若关于x的不等式ax2＋bx＋2>0的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)答案 ﹣14
解析 依题意知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(b,a)＝－\f(1,2)＋\f(1,3)，,\f(2,a)＝\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))×\f(1,3)，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－12，,b＝－2，))∴a＋b＝﹣14.
3．一元二次不等式ax2＋ax﹣1<0对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是________．
答案 (﹣4,0)
解析 依题意知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a<0，,Δ<0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a<0，,a2＋4a<0，))∴﹣4题型一 一元二次不等式的解法
命题点1 不含参的不等式
例1 (1)不等式﹣2x2＋x＋3<0的解集为( )
A.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(－1C.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x<－1或x>\f(3,2))))) D.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x<－\f(3,2)或x>1))))
答案 C
解析 ﹣2x2＋x＋3<0可化为2x2﹣x﹣3>0，即(x＋1)(2x﹣3)>0，∴x<﹣1或x>eq \f(3,2).
(2)(多选)已知集合M＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x||x－1|≤2，x∈R))，集合N＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(5,x＋1)≥1，x∈R))))，则( )
A．M＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|－1≤x≤3))
B．N＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|－1≤x≤4))
C．M∪N＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|－1≤x≤4))
D．M∩N＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|－1答案 ACD
解析 由题设可得M＝[﹣1,3]，N＝(﹣1,4]，故A正确，B错误；
M∪N＝{x|﹣1≤x≤4}，故C正确；而M∩N＝{x|﹣1命题点2 含参的不等式
例2 解关于x的不等式ax2﹣(a＋1)x＋1<0(a>0)．
解 原不等式变为(ax﹣1)(x﹣1)<0，
因为a>0，所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,a)))(x﹣1)<0.所以当a>1时，解得eq \f(1,a)当a＝1时，解集为∅；
当0综上，当0当a>1时，不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,a)延伸探究 在本例中，把a>0改成a∈R，解不等式．
解 当a>0时，同例2，当a＝0时，
原不等式等价于﹣x＋1<0，即x>1，
当a<0时，eq \f(1,a)<1，
原不等式可化为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,a)))(x﹣1)>0，解得x>1或x综上，当0当a＝1时，不等式的解集为∅，
当a>1时，不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,a)当a＝0时，不等式的解集为{x|x>1}，
当a<0时，不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x<\f(1,a)或x>1)))).
教师备选
解关于x的不等式x2﹣ax＋1≤0.
解 由题意知，Δ＝a2﹣4，
①当a2﹣4>0，即a>2或a<﹣2时，方程x2﹣ax＋1＝0的两根为x＝eq \f(a±\r(a2－4),2)，
∴原不等式的解为eq \f(a－\r(a2－4),2)≤x≤eq \f(a＋\r(a2－4),2).
②若Δ＝a2﹣4＝0，则a＝±2.
当a＝2时，原不等式可化为x2﹣2x＋1≤0，即(x﹣1)2≤0，∴x＝1；
当a＝﹣2时，原不等式可化为x2＋2x＋1≤0，即(x＋1)2≤0，∴x＝﹣1.
③当Δ＝a2﹣4<0，即﹣2综上，当a>2或a<﹣2时，原不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(a－\r(a2－4),2)≤x≤\f(a＋\r(a2－4),2)))))；
当a＝2时，原不等式的解集为{1}；
当a＝﹣2时，原不等式的解集为{﹣1}；
当﹣2思维升华 对含参的不等式，应对参数进行分类讨论，常见的分类有
(1)根据二次项系数为正、负及零进行分类．
(2)根据判别式Δ与0的关系判断根的个数．
(3)有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论．
跟踪训练1 (1)(多选)已知关于x的不等式ax2＋bx＋c≥0的解集为{x|x≤﹣3或x≥4}，则下列说法正确的是( )
A．a>0
B．不等式bx＋c>0的解集为{x|x<﹣4}
C．不等式cx2﹣bx＋a<0的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x<－\f(1,4)或x>\f(1,3)))))
D．a＋b＋c>0
答案 AC
解析 关于x的不等式ax2＋bx＋c≥0的解集为(﹣∞，﹣3]∪[4，＋∞)，
所以二次函数y＝ax2＋bx＋c的开口方向向上，即a>0，故A正确；
对于B，方程ax2＋bx＋c＝0的两根分别为﹣3,4，
由根与系数的关系得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(b,a)＝－3＋4，,\f(c,a)＝－3×4，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(b＝－a，,c＝－12a.))bx＋c>0⇔﹣ax﹣12a>0，
由于a>0，所以x<﹣12，所以不等式bx＋c>0的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|x<－12))，故B不正确；
对于C，由B的分析过程可知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(b＝－a，,c＝－12a，))
所以cx2﹣bx＋a<0⇔﹣12ax2＋ax＋a<0⇔12x2﹣x﹣1>0⇔x<﹣eq \f(1,4)或x>eq \f(1,3)，
所以不等式cx2﹣bx＋a<0的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x<－\f(1,4)或x>\f(1,3)))))，故C正确；
对于D，a＋b＋c＝a﹣a﹣12a＝﹣12a<0，故D不正确．
(2)解关于x的不等式(x﹣1)(ax﹣a＋1)>0.
解 ①当a＝0时，原不等式可化为x﹣1>0，即x>1；
当a≠0时，(x﹣1)(ax﹣a＋1)＝0的两根分别为1,1﹣eq \f(1,a).
②当a>0时，1﹣eq \f(1,a)<1，∴原不等式的解为x>1或x<1﹣eq \f(1,a).
③当a<0时，1﹣eq \f(1,a)>1，∴原不等式的解为1综上，当a＝0时，原不等式的解集为{x|x>1}；
当a>0时，原不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x>1或x<1－\f(1,a)))))；
当a<0时，原不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(1题型二 一元二次不等式恒(能)成立问题
命题点1 在R上恒成立问题
例3 对∀x∈R，不等式(a﹣2)x2＋2(a﹣2)x﹣4<0恒成立，则a的取值范围是( )
A．﹣2C．a<﹣2或a≥2 D．a≤﹣2或a≥2
答案 A
解析 不等式(a﹣2)x2＋2(a﹣2)x﹣4<0对一切x∈R恒成立，当a﹣2＝0，
即a＝2时，﹣4<0恒成立，满足题意；当a﹣2≠0时，要使不等式恒成立，
需eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－2<0，,Δ<0，))即有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a<2，,4a－22＋16a－2<0，))解得﹣2综上可得，a的取值范围为(﹣2,2]．
命题点2 在给定区间上恒成立问题
例4 已知函数f(x)＝mx2﹣mx﹣1.若对于x∈[1,3]，f(x)<5﹣m恒成立，则实数m的取值范围为________．
答案 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(6,7)))
解析 要使f(x)<﹣m＋5在x∈[1,3]上恒成立，即meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))2＋eq \f(3,4)m﹣6<0在x∈[1,3]上恒成立．有以下两种方法：
方法一 令g(x)＝meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))2＋eq \f(3,4)m﹣6，x∈[1,3]．当m>0时，g(x)在[1,3]上单调递增，
所以g(x)max＝g(3)，即7m﹣6<0，所以m当m<0时，g(x)在[1,3]上单调递减，所以g(x)max＝g(1)，即m﹣6<0，所以m<6，所以m<0.
综上所述，m的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(6,7))).
方法二 因为x2﹣x＋1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))2＋eq \f(3,4)>0，
又因为m(x2﹣x＋1)﹣6<0在x∈[1,3]上恒成立，
所以m因为函数y＝eq \f(6,x2－x＋1)＝eq \f(6,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))2＋\f(3,4))在[1,3]上的最小值为eq \f(6,7)，所以只需m所以m的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(6,7))).
命题点3 给定参数范围的恒成立问题
例5 若不等式x2＋px>4x＋p﹣3，当0≤p≤4时恒成立，则x的取值范围是( )
A．[﹣1,3] B．(﹣∞，﹣1] C．[3，＋∞) D．(﹣∞，﹣1)∪(3，＋∞)
答案 D
解析 不等式x2＋px>4x＋p﹣3可化为(x﹣1)p＋x2﹣4x＋3>0，
由已知可得[(x﹣1)p＋x2﹣4x＋3]min>0(0≤p≤4)，
令f(p)＝(x﹣1)p＋x2﹣4x＋3(0≤p≤4)，
可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(f0＝x2－4x＋3>0，,f4＝4x－1＋x2－4x＋3>0，))∴x<﹣1或x>3.
教师备选
函数f(x)＝x2＋ax＋3.
若当x∈[﹣2,2]时，f(x)≥a恒成立，则实数a的取值范围是________．
若当a∈[4,6]时，f(x)≥0恒成立，则实数x的取值范围是________________．
答案 [﹣7,2] (﹣∞，﹣3﹣eq \r(6)]∪[﹣3＋eq \r(6)，＋∞)
解析 若x2＋ax＋3﹣a≥0在x∈[﹣2,2]上恒成立，令g(x)＝x2＋ax＋3﹣a，
则有①Δ≤0或②eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(Δ>0，,－\f(a,2)<－2，,g－2＝7－3a≥0.))或③eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(Δ>0，,－\f(a,2)>2，,g2＝7＋a≥0，))
解①得﹣6≤a≤2，解②得a∈∅，解③得﹣7≤a<﹣6.
综上可得，满足条件的实数a的取值范围是[﹣7,2]．
令h(a)＝xa＋x2＋3.当a∈[4,6]时，h(a)≥0恒成立．
只需eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(h4≥0，,h6≥0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋4x＋3≥0，,x2＋6x＋3≥0，))解得x≤﹣3﹣eq \r(6)或x≥﹣3＋eq \r(6).
∴实数x的取值范围是(﹣∞，﹣3﹣eq \r(6)]∪[﹣3＋eq \r(6)，＋∞)．
思维升华 恒成立问题求参数的范围的解题策略
(1)弄清楚自变量、参数．一般情况下，求谁的范围，谁就是参数．
(2)一元二次不等式在R上恒成立，可用判别式Δ，一元二次不等式在给定区间上恒成立，不能用判别式Δ，一般分离参数求最值或分类讨论．
跟踪训练2 (1)已知关于x的不等式﹣x2＋4x≥a2﹣3a在R上有解，则实数a的取值范围是( )
A．{a|﹣1≤a≤4} B．{a|﹣1C．{a|a≥4或a≤﹣1} D．{a|﹣4≤a≤1}
答案 A
解析 因为关于x的不等式﹣x2＋4x≥a2﹣3a在R上有解，
即x2﹣4x＋a2﹣3a≤0在R上有解，
只需y＝x2﹣4x＋a2﹣3a的图象与x轴有公共点，
所以Δ＝(﹣4)2﹣4×(a2﹣3a)≥0，
即a2﹣3a﹣4≤0，所以(a﹣4)(a＋1)≤0，解得﹣1≤a≤4，
所以实数a的取值范围是{a|﹣1≤a≤4}．
(2)当x∈(1,2)时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，则m的取值范围是( )
A．(﹣∞，4] B．(﹣∞，﹣5)
C．(﹣∞，﹣5] D．(﹣5，﹣4)
答案 C
解析 令f(x)＝x2＋mx＋4，∴当x∈(1,2)时，f(x)<0恒成立，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(f1≤0，,f2≤0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1＋m＋4≤0，,4＋2m＋4≤0，))解得m≤﹣5.
课时精练
1．不等式9﹣12x≤﹣4x2的解集为( )
A．R B．∅ C.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(3,2))))) D.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠\f(3,2)))))
答案 C
解析 原不等式可化为4x2﹣12x＋9≤0，即(2x﹣3)2≤0，∴2x﹣3＝0，∴x＝eq \f(3,2)，
∴原不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(3,2))))).
2．已知p：|2x﹣3|<1，q：x(x﹣3)<0，则p是q的( )
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．既不充分也不必要条件 D．必要不充分条件
答案 B
解析 ∵p：|2x﹣3|<1，则﹣1<2x﹣3<1，可得p：1又∵q：x(x﹣3)<0，由x(x﹣3)<0，可得q：03．不等式(m＋1)x2﹣mx＋m﹣1<0的解集为∅，则m的取值范围是( )
A．m<﹣1 B．m≥eq \f(2\r(3),3)
C．m≤﹣eq \f(2\r(3),3) D．m≥eq \f(2\r(3),3)或m≤﹣eq \f(2\r(3),3)
答案 B
解析 ∵不等式(m＋1)x2﹣mx＋m﹣1<0的解集为∅，
∴不等式(m＋1)x2﹣mx＋m﹣1≥0恒成立．
①当m＋1＝0，即m＝﹣1时，不等式化为x﹣2≥0，
解得x≥2，不是对任意x∈R恒成立，舍去；
②当m＋1≠0，即m≠﹣1时，对任意x∈R，要使(m＋1)x2﹣mx＋m﹣1≥0，
只需m＋1>0且Δ＝(﹣m)2﹣4(m＋1)(m﹣1)≤0，解得m≥eq \f(2\r(3),3).
综上，实数m的取值范围是m≥eq \f(2\r(3),3).
4．不等式x2＋ax＋4≥0对一切x∈[1,3]恒成立，则a的最小值是( )
A．﹣5 B．﹣eq \f(13,3) C．﹣4 D．﹣3
答案 C
解析 ∵x∈[1,3]时，x2＋ax＋4≥0恒成立，则a≥﹣eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(4,x)))恒成立，
又x∈[1,3]时，x＋eq \f(4,x)≥2eq \r(4)＝4，当且仅当x＝2时取等号．∴﹣eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(4,x)))≤﹣4，
∴a≥﹣4.故a的最小值为﹣4.
5．(多选)满足关于x的不等式(ax﹣b)(x﹣2)>0的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,2)A．(﹣2，﹣1) B．(﹣3，﹣6)
C．(2,4) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－3，－\f(3,2)))
答案 AD
解析 不等式(ax﹣b)(x﹣2)>0的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,2)∴方程(ax﹣b)(x﹣2)＝0的实数根为eq \f(1,2)和2，且eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a<0，,\f(b,a)＝\f(1,2)，))即a＝2b<0，故选AD.
6．(多选)已知不等式x2＋ax＋b>0(a>0)的解集是{x|x≠d}，则下列四个结论中正确的是( )
A．a2＝4b
B．a2＋eq \f(1,b)≥4
C．若不等式x2＋ax﹣b<0的解集为(x1，x2)，则x1x2>0
D．若不等式x2＋ax＋b答案 ABD
解析 由题意，知Δ＝a2﹣4b＝0，所以a2＝4b，所以A正确；
对于B，a2＋eq \f(1,b)＝a2＋eq \f(4,a2)≥2eq \r(a2·\f(4,a2))＝4，当且仅当a2＝eq \f(4,a2)，即a＝eq \r(2)时等号成立，所以B正确；
对于C，由根与系数的关系，知x1x2＝﹣b＝﹣eq \f(a2,4)<0，所以C错误；
对于D，由根与系数的关系，知x1＋x2＝﹣a，x1x2＝b﹣c＝eq \f(a2,4)﹣c，
则|x1﹣x2|＝eq \r(x1＋x22－4x1x2)＝eq \r(a2－4\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a2,4)－c)))＝2eq \r(c)＝4，解得c＝4，所以D正确．
7．不等式eq \f(3,x－1)>1的解集为________．
答案 (1,4)
解析 ∵eq \f(3,x－1)>1，∴eq \f(3,x－1)﹣1>0，即eq \f(4－x,x－1)>0，即18．一元二次方程kx2﹣kx＋1＝0有一正一负根，则实数k的取值范围是________．
答案 (﹣∞，0)
解析 kx2﹣kx＋1＝0有一正一负根，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(Δ＝k2－4k>0，,\f(1,k)<0，))解得k<0.
9．已知关于x的不等式﹣x2＋ax＋b>0.
(1)若该不等式的解集为(﹣4,2)，求a，b的值；
(2)若b＝a＋1，求此不等式的解集．
解 (1)根据题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2－4＝a，,2×－4＝－b，))解得a＝﹣2，b＝8.
(2)当b＝a＋1时，﹣x2＋ax＋b>0⇔x2﹣ax﹣(a＋1)<0，即[x﹣(a＋1)](x＋1)<0.
当a＋1＝﹣1，即a＝﹣2时，原不等式的解集为∅；
当a＋1<﹣1，即a<﹣2时，原不等式的解集为(a＋1，﹣1)；
当a＋1>﹣1，即a>﹣2时，原不等式的解集为(﹣1，a＋1)．
综上，当a<﹣2时，不等式的解集为(a＋1，﹣1)；当a＝﹣2时，不等式的解集为∅；
当a>﹣2时，不等式的解集为(﹣1，a＋1)．
10．若二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，满足f(x＋2)﹣f(x)＝16x且f(0)＝2.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若存在x∈[1,2]，使不等式f(x)>2x＋m成立，求实数m的取值范围．
解 (1)由f(0)＝2，得c＝2，
所以f(x)＝ax2＋bx＋2(a≠0)，
由f(x＋2)﹣f(x)＝[a(x＋2)2＋b(x＋2)＋2]﹣(ax2＋bx＋2)＝4ax＋4a＋2b，
又f(x＋2)﹣f(x)＝16x，得4ax＋4a＋2b＝16x，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4a＝16，,4a＋2b＝0，))故a＝4，b＝﹣8，所以f(x)＝4x2﹣8x＋2.
(2)因为存在x∈[1,2]，使不等式f(x)>2x＋m成立，
即存在x∈[1,2]，使不等式m<4x2﹣10x＋2成立，
令g(x)＝4x2﹣10x＋2，x∈[1,2]，故g(x)max＝g(2)＝﹣2，所以m<﹣2，
即m的取值范围为(﹣∞，﹣2)．
11．(多选)已知函数f(x)＝4ax2＋4x﹣1，∀x∈(﹣1,1)，f(x)<0恒成立，则实数a的取值可能是( )
A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣3
答案 CD
解析 因为f(x)＝4ax2＋4x﹣1，所以f(0)＝﹣1<0成立．
当x∈(﹣1,0)∪(0,1)时，由f(x)<0可得4ax2<﹣4x＋1，所以4a当x∈(﹣1,0)∪(0,1)时，eq \f(1,x)∈(﹣∞，﹣1)∪(1，＋∞)，
所以eq \f(1,x2)﹣eq \f(4,x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)－2))2﹣4≥﹣4，当且仅当x＝eq \f(1,2)时，等号成立，所以4a<﹣4，解得a<﹣1.
12．函数y＝lg(c＋2x﹣x2)的定义域是(m，m＋4)，则实数c的值为________．
答案 3
解析 依题意得，一元二次不等式﹣x2＋2x＋c>0，即x2﹣2x﹣c<0的解集为(m，m＋4)，所以m，m＋4是方程x2﹣2x﹣c＝0的两个根，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＋m＋4＝2，,mm＋4＝－c，))解得m＝﹣1，c＝3.
13．若不等式x2﹣(a＋1)x＋a≤0的解集是[﹣4,3]的子集，则a的取值范围是________．
答案 [﹣4,3]
解析 原不等式为(x﹣a)(x﹣1)≤0，当a<1时，不等式的解集为[a,1]，此时只要a≥﹣4即可，即﹣4≤a<1；当a＝1时，不等式的解为x＝1，此时符合要求；当a>1时，不等式的解集为[1，a]，此时只要a≤3即可，即114．若不等式x2＋ax﹣2>0在[1,5]上有解，则a的取值范围是________．
答案 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(23,5)，＋∞))
解析 对于方程x2＋ax﹣2＝0，
∵Δ＝a2＋8>0，∴方程x2＋ax﹣2＝0有两个不相等的实数根，
又∵两根之积为负，∴必有一正根一负根，设f(x)＝x2＋ax﹣2，
于是不等式x2＋ax﹣2>0在[1,5]上有解的充要条件是f(5)>0，
即5a＋23>0，解得a>﹣eq \f(23,5).故a的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(23,5)，＋∞)).
15．若关于x的不等式x2﹣(2a＋1)x＋2a<0恰有两个整数解，则a的取值范围是( )
A.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(a\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(3,2)C.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(a\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(－1答案 D
解析 令x2﹣(2a＋1)x＋2a＝0，解得x＝1或x＝2a.
当2a>1，即a>eq \f(1,2)时，不等式x2﹣(2a＋1)x＋2a<0的解集为{x|1则3<2a≤4，解得eq \f(3,2)当2a＝1，即a＝eq \f(1,2)时，不等式x2﹣(2a＋1)x＋2a<0无解，所以a＝eq \f(1,2)不符合题意；
当2a<1，即a则﹣2≤2a<﹣1，解得﹣1≤a<﹣eq \f(1,2).
综上，a的取值范围是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(a\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(－1≤a<－\f(1,2)或\f(3,2)16．已知f(x)＝2x2＋bx＋c，不等式f(x)<0的解集是(0,5)．
(1)若不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(fx>0，,fx＋k<0))的正整数解只有一个，求实数k的取值范围；
(2)若对于任意x∈[﹣1,1]，不等式t·f(x)≤2恒成立，求t的取值范围．
解 (1)因为不等式f(x)<0的解集是(0,5)，
所以0,5是一元二次方程2x2＋bx＋c＝0的两个实数根，
可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0＋5＝－\f(b,2)，,0×5＝\f(c,2)，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(b＝－10，,c＝0.))所以f(x)＝2x2﹣10x.
不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(fx>0，,fx＋k<0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x2－10x>0，,2x2＋2kx＋k2－10x＋k<0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x<0或x>5，,－k因为不等式组的正整数解只有一个，可得该正整数解为6，
可得6<5﹣k≤7，解得﹣2≤k<﹣1，所以k的取值范围是[﹣2，﹣1)．
(2)tf(x)≤2，即t(2x2﹣10x)≤2，即tx2﹣5tx﹣1≤0，
当t＝0时显然成立，
当t>0时，有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(t·1－5t·－1－1≤0，,t·1－5t·1－1≤0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(t＋5t－1≤0，,t－5t－1≤0，))
解得﹣eq \f(1,4)≤t≤eq \f(1,6)，所以0当t<0时，函数y＝tx2﹣5tx﹣1在[﹣1,1]上单调递增，
所以只要其最大值满足条件即可，所以t﹣5t﹣1≤0，
解得t≥﹣eq \f(1,4)，即﹣eq \f(1,4)≤t<0，
综上，t的取值范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)，\f(1,6))).判别式
Δ＝b2﹣4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象
方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根
有两个不相等的实数根x1，x2(x1有两个相等的实数根x1＝x2＝﹣eq \f(b,2a)
没有实数根
ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集
{x|xx2}
eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠－\f(b,2a)))))
R
ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集
{x|x1∅
∅
1.会从实际情景中抽象出一元二次不等式.
2.结合二次函数图象，会判断一元二次方程的根的个数，以及解一元二次不等式.
3.了解简单的分式、绝对值不等式的解法．
知识梳理
1．二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
2.分式不等式与整式不等式
(1)eq \f(fx,gx)>0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0)；
(2)eq \f(fx,gx)≥0(≤0)⇔f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.
3．简单的绝对值不等式
|x|>a(a>0)的解集为(﹣∞，﹣a)∪(a，＋∞)，|x|
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若方程ax2＋bx＋c＝0无实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.( × )
(2)若不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(x1，x2)，则a<0.( √ )
(3)若ax2＋bx＋c>0恒成立，则a>0且Δ<0.( × )
(4)不等式eq \f(x－a,x－b)≥0等价于(x﹣a)(x﹣b)≥0.( × )
教材改编题
1．若集合A＝{x|x2﹣9x>0}，B＝{x|x2﹣2x﹣3<0}，则A∪B等于( )
A．R B．{x|x>﹣1}
C．{x|x<3或x>9} D．{x|x<﹣1或x>3}
答案 C
解析 A＝{x|x>9或x<0}，B＝{x|﹣1
2．若关于x的不等式ax2＋bx＋2>0的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)
解析 依题意知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(b,a)＝－\f(1,2)＋\f(1,3)，,\f(2,a)＝\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))×\f(1,3)，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－12，,b＝－2，))∴a＋b＝﹣14.
3．一元二次不等式ax2＋ax﹣1<0对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是________．
答案 (﹣4,0)
解析 依题意知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a<0，,Δ<0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a<0，,a2＋4a<0，))∴﹣4
命题点1 不含参的不等式
例1 (1)不等式﹣2x2＋x＋3<0的解集为( )
A.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(－1
答案 C
解析 ﹣2x2＋x＋3<0可化为2x2﹣x﹣3>0，即(x＋1)(2x﹣3)>0，∴x<﹣1或x>eq \f(3,2).
(2)(多选)已知集合M＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x||x－1|≤2，x∈R))，集合N＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(5,x＋1)≥1，x∈R))))，则( )
A．M＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|－1≤x≤3))
B．N＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|－1≤x≤4))
C．M∪N＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|－1≤x≤4))
D．M∩N＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|－1
解析 由题设可得M＝[﹣1,3]，N＝(﹣1,4]，故A正确，B错误；
M∪N＝{x|﹣1≤x≤4}，故C正确；而M∩N＝{x|﹣1
例2 解关于x的不等式ax2﹣(a＋1)x＋1<0(a>0)．
解 原不等式变为(ax﹣1)(x﹣1)<0，
因为a>0，所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,a)))(x﹣1)<0.所以当a>1时，解得eq \f(1,a)
当0
解 当a>0时，同例2，当a＝0时，
原不等式等价于﹣x＋1<0，即x>1，
当a<0时，eq \f(1,a)<1，
原不等式可化为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,a)))(x﹣1)>0，解得x>1或x
当a>1时，不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,a)
当a<0时，不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x<\f(1,a)或x>1)))).
教师备选
解关于x的不等式x2﹣ax＋1≤0.
解 由题意知，Δ＝a2﹣4，
①当a2﹣4>0，即a>2或a<﹣2时，方程x2﹣ax＋1＝0的两根为x＝eq \f(a±\r(a2－4),2)，
∴原不等式的解为eq \f(a－\r(a2－4),2)≤x≤eq \f(a＋\r(a2－4),2).
②若Δ＝a2﹣4＝0，则a＝±2.
当a＝2时，原不等式可化为x2﹣2x＋1≤0，即(x﹣1)2≤0，∴x＝1；
当a＝﹣2时，原不等式可化为x2＋2x＋1≤0，即(x＋1)2≤0，∴x＝﹣1.
③当Δ＝a2﹣4<0，即﹣2
当a＝2时，原不等式的解集为{1}；
当a＝﹣2时，原不等式的解集为{﹣1}；
当﹣2
(1)根据二次项系数为正、负及零进行分类．
(2)根据判别式Δ与0的关系判断根的个数．
(3)有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论．
跟踪训练1 (1)(多选)已知关于x的不等式ax2＋bx＋c≥0的解集为{x|x≤﹣3或x≥4}，则下列说法正确的是( )
A．a>0
B．不等式bx＋c>0的解集为{x|x<﹣4}
C．不等式cx2﹣bx＋a<0的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x<－\f(1,4)或x>\f(1,3)))))
D．a＋b＋c>0
答案 AC
解析 关于x的不等式ax2＋bx＋c≥0的解集为(﹣∞，﹣3]∪[4，＋∞)，
所以二次函数y＝ax2＋bx＋c的开口方向向上，即a>0，故A正确；
对于B，方程ax2＋bx＋c＝0的两根分别为﹣3,4，
由根与系数的关系得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(b,a)＝－3＋4，,\f(c,a)＝－3×4，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(b＝－a，,c＝－12a.))bx＋c>0⇔﹣ax﹣12a>0，
由于a>0，所以x<﹣12，所以不等式bx＋c>0的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|x<－12))，故B不正确；
对于C，由B的分析过程可知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(b＝－a，,c＝－12a，))
所以cx2﹣bx＋a<0⇔﹣12ax2＋ax＋a<0⇔12x2﹣x﹣1>0⇔x<﹣eq \f(1,4)或x>eq \f(1,3)，
所以不等式cx2﹣bx＋a<0的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x<－\f(1,4)或x>\f(1,3)))))，故C正确；
对于D，a＋b＋c＝a﹣a﹣12a＝﹣12a<0，故D不正确．
(2)解关于x的不等式(x﹣1)(ax﹣a＋1)>0.
解 ①当a＝0时，原不等式可化为x﹣1>0，即x>1；
当a≠0时，(x﹣1)(ax﹣a＋1)＝0的两根分别为1,1﹣eq \f(1,a).
②当a>0时，1﹣eq \f(1,a)<1，∴原不等式的解为x>1或x<1﹣eq \f(1,a).
③当a<0时，1﹣eq \f(1,a)>1，∴原不等式的解为1
当a>0时，原不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x>1或x<1－\f(1,a)))))；
当a<0时，原不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(1
命题点1 在R上恒成立问题
例3 对∀x∈R，不等式(a﹣2)x2＋2(a﹣2)x﹣4<0恒成立，则a的取值范围是( )
A．﹣2
答案 A
解析 不等式(a﹣2)x2＋2(a﹣2)x﹣4<0对一切x∈R恒成立，当a﹣2＝0，
即a＝2时，﹣4<0恒成立，满足题意；当a﹣2≠0时，要使不等式恒成立，
需eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－2<0，,Δ<0，))即有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a<2，,4a－22＋16a－2<0，))解得﹣2
命题点2 在给定区间上恒成立问题
例4 已知函数f(x)＝mx2﹣mx﹣1.若对于x∈[1,3]，f(x)<5﹣m恒成立，则实数m的取值范围为________．
答案 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(6,7)))
解析 要使f(x)<﹣m＋5在x∈[1,3]上恒成立，即meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))2＋eq \f(3,4)m﹣6<0在x∈[1,3]上恒成立．有以下两种方法：
方法一 令g(x)＝meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))2＋eq \f(3,4)m﹣6，x∈[1,3]．当m>0时，g(x)在[1,3]上单调递增，
所以g(x)max＝g(3)，即7m﹣6<0，所以m
综上所述，m的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(6,7))).
方法二 因为x2﹣x＋1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))2＋eq \f(3,4)>0，
又因为m(x2﹣x＋1)﹣6<0在x∈[1,3]上恒成立，
所以m
命题点3 给定参数范围的恒成立问题
例5 若不等式x2＋px>4x＋p﹣3，当0≤p≤4时恒成立，则x的取值范围是( )
A．[﹣1,3] B．(﹣∞，﹣1] C．[3，＋∞) D．(﹣∞，﹣1)∪(3，＋∞)
答案 D
解析 不等式x2＋px>4x＋p﹣3可化为(x﹣1)p＋x2﹣4x＋3>0，
由已知可得[(x﹣1)p＋x2﹣4x＋3]min>0(0≤p≤4)，
令f(p)＝(x﹣1)p＋x2﹣4x＋3(0≤p≤4)，
可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(f0＝x2－4x＋3>0，,f4＝4x－1＋x2－4x＋3>0，))∴x<﹣1或x>3.
教师备选
函数f(x)＝x2＋ax＋3.
若当x∈[﹣2,2]时，f(x)≥a恒成立，则实数a的取值范围是________．
若当a∈[4,6]时，f(x)≥0恒成立，则实数x的取值范围是________________．
答案 [﹣7,2] (﹣∞，﹣3﹣eq \r(6)]∪[﹣3＋eq \r(6)，＋∞)
解析 若x2＋ax＋3﹣a≥0在x∈[﹣2,2]上恒成立，令g(x)＝x2＋ax＋3﹣a，
则有①Δ≤0或②eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(Δ>0，,－\f(a,2)<－2，,g－2＝7－3a≥0.))或③eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(Δ>0，,－\f(a,2)>2，,g2＝7＋a≥0，))
解①得﹣6≤a≤2，解②得a∈∅，解③得﹣7≤a<﹣6.
综上可得，满足条件的实数a的取值范围是[﹣7,2]．
令h(a)＝xa＋x2＋3.当a∈[4,6]时，h(a)≥0恒成立．
只需eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(h4≥0，,h6≥0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋4x＋3≥0，,x2＋6x＋3≥0，))解得x≤﹣3﹣eq \r(6)或x≥﹣3＋eq \r(6).
∴实数x的取值范围是(﹣∞，﹣3﹣eq \r(6)]∪[﹣3＋eq \r(6)，＋∞)．
思维升华 恒成立问题求参数的范围的解题策略
(1)弄清楚自变量、参数．一般情况下，求谁的范围，谁就是参数．
(2)一元二次不等式在R上恒成立，可用判别式Δ，一元二次不等式在给定区间上恒成立，不能用判别式Δ，一般分离参数求最值或分类讨论．
跟踪训练2 (1)已知关于x的不等式﹣x2＋4x≥a2﹣3a在R上有解，则实数a的取值范围是( )
A．{a|﹣1≤a≤4} B．{a|﹣1
答案 A
解析 因为关于x的不等式﹣x2＋4x≥a2﹣3a在R上有解，
即x2﹣4x＋a2﹣3a≤0在R上有解，
只需y＝x2﹣4x＋a2﹣3a的图象与x轴有公共点，
所以Δ＝(﹣4)2﹣4×(a2﹣3a)≥0，
即a2﹣3a﹣4≤0，所以(a﹣4)(a＋1)≤0，解得﹣1≤a≤4，
所以实数a的取值范围是{a|﹣1≤a≤4}．
(2)当x∈(1,2)时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，则m的取值范围是( )
A．(﹣∞，4] B．(﹣∞，﹣5)
C．(﹣∞，﹣5] D．(﹣5，﹣4)
答案 C
解析 令f(x)＝x2＋mx＋4，∴当x∈(1,2)时，f(x)<0恒成立，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(f1≤0，,f2≤0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1＋m＋4≤0，,4＋2m＋4≤0，))解得m≤﹣5.
课时精练
1．不等式9﹣12x≤﹣4x2的解集为( )
A．R B．∅ C.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(3,2))))) D.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠\f(3,2)))))
答案 C
解析 原不等式可化为4x2﹣12x＋9≤0，即(2x﹣3)2≤0，∴2x﹣3＝0，∴x＝eq \f(3,2)，
∴原不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(3,2))))).
2．已知p：|2x﹣3|<1，q：x(x﹣3)<0，则p是q的( )
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．既不充分也不必要条件 D．必要不充分条件
答案 B
解析 ∵p：|2x﹣3|<1，则﹣1<2x﹣3<1，可得p：1
A．m<﹣1 B．m≥eq \f(2\r(3),3)
C．m≤﹣eq \f(2\r(3),3) D．m≥eq \f(2\r(3),3)或m≤﹣eq \f(2\r(3),3)
答案 B
解析 ∵不等式(m＋1)x2﹣mx＋m﹣1<0的解集为∅，
∴不等式(m＋1)x2﹣mx＋m﹣1≥0恒成立．
①当m＋1＝0，即m＝﹣1时，不等式化为x﹣2≥0，
解得x≥2，不是对任意x∈R恒成立，舍去；
②当m＋1≠0，即m≠﹣1时，对任意x∈R，要使(m＋1)x2﹣mx＋m﹣1≥0，
只需m＋1>0且Δ＝(﹣m)2﹣4(m＋1)(m﹣1)≤0，解得m≥eq \f(2\r(3),3).
综上，实数m的取值范围是m≥eq \f(2\r(3),3).
4．不等式x2＋ax＋4≥0对一切x∈[1,3]恒成立，则a的最小值是( )
A．﹣5 B．﹣eq \f(13,3) C．﹣4 D．﹣3
答案 C
解析 ∵x∈[1,3]时，x2＋ax＋4≥0恒成立，则a≥﹣eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(4,x)))恒成立，
又x∈[1,3]时，x＋eq \f(4,x)≥2eq \r(4)＝4，当且仅当x＝2时取等号．∴﹣eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(4,x)))≤﹣4，
∴a≥﹣4.故a的最小值为﹣4.
5．(多选)满足关于x的不等式(ax﹣b)(x﹣2)>0的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,2)
C．(2,4) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－3，－\f(3,2)))
答案 AD
解析 不等式(ax﹣b)(x﹣2)>0的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,2)
6．(多选)已知不等式x2＋ax＋b>0(a>0)的解集是{x|x≠d}，则下列四个结论中正确的是( )
A．a2＝4b
B．a2＋eq \f(1,b)≥4
C．若不等式x2＋ax﹣b<0的解集为(x1，x2)，则x1x2>0
D．若不等式x2＋ax＋b
解析 由题意，知Δ＝a2﹣4b＝0，所以a2＝4b，所以A正确；
对于B，a2＋eq \f(1,b)＝a2＋eq \f(4,a2)≥2eq \r(a2·\f(4,a2))＝4，当且仅当a2＝eq \f(4,a2)，即a＝eq \r(2)时等号成立，所以B正确；
对于C，由根与系数的关系，知x1x2＝﹣b＝﹣eq \f(a2,4)<0，所以C错误；
对于D，由根与系数的关系，知x1＋x2＝﹣a，x1x2＝b﹣c＝eq \f(a2,4)﹣c，
则|x1﹣x2|＝eq \r(x1＋x22－4x1x2)＝eq \r(a2－4\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a2,4)－c)))＝2eq \r(c)＝4，解得c＝4，所以D正确．
7．不等式eq \f(3,x－1)>1的解集为________．
答案 (1,4)
解析 ∵eq \f(3,x－1)>1，∴eq \f(3,x－1)﹣1>0，即eq \f(4－x,x－1)>0，即1
答案 (﹣∞，0)
解析 kx2﹣kx＋1＝0有一正一负根，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(Δ＝k2－4k>0，,\f(1,k)<0，))解得k<0.
9．已知关于x的不等式﹣x2＋ax＋b>0.
(1)若该不等式的解集为(﹣4,2)，求a，b的值；
(2)若b＝a＋1，求此不等式的解集．
解 (1)根据题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2－4＝a，,2×－4＝－b，))解得a＝﹣2，b＝8.
(2)当b＝a＋1时，﹣x2＋ax＋b>0⇔x2﹣ax﹣(a＋1)<0，即[x﹣(a＋1)](x＋1)<0.
当a＋1＝﹣1，即a＝﹣2时，原不等式的解集为∅；
当a＋1<﹣1，即a<﹣2时，原不等式的解集为(a＋1，﹣1)；
当a＋1>﹣1，即a>﹣2时，原不等式的解集为(﹣1，a＋1)．
综上，当a<﹣2时，不等式的解集为(a＋1，﹣1)；当a＝﹣2时，不等式的解集为∅；
当a>﹣2时，不等式的解集为(﹣1，a＋1)．
10．若二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，满足f(x＋2)﹣f(x)＝16x且f(0)＝2.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若存在x∈[1,2]，使不等式f(x)>2x＋m成立，求实数m的取值范围．
解 (1)由f(0)＝2，得c＝2，
所以f(x)＝ax2＋bx＋2(a≠0)，
由f(x＋2)﹣f(x)＝[a(x＋2)2＋b(x＋2)＋2]﹣(ax2＋bx＋2)＝4ax＋4a＋2b，
又f(x＋2)﹣f(x)＝16x，得4ax＋4a＋2b＝16x，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4a＝16，,4a＋2b＝0，))故a＝4，b＝﹣8，所以f(x)＝4x2﹣8x＋2.
(2)因为存在x∈[1,2]，使不等式f(x)>2x＋m成立，
即存在x∈[1,2]，使不等式m<4x2﹣10x＋2成立，
令g(x)＝4x2﹣10x＋2，x∈[1,2]，故g(x)max＝g(2)＝﹣2，所以m<﹣2，
即m的取值范围为(﹣∞，﹣2)．
11．(多选)已知函数f(x)＝4ax2＋4x﹣1，∀x∈(﹣1,1)，f(x)<0恒成立，则实数a的取值可能是( )
A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣3
答案 CD
解析 因为f(x)＝4ax2＋4x﹣1，所以f(0)＝﹣1<0成立．
当x∈(﹣1,0)∪(0,1)时，由f(x)<0可得4ax2<﹣4x＋1，所以4a
所以eq \f(1,x2)﹣eq \f(4,x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)－2))2﹣4≥﹣4，当且仅当x＝eq \f(1,2)时，等号成立，所以4a<﹣4，解得a<﹣1.
12．函数y＝lg(c＋2x﹣x2)的定义域是(m，m＋4)，则实数c的值为________．
答案 3
解析 依题意得，一元二次不等式﹣x2＋2x＋c>0，即x2﹣2x﹣c<0的解集为(m，m＋4)，所以m，m＋4是方程x2﹣2x﹣c＝0的两个根，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＋m＋4＝2，,mm＋4＝－c，))解得m＝﹣1，c＝3.
13．若不等式x2﹣(a＋1)x＋a≤0的解集是[﹣4,3]的子集，则a的取值范围是________．
答案 [﹣4,3]
解析 原不等式为(x﹣a)(x﹣1)≤0，当a<1时，不等式的解集为[a,1]，此时只要a≥﹣4即可，即﹣4≤a<1；当a＝1时，不等式的解为x＝1，此时符合要求；当a>1时，不等式的解集为[1，a]，此时只要a≤3即可，即1
答案 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(23,5)，＋∞))
解析 对于方程x2＋ax﹣2＝0，
∵Δ＝a2＋8>0，∴方程x2＋ax﹣2＝0有两个不相等的实数根，
又∵两根之积为负，∴必有一正根一负根，设f(x)＝x2＋ax﹣2，
于是不等式x2＋ax﹣2>0在[1,5]上有解的充要条件是f(5)>0，
即5a＋23>0，解得a>﹣eq \f(23,5).故a的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(23,5)，＋∞)).
15．若关于x的不等式x2﹣(2a＋1)x＋2a<0恰有两个整数解，则a的取值范围是( )
A.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(a\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(3,2)
解析 令x2﹣(2a＋1)x＋2a＝0，解得x＝1或x＝2a.
当2a>1，即a>eq \f(1,2)时，不等式x2﹣(2a＋1)x＋2a<0的解集为{x|1
当2a<1，即a
综上，a的取值范围是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(a\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(－1≤a<－\f(1,2)或\f(3,2)
(1)若不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(fx>0，,fx＋k<0))的正整数解只有一个，求实数k的取值范围；
(2)若对于任意x∈[﹣1,1]，不等式t·f(x)≤2恒成立，求t的取值范围．
解 (1)因为不等式f(x)<0的解集是(0,5)，
所以0,5是一元二次方程2x2＋bx＋c＝0的两个实数根，
可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0＋5＝－\f(b,2)，,0×5＝\f(c,2)，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(b＝－10，,c＝0.))所以f(x)＝2x2﹣10x.
不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(fx>0，,fx＋k<0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x2－10x>0，,2x2＋2kx＋k2－10x＋k<0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x<0或x>5，,－k
可得6<5﹣k≤7，解得﹣2≤k<﹣1，所以k的取值范围是[﹣2，﹣1)．
(2)tf(x)≤2，即t(2x2﹣10x)≤2，即tx2﹣5tx﹣1≤0，
当t＝0时显然成立，
当t>0时，有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(t·1－5t·－1－1≤0，,t·1－5t·1－1≤0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(t＋5t－1≤0，,t－5t－1≤0，))
解得﹣eq \f(1,4)≤t≤eq \f(1,6)，所以0
所以只要其最大值满足条件即可，所以t﹣5t﹣1≤0，
解得t≥﹣eq \f(1,4)，即﹣eq \f(1,4)≤t<0，
综上，t的取值范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)，\f(1,6))).判别式
Δ＝b2﹣4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象
方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根
有两个不相等的实数根x1，x2(x1
没有实数根
ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集
{x|x
eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠－\f(b,2a)))))
R
ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集
{x|x1
∅
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