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2024高考数学第一轮复习：专题2.2 函数的单调性与最值（原卷版）
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这是一份2024高考数学第一轮复习：专题2.2 函数的单调性与最值（原卷版），共11页。
知识点总结
知识点一 增函数与减函数的定义
一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I：
(1)如果∀x1，x2∈D，当x1(2)如果∀x1，x2∈D，当x1f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们称它是 ．
思考 (1)所有的函数在定义域上都具有单调性吗？
(2)在增函数和减函数定义中，能否把“任意x1，x2∈D”改为“存在x1，x2∈D”？
答案 (1)不是；(2)不能．
知识点二 函数的单调区间
如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的) ，区间D叫做y＝f(x)的 ．
特别提醒：(1)函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，所以单调区间的端点若属于定义域，则该点处区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开．
(2)单调区间D⊆定义域I.
(3)遵循最简原则，单调区间应尽可能大．
知识点三 函数的最大(小)值及其几何意义
思考 函数f(x)＝x2＋1≥－1总成立，f(x)的最小值是－1吗？
答案 f(x)的最小值不是－1，因为f(x)取不到－1.
知识点四 求函数最值的常用方法
1．图象法：作出y＝f(x)的图象，观察最高点与最低点，最高(低)点的纵坐标即为函数的最大(小)值．
2．运用已学函数的值域．
3．运用函数的单调性：
(1)若y＝f(x)在区间[a，b]上是增函数，则ymax＝ ，ymin＝ ．
(2)若y＝f(x)在区间[a，b]上是减函数，则ymax＝ ，ymin＝ ．
4．分段函数的最大(小)值是指各段上的最大(小)值中最大(小)的那个．
典型例题分析
考向一 函数单调性的判定与证明
例1 根据定义，研究函数f(x)＝eq \f(ax,x－1)在x∈(－1,1)上的单调性．
反思感悟 利用定义判断或证明函数单调性的步骤
考向二 求单调区间并判断单调性
例2 (1)如图是定义在区间[－5,5]上的函数y＝f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？
(1)函数单调区间的两种求法
①图象法．即先画出图象，根据图象求单调区间．
②定义法．即先求出定义域，再利用定义法进行判断求解．
(2)函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，单调区间是定义域的子集；当函数出现两个以上单调区间时，单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示；在单调区间D上函数要么是增函数，要么是减函数，不能二者兼有．
考向三 利用函数的单调性求最值
例3 已知函数f(x)＝eq \f(x－1,x＋2)，x∈[3,5]．
(1)判断函数f(x)的单调性并证明；
(2)求函数f(x)的最大值和最小值．
反思感悟 (1)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增，则f(x)的最大值为f(b)，最小值为f(a)．
(2)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递减，则f(x)的最大值为f(a)，最小值为f(b)．
(3)若函数y＝f(x)有多个单调区间，那就先求出各区间上的最值，再从各区间的最值中决定出最大(小)值．函数的最大(小)值是整个值域范围内的最大(小)值．
(4)如果函数定义域为开区间，则不但要考虑函数在该区间上的单调性，还要考虑端点处的函数值或者发展趋势．
基础题型训练
一、单选题
1．函数在上是减函数，则（ ）
A．B．
C．D．
2．若函数f(x)是R上的增函数，对实数a，b，若a＋b>0，则有( )
A．f(a)＋f(b)>f(－a)＋f(－b)B．f(a)＋f(b)C．f(a)－f(b)>f(－a)－f(－b)D．f(a)－f(b)3．函数为的导函数，令，则下列关系正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．函数的值域为
A．B．C．D．
5．设a，，若时，恒有，则（ ）
A．B．C．D．
6．已知函数的图像关于对称，且对任意的，，总有，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
7．函数满足条件：①对定义域内任意不相等的实数，恒有；②对定义域内任意两个实数，都有成立，则称为函数，下列函数为函数的是（ ）
A．B．
C．，D．，
8．关于函数，下列命题中正确的是（ ）
A．函数图象关于y轴对称
B．当时，函数在上为增函数
C．当时，函数有最大值，且最大值为
D．函数的值域是
三、填空题
9．函数的单调递减区间为________.
10．二次函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是______.
11．如果对于函数的定义域内任意两个自变量的值，，当时，都有且存在两个不相等的自变量，，使得，则称为定义域上的不严格的增函数．已知函数的定义域、值域分别为，，，且为定义域上的不严格的增函数，那么这样的函数共有________个．
12．已知在上单调递增，则实数a的取值范围为______.
四、解答题
13．设函数,,函数.
(1)若时,画出函数的图象,并指出函数的单调区间；
(2)求在区间上的最小值.
14．设函数，求证：函数f（x）在区间[0，+∞）上是单调增函数．
15．已知函数，二次函数满足，且不等式的解集为．
(1)求，的解析式；
(2)设，根据定义证明：在上为增函数．
16．设是偶函数，是奇函数，且，求函数的解析式．
提升题型训练
一、单选题
1．函数y=x2-5x-6在区间[2，4]上是（ ）
A．递减函数B．递增函数
C．先递减再递增函数D．先递增再递减函数
2．定义，若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．已知，若函数在上为减函数，且函数在上有最大值，则a的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
4．已知函数在上是增函数，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．当时，函数有最小值是，则的值为（ ）
A．B．1C．3D．1或3
6．已知函数是定义在上的单调函数，且，则的值为（ ）
A．B．C．D．4
二、多选题
7．已知函数的图象由如图所示的两段线段组成，则下列正确的为（ ）
A．
B．函数在区间上的最大值为2
C．的解析式可表示为：
D．，不等式的解集为
8．函数与函数在同一坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
9．的最大值为______．
10．已知函数在上单调,则实数取值范围是__________.
11．函数在上的最小值为8，则实数______.
12．已知，，若对任意都成立，则的取值范围是______．
四、解答题
13．已知函数,当自变量x在下列范围内取值时,求函数的最大值和最小值.
(1)R；(2)；(3).
14．已知函数，且，.
（1）求，；
（2）判断在上的单调性并证明.
15．设函数的定义域为，且有：，② 对任意正实数都有，③为减函数
（1）求：的值；
（2）求证：当时，；
（3）求证：当时，都有；
（4）解不等式：.
16．对于定义在区间上的函数，若存在闭区间和常数，使得对任意，都有，且对任意，当时恒成立，则称函数为区间上的“平底型”函数.
（I）若函数是上的“平底型”函数，求的值；
（Ⅱ）判断函数是否为上的“平底型”函数？并说明理由；
（Ⅲ）若函数是区间上的“平底型”函数，且函数的最小值为，求.
的值．
最值
条件
几何意义
最大值
①对于∀x∈I，都有 ，②∃x0∈I，使得
函数y＝f(x)图象上最高点的纵坐标
最小值
①对于∀x∈I，都有 ，②∃x0∈I，使得
函数y＝f(x)图象上最低点的纵坐标
知识点总结
知识点一 增函数与减函数的定义
一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I：
(1)如果∀x1，x2∈D，当x1
思考 (1)所有的函数在定义域上都具有单调性吗？
(2)在增函数和减函数定义中，能否把“任意x1，x2∈D”改为“存在x1，x2∈D”？
答案 (1)不是；(2)不能．
知识点二 函数的单调区间
如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的) ，区间D叫做y＝f(x)的 ．
特别提醒：(1)函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，所以单调区间的端点若属于定义域，则该点处区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开．
(2)单调区间D⊆定义域I.
(3)遵循最简原则，单调区间应尽可能大．
知识点三 函数的最大(小)值及其几何意义
思考 函数f(x)＝x2＋1≥－1总成立，f(x)的最小值是－1吗？
答案 f(x)的最小值不是－1，因为f(x)取不到－1.
知识点四 求函数最值的常用方法
1．图象法：作出y＝f(x)的图象，观察最高点与最低点，最高(低)点的纵坐标即为函数的最大(小)值．
2．运用已学函数的值域．
3．运用函数的单调性：
(1)若y＝f(x)在区间[a，b]上是增函数，则ymax＝ ，ymin＝ ．
(2)若y＝f(x)在区间[a，b]上是减函数，则ymax＝ ，ymin＝ ．
4．分段函数的最大(小)值是指各段上的最大(小)值中最大(小)的那个．
典型例题分析
考向一 函数单调性的判定与证明
例1 根据定义，研究函数f(x)＝eq \f(ax,x－1)在x∈(－1,1)上的单调性．
反思感悟 利用定义判断或证明函数单调性的步骤
考向二 求单调区间并判断单调性
例2 (1)如图是定义在区间[－5,5]上的函数y＝f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？
(1)函数单调区间的两种求法
①图象法．即先画出图象，根据图象求单调区间．
②定义法．即先求出定义域，再利用定义法进行判断求解．
(2)函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，单调区间是定义域的子集；当函数出现两个以上单调区间时，单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示；在单调区间D上函数要么是增函数，要么是减函数，不能二者兼有．
考向三 利用函数的单调性求最值
例3 已知函数f(x)＝eq \f(x－1,x＋2)，x∈[3,5]．
(1)判断函数f(x)的单调性并证明；
(2)求函数f(x)的最大值和最小值．
反思感悟 (1)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增，则f(x)的最大值为f(b)，最小值为f(a)．
(2)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递减，则f(x)的最大值为f(a)，最小值为f(b)．
(3)若函数y＝f(x)有多个单调区间，那就先求出各区间上的最值，再从各区间的最值中决定出最大(小)值．函数的最大(小)值是整个值域范围内的最大(小)值．
(4)如果函数定义域为开区间，则不但要考虑函数在该区间上的单调性，还要考虑端点处的函数值或者发展趋势．
基础题型训练
一、单选题
1．函数在上是减函数，则（ ）
A．B．
C．D．
2．若函数f(x)是R上的增函数，对实数a，b，若a＋b>0，则有( )
A．f(a)＋f(b)>f(－a)＋f(－b)B．f(a)＋f(b)
A．B．C．D．
4．函数的值域为
A．B．C．D．
5．设a，，若时，恒有，则（ ）
A．B．C．D．
6．已知函数的图像关于对称，且对任意的，，总有，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
7．函数满足条件：①对定义域内任意不相等的实数，恒有；②对定义域内任意两个实数，都有成立，则称为函数，下列函数为函数的是（ ）
A．B．
C．，D．，
8．关于函数，下列命题中正确的是（ ）
A．函数图象关于y轴对称
B．当时，函数在上为增函数
C．当时，函数有最大值，且最大值为
D．函数的值域是
三、填空题
9．函数的单调递减区间为________.
10．二次函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是______.
11．如果对于函数的定义域内任意两个自变量的值，，当时，都有且存在两个不相等的自变量，，使得，则称为定义域上的不严格的增函数．已知函数的定义域、值域分别为，，，且为定义域上的不严格的增函数，那么这样的函数共有________个．
12．已知在上单调递增，则实数a的取值范围为______.
四、解答题
13．设函数,,函数.
(1)若时,画出函数的图象,并指出函数的单调区间；
(2)求在区间上的最小值.
14．设函数，求证：函数f（x）在区间[0，+∞）上是单调增函数．
15．已知函数，二次函数满足，且不等式的解集为．
(1)求，的解析式；
(2)设，根据定义证明：在上为增函数．
16．设是偶函数，是奇函数，且，求函数的解析式．
提升题型训练
一、单选题
1．函数y=x2-5x-6在区间[2，4]上是（ ）
A．递减函数B．递增函数
C．先递减再递增函数D．先递增再递减函数
2．定义，若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．已知，若函数在上为减函数，且函数在上有最大值，则a的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
4．已知函数在上是增函数，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．当时，函数有最小值是，则的值为（ ）
A．B．1C．3D．1或3
6．已知函数是定义在上的单调函数，且，则的值为（ ）
A．B．C．D．4
二、多选题
7．已知函数的图象由如图所示的两段线段组成，则下列正确的为（ ）
A．
B．函数在区间上的最大值为2
C．的解析式可表示为：
D．，不等式的解集为
8．函数与函数在同一坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
9．的最大值为______．
10．已知函数在上单调,则实数取值范围是__________.
11．函数在上的最小值为8，则实数______.
12．已知，，若对任意都成立，则的取值范围是______．
四、解答题
13．已知函数,当自变量x在下列范围内取值时,求函数的最大值和最小值.
(1)R；(2)；(3).
14．已知函数，且，.
（1）求，；
（2）判断在上的单调性并证明.
15．设函数的定义域为，且有：，② 对任意正实数都有，③为减函数
（1）求：的值；
（2）求证：当时，；
（3）求证：当时，都有；
（4）解不等式：.
16．对于定义在区间上的函数，若存在闭区间和常数，使得对任意，都有，且对任意，当时恒成立，则称函数为区间上的“平底型”函数.
（I）若函数是上的“平底型”函数，求的值；
（Ⅱ）判断函数是否为上的“平底型”函数？并说明理由；
（Ⅲ）若函数是区间上的“平底型”函数，且函数的最小值为，求.
的值．
最值
条件
几何意义
最大值
①对于∀x∈I，都有 ，②∃x0∈I，使得
函数y＝f(x)图象上最高点的纵坐标
最小值
①对于∀x∈I，都有 ，②∃x0∈I，使得
函数y＝f(x)图象上最低点的纵坐标
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