(新高考)高考数学一轮复习学案+分层提升3.5《利用导数研究恒(能)成立问题》(2份打包，原卷版+教师版)

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例1 已知函数f(x)＝(x﹣2)ex﹣eq \f(1,2)ax2＋ax(a∈R)．
(1)当a＝0时，求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；
(2)当x≥2时，f(x)≥0恒成立，求a的取值范围．
教师备选
已知函数f(x)＝eq \f(x2,2)﹣(m＋1)x＋mln x＋m，f′(x)为函数f(x)的导函数．
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若xf′(x)﹣f(x)≥0恒成立，求m的取值范围．
思维升华 分离参数法解决恒(能)成立问题的策略
(1)分离变量．构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
(2)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max；
a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min；
a≥f(x)能成立⇔a≥f(x)min；
a≤f(x)能成立⇔a≤f(x)max.
跟踪训练1 已知函数f(x)＝xln x(x>0)．
(1)求函数f(x)的极值；
(2)若存在x∈(0，＋∞)，使得f(x)≤eq \f(－x2＋mx－3,2)成立，求实数m的最小值．
题型二 等价转化求参数范围
例2 已知函数f(x)＝ex﹣1﹣ax＋ln x(a∈R)．
(1)若函数f(x)在x＝1处的切线与直线3x﹣y＝0平行，求a的值；
(2)若不等式f(x)≥ln x﹣a＋1对一切x∈[1，＋∞)恒成立，求实数a的取值范围．
教师备选
已知函数f(x)＝﹣ax2＋ln x(a∈R)．
(1)讨论f(x)的单调性﹔
(2)若存在x∈(1，＋∞)，f(x)>﹣a，求a的取值范围．
跟踪训练2 已知函数f(x)＝x2﹣(a＋2)x＋aln x.
(1)当a>2时，求函数f(x)的单调区间；
(2)若存在x∈[1，＋∞)，使f(x)题型三 双变量的恒(能)成立问题
例3 设f(x)＝eq \f(a,x)＋xln x，g(x)＝x3﹣x2﹣3.
(1)如果存在x1，x2∈[0,2]，使得g(x1)﹣g(x2)≥M成立，求满足上述条件的最大整数M；
(2)如果对于任意的s，t∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，2))，都有f(s)≥g(t)成立，求实数a的取值范围．
教师备选
已知函数f(x)＝eq \f(ax2－x－1,ex)(x∈R)，a为正实数．
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)若∀x1，x2∈[0,4]，不等式|f(x1)﹣f(x2)|<1恒成立，求实数a的取值范围．
思维升华 “双变量”的恒(能)成立问题一定要正确理解其实质，深刻挖掘内含条件，进行等价变换，常见的等价转换有
(1)∀x1，x2∈D，f(x1)>g(x2)⇔f(x)min>g(x)max.
(2)∀x1∈D1，∃x2∈D2，f(x1)>g(x2)⇔f(x)min>g(x)min.
(3)∃x1∈D1，∀x2∈D2，f(x1)>g(x2)⇔f(x)max>g(x)max.
跟踪训练3 设f(x)＝xex，g(x)＝eq \f(1,2)x2＋x.
(1)令F(x)＝f(x)＋g(x)，求F(x)的最小值；
(2)若任意x1，x2∈[﹣1，＋∞)，且x1>x2，有m[f(x1)﹣f(x2)]>g(x1)﹣g(x2)恒成立，求实数m的取值范围．
课时精练
1．已知函数f(x)＝x(mex﹣1)．
(1)当m＝1时，求函数f(x)的图象在(1，f(1))处的切线方程；
(2)当x>0时，f(x)≥x2﹣2x，求实数m的取值范围．
2．设函数f(x)＝x2﹣(a＋2)x＋aln x(a∈R).
(1)若x＝3是f(x)的极值点，求f(x)的单调区间；
(2)若f(x)≥1恒成立，求a的取值范围．
3．已知f(x)是定义在[﹣1,1]上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2＋sin x，g(x)是定义在(0，＋∞)上的函数，且g(x)＝ax＋eq \f(1,x)﹣2(a>0)．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若对于∀x1∈[﹣1,1]，∃x2∈(0，＋∞)，使得f(x1)>g(x2)成立，求实数a的取值范围．
4．已知函数f(x)＝eax﹣x.
(1)若曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处切线的斜率为1，求f(x)的单调区间；
(2)若不等式f(x)≥eaxln x﹣ax2对x∈(0，e]恒成立，求a的取值范围．