2023-2024学年上海市嘉定区第一中学高二上学期12月月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年上海市嘉定区第一中学高二上学期12月月考数学试题含答案，共15页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、填空题
1．已知向量与垂直，则m的值为 .
【答案】
【分析】直接根据向量垂直计算得到答案.
【详解】，解得.
故答案为：
2．计算： .
【答案】/
【分析】根据无限递缩等比数列前n项和公式可得结果.
【详解】
故答案为：
3．已知圆锥的轴截面是一个顶角为，腰长为2的等腰三角形，则该圆锥的体积为 .
【答案】
【分析】利用圆锥轴截面等腰三角形特征求出圆锥的高和底面圆半径，再利用圆锥体积公式计算作答.
【详解】因圆锥的轴截面是一个顶角为，腰长为2的等腰三角形，则此等腰三角形底边上的高即为圆锥的高h，
因此，，圆锥底面圆半径，
所以圆锥的体积为.
故答案为：
4．如图，以长方体的顶点为坐标原点，过的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为，则的坐标为
【答案】
【详解】 如图所示，以长方体的顶点为坐标原点，
过的三条棱所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，
因为的坐标为，所以,
所以.
5．将一段长12的铁丝折成两两互相垂直的三段，使三段长分别为3､4､5，则原铁丝的两个端点之间的距离为 .
【答案】
【分析】将所折铁丝用空间几何体表示，可得各侧面均为直角三角形的三棱锥，进而求原铁丝的两个端点之间的距离.
【详解】由题意，三段分别为，如下图示，
∴，又，即面，
又面，故，
∴.
故答案为：
6．一个圆锥的侧面展开图是一个半径为的半圆，则这个圆锥的底面积是
【答案】
【分析】根据展开后半圆的弧长等于原圆锥底面的周长求解即可.
【详解】由题,展开图半圆的弧长为.设圆锥的底面半径为则,故.
故底面积为.
故答案为：
【点睛】本题主要考查了圆锥侧面展开图中的运算,注意展开后半扇形的弧长等于原圆锥底面的周长计算.属于基础题.
7．从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为 ．
【答案】
【详解】从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，
基本事件总数n=5×5=25，
抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的基本事件有：
（2，1），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2），（4，3），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），
共有m=10个基本事件，
∴抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率p=
故答案为.
8．如图所示，是利用斜二测画法画出的的直观图，已知轴，，且的面积为16，过作轴，则的长为 .

【答案】
【分析】利用面积公式，求出直观图的高，求出，然后求出的长.
【详解】因为轴，所以的中，，又三角形的面积为16，
所以.∴，所以.
如图作于，
因为，所以.
故答案为：.

9．已知为数列的前项和，且，则 ．
【答案】
【分析】根据可知，得到数列为等差数列；利用等差数列前项和公式构造方程可求得；利用等差数列通项公式求得结果.
【详解】由得：，即：
数列是公差为的等差数列
又 ，解得：
本题正确结果：
【点睛】本题考查等差数列通项公式、前项和公式的应用，关键是能够利用判断出数列为等差数列，进而利用等差数列中的相关公式来进行求解.
10．在《九章算术》第五卷《商功》中，将底面为正方形，顶点在底面上的射影为底面中心的四棱锥称为方锥，也就是正四棱锥.已知球内接方锥的底面过球心，若方锥的体积为，则球的表面积为 ．
【答案】
【分析】本题可先根据题意得出方锥与圆位置关系，再根据方锥与圆位置关系得出方锥的高和对角线的长度，然后通过方锥的体积计算出半径的长度，最后得出结果．
【详解】因为球内接方锥的底面过球心，
所以方锥的高为球的半径，底面对角线为，
所以计算得
所以球的表面积为．
【点睛】本题主要考查多面体与圆相切的相关知识，考查推理能力，考查空间想象能力，考查数形结合思想，是简单题．
11．已知平面的法向量为，点在平面内，若点到平面的距离为，则 .
【答案】-1或-11/-11或-1
【分析】先求出，由题得，即，解方程即得解.
【详解】由题意，由空间中点到面距离的向量公式，
即，解得或－11.
故答案为：-1或-11
12．若正方体的棱长为3，P是正方体表面上一动点.设是以P为球心，半径为1的动球在运动过程中经过区域的全体，则的体积为 .
【答案】
【分析】由空间想象得到为棱长为5的正方体，去掉中心处棱长为1的正方体，各角去掉正方体减去一个顶点为球心半径为1的球后余下部分，各棱处去掉长方体减去一条高为轴，1为底面半径的圆柱后的部分，再结合正方体、球体、圆柱的体积公式求体积.
【详解】由题设，动球在运动过程中经过区域可看作棱长为5的正方体，先去掉中心处棱长为1的正方体，
8个角处去掉：棱长为1的正方体减去一个顶点为球心半径为1的球后剩余部分，
12条棱处去掉：底面边长为1，高为3的棱柱减去一条高为3，底面半径为1的圆柱后剩余部分，
综上，的体积为.
故答案为：
二、单选题
13．下列结论：①如果，那么为必然事件：
②若事件与是互斥事件，则；
③概率是随机的，试验前不能确定；
④若事件与是对立事件，则与一定是互斥事件．
其中是正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【分析】根据必然事件、互斥事件、对立事件、概率等知识确定正确答案.
【详解】必然事件的概率是，所以①错误.
若事件与是互斥事件，则，所以②错误.
概率是理论值，是固定值，与实验前后无关，所以③错误.
若事件与是对立事件，则与一定是互斥事件，所以④正确.
所以正确的有个.
故选：A
14．下列说法不正确的是
A．空间中，一组对边平行且相等的四边形是一定是平行四边形；
B．同一平面的两条垂线一定共面；
C．过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内；
D．过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直.
【答案】D
【详解】一组对边平行就决定了共面；同一平面的两条垂线互相平行，因而共面；
这些直线都在同一个平面内即直线的垂面；把书本的书脊垂直放在桌上就明确了
15．如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，①BM与ED平行；②CN与BE是异面直线；③CN与BM成60°；④DM与BN垂直.以上四个命题中，正确命题的序号是（ ）
A．①②③B．②④C．③④D．②③④
【答案】C
【分析】根据平面展开图可得原正方体，根据各点的分布逐项判断可得正确的选项．
【详解】由平面展开图可得原正方体如图所示：
由图可得：为异面直线，与不是异面直线，故①②错误；
连接，则为等边三角形，
而，故或其补角为与所成的角，
因为，故与所成的角为，故③正确；
因为，又平面，所以，故平面
又平面，所以，则④正确；
综上，正确命题的序号为：③④．
故选：C．
16．如图，已知正四面体，点，，，，，分别是所在棱中点，点满足且，记，则当，且时，数量积的不同取值的个数是（ ）
A．3B．5C．9D．21
【答案】B
【分析】由条件可知点在平面上，并且由几何意义可知平面，利用数量积的几何意义求的不同取值的个数.
【详解】条件“且”，说明点在平面上，而说明为平面的中心，此时平面，由向量数量积的几何意义，在的投影有5种情况：0、、，∴数量积的不同取值的个数是5，
故选：B．
【点睛】本题考查空间向量共面定理的应用，数量积的几何意义，重点考查转化思想，数形结合思想，属于中档题型.
三、解答题
17．公差不为零的等差数列中，成等比数列，且该数列的前10项和为100．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和的最小值．
【答案】（1）；（2）时，最小值为．
【详解】试题分析：（1）设公差为，列出方程组，求得，即可求解数列的通项公式；（2）由（1）可知数列是等差数列，得，即可求解数列的前项和的最小值．
试题解析：（1）设公差为，则，
∴，∴；
（2），∴，．
∴数列是等差数列，，∴时，最小值为-25．
【解析】数列的通项公式；实录的求和及应用．
18．如图，在正三棱柱与四棱锥组成的组合体中，底面恰好是边长为2菱形，且．
（1）求证：平面
（2）设E是的中点，求直线与直线所成角的余弦值．
【答案】（1）证明见详解；（2）.
【分析】（1）利用线面平行的判定定理即可证明.
（2）以菱形的中心为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量法即可求解.
【详解】（1）连接，在正三棱柱中，且，
为菱形，则且，
所以且，所以四边形为平行四边形，
所以，
又因为平面，所以平面.
（2）四边形为菱形，可得，
取的中点，连接，
为正三棱柱，
则平面，
以为原点，为轴，以为轴建立空间直角坐标系，如图：
为正三角形，，
，，，，
设直线与直线所成角为，
.
所以直线与直线所成角的余弦值.
19．已知正方形ABED的边长为，O为两条对角线的交点，如图所示，将沿BD所在的直线折起，使得点E移至点C，满足．
(1)求四面体ABCD的体积V；
(2)求直线BC与平面ACD所成的角的大小．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用勾股定理逆定理证明，结合，证明平面，从而可得CO是三棱锥底面的高，由椎体的体积公式求解即可;
（2）建立空间直角坐标系，求出所需点坐标和向量坐标，求解平面的法向量，然后利用线面角的计算公式即可.
【详解】（1）由已知，，，
所以
所以
又由已知，
又平面,
所以平面
则可得CO是三棱锥底面的高，
所以．
（2）分别以OA、OB、OC为坐标轴，建立空间直角坐标系．
则有，，，，，
，，
设为平面的一个法向量，与平面所成的角为，
则,即
令，得．
所以．
故BC与平面ACD所成的角为．
20．如图，正方形、的边长都是1，而且平面、互相垂直．点M在上移动，点N在上移动，若．
(1)求的长；
(2)a为何值时，的长最小；
(3)当的长最小时，求面与面所成二面角的大小．
【答案】(1)
(2)当时，MN的长取最小值
(3)
【分析】（1）作MP∥AB交BC于点P，NQ∥AB交BE于点Q，则MNQP是平行四边形，根据MN＝PQ，即可求出MN的长；
（2）根据（1）的结果，结合二次函数的性质，即可求出MN的最小值；
（3）取MN的中点G，由题意知AG⊥MN，BG⊥MN，根据二面角的平面角的定义可知∠AGB即为二面角的平面角，在三角形AGB中利用余弦定理求解即可．
【详解】（1）作MP∥AB交BC于点P，NQ∥AB交BE于点Q，连接PQ，
依题意可得MP∥NQ，且MP＝NQ，即MNQP是平行四边形，∴MN＝PQ．
由已知，CM＝BN＝a，CB＝AB＝BE＝1，
∴AC＝BF＝，
，即，
．
（2）由（1）得，，，
所以，当时，MN的长取最小值.
即当M、N分别为AC、BF的中点时，MN的长最小，最小值为.

（3）取MN的中点G，连接AG、BG，由（2）可得，
∵G为MN的中点，
∴AG⊥MN，BG⊥MN，则∠AGB即为所求二面角的平面角α，
又AG＝BG＝，
所以由余弦定理有，
故所求二面角．
21．某公司实行了年薪制工资结构改革．该公司从2023年起，每人的工资由三个项目构成，并按下表规定实施：
如果该公司2023年有5位职工，计划从2024年起每年新招5名职工．若2023年算第一年
(1)求第三年公司付给职工的工资总额.
(2)将第年该公司付给职工工资总额（万元）表示成年限的函数；
(3)若公司每年发给职工工资总额中，房屋补贴和医疗费之和总是不会超过基础工资总额的，求的最小值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据所给计算公式求出职工人数、基础工资、房屋补贴、医疗费，即可得解；
（2）设第年共有个职工，从而求出基础工资、房屋补贴、医疗费，即可得解；
（3）根据题意可得，令，求出的最大项，使大于等于的最大项即可求解.
【详解】（1）依题意第三年共有职工人，
基础工资为万，
房屋补贴为万，
医疗费为万，
所以第三年公司付给职工的工资总额为万.
（2）设第年共有个职工，那么基础工资总额为万元
医疗总额为：万元，
房屋补贴为： 万元，
所以，.
（3）依题意，
所以，令，
令，即，解得，
又且，，，所以当或时取得最大值，
所以，则，则的最小值为.
项目
金额[万元（人·年）]
性质与计算方法
基础工资
2022年基础工资为1万元
考虑到物价因素，决定从2023年起每年递增（年入职年限无关，2023年基本工资为万元）
房屋补贴
0.08万元
从2023年起，按职工到公司年限计算，每年递增0.08万元
医疗费
0.32万元
固定不变