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2023-2024学年上海市华东师范大学附属东昌中学高二上学期12月月考数学试题含答案
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这是一份2023-2024学年上海市华东师范大学附属东昌中学高二上学期12月月考数学试题含答案，共14页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、填空题
1．函数在区间上的平均变化率为 ．
【答案】
【分析】利用平均变化率的概念和公式运算即可得解.
【详解】解：由题意可得平均变化率为：
．
故答案为：
2．已知双曲线，则其两条渐近线的夹角为 .
【答案】
【分析】先计算渐近线为，计算其倾斜角，得到答案.
【详解】双曲线的渐近线为：，对应倾斜角为 ，故渐近线夹角为
故答案为
【点睛】本题考查了渐近线夹角，属于简单题型.
3．过定点且与直线平行的直线的一般式方程为 ．
【答案】
【分析】利用两直线平行时方程的特点直接可写出所求直线.
【详解】过点且与直线平行的直线方程为：，即.
故答案为：
4．椭圆的焦点在轴上，离心率为，则实数的值是 ．
【答案】
【分析】由求解.
【详解】解：因为椭圆的焦点在轴上，
所以，
又因为 ，
解得 ，
故答案为：.
5．正整数240的正约数有 个．
【答案】
【分析】，其正约数的构成是的形式的数，讨论，，的取值，由分步乘法计数原理即可求得.
【详解】，其正约数的构成是的形式的数，其中，，，，；，；，；
故其不同的正约数有个.
故答案为：.
6．若直线与圆相离，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据直线与圆相离可知圆心到直线的距离，再利用点到直线距离公式进行求解.
【详解】由题意可知，
又因为直线与圆相离，故，
即，解得，
故答案为：.
【点睛】处理直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法．
7．已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【分析】根据函数单调性得到在区间上恒成立，求出，从而得到.
【详解】函数在区间上单调递减，
在区间上恒成立，
即，又，
故，即实数的取值范围为.
故答案为：
8．方程的解是 ．
【答案】
【分析】由排列数和组合数的公式代入求解即可.
【详解】由可得：，
即，则，
所以或（舍去），
将检验，是原方程的解.
故答案为：.
9．有5个不同的小球，装入4个不同的盒内，每盒至少装一个球，共有 种不同的装法.
【答案】240
【分析】依据不均匀分组问题去求解即可解决.
【详解】从5个球中选出2个，共有种方法，
把选出的2个球看作一个元素，其他3个球各看作一个元素，
再把4个不同的元素装入4个不同的盒内有种方法，
所以共有种不同的装法.
故答案为：240
10．下列四个组合数公式：对，约定，有
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
其中正确公式的个数是 ．
【答案】4个
【分析】根据题意利用组合数公式逐个分析判断即可．
【详解】由于对，约定，由组合数公式有，
对于（1），由，故（1）正确；
对于（2），因为，，
所以，故（2）正确；
对于（3），因为，且，
所以，故（3）正确；
对于（4），因为，
且
所以，故（4）正确．
故答案为：4个．
11．设为抛物线的焦点，若点在抛物线上移动，点在上移动，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】根据三角形两边之差小于第三边判断三点的位置，再结合两点间距离公式求出即可.
【详解】
设圆心为，则，半径，
由图象可知，当且仅当三点共线时取等号，
令，则，将代入可得
，
因为点在抛物线上，所以，
故时，，此时，
故答案为：
12．定义在R上的函数的导函数为，若对任意的实数x，都有，且，则不等式的解集是
【答案】
【分析】构造函数，求导得到在R上单调递减，由得到，对变形后得到，从而，由单调性得到，求出不等式的解集.
【详解】因为，构造，
则，所以在R上单调递减，
由,令得：，故，
由得：，
因为，所以，
故，
因为在R上单调递减，
所以，解得：.
故不等式的解集是.
故答案为：.
【点睛】利用函数与导函数的相关不等式构造函数，然后利用所构造的函数的单调性解不等式，是高考常考题目，以下是构造函数的常见思路：
比如：若，则构造，
若，则构造，
若，则构造，
若，则构造.
二、单选题
13．圆与圆的位置关系为（ ）
A．内切B．相交C．外切D．外离
【答案】B
【分析】根据两圆的圆心距离来判断两圆关系.
【详解】两圆心间的距离为，两圆的半径分别为2,3，而3-2=1<4<3+2=5，故两圆相交.
故选：B
14．已知，是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，则的最大值是（ ）
A．B．9C．16D．25
【答案】D
【分析】利用椭圆的定义及基本不等式可求答案.
【详解】因为，所以，
当且仅当时，取到最大值.
故选：D.
15．牛顿迭代法亦称切线法，它是求函数零点近似解的另一种方法.若定义是函数零点近似解的初始值，在点处的切线方程为，切线与轴交点的横坐标为，即为函数零点近似解的下一个初始值.以此类推，满足精度的初始值即为函数零点近似解.设函数，满足，应用上述方法，则（ ）
A．1B．C．D．
【答案】B
【分析】求得的导数，可得切线的斜率和切点，由直线的点斜式方程可得
在处的切线的方程，由,满足切线的方程，可得所求；
【详解】因为，导数为，
可得，，
可得在处的切线的方程为，
又因为，满足切线的方程，可得，
解得，
由得，，
故选：B
16．已知函数，，若，，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先由，，再结合函数函数的图象可知，，这样转化，利用导数求函数的最大值.
【详解】由题意得，，，即，
令函数，则，
所以，时，，在上单调递减，
时，，在上单调递增，
又当时，，时，，
作函数的图象如图所示.
由图可知，当时，有唯一解，故，且，
∴.设，，则，
令解得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
∴，即的最大值为.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数求函数的最值，本题的关键是观察与变形， ，并且由函数图象判断，只有一个零点，所以，这样后面的问题迎刃而解.
三、解答题
17．分别求下列情形的方法数：（用数字作答）
(1)从4名男生4名女生中选出2男2女组成一个队伍；
(2)8个人排成一排，其中甲乙二人必须站在一起；
(3)8个人排成一排，甲乙丙三人互相不能相邻．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）先从名男生中选出名，然后再从名女生中选出名，分步相乘从而即可求解；
（2）先把甲乙捆绑看成一个整体，再和其他人一起排列即可求解；
（3）先把其他人排列，然后将甲乙丙三人插空，即可求解.
【详解】（1）先从先从名男生中选出名，有种方法，
再从名女生中选出名，有种方法，
所以共有种方法.
（2）先把甲乙捆绑看成一个整体有种方法，再和其他人一起排列有种方法，
所以8个人排成一排，其中甲乙二人必须站在一起的方法为.
（3）先把其他人排列共有种方法，再把甲乙丙三人插空有，
所以个人排成一排，甲乙丙三人互相不能相邻的方法为.
18．已知点在双曲线上，且双曲线的一条渐近线的方程是．
(1)求双曲线的方程；
(2)若过点且斜率为的直线与双曲线仅有一个交点，求实数的值．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）由渐近线公式，以及代入点的坐标，即可求解双曲线方程；
（2）直线方程与双曲线方程联立，根据交点个数，求实数的取值范围.
【详解】（1）由条件可知，，且，解得：，，
所以双曲线方程为；
（2）设直线的方程为，
联立，，
时，，得；
当时，时，，得，满足条件，
综上可知，或.
19．方同学积极响应国家“全面实施乡村振兴战略”的号召，大学毕业后回到家乡，利用所学专业进行自主创业，自主研发生产A产品．经过市场调研，生产A产品需投入固定成本1万元，每生产x（单位：万元），需再投入流动成本（单位：万元），当年产量小于9万件时，，当年产量不小于9万件时，．已知每件A产品的售价为5元，若方同学生产的A产品当年全部售完．
(1)写出年利润（单位：万元）关于年产量x的函数解析式；（注：年利润年销售收入固定成本流动成本）
(2)当年产量约为多少万件时，方同学的A产品所获年利润最大？最大年利润是多少？（注：取）
【答案】(1)
(2)当年产量约为20万件时，方同学的A产品所获年利润最大，最大年利润为7万元
【分析】（1）根据年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本，分和两种情况建立函数关系式，再写出分段函数的形式；
（2）分和两种情况分别用基本不等式与导数法求出最大值，即可得到结论.
【详解】（1）因为产品售价为5元，则x万件产品销售收入为5x万元．
依据题意得，当时，，
当时，，
所以．
（2）当时，，因为
（当且仅当，即时取等号），所以，
即当时，取得最大值为（万元）
当时，，∴，
∴当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
∴当时，取得最大值为（万元）
∵，∴当时，的最大值为7万元．
∴当年产量约为20万件时，房同学的A产品所获得的年利润最大，最大年利润为7万元．
20．已知函数．
(1)求函数的最小值；
(2)求函数过点的切线；
(3)就实数的不同取值，讨论关于的方程的解的个数．
【答案】(1)
(2)或
(3)答案见解析
【分析】（1）利用导数研究单调性，再求最值即可；
（2）设出切点，利用导数的意义求出斜率，再结合切点在直线上，切点在曲线上，直线过点，写出关于切点坐标的方程组，解出即可；
（3）转化为函数零点的个数问题，求导讨论单调性，再对k进行分类讨论即可.
【详解】（1）由题意得，的定义域为，
，
令，解得，或（舍去）；，解得，所以，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以
（2）设切点为，切线的斜率，
所以，
因为直线过点，所以，又，
解得或，
所以直线方程为或
（3）令，则方程的解得个数可转化为函数的零点个数，
函数的定义域为，
，
当时，，此时定义域为全体实数，有唯一实数根，
当时，有恒成立，故恒成立，所以在上单调递增，
而当时，，此时，同理当时，，此时，
由零点存在定理可知在有唯一实数根，即方程由唯一解；
当时，令，负根舍去，
所以当；当，
故在上单调递减，在上单调递增，
所以，
当，即时，函数无零点，即方程无解；
当时，方程有唯一解；
当时，方程有两个解；
综上所述：
当时，方程有一个解；
当时，方程无解；
当时，方程有两个解.
【点睛】本题考查导函数的综合应用.
第一问利用导数研究单调性，再求最值即可；
第二问设出切点，利用导数的意义求出斜率，再结合切点在直线上，切点在曲线上，直线过点写出关于切点的方程组，解出即可；
第三问转化为函数零点的个数问题，求导讨论单调性，再对k进行分类讨论即可.
21．已知函数．
(1)若，求函数的驻点；
(2)讨论函数的单调性；
(3)若，任意且，都有成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)时，在单调递减，
时，在递增，在，递减，在，递增；
(3)
【分析】（1）求导，利用导数为0，结合驻点的定义即可求解.
（2）求出函数的导数，通过讨论的范围，求出函数的单调区间即可；
（3）代入的值，问题转化为对任意的，,成立，故在,单调递增，问题转化为对,恒成立，令，,，根据函数的单调性求出的最大值，求出的取值范围即可．
【详解】（1）当时，，
令，解得，
故驻点为
（2）由题意得，
①当时，在单调递减，
②当时，，在单调递减，
③当时，令，解得：或，
令，解得：，
故在递增，在，递减，在，递增；
综上：时，在单调递减，
时，在递增，在，递减，在，递增；
（3）当时，，
由（1）可知在,递减，
不妨设，则，，
故
，
即对任意的,,成立，
故在,单调递增，
则
对,恒成立，
令，,，，
令，解得：，令，解得：，
故在,递增，在,递减，
故，
故．
一、填空题
1．函数在区间上的平均变化率为 ．
【答案】
【分析】利用平均变化率的概念和公式运算即可得解.
【详解】解：由题意可得平均变化率为：
．
故答案为：
2．已知双曲线，则其两条渐近线的夹角为 .
【答案】
【分析】先计算渐近线为，计算其倾斜角，得到答案.
【详解】双曲线的渐近线为：，对应倾斜角为 ，故渐近线夹角为
故答案为
【点睛】本题考查了渐近线夹角，属于简单题型.
3．过定点且与直线平行的直线的一般式方程为 ．
【答案】
【分析】利用两直线平行时方程的特点直接可写出所求直线.
【详解】过点且与直线平行的直线方程为：，即.
故答案为：
4．椭圆的焦点在轴上，离心率为，则实数的值是 ．
【答案】
【分析】由求解.
【详解】解：因为椭圆的焦点在轴上，
所以，
又因为 ，
解得 ，
故答案为：.
5．正整数240的正约数有 个．
【答案】
【分析】，其正约数的构成是的形式的数，讨论，，的取值，由分步乘法计数原理即可求得.
【详解】，其正约数的构成是的形式的数，其中，，，，；，；，；
故其不同的正约数有个.
故答案为：.
6．若直线与圆相离，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据直线与圆相离可知圆心到直线的距离，再利用点到直线距离公式进行求解.
【详解】由题意可知，
又因为直线与圆相离，故，
即，解得，
故答案为：.
【点睛】处理直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法．
7．已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【分析】根据函数单调性得到在区间上恒成立，求出，从而得到.
【详解】函数在区间上单调递减，
在区间上恒成立，
即，又，
故，即实数的取值范围为.
故答案为：
8．方程的解是 ．
【答案】
【分析】由排列数和组合数的公式代入求解即可.
【详解】由可得：，
即，则，
所以或（舍去），
将检验，是原方程的解.
故答案为：.
9．有5个不同的小球，装入4个不同的盒内，每盒至少装一个球，共有 种不同的装法.
【答案】240
【分析】依据不均匀分组问题去求解即可解决.
【详解】从5个球中选出2个，共有种方法，
把选出的2个球看作一个元素，其他3个球各看作一个元素，
再把4个不同的元素装入4个不同的盒内有种方法，
所以共有种不同的装法.
故答案为：240
10．下列四个组合数公式：对，约定，有
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
其中正确公式的个数是 ．
【答案】4个
【分析】根据题意利用组合数公式逐个分析判断即可．
【详解】由于对，约定，由组合数公式有，
对于（1），由，故（1）正确；
对于（2），因为，，
所以，故（2）正确；
对于（3），因为，且，
所以，故（3）正确；
对于（4），因为，
且
所以，故（4）正确．
故答案为：4个．
11．设为抛物线的焦点，若点在抛物线上移动，点在上移动，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】根据三角形两边之差小于第三边判断三点的位置，再结合两点间距离公式求出即可.
【详解】
设圆心为，则，半径，
由图象可知，当且仅当三点共线时取等号，
令，则，将代入可得
，
因为点在抛物线上，所以，
故时，，此时，
故答案为：
12．定义在R上的函数的导函数为，若对任意的实数x，都有，且，则不等式的解集是
【答案】
【分析】构造函数，求导得到在R上单调递减，由得到，对变形后得到，从而，由单调性得到，求出不等式的解集.
【详解】因为，构造，
则，所以在R上单调递减，
由,令得：，故，
由得：，
因为，所以，
故，
因为在R上单调递减，
所以，解得：.
故不等式的解集是.
故答案为：.
【点睛】利用函数与导函数的相关不等式构造函数，然后利用所构造的函数的单调性解不等式，是高考常考题目，以下是构造函数的常见思路：
比如：若，则构造，
若，则构造，
若，则构造，
若，则构造.
二、单选题
13．圆与圆的位置关系为（ ）
A．内切B．相交C．外切D．外离
【答案】B
【分析】根据两圆的圆心距离来判断两圆关系.
【详解】两圆心间的距离为，两圆的半径分别为2,3，而3-2=1<4<3+2=5，故两圆相交.
故选：B
14．已知，是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，则的最大值是（ ）
A．B．9C．16D．25
【答案】D
【分析】利用椭圆的定义及基本不等式可求答案.
【详解】因为，所以，
当且仅当时，取到最大值.
故选：D.
15．牛顿迭代法亦称切线法，它是求函数零点近似解的另一种方法.若定义是函数零点近似解的初始值，在点处的切线方程为，切线与轴交点的横坐标为，即为函数零点近似解的下一个初始值.以此类推，满足精度的初始值即为函数零点近似解.设函数，满足，应用上述方法，则（ ）
A．1B．C．D．
【答案】B
【分析】求得的导数，可得切线的斜率和切点，由直线的点斜式方程可得
在处的切线的方程，由,满足切线的方程，可得所求；
【详解】因为，导数为，
可得，，
可得在处的切线的方程为，
又因为，满足切线的方程，可得，
解得，
由得，，
故选：B
16．已知函数，，若，，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先由，，再结合函数函数的图象可知，，这样转化，利用导数求函数的最大值.
【详解】由题意得，，，即，
令函数，则，
所以，时，，在上单调递减，
时，，在上单调递增，
又当时，，时，，
作函数的图象如图所示.
由图可知，当时，有唯一解，故，且，
∴.设，，则，
令解得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
∴，即的最大值为.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数求函数的最值，本题的关键是观察与变形， ，并且由函数图象判断，只有一个零点，所以，这样后面的问题迎刃而解.
三、解答题
17．分别求下列情形的方法数：（用数字作答）
(1)从4名男生4名女生中选出2男2女组成一个队伍；
(2)8个人排成一排，其中甲乙二人必须站在一起；
(3)8个人排成一排，甲乙丙三人互相不能相邻．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）先从名男生中选出名，然后再从名女生中选出名，分步相乘从而即可求解；
（2）先把甲乙捆绑看成一个整体，再和其他人一起排列即可求解；
（3）先把其他人排列，然后将甲乙丙三人插空，即可求解.
【详解】（1）先从先从名男生中选出名，有种方法，
再从名女生中选出名，有种方法，
所以共有种方法.
（2）先把甲乙捆绑看成一个整体有种方法，再和其他人一起排列有种方法，
所以8个人排成一排，其中甲乙二人必须站在一起的方法为.
（3）先把其他人排列共有种方法，再把甲乙丙三人插空有，
所以个人排成一排，甲乙丙三人互相不能相邻的方法为.
18．已知点在双曲线上，且双曲线的一条渐近线的方程是．
(1)求双曲线的方程；
(2)若过点且斜率为的直线与双曲线仅有一个交点，求实数的值．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）由渐近线公式，以及代入点的坐标，即可求解双曲线方程；
（2）直线方程与双曲线方程联立，根据交点个数，求实数的取值范围.
【详解】（1）由条件可知，，且，解得：，，
所以双曲线方程为；
（2）设直线的方程为，
联立，，
时，，得；
当时，时，，得，满足条件，
综上可知，或.
19．方同学积极响应国家“全面实施乡村振兴战略”的号召，大学毕业后回到家乡，利用所学专业进行自主创业，自主研发生产A产品．经过市场调研，生产A产品需投入固定成本1万元，每生产x（单位：万元），需再投入流动成本（单位：万元），当年产量小于9万件时，，当年产量不小于9万件时，．已知每件A产品的售价为5元，若方同学生产的A产品当年全部售完．
(1)写出年利润（单位：万元）关于年产量x的函数解析式；（注：年利润年销售收入固定成本流动成本）
(2)当年产量约为多少万件时，方同学的A产品所获年利润最大？最大年利润是多少？（注：取）
【答案】(1)
(2)当年产量约为20万件时，方同学的A产品所获年利润最大，最大年利润为7万元
【分析】（1）根据年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本，分和两种情况建立函数关系式，再写出分段函数的形式；
（2）分和两种情况分别用基本不等式与导数法求出最大值，即可得到结论.
【详解】（1）因为产品售价为5元，则x万件产品销售收入为5x万元．
依据题意得，当时，，
当时，，
所以．
（2）当时，，因为
（当且仅当，即时取等号），所以，
即当时，取得最大值为（万元）
当时，，∴，
∴当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
∴当时，取得最大值为（万元）
∵，∴当时，的最大值为7万元．
∴当年产量约为20万件时，房同学的A产品所获得的年利润最大，最大年利润为7万元．
20．已知函数．
(1)求函数的最小值；
(2)求函数过点的切线；
(3)就实数的不同取值，讨论关于的方程的解的个数．
【答案】(1)
(2)或
(3)答案见解析
【分析】（1）利用导数研究单调性，再求最值即可；
（2）设出切点，利用导数的意义求出斜率，再结合切点在直线上，切点在曲线上，直线过点，写出关于切点坐标的方程组，解出即可；
（3）转化为函数零点的个数问题，求导讨论单调性，再对k进行分类讨论即可.
【详解】（1）由题意得，的定义域为，
，
令，解得，或（舍去）；，解得，所以，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以
（2）设切点为，切线的斜率，
所以，
因为直线过点，所以，又，
解得或，
所以直线方程为或
（3）令，则方程的解得个数可转化为函数的零点个数，
函数的定义域为，
，
当时，，此时定义域为全体实数，有唯一实数根，
当时，有恒成立，故恒成立，所以在上单调递增，
而当时，，此时，同理当时，，此时，
由零点存在定理可知在有唯一实数根，即方程由唯一解；
当时，令，负根舍去，
所以当；当，
故在上单调递减，在上单调递增，
所以，
当，即时，函数无零点，即方程无解；
当时，方程有唯一解；
当时，方程有两个解；
综上所述：
当时，方程有一个解；
当时，方程无解；
当时，方程有两个解.
【点睛】本题考查导函数的综合应用.
第一问利用导数研究单调性，再求最值即可；
第二问设出切点，利用导数的意义求出斜率，再结合切点在直线上，切点在曲线上，直线过点写出关于切点的方程组，解出即可；
第三问转化为函数零点的个数问题，求导讨论单调性，再对k进行分类讨论即可.
21．已知函数．
(1)若，求函数的驻点；
(2)讨论函数的单调性；
(3)若，任意且，都有成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)时，在单调递减，
时，在递增，在，递减，在，递增；
(3)
【分析】（1）求导，利用导数为0，结合驻点的定义即可求解.
（2）求出函数的导数，通过讨论的范围，求出函数的单调区间即可；
（3）代入的值，问题转化为对任意的，,成立，故在,单调递增，问题转化为对,恒成立，令，,，根据函数的单调性求出的最大值，求出的取值范围即可．
【详解】（1）当时，，
令，解得，
故驻点为
（2）由题意得，
①当时，在单调递减，
②当时，，在单调递减，
③当时，令，解得：或，
令，解得：，
故在递增，在，递减，在，递增；
综上：时，在单调递减，
时，在递增，在，递减，在，递增；
（3）当时，，
由（1）可知在,递减，
不妨设，则，，
故
，
即对任意的,,成立，
故在,单调递增，
则
对,恒成立，
令，,，，
令，解得：，令，解得：，
故在,递增，在,递减，
故，
故．
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