2023-2024学年上海市格致中学高二上学期12月月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年上海市格致中学高二上学期12月月考数学试题含答案，共15页。试卷主要包含了填空题，单选题，证明题，问答题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、填空题
1．异面直线和所成的角为，则的范围是 ．
【答案】
【分析】直接利用异面直线所成角定义可得答案.
【详解】由异面直线所成角的定义可知：异面直线和所成角的范围为.
故答案为：.
2．已知向量，，且与互相垂直，则的值是 .
【答案】/
【分析】向量的垂直用坐标表示为，代入即可求出答案.
【详解】，
，
因为与互相垂直，
所以,
即，
解得：.
故答案为：
3．管理人员为了了解某水库里大概有多少条鱼，拖网打捞出1000条鱼，在鱼身处打上一个不会掉落的印记，再放回水库，一个月后再次捕捞1000条鱼，发现其中有20条有印记的鱼，问：这个水库里大概有 条鱼．
【答案】
【分析】设这个水库里大概有条鱼，利用等比例性质求即可.
【详解】令这个水库里大概有条鱼，由题意有，可得条.
故答案为：
4．已知事件与事件相互独立，如果，那么 .
【答案】/
【分析】根据给定条件，利用相互独立事件的概率公式和对立事件的概率公式计算作答.
【详解】因为，所以，又，且A，相互独立，
所以.
故答案为：
5．某圆锥底面半径为4，高为3，则此圆锥的侧面积为 ．
【答案】
【分析】首先根据底面半径和高利用勾股定理求得母线长，然后直接利用圆锥的侧面积公式代入求出即可．
【详解】圆锥的底面半径为4，高为3，
母线长为5，
圆锥的侧面积为：，
故答案为．
【点睛】本题考查了圆锥侧面积的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键．
6．如图，在棱长为2的正方体中，是的中点，求直线与平面所成角的大小为 .
【答案】
【分析】取的中点，连接，则可得为直线DE与平面ABCD所成角，然后在直角三角形中求解即可.
【详解】如图，
取的中点，连接，则，
因为是的中点，所以∥，，
因为平面，所以平面，
所以为直线与平面所成角，
在直角三角形中，，
在直角三角形中，，
所以直线与平面所成角的大小为.
故答案为：
7．从字母中任取两个，则取到字母的概率为 ．
【答案】/0.5
【分析】运用列举法根据古典概型计算公式进行求解即可.
【详解】从字母中任取两个不同的字母，有以下情形：
，共种情况，其中取到字母的有3种，
所以取到字母的概率为，
故答案为：
8．将一个正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周,所得几何体的侧面积为,则该几何体的体积为 .
【答案】
【分析】将一个正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周所得几何体为圆柱,根据圆柱的侧面积公式和体积公式求解即可.
【详解】将一个正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周所得几何体为圆柱,
设正方形的边长为,则圆柱的半径和高均为,
所以圆柱的侧面积为,
则圆柱的体积为.
故答案为:.
9．如图，三棱锥中， ，点分别是的中点，则异面直线所成的角的余弦值是 ．

【答案】
【详解】如下图，连结，取中点，连结，，则可知即为异面直
线，所成角（或其补角）易得，
，，
∴，即异面直线，所成角的余弦值为.

【解析】异面直线的夹角.
10．在边长为的等边三角形ABC中，于，沿折成二面角后，，这时二面角的大小为 ．
【答案】
【分析】作出折后的图形，得到所求二面角的平面解，从而得解.
【详解】因为，
所以沿折成二面角后，，，
故即为二面角的平面角，
又，
所以，
故答案为：．
11．甲乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为，其中，若或，就称甲乙“心有灵犀”．现在任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为 ．
【答案】
【分析】根据题意利用列举法结合古典概型运算求解.
【详解】甲、乙的所有可能情况用二维有序数组表示：
，
，
，
总共有36种，
符合条件的有，共11种，
所以他们“心有灵犀”的概率为.
故答案为：.
12．已知直三棱柱，底面三角形是等腰直角三角形，其中为直角顶点，且．若点为棱的中点，点为平面的一动点，则的最小值是 ．
【答案】
【分析】由，得到平面平面，从而达到点关于平面BCD对称点E落在的延长线上，然后由最小时，三点共线求解.
【详解】解：如图所示：
由题意得，又因为三棱柱是直三棱柱，
所以平面平面，且平面平面，
平面ABC，所以平面，
又平面BCD，所以平面平面，
所以点关于平面BCD对称点E落在的延长线上，
且，即，
若最小，则三点共线，
所以，
，
故答案为：
二、单选题
13．下列事件:①当x是实数时,;②某班一次数学测试,及格率低于;③从分别标有这十个数字的纸团中任取一个,取出的纸团中标的数字是偶数;④体育彩票某期的特等奖号码.其中是随机事件的是( )
A．①②③B．①③④C．②③④D．①②④
【答案】C
【解析】根据随机事件的定义,逐项检验,即可求得答案.
【详解】对于①,当x是实数时,,方程:无解,故①不可能事件.
对于②,某班一次数学测试,及格率低于是随机事件.
对于③,从分别标有这十个数字的纸团中任取一个,取出的纸团中标的数字是偶数是随机事件.
对于④,体育彩票某期的特等奖号码是随机事件.
故随机事件为:②③④
故选:C.
【点睛】本题考查了判断事件是否为随机事件,解题的关键是掌握随机事件的定义,考查了分析能力,属于基础题.
14．如果将一枚质地均匀的硬币连续抛掷次，那么第次出现反面朝上的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据每次试验出现正反面的概率是相等的即可得到结果.
【详解】因为每次试验出现正反面的概率是相等的，均为.
故选：D.
15．在正四棱锥中，面于，，底面的边长为，点分别在线段上移动，则两点的最短的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】若两点间距离最短，则为公垂线段；易证得平面，则可作，可知即为所求公垂线段，利用面积桥的方式可求得，即为所求最短距离.
【详解】在上移动，则当为公垂线段时，两点的距离最小；
四棱锥为正四棱锥，平面，为正方形的中心，
，又，，平面，
过作，垂足为，
平面，，为的公垂线，
又，两点的最短的距离为.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题考查立体几何中两点间距离最值的求解，解题关键是能够根据两点在两一面直线上移动，确定两异面直线之间的公垂线段即为所求最短距离.
16．已知球O是正三棱锥的外接球，，侧棱，点E在线段上，且，过点E作球O的截面，则所得截面圆面积的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设的中心为，球O的半径为R，连接，则O在上.连接，，，，根据正三棱锥的性质求出，从而可求出外接球的半径，再在中求出，由题意可得当截面与垂直时，截面圆的面积最小，当截面过球心时，截面圆的面积最大，从而可求得答案.
【详解】设的中心为，球O的半径为R，连接，则O在上.连接，，，，如图，
则，.
在中，，解得.
∵，∴.
在中，
，
∴.
过点E作球O的截面，当截面与垂直时，截面圆的面积最小，此时，截面圆的半径为，面积为；
当截面过球心时，截面圆的面积最大，最大面积为，
故选：B.
三、证明题
17．如图，某人打算做一个正四棱锥形的金字塔模型,先用木料搭边框,再用其他材料填充,已知金字塔的每一条棱和边都相等.
(1)求证:直线AC垂直于直线SD；
(2)若搭边框共使用木料24米，则需要多少立方米的填充材料才能将整个金字塔内部填满?
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】（1）连结AC，BD，由正方形的性质得出AC⊥BD，由等腰三角形三线合一得出AC⊥SO故而AC⊥平面SBD，于是AC⊥SD；（2）正四棱锥的棱长为3，计算棱锥的高和底面积，代入体积公式计算四棱锥的体积．
【详解】（1）连接AC，BD交于点O，则O为线段BD中点，
∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD．
在△SBD中，∵，∴SO⊥AC，
∵，平面SBD，平面SBD，
∴AC⊥平面SBD，∵平面SBD，
∴AC⊥SD.
（2）由题意得正四棱锥边长为3米．
∴，
棱锥的高，
∴立方米，
答：需要立方米填充材料．
【点睛】本题主要考查了线面垂直的判定与性质，棱锥的体积计算，属于基础题．
四、问答题
18．如果从甲口袋中摸出一个红球的概率是，从乙口袋中摸出一个红球的概率是．现从甲乙口袋各摸一个球，求下面四个事件的概率：
(1)2个球都是红球；
(2)2个球中恰好有1个红球；
(3)2个球不都是红球；
(4)至少有1个是红球．
【答案】(1)；
(2)；
(3)；
(4).
【分析】（1）（2）（3）（4）利用独立事件、互斥事件以及对立事件的概率求法求各事件对应概率即可.
【详解】（1）甲乙各摸一个球相互独立，2个球都是红球概率为；
（2）2个球中恰好有1个红球概率为；
（3）由（1），根据对立事件概率求法，2个球不都是红球概率为；
（4）由（1）（2）知：根据互斥事件概率求法，至少有1个是红球概率为.
五、解答题
19．如图，四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，，且为中点．
(1)求二面角的余弦值；
(2)在线段上是否存在点，使得点到平面的距离为？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)点为线段的中点.
【分析】（1）证明两两垂直，以点为坐标原点建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求出二面角的余弦值.
（2）利用（1）中坐标系，设出的坐标，利用空间向量求点到平面距离而得点位置.
【详解】（1）由四边形为正方形，得,，
因为，平面，则⊥平面，又平面，
于是，而，则，同理，又，
以点为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则有，，
设平面的法向量为，则，取，得，
而平面的一个法向量为，，
显然二面角的平面角为锐角，所以二面角的余弦值.
（2）假设在线段上存在点，使得点到平面的距离为，
设点，平面的法向量为，而，,
由，取，则，又，
因此点到平面的距离为，解得，即点，
所以当点为线段的中点时，点到平面的距离为.
六、证明题
20．如图，斜三棱柱中，，为的中点，为的中点，平面⊥平面．
(1)求证：直线平面；
(2)设直线与直线的交点为点，若三角形是等边三角形且边长为2，侧棱，且异面直线与互相垂直，求异面直线与所成角；
(3)若，在三棱柱内放置两个半径相等的球，使这两个球相切，且每个球都与三棱柱的三个侧面及一个底面相切．求三棱柱的高．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）证明出四边形为平行四边形，从而，得到线面平行；
（2）先证明出为三等分点，然后运用余弦定理求出可得；
（3）因为在三棱柱内放置两个半径相等的球，使这两个球相切，且每个球都与三棱柱的三个侧面及一个底面相切，故小球的半径即为三棱柱直截面的内切圆的半径，利用面积公式得到内切圆半径，画出立体几何图形，结合相关关系求出三棱柱的高.
【详解】（1）斜三棱柱中，为的中点，为的中点，
所以，且，
所以四边形为平行四边形，
所以，
因为平面，平面，
所以平面；
（2）因为AC=BC，为的中点，所以CD⊥AB，
因为平面⊥平面，交线为AB，CD平面ABC，
所以CD⊥平面，故⊥平面，
所以,又与互相垂直，,面
故面,得.即为直角三角形，
在中，为中点，，所以为的三等分点，设，
由余弦定理可得：
解之：，所以故
⊥平面，在中，.
与所成的角为
（3）过作于，过作于，连
为直截面，小球半径为的内切圆半径
因为，所以，
故AC⊥BC，则
设所以，由解得，
；
由最小角定理
由面,易知，
内切圆半径为：
则
【点睛】定义法求解二面角，需要先作出辅助线，找到二面角的平面角，再求出各边长，利用余弦定理求解该角的余弦值，或根据直角三角形锐角三角函数求出该角的正弦，余弦或正切值，得到答案.