安徽省蚌埠市铁路中学2023-2024学年高二上学期期中检测数学试题

这是一份安徽省蚌埠市铁路中学2023-2024学年高二上学期期中检测数学试题，共24页。

1.若直线l的方向向量是e=(-1, 3)，则直线l的倾斜角为( )
A. π6B. π3C. 2π3D. 5π6
2.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，已知PA=a，PB=b，PC=c，PE=12PD，则BE=( )
A. 12a-32b+12cB. 12a-12b+12c
C. 12a+32b+12cD. 12a-12b+32c
3.已知点A与点B(1,2)关于直线x+y+3=0对称，则点A的坐标为( )
A. (3,4)B. (4,5)C. (-4,-3)D. (-5,-4)
4.在一平面直角坐标系中，已知A-1,6，B2,-6，现沿x轴将坐标平面折成60°的二面角，则折叠后A，B两点间的距离为( )
A. 2 7B. 41C. 17D. 3 5
5.如果实数x，y满足(x-2)2+y2=2，那么yx的范围是( )
A. (-1,1)B. [-1,1]
C. (-∞,-1)∪(1,+∞)D. (-∞,-1]∪[1,+∞)
6.抛物线x=14y2的焦点到双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线的距离是 22，则该双曲线的离心率为( )
A. 2B. 3C. 2D. 2 33
7.直线ax+by-a-b=0(a2+b2≠0)与圆x2+y2=2的位置关系为( )
A. 相离B. 相切C. 相交或相切D. 相交
8.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在AC1上运动(包括端点)，则BP与AD1所成角的取值范围是
( )
A. π4,π3B. [0,π2]C. π6,π2D. π6,π3
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9.下列说法正确的有( )
A. 若直线y=kx+b经过第一、二、四象限，则k,b在第二象限
B. 直线y=ax-3a+2过定点3,2
C. 过点2,-1斜率为- 3的点斜式方程为y+1=- 3(x-2)
D. 斜率为-2，在y轴截距为3的直线方程为y=-2x±3
10.关于空间向量，以下说法正确的是( )
A. 若直线l的方向向量为e=(1,0,3)，平面α的法向量为a=(-2,0,23)，则直线l/​/α
B. 已知a,b,c为空间的一个基底，若m=a+c，则{a,b,m}也是空间的基底
C. 若对空间中任意一点O，有OP=16OA+13OB+12OC，则P，A，B，C四点共面
D. 两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线
11.已知平面α的法向量为n=(-1,-2,2)，点A(x2,2x+1,2)为α内一点，若点P(0,1,2)到平面α的距离为4，则x的值为( )
A. 2B. 1C. -3D. -6
12.已知双曲线C经过点 62,1，且与椭圆Γ:x22+y2=1有公共的焦点F1,F2，点M为椭圆Γ的上顶点，点P为C上一动点，则 ( )
A. 双曲线C的离心率为 2
B. sin∠MOP> 63
C. 当P为C与Γ的交点时，cs∠F1PF2=13
D. |PM|的最小值为1
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.若空间向量a=(x,2,2)和b=(1,1,1)的夹角为锐角，则x的取值范围是 ．
14.已知a>0，b>0，直线l1：(a-1)x+y-1=0，l2：x+2by+1=0，且l1⊥l2，则2a+1b的最小值为 ．
15.直线x+y+3=0分别与x 轴，y 轴交于A，B 两点，点p 在圆x-32+y2=2上，则△ABP面积的取值范围 ．
16.瑞士数学家欧拉(Lenhard Euler)1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知△ABC的顶点A(-4,0)，B(0,4)，欧拉线方程为x-y+2=0，则顶点C的坐标是 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题10.0分)
已知圆M的圆心为2,3，且经过点C5,-1．
(1)求圆M的标准方程；
(2)已知直线l:3x-4y+16=0与圆M相交于A,B两点，求AB．
18.(本小题12.0分)
已知△ABC的顶点A(3,2)，边AB上的中线所在直线方程为x-3y+8=0，边AC上的高所在直线方程为2x-y-9=0．
(1)求顶点B，C的坐标;
(2)求△ABC的面积．
19.(本小题12.0分)
已知直三棱柱ABC-A1B1C1，侧面AA1C1C是正方形，点F在线段AC1上，且AF=13，点E为BB1的中点，AA1= 2，AB=BC=1．
(1)求异面直线CE与BF所成的角；
(2)求平面CEF与平面ACC1A1夹角的余弦值．
20.(本小题12.0分)
已知双曲线C的焦点坐标为F1(- 5,0),F2( 5,0)，实轴长为4，
(1)求双曲线C标准方程；
(2)若双曲线C上存在一点P使得PF1⊥PF2，求△PF1F2的面积．
21.(本小题12.0分)
在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD//BC，AB⊥BC，侧面PAB⊥底面ABCD，PA=PB=AD=2，BC=4．
(1)若PB的中点为E，求证：AE//平面PCD；
(2)若PB与底面ABCD所成的角为60∘，求PC与平面PBD的所成角的余弦值．
22.(本小题12.0分)
已知抛物线C：y2=2pxp>0的焦点为F，斜率为1的直线l经过F，且与抛物线C交于A，B两点，AB=8．
(1)求抛物线C的方程；
(2)过抛物线C上一点Pa,-2作两条互相垂直的直线与抛物线C相交于M，N两点(异于点P)，证明：直线MN恒过定点，并求出该定点坐标．
蚌埠铁中2023-2024学年第一学期期中检测试卷
高 二 数 学 教 师 用 卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.若直线l的方向向量是e=(-1, 3)，则直线l的倾斜角为
( )
A. π6B. π3C. 2π3D. 5π6
【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了直线的方向向量、直线的倾斜角等知识，属于基础题．
根据直线l的方向向量写出倾斜角的正切值，进而求出倾斜角的值．
【解答】
解：∵直线l的方向向量是e=(-1, 3)，
∴直线l的倾斜角α的正切值为tanα= 3-1=- 3，又α∈[0,π),
则直线l的倾斜角为α=2π3．
故选C．
2.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，已知PA=a，PB=b，PC=c，PE=12PD，则BE=( )
A. 12a-32b+12cB. 12a-12b+12c
C. 12a+32b+12cD. 12a-12b+32c
【答案】A
【解析】【分析】
本题考查空间向量基本定理，考查空间向量加法法则等基础知识，考查空间想象能力，考查数形结合思想，是基础题．
利用空间向量基本定理进行求解即可．
【解答】解：在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，
∵PA=a，PB=b，PC=c，PE=12PD，
∴BE=BP+12PD
=-b+12(PA+AD)
=-b+12PA+12BC
=-b+12a+12(PC-PB)
=-b+12a+12PC-12PB
=12a-32b+12c．
故选：A．
3.已知点A与点B(1,2)关于直线x+y+3=0对称，则点A的坐标为
．( )
A. (3,4)B. (4,5)C. (-4,-3)D. (-5,-4)
【答案】D
【解析】【分析】
本题考查点关于线的对称点问题，属于基础题．
设点A(x,y)，点A与点B(1,2)关于直线x+y+3=0对称，可得x+12+y+22+3=0y-2x-1×-1=-1 ，解出即可．
【解答】
解：设点A(x,y)，则AB中点的坐标为x+12,y+22，
∵点A与点B(1,2)关于直线x+y+3=0对称，
∴x+12+y+22+3=0y-2x-1×-1=-1,
解得x=-5，y=-4，
则点A的坐标为(-5,-4)．
故选D．
4.在一平面直角坐标系中，已知A-1,6，B2,-6，现沿x轴将坐标平面折成60°的二面角，则折叠后A，B两点间的距离为
( )
A. 2 7B. 41C. 17D. 3 5
【答案】D
【解析】【分析】
本题考查向量的数量积运算，向量的模，考查运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．
作AC垂直于x轴，垂足为C，BD垂直于x轴，垂足为D，利用向量的线性运算得AB=AC+CD+DB，利用向量的数量积的运算求出结果．
【解答】
解：如图所示：
作AC垂直于x轴，垂足为C，BD垂直于x轴，垂足为D，
则AC=6，BD=6，CD=3，
AC和BD的夹角为60°，
故AB=AC+CD+DB，
所以|AB|2=|AC+CD+DB|2
=|AC|2+|CD|2+|DB|2+2AC⋅CD+2AC⋅DB+2CD⋅DB，
=36+9+36+2×6×6×(-12)=45．
故|AB|=3 5．
故选：D．
5.如果实数x，y满足(x-2)2+y2=2，那么yx的范围是
A. (-1,1)B. [-1,1]
C. (-∞,-1)∪(1,+∞)D. (-∞,-1]∪[1,+∞)
【答案】B
【解析】【分析】
由于yx=y-0x-0表示圆上的点(x,y)与原点(0,0)连线的斜率，过原点作圆的切线，数形结合得出结果．
【解答】
解：方程 (x-2)2+y2=2，表示以C(2,0)为圆心、半径等于 2的圆．
而yx=y-0x-0表示圆上的点(x,y)与原点(0,0)连线的斜率，
过原点作圆相的切线OA、OB，
由图形可知直线OA、OB的倾斜角分别为45°、135°，
所以切线OA、OB的斜率分别为1，-1，
故yx的最大值是1，最小值是-1，
故选B．
6.抛物线x=14y2的焦点到双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线的距离是 22，则该双曲线的离心率为( )
A. 2B. 3C. 2D. 2 33
【答案】A
【解析】【分析】
本题求出抛物线的焦点坐标，双曲线的渐近线方程，属基础题．
由点到直线的距离公式，可得a，b的关系，再由离心率公式，计算即可得出结果，
【解答】
解：抛物线x=14y2即y2=4x的焦点坐标为(1,0)，
双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±bax，即bx±ay=0，
所以点(1,0)到直线bx±ay=0的距离为|b| b2+a2= 22，则b2=a2，
则双曲线的离心率为e=ca= c2a2= 1+b2a2= 1+1= 2．
故选A．
7.直线ax+by-a-b=0(a2+b2≠0)与圆x2+y2=2的位置关系为( )
A. 相离B. 相切C. 相交或相切D. 相交
【答案】C
【解析】【分析】
利用点到直线距离公式求出圆心到直线的距离与半径比较大小即可得出结论．
本题考查了点到直线距离公式、直线与圆的位置关系、基本不等式的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
【解答】
解：圆x2+y2=2的圆心O(0,0)，半径r= 2．
圆心O到直线的距离d=|0-a-b| a2+b2=|a+b| a2+b2，
∵|a+b|2≤ a2+b22，
当且仅当ab>0，a=b时取等号，
∴|a+b| a2+b2≤ 2，
∴直线ax+by-a-b=0(a2+b2≠0)与圆x2+y2=2的位置关系为相交或相切．
故选：C．
8.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在AC1上运动(包括端点)，则BP与AD1所成角的取值范围是
( )
A. π4,π3B. [0,π2]C. π6,π2D. π6,π3
【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了空间向量的应用、向量夹角公式、异面直线所成的角、函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
设BP与AD1所成角为θ.如图所示，不妨设|AB|=1，AP=λAC1，则BP=BA+λAC1=(λ,1-λ,λ)，0≤λ≤1.利用cs⟨BC1→,BP→⟩=BC1→·BP→|BC1→|·|BP→|，即可得出．
【解答】
解：设BP与AD1所成角为θ．
如图所示，不妨设|AB|=1．
则B(0,0,0)，A(0,1,0)，A1(0,1,1)，C1(1,0,1)，
AD1=BC1=(1,0,1)，BC=(1,0,0)，AC1=(1,-1,1)．
设AP=λAC1，
则BP=BA+λAC1=(λ,1-λ,λ)，0≤λ≤1．
∴csBC1,BP=BC1·BP|BC1|·|BP|
=2λ 2× (1-λ)2+2λ2= 2λ 3λ2-2λ+1，
当λ=0时，cs⟨BC1→,BP→⟩=0；
当λ≠0时，csBC1,BP= 2 (1λ-1)2+2，
此时0当且仅当λ=1时等号成立．
∴θ∈[0,π2]．
故选B．
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9.下列说法正确的有
( )
A. 若直线y=kx+b经过第一、二、四象限，则k,b在第二象限
B. 直线y=ax-3a+2过定点3,2
C. 过点2,-1斜率为- 3的点斜式方程为y+1=- 3(x-2)
D. 斜率为-2，在y轴截距为3的直线方程为y=-2x±3
【答案】ABC
【解析】【分析】
本题主要考查了直线斜截式方程、点斜式方程，直线过定点问题，属于基础题．
由直线y=kx+b过一、二、四象限，得到斜率k<0，截距b>0，可判定A正确；由把直线方程化简为a(x-3)+(-y+2)=0，得到点3,2都满足方程，可判定B正确；由点斜式方程，可判定C正确；由斜截式方程可判定D错误．
【解答】
解：对于A中，由直线y=kx+b过一、二、四象限，所以直线的斜率k<0，截距b>0，故点k,b在第二象限，所以A正确；
对于B中，由直线方程y=ax-3a+2，整理得a(x-3)+(-y+2)=0，
所以无论a取何值，点3,2都满足方程，所以B正确；
对于C中，由点斜式方程，可知过点2,-1斜率为- 3的点斜式方程为y+1=- 3(x-2)，所以C正确；
对于D中，由斜截式方程得到斜率为-2，在y轴上的截距为3的直线方程为y=-2x+3，所以D错误．
故选ABC．
10.关于空间向量，以下说法正确的是( )
A. 若直线l的方向向量为e=(1,0,3)，平面α的法向量为a=(-2,0,23)，则直线l/​/α
B. 已知a,b,c为空间的一个基底，若m=a+c，则{a,b,m}也是空间的基底
C. 若对空间中任意一点O，有OP=16OA+13OB+12OC，则P，A，B，C四点共面
D. 两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线
【答案】BCD
【解析】【分析】
本题考查的知识要点：法向量，基底的定义，四点共面的充要条件，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
直接利用法向量，基底的定义，四点共面的充要条件的应用判断A、B、C、D的结论．
【解答】
解：对于A：若直线l的方向向量为e=(1,0,3)，平面α的法向量为a=(-2,0,23)，由于e⋅a=0，则直线l/​/α或l⊂α，故A错误；
对于B：若m=a+c，则m,a,c共面且不共线，而a,b,c不共面，所以{a,b,m}也是空间的基底，故B正确；
对于C：若对空间中任意一点O，有OP=16OA+13OB+12OC，满足16+13+12=1，则P，A，B，C四点共面，故C正确；
对于D：两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线，故D正确．
故选BCD．
11.已知平面α的法向量为n=(-1,-2,2)，点A(x2,2x+1,2)为α内一点，若点P(0,1,2)到平面α的距离为4，则x的值为( )
A. 2B. 1C. -3D. -6
【答案】AD
【解析】【分析】
本题考查了向量法求点面的距离，属于基础题．
构造向量AP，由点到面的距离公式构造方程|x2+4x|3=4，求出x即可．
【解答】
解：由题意可知AP=(-x2,-2x,0)，
∴AP⋅n=x2+4x，
∴由|AP⋅n||n|=4，可得|x2+4x|3=4，
解得x=2或x=-6．
故选AD．
12.已知双曲线C经过点 62,1，且与椭圆Γ:x22+y2=1有公共的焦点F1,F2，点M为椭圆Γ的上顶点，点P为C上一动点，则
( )
A. 双曲线C的离心率为 2
B. sin∠MOP> 63
C. 当P为C与Γ的交点时，cs∠F1PF2=13
D. |PM|的最小值为1
【答案】ACD
【解析】【分析】
本题主要考查双曲线与椭圆的标准方程，基本性质，属于中档题．
由题意可得双曲线C的方程为2x2-2y2=1，F1(-1,0)，F2(1,0)，M(0,1)，由此结合各选项，逐项判断即可．
【解答】
解：椭圆Г：x22+y2=1 的焦点F1(-1,0)，F2(1,0)，M(0,1)，
设双曲线x2a2-y2b2=1，64a2-1b2=1a2+b2=1，解得a2=12，b2=12，则双曲线C的方程为2x2-2y2=1，
e=ca=11 2= 2，故A正确；
渐近线为y=±x，π4<∠MOP<3π4，所以 22不妨设P为第一象限点，P在椭圆上，则PF1+PF2=2 2，P在双曲线C上，则PF1-PF2= 2，
以上两式联立可得PF1=32 2，PF2=12 2，
cs∠F1PF2=F1P2+PF22-42F1P·PF2=92+12-42×32=13，故C正确；
设点P(x,y)，则|PM|= x2+y-12= 12+y2+y-12= 2y2-2y+32，
当y=12时，|PM|取得最小值，最小值为 2×14-2×12+32=1，故D正确．
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.若空间向量a=(x,2,2)和b=(1,1,1)的夹角为锐角，则x的取值范围是 ．
【答案】x>-4且x≠2
【解析】【分析】
本题考查空间两向量的夹角为锐角的等价条件，考查空间向量数量积的坐标表示和向量共线的坐标表示，属于基础题．
根据两向量夹角为锐角可得到两向量的数量积大于0，且不能共线，利用坐标表示列不等式求解即可．
【解答】
解：空间向量a→=(x,2,2)和b→=(1,1,1)的夹角为锐角，
则a·b=x+2+2>0且a与b不共线，
所以x>-4且x≠2．
故答案为x>-4且x≠2．
14.已知a>0，b>0，直线l1：(a-1)x+y-1=0，l2：x+2by+1=0，且l1⊥l2，则2a+1b的最小值为 ．
【答案】8
【解析】【分析】
本题主要考查直线的一般方程，两条直线垂直的应用，及由基本不等式求最值，属于中档题．
根据两条直线的一般式方程及垂直关系，求出a，b满足的条件，再由基本不等式求出最小值即可．
【解答】
解：因为l1⊥l2，所以(a-1)×1+1×2b=0，即a+2b=1．
因为a>0，b>0，所以2a+1b=(2a+1b)(a+2b)=2+2+4ba+ab≥4+2 4ba⋅ab=8，
当且仅当4ba=ab，即a=12，b=14时等号成立，
所以2a+1b的最小值为8．
故答案为8．
15.直线x+y+3=0分别与x 轴，y 轴交于A，B 两点，点p 在圆x-32+y2=2上，则△ABP面积的取值范围 ．
【答案】6,12
【解析】【分析】
本题考查直线与圆的位置关系中的最值问题，属于一般题．
由题意求得所以 A-3,0 ， B0,-3 ，从而求得 AB=3 2 ，再根据直线与圆的位置关系可求得点P到直线 x+y+3=0 距离 h∈2 2,4 2 ，再结合面积公式即可求解．
【解答】
解：因为直线 x+y+3=0 分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，
所以 A-3,0 ， B0,-3 ，因此 AB=3 2 ，
因为圆 x-32+y2=2 的圆心为 3,0 ，半径 r= 2 ，
设圆心 3,0 到直线 x+y+3=0 的距离为d ，
则 d=3+0+3 2=3 2> 2 ，
因此直线 x+y+3=0 与圆 x-32+y2=2 相离，
又因为点P在圆 x-32+y2=2 上，
所以点P到直线 x+y+3=0 距离h 的最小值为 d-r=3 2- 2=2 2 ，
最大值为 d+r=3 2+ 2=4 2 ，即 h∈2 2,4 2 ，
又因为 △ABP 面积为 12×AB×h=3 22h ，
所以 △ABC 面积的取值范围为 6,12 ．
故答案为： 6,12

16.瑞士数学家欧拉(Lenhard Euler)1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知△ABC的顶点A(-4,0)，B(0,4)，欧拉线方程为x-y+2=0，则顶点C的坐标是 ．
【答案】(2,0)或(0,-2)
【解析】【分析】
本题考查了直线方程的综合求法及应用
【解答】
解：设C(x,y)，易知线段AB的垂直平分线方程为y=-x，欧拉线x-y+2=0与直线y=-x的交点坐标为(-1,1)，设ΔABC的外心为M，则M(-1,1)，∴MC=MA= 10，∴(x+1)2+(y-1)2=10①，
由A(-4,0)，B(0,4)，得ΔABC的重心为(x-43,y+43)，将其坐标代入欧拉线方程x-y+2=0，得x-y-2=0②，由①②可得x=2，y=0或x=0，y=-2，即顶点C的坐标是(2,0)或(0,-2)．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题10.0分)
已知圆M的圆心为2,3，且经过点C5,-1．
(1)求圆M的标准方程；
(2)已知直线l:3x-4y+16=0与圆M相交于A,B两点，求AB．
【答案】解：(1)因为圆M的圆心为(2,3)，且经过点C(5,-1)，
所以圆M的半径r=MC= 5-22+-1-32=5，
所以圆M的标准方程为x-22+y-32=25．
(2)由(1)知，圆M的圆心为2,3，半径r=5，
所以圆心M到直线l的距离d=3×2-4×3+16 32+42=2，
所以AB=2 r2-d2=2 52-22=2 21．
【解析】本题考查求圆的标准方程及弦长，属于基础题．
(1)根据已知条件求出圆M的半径，再结合圆心坐标求出标准方程即可;
(2)求出圆心M到直线l的距离，再由垂径定理求出|AB|．
18.(本小题12.0分)
已知△ABC的顶点A(3,2)，边AB上的中线所在直线方程为x-3y+8=0，边AC上的高所在直线方程为2x-y-9=0．
(1)求顶点B，C的坐标;
(2)求△ABC的面积．
【答案】解：(1)设B(a,b)，
因为边AB上的中线所在直线方程为x-3y+8=0，边AC上的高所在直线方程为2x-y-9=0，
所以2a-b-9=0,a+32-3×b+22+8=0,解得a=8,b=7,即B的坐标为(8,7)．
设C(m,n)，
因为边AB上的中线所在直线方程为x-3y+8=0，边AC上的高所在直线方程为2x-y-9=0，
所以m-3n+8=0,n-2m-3=-12,解得m=1,n=3,即C的坐标为(1,3)．
(2)因为A(3,2)，B(8,7)，所以|AB|= (3-8)2+(2-7)2=5 2．
因为边AB所在直线的方程为y-27-2=x-38-3，即x-y-1=0，
所以点C(1,3)到边AB的距离为|1-3-1| 2=3 22，即边AB上的高为3 22，
故△ABC的面积为12×5 2×3 22=152．
【解析】本题考查了直线方程的应用问题，也考查了三角形面积计算问题，是中档题．
(1)根据边AB上的中线所在直线方程为x-3y+8=0，边AC上的高所在直线方程为2x-y-9=0，联立求点B，C的坐标；
(2)求出顶点C到直线AB的距离，线段AB的长，即可得出△ABC的面积．
19.(本小题12.0分)
已知直三棱柱ABC-A1B1C1，侧面AA1C1C是正方形，点F在线段AC1上，且AF=13，点E为BB1的中点，AA1= 2，AB=BC=1．
(1)求异面直线CE与BF所成的角；
(2)求平面CEF与平面ACC1A1夹角的余弦值．
【答案】解：(1)因为侧面AA1C1C是正方形，AA1= 2，AB=BC=1，所以BA⊥BC，
因为三棱柱ABC-A1B1C1直三棱柱，所以BB1⊥面ABC，而BC，BA⊂平面ABC，因此BB1⊥BC，BB1⊥BA，
所以BC，BA，BB1两两垂直．
以B为坐标原点，BC，BA，BB1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如下图：
因此C(1,0,0)，B(0,0,0)，A(0,1,0)，C1(1,0, 2)，而点E为BB1的中点，所以E(0,0, 22)，
因为F在线段AC1上，所以设AF=λAC1=(λ,-λ, 2λ)0<λ<1，
因此BF=BA+AF=(λ,1-λ, 2λ)，
因为|AF|=13，所以 λ2+-λ2+ 2λ2=13，解得λ=16，因此BF=(16,56, 26)，即F(16,56, 26)，
因为CE=(-1,0, 22)，所以CE⋅BF=-16+16=0，
因此异面直线CE与BF所成的角为90∘；
(2)设平面CEF的法向量为n1=(x,y,z)，而CF=(-56,56, 26)，
因此由n1⋅CE=0n1⋅CF=0得-x+ 22z=0-56x+56y+ 26z=0，取z= 2得x=1，y=35，
所以n1=(1,35, 2)是平面CEF的一个法向量，
设平面ACC1A1的法向量为n2=(x2,y2,z2)，则可取n2=(1,1,0)，
设平面CEF与平面ACC1A1夹角为θ，则0⩽θ⩽π2，
因此csθ=cs=n1·n2n1·n2=1+35 2×2 215=4 42=2 4221，
所以平面CEF与平面ACC1A1夹角的余弦值为2 4221．
【解析】本题考查了棱柱的结构特征 ，线面垂直的性质 ，直线与直线所成角的向量求法和平面与平面所成角的向量求法，属于中档题．
(1)利用直棱柱的结构特征 ，结合线面垂直的性质和题目条件得BC，BA，BB1两两垂直，以B为坐标原点，BC，BA，BB1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用直线与直线所成角的向量求法，计算得结论;
(2)分别求出两个平面的法向量，利用平面与平面所成角的向量求法，即可得到结果．
20.(本小题12.0分)
已知双曲线C的焦点坐标为F1(- 5,0),F2( 5,0)，实轴长为4，
(1)求双曲线C标准方程；
(2)若双曲线C上存在一点P使得PF1⊥PF2，求△PF1F2的面积．
【答案】解：(1)由条件c= 5，2a=4，∴b=1，
双曲线方程为x24-y2=1，
(2)由双曲线定义|PF1|-|PF2|=±4，
∵|PF1|2+|PF2|2=4c2=20，
∴|PF1|⋅|PF2|=2，
∴△PF1F2的面积S=12|PF1|⋅|PF2|=12×2=1．
【解析】本题考查了双曲线的标准方程，三角形的面积，属于基础题．
(1)由题意可得c= 5，2a=4，可得b=1，即可求双曲线C标准方程，
(2)根据双曲线的定义和勾股定理和三角形的面积公式即可求出．
21.(本小题12.0分)
在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD//BC，AB⊥BC，侧面PAB⊥底面ABCD，PA=PB=AD=2，BC=4．
(1)若PB的中点为E，求证：AE//平面PCD；
(2)若PB与底面ABCD所成的角为60∘，求PC与平面PBD的所成角的余弦值．
【答案】解：(1)如图1，取 PC 的中点 F ，连接 EF,DF ，
∵E,F 分别为 PB,PC 的中点，
∴ EF//BC ，且 EF=12BC=2 ．
∵AD//BC 且 AD=2 ，
∴EF//AD 且 EF=AD=2 ，
∴ 四边形 ADFE 是平行四边形，
∴DF//AE ．
∵AE⊄ 平面 PCD ， DF⊂ 平面 PCD ，
∴ AE// 平面 PCD ．
(2)若 O 是 AB 中点，取 CD 中点为 G ，连接 OG ．
∵ O,G 分别是 AB,CD 的中点，
∴ OG//BC ．
∵ AB⊥BC ，
∴ OG⊥AB ．
由底面 ABCD 为直角梯形且 AD//BC ， PA=PB=AD=2 ， BC=4 ．
∵ PA=PB ，
∴ PO⊥AB ．
由侧面 PAB⊥ 底面 ABCD ，平面 PAB∩ 平面 ABCD=AB ， PO⊂ 面 PAB ，
∴ PO⊥ 平面 ABCD ，
∴P 在平面 ABCD 的投影在直线 AB 上．
又 PB 与底面 ABCD 所成的角为 60∘ ，
∴PB 与底面 ABCD 所成角的平面角 ∠PBA=60∘ ，
∴ ▵PAB 为等边三角形， AB=PA=2 ．
以 O 为原点，分别以 OB,OG,OP 所在的直线为 x,y,z 轴，如图2建立空间直角坐标系，
则 B1,0,0 ， C1,4,0 ， D-1,2,0 ， P0,0, 3 ，
则 BP=-1,0, 3 ， PD=-1,2,- 3 ， PC=1,4,- 3 ．
设平面PBD的法向量 n=x,y,z ，
则 n⋅BP=0n⋅PD=0 ，即 -x+ 3z=0-x+2y- 3z=0 ，
取 x= 3 ，得 n= 3, 3,1 ，
∴ csn,PC=n⋅PCnPC= 3+4 3- 3 7× 20=2 10535 ．
设 PC 与平面 PBD 的所成角为 θ ，
则 sinθ=csn,PC=2 10535 ．
∵ θ∈0,π2 ，
∴ csθ≥0
∴ csθ= 1-sin2θ= 1-2 105352= 80535 ，
∴PC 与平面 PBD 的夹角的余弦值为 80535 ．

【解析】本题考查线面平行的判定，考查直线与平面所成角的向量求法，属于一般题．
(1)取 PC 的中点 F ，连接 EF,DF .先证明四边形 ADFE 是平行四边形，即可得出 DF//AE ，然后即可证明线面平行；
(2)先证明 PO⊥ 平面 ABCD ，即可得出 ∠PBA=60∘ .然后建立空间直角坐标系，得出点以及向量的坐标，求出平面 PBD 的法向量，根据向量求得 PC 与平面 PBD 的所成角的正弦值，进而求得余弦值．
22.(本小题12.0分)
已知抛物线C：y2=2pxp>0的焦点为F，斜率为1的直线l经过F，且与抛物线C交于A，B两点，AB=8．
(1)求抛物线C的方程；
(2)过抛物线C上一点Pa,-2作两条互相垂直的直线与抛物线C相交于M，N两点(异于点P)，证明：直线MN恒过定点，并求出该定点坐标．
【答案】解：(1)抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F(p2,0)，
设直线l:y=x-p2，联立方程组y=x-p2y2=2px,
消去y得x2-3px+p24=0
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则有x1+x2=3p．
由抛物线的定义有：|AB|=x1+x2+p=4p=8，解得：p=2．
所以抛物线C的方程为y2=4x．
(2)点P在抛物线C上，所以a=1，即P(1,-2)．
设直线MN方程：x=my+t，M(x3,y3)、N(x4,y4).
x=my+ty2=4x消去x得：y2-4my-4t=0．
Δ=16m2+16t>0，即m2+t>0．
y3+y4=4m，y3y4=-4t．
由PM⊥PN，得PM⋅PN=(x3-1)(x4-1)+(y3+2)(y4+2)=0，
即：y32y4216-14(y32+y42)+1+y3y4+2(y3+y4)+4=0．
整理得t2-6t-4m2+8m+5=0，
即(t-3)2=(2m-2)2，所以|t-3|=|2m-2|．
当t-3=2m-2，即t=2m+1时，直线MN方程：x=my+2m+1=m(y+2)+1．
此时直线MN过定点(1,-2)与点P重合，故舍去．
当t-3=-(2m-2)，即t=-2m+5时，直线MN方程：x=my-2m+5=m(y-2)+5．
此时直线MN恒过定点(5,2)．
【解析】本题考查了抛物线中的直线过定点问题，抛物线的焦点弦问题，属中档题．
(1)设出直线l，与抛物线方程联立，利用抛物线定义表示出弦长，即可求解p，得到抛物线方程；
(2)求得P坐标，设出MN方程，与抛物线方程联立，利用PM⋅PN=0可得参数关系，即可得直线恒过的定点．