2023-2024学年安徽省六安市裕安区新安中学高二上学期期中考试数学试题含答案

这是一份2023-2024学年安徽省六安市裕安区新安中学高二上学期期中考试数学试题含答案，共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．在下列统计量中，用来描述一组数据离散程度的量是（ ）
A．平均数B．众数C．中位数D．标准差
【答案】D
【分析】根据标准差的意义可得答案.
【详解】平均数、众数、中位数都是描述一组数据集中趋势的统计量，故选项A、B、C不正确；
标准差反映了数据分散程度的大小，所以标准差是描述一组数据离散程度的统计量，故选项D正确.
故选：D.
2．已知点在平面内，且对空间任意一点，若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用空间向量的共面定理计算即可.
【详解】由点在平面内，可知，
又，
所以，三项相加可得.
故选：B.
3．如图，在四面体中，点在棱上，且满足，点，分别是线段，的中点，则用向量，，表示向量应为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】利用空间向量基本定理以及空间向量的线性运算进行求解即可．
【详解】解：因为，所以，
因为点，分别是线段，的中点，
所以，
所以．
故选：A．
4．下列说法正确的是（ ）
A．直线必过定点
B．直线在轴上的截距为1
C．直线的倾斜角为
D．过点且垂直于直线的直线方程为
【答案】D
【分析】利用直线方程的特征可判定A，利用截距的定义可判定B，利用斜率与倾斜角的关系可判定C，利用两直线的垂直关系及点斜式计算即可判定D.
【详解】由，
当，可知该直线过定点，即A错误；
令，即直线在轴上的截距为-1，即B错误；
由可知其斜率为，
由直线倾斜角的范围可知直线的倾斜角为，即C错误；
易知的斜率为，
故垂直于该直线且过的直线方程为，即D正确.
故选：D
5．如图，在正方体中，分别为棱，，的中点，则与MN所成角的余弦值为（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【分析】建立空间直角坐标系，设出正方体边长为2，从而利用向量夹角余弦公式求出答案.
【详解】以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，
设正方体边长为2，则，
故，
则与MN所成角的余弦值为.

故选：A
6．如图，是棱长为6的正方体，若，则点到直线的距离为（ ）

A．4B．3C．2D．1
【答案】A
【分析】建立空间直角坐标系，利用坐标法求点到直线的距离.
【详解】
以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，因为正方体是棱长为6的正方体，则，，,B(6,0,0),D(0,6,0)
又，所以.
所以，,
所以在上的投影向量的长度为：，
所以到直线的距离为：.
故选：A
7．过定点的直线与过定点的直线交于点（与不重合），则面积的最大值为（ ）
A．4B．C．2D．
【答案】B
【分析】根据方程可得定点A、B，并且可判断两直线垂直，然后利用基本不等式可得.
【详解】动直线化为，可知定点，
动直线化为，令，
解得，可知定点，
又，
所以直线与直线垂直，为交点，
.
则，当且仅当时，等号成立.
即面积的最大值为.
故选：B.
8．在长方体中，，，O是AC的中点，点P在线段上，若直线OP与平面所成的角为，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求得的取值范围，由此求得，即可得解.
【详解】以D为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示
则，，，，，
设，则，
设平面的法向量为
则，令，得
所以，
由于，，，
，，，
由于，所以
故选：D
二、多选题
9．已知是直线l的方向向量，是平面的法向量，则（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】AD
【分析】由直线的方向向量与平面的法向量的平行与垂直判断直线与平面的垂直与平行．
【详解】，则，，即，A正确，B错误；
，则，，解得，C错误，D正确．
故选：AD．
10．不透明的袋子中装有6个大小质地相同的小球，分别标有数字，从中有放回的随机抽取两次，每次取一个球.表示事件“第二次取出的球上标有的数字大于等于”，表示事件“两次取出的球上标有的数字之和为5”，则下列说法错误的是（ ）
A．B．C．事件与相互独立D．
【答案】BC
【分析】应用列举法写出所有可能情况，根据题设事件描述及古典概型的概率求法求、、、，由独立事件的判定判断独立性.
【详解】由题意，行表示第一次取出数字，列表示第二次取出数字，如下表，
两次取出的可能情况有36种，
第二次取出的球上标有的数字大于等于的情况有24种，故，
两次取出的球上标有的数字之和为5的情况有，共4种，故，
满足事件的情况有，故，所以，
满足事件的情况有26种，故，
综上，A、D对，B、C错.
故选：BC
11．下列说法正确的是（ ）
A．“”是“直线与直线互相垂直”的充分不必要条件
B．直线的倾斜角的取值范围是
C．过两点的所有直线，其方程均可写为
D．已知，若直线与线段有公共点，则
【答案】ABD
【分析】利用两直线垂直关系求参数可判定A，由直线的斜率与倾斜角关系结合正弦函数的值域可判定B，利用两点式可判定C，利用直线过定点及两点斜率公式可判定D.
【详解】若直线与直线互相垂直垂直，
则或，
所以“”是“直线与直线互相垂直”的充分不必要条件，
故A正确；
由题意可知直线的斜率为，故B正确；
根据两点式方程可知只有时才可使用，故C错误；
易知过定点，且，
若满足题意则需，故D正确.
故选：ABD
12．在正方体中，，点满足，其中，则下列结论正确的是（ ）
A．当平面时，可能垂直
B．当时，的最小值为
C．若与平面所成的角为，则点的轨迹的长度为
D．当时，正方体经过点的截面面积的取值范围为
【答案】ACD
【分析】建立空间直角坐标系利用空间向量研究线面关系可判定A，将图形展开成平面图形，结合余弦定理计算即可判定B，利用线面角及圆的概念可判定C，利用空间向量计算点到线的距离公式及图形的对称性可计算面积判定D.
【详解】根据平面向量共面定理可知点P位于侧面正方形上（包含四边），
对于选项：建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
所以，
则，
设平面的一个法向量为，
所以，令，则，即平面的一个法向量为，
若平面，则，即，
则当时，，
即为中点时，有平面，且，故A正确；
选项：如图，将平面与平面沿展成平面图形，

线段即为的最小值，
由余弦定理可知，
所以，故B错误；
选项：因为平面，连接，
则即为与平面所成角，
若与平面所成角为，
则，所以，
即点的轨迹是以为圆心，以1为半径的个圆，于是点的轨迹长度为，故正确；

选项：当时，可知P在上，设，
正方体经过点的截面为平行四边形，
以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，
所以，
所以点到直线的距离为
，
于是当时，的面积取最小值，则此时截面面积为；
当或1时，的面积取最大值，此时截面面积为，故正确.
故选：ACD
三、填空题
13．在一次篮球比赛中，某支球队共进行了8场比赛，得分分别为，那么这组数据的第75百分位数为 .
【答案】40
【分析】根据百分位数的求法求第75百分位数.
【详解】将得分从小到大排列有，
由，故第75百分位数为.
故答案为：
14．经过点且在轴上的截距等于轴上截距的3倍的直线的方程为 .
【答案】或
【分析】利用截距的定义及直线的截距式计算即可.
【详解】当直线的截距都是零，即直线过原点时，可设其方程为，
代入点得，
当直线截距不为零时，设该直线在轴上截距为，则其在轴上的截距为，
可设该直线方程为，代入点得，
即.
故答案为：或.
15．已知向量在向量上的投影向量为，则实数的取值范围为 .
【答案】
【分析】求出向量在向量上的投影向量，再分、利用基本不等式可得答案.，
【详解】由已知，则向量在向量上的投影向量为
，
所以，
当时，，
当且仅当即等号成立；
当时，，
当且仅当即等号成立，
则实数的取值范围.
故答案为：.
16．已知是棱长为4的正四面体的外接球的一条直径，点是该正四面体表面上的一点，则的取值范围为 .
【答案】
【分析】设正四面体的外接球球心为O，外接球半径为R，内切球半径为r，且平面ABC于H，利用AH，SH与外接球及内切球半径的关系，转化即可求解外接球、内切球的半径，然后利用向量的数量积，判断P的位置即可得到结果.
【详解】
设正四面体的外接球球心为，外接球半径为，内切球半径为，且平面于，则，；
由得，
，
且，此时点在四面体的四个顶点处，
则；
，此时为该正四面体的内切球与各面的切点，
则；
所以的取值范围为.
故答案为：
四、解答题
17．已知三个顶点的坐标：.
(1)求过点A且与直线平行的直线的方程；
(2)求中边上的高所在直线的方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用直线的平行关系及点斜式计算即可；
（2）利用直线的垂直关系及点斜式计算即可.
【详解】（1）易知，所以过点A且与直线平行的直线的方程为；
（2）易知，所以边上的高所在直线的方程为.
18．设直线的方程为，直线的方程为，其中.
(1)若直线经过第二､三､四象限，求的取值范围；
(2)若直线，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用直线方程的特征计算即可；
（2）利用直线的位置关系计算即可.
【详解】（1）由题意可知直线斜率为负，且在纵轴上的截距为负，
即，
所以；
（2）因为，所以或，
检验：当时，与重合，应舍去；当时，.
综上：.
19．面对某种新型冠状病毒，各国医疗科研机构都在研究疫苗，现有三个独立的研究机构在一定的时期研制出疫苗的概率分别为：.
(1)求这种疫苗能被研制出的概率；
(2)求至多有一个机构研制出这种疫苗的概率.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，由相互独立事件的概率计算公式，代入计算，即可得到结果；
（2）根据题意，由条件求得三个机构都没研制出疫苗的概率与恰有一个机构研制出疫苗的概率，相加即可得到结果.
【详解】（1）记“机构在一定时期研制出疫苗”为事件，“机构在一定时期研制出疫苗”为事件
，“机构在一定时期研制出疫苗”为事件，显然事件相互独立，且
，
设能研制出疫苗为事件，其对立事件是都没有研制出疫苗的事件，
则，
所以他们能研制出疫苗的概率是.
（2）至多有一个机构研制出疫苗的事件为，则
，
所以至多有一个机构研制出疫苗的概率是.
20．如图，在四棱锥中，平面，且.
(1)求证：平面平面；
(2)若为的中点，点在上，且，求点到平面的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用勾股定理证得，再利用线面垂直与面面垂直的判定定理即可得证；
（2）建立空间直角坐标系，利用空间法求得点到平面的距离，从而得解.
【详解】（1）作，垂足为，如图
由题意可知：，且，则四边形为正方形，
所以，
又因为，可知，即，
因为平面平面，所以.
且平面平面，所以平面，
又因为平面，所以平面平面.
（2）以点为坐标原点，以所在的直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则.
则，，
而，则.
设平面的法向量为，则，
令，则，可得平面的一个法向量为，
设点到平面的距离为，则，
所以点到平面的距离为.
21．如图，四棱柱的底面是正方形，为底面的中心，平面.
(1)求证：平面；
(2)求平面和平面的夹角的正切值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）先由线面垂直的性质得到，由线面垂直的判定定理得平面，由线面垂直的性质得；再利用勾股定理及线线平行垂直的性质得到；最后利用线面垂直的判定定理证明即可.
（2）建立空间直角坐标系，先求出平面和平面的法向量；再利用空间夹角的向量求法运算即可得解.
【详解】（1）
证明：因为平面，且平面.
所以，.
因为四边形为正方形，.
所以，且.
又因为
所以平面.
因为平面
故.
因为在中，，O为AC的中点.
所以，
则，即.
又因为，
所以.
又平面，且平面，且
所以平面.
（2）因为两两垂直
则以为原点，分别以向量的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示：
，
.
.
由可得，
则.
设平面的一个法向量为
则，得
取，得.
设平面的一个法向量为
又
则，得，
取，得
所以.
平面和平面的夹角的余弦值为,夹角的正弦值为.
平面和平面的夹角的正切值为.
22．如图，在四棱锥中，四边形是矩形，是正三角形，且平面平面，，为棱的中点，四棱锥的体积为.
(1)若为棱的中点，求证：平面；
(2)在棱上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出点的位置并给以证明；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)存在点，位于的中点处，证明见解析
【分析】（1）作出辅助线，证明出四边形是平行四边形，所以，从而得到线面平行；
（2）先根据面面垂直得到线面垂直，是四棱锥的高，设，根据体积求出，建立空间直角坐标系，设，由线面角得到方程，求出，得到答案.
【详解】（1）取中点，连接，
∵分别为的中点，
，，
∵底面四边形是矩形，为棱的中点，
，，
，，
故四边形是平行四边形，所以.
又平面，平面，
∴平面.
（2）假设在棱上存在点满足题意，
在等边中，为的中点，所以，
又平面平面，平面平面平面，
平面，则是四棱锥的高.
设，则，矩形的面积
，所以.
以点为原点，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
故.
设，
，
设平面的一个法向量为，
则，令得，，
.
由题意可得，
整理得，解得或，又因为，所以，
故存在点，位于的中点处满足题意.
1
2
3
4
5
6
1
(1,1)
(2,1)
(3,1)
(4,1)
(5,1)
(6,1)
2
(1,2)
(2,2)
(3,2)
(4,2)
(5,2)
(6,2)
3
(1,3)
(2,3)
(3,3)
(4,3)
(5,3)
(6,3)
4
(1,4)
(2,4)
(3,4)
(4,4)
(5,4)
(6,4)
5
(1,5)
(2,5)
(3,5)
(4,5)
(5,5)
(6,5)
6
(1,6)
(2,6)
(3,6)
(4,6)
(5,6)
(6,6)