2023-2024学年安徽省安庆市怀宁县第二中学高二上学期期中数学试题含答案

这是一份2023-2024学年安徽省安庆市怀宁县第二中学高二上学期期中数学试题含答案，共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题，证明题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．直线的倾斜角（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】确定直线的斜率，根据斜率与倾斜角的关系，即可求得答案.
【详解】由题意可得直线的斜率为，
直线倾斜角为，则，
故，
故选：B
2．国家体育场（又名鸟巢）将再次承办奥运会开幕式．在手工课上，张老师带领同学们一起制作了一个近似鸟巢的金属模型，其俯视图可近似看成是两个大小不同，扁平程度相同的椭圆，已知大椭圆的长轴长为40cm，短轴长为20cm，小椭圆的短轴长为10cm，则小椭圆的长轴长为（ ）cm

A．30B．10C．20D．
【答案】C
【分析】求出大椭圆的离心率，根据两椭圆离心率相同，结合小椭圆短半轴长即可求得其长半轴长，即得答案.
【详解】在大椭圆中，，，则，则椭圆离心率为．
∵两椭圆扁平程度相同，∴离心率相等，∴在小椭圆中，，
结合题意知，得，∴小椭圆的长轴长为20．
故选：C
3．已知点，若直线与线段有交点，则实数的取值范围是
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据题意知A、B两点在直线的异侧或在直线上，得出不等式（2k﹣2﹣1）×（﹣k﹣3﹣1）≤0，求出解集即可．
【详解】根据题意，若直线l：kx﹣y﹣1＝0与线段AB相交，
则A、B在直线的异侧或在直线上，
则有（2k﹣2﹣1）×（﹣k﹣3﹣1）≤0，
即（2k﹣3）（k+4）≥0，解得k≤﹣4或k≥，
即k的取值范围是（﹣∞，﹣4]∪[，+∞）．
故选C．
【点睛】本题考查直线与线段AB相交的应用问题，考查了转化思想，是基础题．
4．古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆的中心为原点，焦点，均在轴上，的面积为，过点的直线交于点，，且的周长为8．则的标准方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据已知所给的面积公式，结合椭圆的定义进行求解即可.
【详解】因为的周长为8，
所以，
由椭圆的定义可知：
所以，
由题意可得：，解得，
因为椭圆的焦点在轴上，所以的标准方程为．
故选：C
【点睛】本题考查了椭圆定义的应用，考查了数学阅读能力和数学运算能力.
5．如图，已知平行六面体，点是的中点，下列结论中错误的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】利用空间向量，结合空间向量的基本定理推出结果即可．
【详解】底面ABCD是平行四边形可知：，所以A正确；
，所以B不正确；
，所以C正确；
，所以D正确.
故选：B
6．设，向量，，且，则（ ）
A．B．C．3D．4
【答案】C
【分析】根据空间向量平行与垂直的坐标表示，求得的值，结合向量模的计算公式，即可求解.
【详解】由向量且，
可得，解得，所以，，
则，所以.
故选：C.
7．已知在圆内，过点的最长弦和最短弦分别是和，则四边形的面积为（ ）
A．6B．8C．10D．12
【答案】D
【分析】圆的最长弦是直径，过定点的最短弦是与过定点的最长弦垂直的，对角线互相垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半.
【详解】圆
由题意可得
最长弦为直径等于6，
最短的弦由垂径定理可得，
则四边形的面积为.
故选：D.
【点睛】本题考查过圆内定点求圆的弦长最值问题，考查求解运算能力，是基础题.
8．如图，在正方体中，是中点，点在线段上，若直线与平面所成的角为，则的取值范围是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先设棱长为1，，建立如图坐标系，根据计算点P坐标和向量，再写出平面的一个法向量的坐标，根据构建关系，求其值域即可.
【详解】如图，设正方体棱长为1，，则，
以为原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系．
则，故，，又，则，所以．
在正方体中，可知体对角线平面，
所以是平面的一个法向量，
所以．
所以当时，取得最大值，当或1时，取得最小值．
所以.
故选：A．
【点睛】方法点睛：
求空间中直线与平面所成角的常见方法为：
（1）定义法：直接作平面的垂线，找到线面成角；
（2）等体积法：不作垂线，通过等体积法间接求点到面的距离，距离与斜线长的比值即线面成角的正弦值；
（3）向量法：利用平面法向量与斜线方向向量所成的余弦值的绝对值，即是线面成角的正弦值.
二、多选题
9．已知空间中三点，，，则下列结论错误的是（ ）
A．与是共线向量B．与同向的单位向量是
C．与夹角的余弦值是D．平面的一个法向量是
【答案】AC
【分析】A：利用共线向量定义进行判断；B：与同向的单位向量；C：利用向量夹角余弦公式判断；D：设平面的法向量为，则，由此能求出结果．
【详解】对于A：，
与不是共线向量，故A错误；
对于B：，则与同向的单位向量是，故B正确；
对于C：，
∴，故C错误；
对于D：，
设平面的法向量为，
则，取，得，故D正确．
故选：AC．
10．已知实数，满足方程，则下列说法不正确的是（ ）
A．的最大值为B．的最大值为
C．的最大值为D．的最大值为
【答案】CD
【分析】设，则只需直线与圆有公共点，利用点到直线的距离公式可得不等式求得z的范围，可判断A；同理可判断D；设，利用几何意义求得t的范围判断B；设，则直线和圆有公共点，进而可得不等式求得k的范围判断C.
【详解】由题意知方程即表示圆，圆心为，半径为，
对于A，设，则只需直线与圆有公共点，
则，解得，

即的最大值为，A正确；
对于B，设，其几何意义为圆上的点到原点的距离，
而上的点到原点距离的最大值为，
即t的最大值为，故的最大值为，B正确；
对于C，设，则，则直线和圆有公共点，
则，解得，即的最大值为，C错误；
对于D，设，则直线与圆有公共点，
则，解得，
即的最大值为，D错误；
故选：CD
11．我们通常称离心率为的椭圆为“黄金椭圆”．如图，已知椭圆，，，，为顶点，，为焦点，为椭圆上一点，满足下列条件能使椭圆为“黄金椭圆”的有（ ）
A．2=2
B．
C．轴，且
D．四边形的内切圆过焦点，
【答案】BD
【分析】对每个命题如果是正确的求出各个命题所在的椭圆的离心率即可．
【详解】,由条件得到，即或（舍，解得：，所以不正确；
,若，则由射影定理可得：，
即，所以，即，，
解得；所以正确；
，若轴，如图可得，又，则斜率相等，所以，即，或，显然不符合，
所以，所以不正确；
，因为四边形为菱形，若命题正确则内切圆的圆心为原点，由圆的对称性可知，
圆心到直线的距离等于，
因为直线的方程为：，即，所以原点到直线的距离，
由题意知：，又，整理得：，，，
解得，
所以，所以正确，
故选：．
12．古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点，的距离之比为定值（）的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系中，已知，，点满足，设点的轨迹为圆，下列结论正确的是（ ）
A．圆的方程是
B．过点向圆引切线，两条切线的夹角为
C．过点作直线，若圆上恰有三个点到直线距离为2，该直线斜率为
D．在直线上存在异于，的两点，，使得
【答案】ABD
【解析】根据，，点满足，设点，求出其轨迹方程，然后再逐项运算验证.
【详解】因为，，点满足，
设点，则 ，
化简得：，即 ，故A正确；
因为，所以，则 ，解得 ，故B正确；
易知直线的斜率存在，设直线，因为圆上恰有三个点到直线距离为2，则圆心到直线的距离为： ，解得，故C错误；
假设存在异于，的两点，，则，
化简得：，因为点P的轨迹方程为：，所以解得或 （舍去），故存在 ，故D正确；
故选：ABD
【点睛】关键点点睛：本题关键是根据求出点的轨迹方程，进而再根据直线与圆的位置关系求解.
三、填空题
13．已知椭圆的离心率等于，则实数 .
【答案】或
【解析】讨论椭圆焦点的位置，分两种情况求椭圆的离心率，再求实数的值.
【详解】当椭圆的焦点在轴时，，，，
所以，解得：，
当椭圆的焦点在轴时，，，，
所以，解得：.
故答案为：或
14．已知、、不共面，，，，且A、B、C、D四点共面，则的值为 ．
【答案】1
【分析】把A、B、C、D四点共面转化为满足，列方程组，求出即可.
【详解】因为，，，
所以，.
因为A、B、C、D四点共面，所以存在唯一的，使得,
即，
即，解得：.
故答案为：1
15．已知点是直线：上的动点，过点作圆：的切线，，切点为，，则当四边形的面积最小时，直线的方程为 .
【答案】
【解析】由已知结合四边形面积公式可得四边形MACB面积要使四边形MACB面积最小，则需最小，此时CM与直线垂直，求得以CM为直径的圆的方程，再与圆C的方程联立可得AB所在直线方程.
【详解】由圆的标准方程可知，圆心C (1，1) ，半径r=2.
因为四边形的面积
要使四边形MACB面积最小，则需最小，此时CM与直线垂直.
直线CM的方程为 ，即
联立，解得
则以CM为直径的圆的方程为，
联立
消去二次项可得直线AB的方程为，
故答案为：
【点睛】关键点点睛：根据四边形的面积表达式可以看出要使四边形MACB面积最小，则需最小，此时CM与直线垂直，此时所做圆的直径为CM，写出圆的方程，两圆方程相减即可求出过AB的直线方程.
16．2020年是中国传统的农历“鼠年”，有人用3个圆构成“卡通鼠”的形象，如图：是圆Q的圆心，圆Q过坐标原点O；点L、S均在轴上，圆L与圆S的半径都等于2，圆S､圆L均与圆Q外切．已知直线l过点O．若直线l截圆L、圆S、圆Q所得弦长均等于d，则d= ．
【答案】
【解析】圆L与圆S关于原点对称，直线l过原点，求出圆L与圆S的圆心坐标，设出直线l方程，由三个弦长相等得直线方程，从而可得弦长d．
【详解】由题意圆与圆关于原点对称，设，则
即．
设方程为，则三个圆心到该直线的距离分别为：
，，，
则，
即有，解得，
则，即.
故答案为: .
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查直线与圆相交弦长问题．求出圆心到直线的距离，用勾股定理求得弦长是求圆弦长的常用方法．
四、解答题
17．求经过直线l1：2x﹣y+4＝0和直线l2：x﹣y+5＝0的交点C，并且满足下列条件的直线方程．
（1）与直线x﹣4y+4＝0垂直；
（2）到原点的距离等于1．
【答案】（1） （2）或
【分析】（1）设所求直线为，整理为一般方程后利用垂直直线的系数关系可求，即得解
（2）设所求直线为，整理为一般方程后利用点到直线距离求解，即得解
【详解】（1）由于直线l2：x﹣y+5＝0与直线x﹣4y+4＝0不垂直
故设所求直线为，
故，
因为此直线与直线x﹣4y+4＝0垂直，
故，故，
故所求直线为.
（2）由于原点到直线l2：x﹣y+5＝0的距离
故设所求直线为，
故，

解得或
故直线方程为：或
18．已知空间中的三点，，，设，.
（1）若与互相垂直，求的值；
（2）求点到直线的距离.
【答案】(1) 或 （2）
【解析】(1）写出两个向量的坐标，利用向量的数量积为0，求解k即可．
(2）求出直线PM的单位方向向量为，然后利用空间点到直线的距离公式求解即可.
【详解】因为，，，
所以
（1），，
因为，
所以，
整理得，
解得或，
所以的值为或.
(2) 设直线的单位方向向量为，
则
由于，
所以，
所以点N到直线PM的距离
【点睛】关键点点睛：根据空间向量的坐标表示，利用向量垂直的数量积为0，向量表示的点到直线的距离公式是解决本题的关键,考查了运算能力，属于中档题.
19．已知在平面直角坐标系中，点，直线：.圆的半径为1，圆心在直线上.
(1)若直线与圆相切，求圆的标准方程；
(2)已知动点，满足，说明的轨迹是什么?
【答案】(1)或
(2)动点的轨迹是以为圆心，半径是2的圆.
【分析】（1）设圆心坐标，根据直线和圆相切列出关于参数的方程，求得参数，即可求得答案；
（2）根据条件列出方程，化简即可的结论.
【详解】（1）因为圆心在直线上，所以圆心可设为，
由题意可得，即，
所以，解得或，
所以圆心的坐标为或，
所以圆的标准方程为或.
（2）由，得，
化简得：，
即，所以动点的轨迹是以为圆心，半径是2的圆.
五、证明题
20．如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，，是上一点，且．

(1)证明：面；
(2)求点到平面的距离；
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据线面垂直的判定定理即可证明；
（2）解法1：过做于，证明DN为D到平面PAC的距离，证明M是PD的中点，从而可得M到平面PAC的距离是D到平面PAC距离的一半；解法2：根据求出D到平面PAC的距离，证明M是PD的中点，从而可得M到平面PAC的距离是D到平面PAC距离的一半；解法3：分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，利用向量法即可求解．
【详解】（1）∵平面，面，∴，
又∵，面，，
∴平面．
（2）解法1：过做于，
∵平面，面，∴，
又，面PAC，∴面，
为点到平面的距离，
在中，，
∵，又∵，∴为的中点，
∴点到平面的距离为．

解法2：∵平面，
∴，
在中，，
∴，
设点到平面的距离为，则，
由，得，∴．
∵，又∵，∴为的中点．
∴点到平面的距离为．
解法3：分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，，，，，

则，，，
设，则，
∴，
由，知，
∴，为中点，
∴，，，，
设平面的法向量为，
由，得，
∴，取，得，
∴是平面的一个法向量．
∴点到平面的距离为．
六、解答题
21．如图，四棱锥中，底面为矩形，底面，，点是棱的中点．

(1)求直线与平面的距离；
(2)若，求平面与平面的夹角的余弦值．
【答案】(1)
(2)．
【分析】（1）以A为坐标原点，射线、、分别为轴、轴、轴正半轴，建立空间直角坐标系，设，证明平面及平面，从而可得AE即为所求；
（2）利用向量法即可求解．
【详解】（1）如图，以A为坐标原点，射线、、分别为轴、轴、轴正半轴，
建立空间直角坐标系．

设，则，，，．
因此，，，．
则，，∴，，
又，平面，
∴平面．
由，平面，平面，
∴平面．
故直线与平面的距离为点到平面的距离，即为．
（2）若，设平面的法向量为．
∵，．
∴，令，得，．
∴．
设平面的法向量为，
∵，，
∴，令，得，
∴．
设平面与平面的夹角为，则．
∴平面与平面的夹角余弦值为．
22．已知C为圆的圆心，P是圆C上的动点，点，若线段MP的中垂线与CP相交于Q点．
(1)当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹N的方程；
(2)过点的直线l与点Q的轨迹N分别相交于A，B两点，且与圆O：相交于E，F两点，求的取值范围．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）由线段的垂直平分线，得到，结合椭圆的定义，即可求解；
（2）①若直线l的斜率不存在，直线l的方程为，分别求得；②若直线的斜率存在，设直线的方程为，联立方程组，结合弦长公式，求得和，进而求得的值.
【详解】（1）解：由线段的垂直平分线，可得，
所以点的轨迹是以点，为焦点，焦距为，长轴长为的椭圆，
所以，，则，
所以椭圆C的标准方程为．
（2）解：由（1）可知，椭圆的右焦点为，
①若直线l的斜率不存在，直线l的方程为，
则，，，，
所以，，．
②若直线的斜率存在，设直线的方程为，，，
联立方程组，整理得，
则，，
所以，
因为圆心到直线l的距离，
所以，
所以，
因为，所以，
综上可得，．