2022-2023学年吉林省长春市东北师范大学附属中学净月实验学校高二上学期期末数学试题含答案

这是一份2022-2023学年吉林省长春市东北师范大学附属中学净月实验学校高二上学期期末数学试题含答案，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题，问答题，证明题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．直线的倾斜角是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】直线为，
倾斜角，，
故选．
2．已知点，，则以线段为直径的圆的方程为（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】根据点，，且线段为直径，可知圆心及直径，半径，进而得到圆的方程.
【详解】圆心坐标为，，，
所以以线段为直径的圆的方程为，
故选：B.
【点睛】求圆的方程，主要有两种方法：
(1)几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理．如：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；②圆心在任意弦的中垂线上；③两圆相切时，切点与两圆心三点共线．
(2)待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式．不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式．
3．椭圆的焦距为2，则m的值等于（ ）
A．5B．3C．5或3D．8
【答案】C
【分析】根据椭圆方程的标准形式，求出a，b，c的值，即可列出方程，从而求得m的值．
【详解】由题意知椭圆焦距为2，即c＝1，
当焦点在x轴上时，则，，即，
当焦点在y轴上时，则，，即，
m的值为5或3.
故选：C.
【点睛】本题考查椭圆标准方程的理解，属于基础题.
4．三棱柱中,是的中点,若，，,则
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】若中点为，.
故选B.
5．在数列1，2，，，，中，是这个数列的（ ）
A．第16项B．第24项C．第26项D．第28项
【答案】B
【分析】根据题意求出数列的通项公式，结合通项公式分析求解.
【详解】数列可化为 ，
所以，
令，解得，
所以是这个数列的第项，
故选：B．
6．已知数列满足，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意分析可知数列是以首项为4，公比为2的等比数列，结合等比数列通项公式运算求解.
【详解】因为，则，且，
可知数列是以首项为4，公比为2的等比数列，
所以，即，
所以.
故选：C.
7．在中国古代诗词中，有一道“八子分绵”的数学命题：“九百九十六斤绵，分给八子做盘缠，次第每人多十七，要将第七数来言.”题意是：把996斤绵分给8个儿子做盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多17斤绵，那么第7个儿子分到的绵是（ ）
A．167斤B．184斤C．191斤D．201斤
【答案】A
【分析】根据题意，利用等差数列模型求解.先确定通项公式，再根据前项和为，求出首项，再利用通项公式求某一项的值.
【详解】记8个儿子按年龄从大到小依次分棉斤，斤，斤，...，斤，
因为按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多17斤绵，
所以数列为等差数列，且公差为，所以.
因为绵的总数为996斤，所以，解得.
所以第7个儿子分到的绵是斤.
故选：A.
8．、分别是双曲线的左、右焦点，过点的直线与双曲线的左右两支分别交于A，两点，若是等边三角形，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据题意结合双曲线的定义可求得，则，再利用余弦定理可求出，从而可求出渐近线方程.
【详解】因为是等边三角形，则，
因为A，两点在双曲线上，则，解得，
则，
在中，由余弦定理，
则，即，
整理得，且双曲线的焦点在x轴上，所以渐近线方程为．
故选：B．
二、多选题
9．已知等比数列中，满足，，是的前项和，则下列说法正确的是（ ）
A．数列是等比数列B．数列是递减数列
C．数列是等差数列D．数列中，，，仍成等比数列
【答案】ABC
【分析】先根据等比数列求.对于A：根据等比数列的定义分析判断；对于B：根据数列单调性的定义分析判断；对于C：根据等差数列的定义分析判断；对于D：根据等比中项的定义分析判断.
【详解】依题意可知，
对于选项A：因为，所以数列是等比数列，故A正确；
对于选项B：，所以，
所以数列是递减数列，故B正确；
对于选项C：设，则，
所以数列是等差数列，故C正确；
对于选项D：，
因为，
即，所以，，不成等比数列，所以D错误；
故选：ABC.
10．已知圆：和圆：．现给出如下结论，其中正确的是（ ）
A．圆与圆外切
B．、分别为圆和圆上的动点，则的最大值为8，最小值为2
C．过且与圆相切的直线有一条
D．过且在两坐标轴上截距相等的直线方程为或
【答案】BD
【分析】对于A：根据两圆位置关系分析判断；对于B：根据圆的性质可得结果；对于C：判断点与圆的位置关系，即可得结果；对于D：设直线方程为，根据截距列式求解即可.
【详解】对于选项A：因为圆：的圆心，半径，
圆：的圆心，半径，
则，即，
所以圆与圆外离，故A错误；
对于选项B：由圆的性质可知：，即的最大值为8，
，即的最小值为2，故B正确；
对于选项C：因为，可知点在圆外，
所以过且与圆相切的直线有两条，故C错误；
对于选项D：由题意可知所求直线的斜率存在，设直线方程为，
则直线在x，y轴上的截距分别为，
则，解得或，
所以直线方程为或，故D正确；
故选：BD.
11．已知无穷等差数列的前项和为，，且，则（ ）
A．在数列中，公差B．当时，取得最大值
C．D．使的最大正整数为14
【答案】AB
【分析】由已知条件可得，所以公差，即A正确；根据数列的递减性质可知当时，取得最大值，即B正确；又因为，可知C错误，经计算可得的符号不确定，即D错误.
【详解】根据题意由可得，由可得；
可设等差数列的公差为，则，即A正确；
即可得数列为递减数列，且，
所以可得，即可得当时，取得最大值，B正确；
易得，所以C错误；
当时可得，
又因为，所以的符号不确定，所以D错误.
故选：AB
12．已知抛物线：的的焦点为，、是抛物线上两点，则下列结论正确的是（ ）
A．点的坐标为
B．若直线过点，则
C．若，则的最小值为
D．若，则线段的中点到轴的距离为
【答案】BCD
【分析】由抛物线方程确定焦点坐标知A错误；直线与抛物线方程联立，利用韦达定理可知B正确；根据过焦点可知最小值为通径长，知C错误；利用抛物线焦半径公式，结合中点坐标公式可求得点纵坐标，知D正确.
【详解】抛物线，即，
对于A，由抛物线方程知其焦点在轴上，焦点为，故A错误；
对于B，依题意，直线斜率存在，设其方程为，
由，消去整理得，
则，，，故B正确；
对于C，若，则直线过焦点，
所以，
所以当时，，
所以的最小值为，故C正确；
对于D，因为，则，
即点纵坐标为，所以到轴的距离为，故D正确.
故选：BCD.
三、填空题
13．等差数列前项和为，，则 ．
【答案】
【分析】结合等差数列的性质求，再利用前项和公式求解.
【详解】等差数列，由，
解得，
则，
故答案为：.
14．已知向量，，若与垂直，则 .
【答案】
【分析】根据与垂直，可知，根据空间向量的数量积运算可求出的值，结合向量坐标求向量模的求法，即可得出结果.
【详解】解：与垂直，，
则，解得：，
，
则，
.
故答案为：.
15．数列的前项和为，，则通项公式 ．
【答案】
【分析】利用公式进行求解.
【详解】由题知，当时，，
当时， ①
又 ②
由②减去①有：，
当不满足上式，所以.
故答案为：.
16．已知，是双曲线：的左、右两个焦点，若直线与双曲线交于，两点，且四边形为矩形，则双曲线的离心率为 ．
【答案】
【分析】根据题意由矩形的对角线相等建立方程求出的关系即可求出双曲线的离心率.
【详解】因为点在直线上，设，
又因为点在双曲线上，则，解得，
所以，
整理得：，解得或（舍去），
所以.
故答案是：.
四、解答题
17．已知圆的半径为2，圆心在射线上，直线与圆相切．
(1)求圆的标准方程；
(2)求直线：与圆相交的弦长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据直线与圆相切，应用点线距离公式求圆心坐标，写出圆的标准方程.
（2）根据相交弦、弦心距、半径之间的几何关系求弦长即可.
【详解】（1）由题意可设：圆心为，
由圆与相切，有，即可得或（舍去），
所以圆的标准方程为.
（2）由（1）可知：，，
则到直线的距离为，
所以直线与圆相交的弦长为.
五、问答题
18．已知数列是首项，的等比数列，设．
(1)求数列的通项公式；
(2)记，求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据等比数列定义可求得公比，可得，再由可求出的通项公式为；
（2）易知，利用裂项相消求和可得.
【详解】（1）设数列的公比为，
由等比数列定义可得，解得，
所以，
又，即可得
所以数列的通项公式为；
（2）由（1）可知，
则，
即数列的前项和
六、解答题
19．如图，在三棱锥中，平面，，，，分别是棱，，的中点，．
(1)求直线与平面所成角的正弦值；
(2)求点到平面的距离．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）依题意建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量及面的法向量，利用向量的夹角公式，即可求出直线与平面所成角的正弦值；
（2）利用向量法可求出点P到平面的距离．
【详解】（1）依题意：以A为坐标原点，所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
又，，分别是棱，，的中点，，
得，
所以，设面的法向量为，
因为，即，取，则，
设直线与平面所成角为，则，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
.
（2）因为，，点P到平面的距离，
所以点P到平面的距离为.
20．如图所示，在四棱锥中，底面是直角梯形，平面，且，，，．
(1)求证：；
(2)求平面与平面夹角的大小．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量证明线线垂直；
（2）分别求平面、平面的法向量，利用空间向量求面面夹角.
【详解】（1）因为平面，平面，则，
结合题意可知：两两垂直，
如图，分别以为轴所在直线建立空间直角坐标系，
则，
可得，
因为，
所以.
（2）由（1）可得：，
设平面的法向量，则，
令，则，可得，
由题意可知：平面的法向量，
设平面与平面夹角为，
则，
所以平面与平面夹角的大小.
七、证明题
21．在数列中，，
(1)证明：数列是等比数列.
(2)求数列的前项和.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用等比数列的定义证明即可；
（2）根据等比数列的通项公式得到，然后分组求和即可.
【详解】（1）由得，
，
所以数列为首项为1，公比为4 的等比数列.
（2）由（1）得，则，
.
八、解答题
22．已知椭圆：的左右焦点分别是双曲线：的顶点，且椭圆的上顶点到双曲线的渐近线的距离为．
(1)求椭圆的方程；
(2)如图所示，直线：与椭圆在第二象限交于点，若直线，且与椭圆交于两点，直线，与轴分别交于，两点，记，的横坐标分别为，，求证：为定值．
【答案】(1)
(2)证明见解析；
【分析】（1）根据双曲线和椭圆的几何性质可得，由点到直线距离公式可得，可求出椭圆的方程为；
（2）易解得，设出直线方程并于椭圆联立，，求出直线的方程可解得，，利用韦达定理即可求出为定值.
【详解】（1）易知双曲线的顶点坐标为，
所以椭圆焦点坐标为，可知；
椭圆上顶点坐标为，渐近线方程为，
可得，解得，所以；
即椭圆的方程为；
（2）联立直线和椭圆，解得；
根据题意可设方程为，，
联立直线和椭圆，消去可得，
且，解得或
由韦达定理可得；
则直线的斜率为，
可得直线的方程为，解得；
同理可得直线方程为，解得；
因此
又，所以
代入计算可得
；
所以为定值.
【点睛】方法点睛：求解圆锥曲线中定值问题时，首先联立方程得出要求式子的表达式，再根据韦达定理代入化简即可得出结论.