2022-2023学年河南省焦作市沁阳市第一中学高二上学期期末数学试题含答案

这是一份2022-2023学年河南省焦作市沁阳市第一中学高二上学期期末数学试题含答案，共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．“”是“，使得是真命题”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】由“，使得是真命题”，又，则,所以“”是“，使得是真命题”的必要不充分条件，故选B.
2．若，，则（ ）
A．B．
C．D．，的大小与的取值无关
【答案】B
【分析】由题意，利用作差法，结合二次函数的性质，可得答案.
【详解】由题意结合函数的解析式有：
据此可得：.
故选：B.
3．命题“，”的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】D
【分析】根据全称命题的否定形式，直接判断选项.
【详解】全称命题的否定需改变量词，以及否定结论，所以命题“，”的否定是“，”.
故选：D
4．关于的不等式的解集为，则满足条件的一组有序实数对的值可以是（ ）
A．(1，1)B．(-1，-1)C．(-2，-1)D．(2，1)
【答案】B
【分析】根据不等式的解集得出对应方程实数根和对应系数，由此求出，即可得出结论．
【详解】解：关于的不等式的解集为，
所以1和2是方程的两个实数根，且；
所以，且，即；
所以有序实数对的值可以．
故选：．
5．在中，内角，，的对边分别为，，.若的面积为，且，，则外接圆的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由已知利用三角形面积公式，余弦定理，同角三角函数基本关系式可得，结合范围，可求，利用正弦定理可求外接圆的半径即可求外接圆的面积．
【详解】解：的面积为，且，，
可得：，
，可得：，
，
，
则外接圆的半径，
则外接圆的面积，
故选：C．
6．已知双曲线的方程为()，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用双曲线方程，推出离心率的表达式，结合的范围，求解离心率的范围即可．
【详解】解：双曲线的方程为，所以，，所以
所以双曲线的离心率，
因为，可得，
，
所以，
所以，．
故选：．
7．中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线的两条渐近线与圆都相切，则双曲线的离心率是
A．2或B．2或C．或D．或
【答案】A
【分析】根据题意，由圆的切线求得双曲线的渐近线的方程，再分焦点在x、y轴上两种情况讨论，进而求得双曲线的离心率．
【详解】设双曲线C的渐近线方程为y=kx，是圆的切线得： ，
得双曲线的一条渐近线的方程为 ∴焦点在x、y轴上两种情况讨论：
①当焦点在x轴上时有：
②当焦点在y轴上时有：
∴求得双曲线的离心率 2或．
故选A．
【点睛】本小题主要考查直线与圆的位置关系、双曲线的简单性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想．解题的关键是：由圆的切线求得直线 的方程，再由双曲线中渐近线的方程的关系建立等式，从而解出双曲线的离心率的值．此题易忽视两解得出错误答案．
8．在四棱锥中，平面，，，且四边形是矩形，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用建立空间直角坐标系，计算，然后根据空间向量的夹角公式计算可得结果.
【详解】根据题意建立如图空间直角坐标系
所以，
所以
则异面直线与所成角的余弦值为
故选：B
【点睛】本题考查异面直线所成角的向量求法，利用向量的方法，将几何问题转化为代数问题，化繁为简，便于计算，属基础题.
9．已知等差数列的前项和为，满足，，，则（ ）
A．10B．11C．12D．13
【答案】C
【分析】根据数列是等差数列，结合等差数列的性质得，从而求得，然后由求解.
【详解】由题意得，
所以.
所以.
所以，
解得.
故选：C
【点睛】本题主要考查等差数列的前n项和公式和等差数列的性质的应用，属于中档题.
10．海洋中有A，，三座灯塔.其中A，之间距离为，在A处观察，其方向是南偏东，观察，其方向是南偏东，在处观察，其方向是北偏东，，之间的距离是( )
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】作出图像，根据几何关系求出∠ABC，∠BAC，∠C，利用正弦定理解△ABC即可求出BC之间的距离.
【详解】依题意可知，中，∠BAC＝70°－40°＝30°，∠ABC＝40°＋65°＝105°，∠C＝45°，且，
由正弦定理得.
故选：D.
11．下列命题中真命题的个数是（ ）
①向量，，平行于同一个平面；
②已知过抛物线的焦点的直线与抛物线交于､两点，那么抛物线的准线与以为直径的圆的位置关系是相交但不经过圆心；
③若关于的方程有解，则实数的取值范围是；
④椭圆上的点到长轴两个端点的距离之和的最大值是.
A．0B．1C．2D．3
【答案】B
【分析】①根据方程组的解判断；②由抛物线定义判断；③取检验结果，即可判断；④设点用不等式求最大值即可判断．
【详解】①，设
则 方程组有只唯一零解，所以不与任何平面平行，故①错；
②，由抛物线定义知，以为直径的圆与准线相切，所以②错；
③，当时，由方程得，无解，所以③错；
④，设椭圆上的点，点到长轴两个端点的距离之和为


所以，则
当时，等号成立，
所以最大值为，故④正确．
故选：B
12．已知等腰直角三角形内接于抛物线，为抛物线的顶点，，的面积为16，为抛物线的焦点，，若是抛物线上的动点，则的最大值为
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设直线与抛物线联立求出点AB的坐标，利用点点距和焦半径表示为函数关系求最值即可
【详解】设点在轴上方，点在轴下方，因为抛物线的对称轴为轴，内接为等腰直角三角形，所以由抛物线的对称轴性知，直线与抛物线的对称轴垂直，从而直线与轴的夹角为.由方程组得，所以两点的坐标分别为和，所以,,所以,所以抛物线的方程为，所以,设，则
，当且仅当，即时等号成立，
故选：C．
二、填空题
13．对于任意正数，，不等式恒成立，则实数的最大值 .
【答案】
【分析】将进行分离，分子分母同时除以，然后令，进行换元，最后利用基本不等式求出最值，从而可求出的最大值．
【详解】解：不等式恒成立，，，
则，
令，则，
所以，
而，当且仅当，即时取等号；
所以．
所以实数的最大值为．
故答案为：．
14．设为单位向量，且，若以向量为邻边的三角形的面积为，则的值为 ．
【答案】
【详解】两端平方得，
又，
得,即夹角为,所以，
即，又 ，
所以.
15．已知是等差数列的前项和，且，，则当 时，取得最大值．
【答案】25
【分析】根据，结合等差数列下标的性质得，由此即可判断，于是得到时，最大.
【详解】设的公差为d，
由可得：，整理可得：，
即：，，
又，据此可得数列单调递减，，
故时，最大.
故答案为：25.
16．已知双曲线）的左，右焦点分别是，，直线过点，且与双曲线在第一象限交于点.若（（为坐标原点），且，则双曲线的离心率为 .
【答案】
【分析】取的中点，则，根据，得，则，设，根据结合双曲线的定义得到，，然后在中，利用勾股定理求解即可.
【详解】如图，
取的中点，则，
因为，
所以，即.
因为是的中位线，所以.
由题意可得，设，则，
由双曲线的定义可知，则，即，
故，.
在中，由勾股定理得，
即，整理得，
解得.
故双曲线的离心率为.
故答案为：
【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质和定义的应用以及平面几何的知识，平面向量垂直问题，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.
三、解答题
17．已知，命题p：对，不等式恒成立；命题q：对，不等式恒成立．
若命题p为真命题，求实数m的取值范围；
若为假，为真，求实数m的取值范围．
【答案】（1）（2）
【分析】（1）利用单调性求得的最小值，利用小于或等于这个最小值求得的取值范围.（2）利用分离常数法，将命题所给不等式分离常数后，求得的取值范围.根据题目所给已知条件“为假，为真，”可知一真一假，分成真假，和假真两类，列不等式组求得的取值范围.
【详解】（1）令，则在上为减函数，
因为，所以当时，，
不等式恒成立，等价于，解得，
故命题为真，实数的取值范围为.
（2）若命题为真，则，对上恒成立，
令，因为在上为单调增函数，
则，故，即命题为真，
若为假，为真，则命题，中一真一假；
①若为真，为假，那么，则无解；
②若为假，为真，那么，则.
综上的取值范围为.
【点睛】本小题主要考查不等式恒成立问题的主要解题策略，考查已知含有逻辑连接词命题真假性来求参数的取值范围.属于中档题.
18．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，且a＝b.
(1)求sin B；
(2)若△ABC的面积为，求△ABC的周长.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦定理，化简得，结合题意可得，由余弦定理即可求得的值，再应用同角三角函数关系式，求得结果；（2）利用三角形的面积公式，可得，进而得到三角形的周长．
【详解】（1）∵，则，
由正弦定理可得，
又∵，则，即，
∴，
又∵，故.
（2）∵△ABC的面积为，则，
∴，
故△ABC的周长为.
19．设正数列的前项和为，且.
（1）求数列的通项公式.
（2）若数列，设为数列的前项的和，求.
（3）若对一切恒成立，求实数的最小值.
【答案】（1）（2）（3）
【详解】分析：（1）利用的关系，求解
（2）裂项相消求解
（3）分离变量转化为求的最值．
详解：：（1）∵正数列的前项和为，且，
∴，
∴，
∴，
∵，解得，
∴，∴，
∴，
当时，，∴.
（2），
∴，
∴
（3）对一切恒成立，
∴，
∴
当且仅当时取等号，故实数的最小值为
点睛：，一定要注意，当时要验证是否满足数列．求分式结构，数列为等差数列的前项和，用裂项相消．
20．已知抛物线C；过点．
求抛物线C的方程；
过点的直线与抛物线C交于M，N两个不同的点均与点A不重合，设直线AM，AN的斜率分别为，，求证：为定值．
【答案】（1）．（2）见解析．
【分析】（1）利用待定系数法，可求抛物线的标准方程；
（2）设过点P（3，﹣1）的直线MN的方程为，代入y2=x利用韦达定理，结合斜率公式，化简，即可求k1•k2的值．
【详解】（1）由题意得，所以抛物线方程为．
（2）设，，直线MN的方程为，
代入抛物线方程得．
所以，，．
所以,
所以，是定值．
【点睛】求定值问题常见的方法
①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．
②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
21．如图，四棱锥底面为菱形，平面平面，，，，为的中点.
（1）证明：；
（2）二面角的余弦值.
【答案】（1）见解析；（2）.
【详解】试题分析：（1）取的中点，连接根据条件可得，，进而面；
（2）先证两两垂直，以分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直接坐标系，为面的法向量，再求出面的法向量，根据求二面角的余弦值即可.
试题解析：
（1）取的中点，连接为菱形，，
分别为的中点，.
为的中点，，
又面面，
面面面，
，
面.
（2）连接为菱形，
为等边三角形，为的中点，，
面两两垂直.
以分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直接坐标系，则为面的法向量，
设面的法向量，
则即，取，则，，
，
结合图形可知二面角的余弦值为.
22．如图，在直角坐标中，设椭圆：的左右两个焦点分别为，，过右焦点且与轴垂直的直线与椭圆相交，其中一个交点为.
(1)求椭圆的方程；
(2)已知，，经过点且斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点和，请问是否存在常数，使得向量与共线？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)不存在，理由见解析
【分析】（1）结合椭圆的定义求得，由此求得椭圆方程.
（2）联立直线的方程和椭圆方程，化简写出根与系数关系，由向量与共线列方程，由此判断是否存在.
【详解】（1）由椭圆定义可知.
由题意..
又由可知，，
又，得.
椭圆的方程为.
（2）直线的方程为，
代入椭圆方程，得．
整理，得①
因为直线与椭圆有两个不同的交点和等价于，
解得．
设,则＝,
由①得②
又③
因为，所以．
所以与共线等价于．
将②③代入上式，解得．
因为
所以不存在常数，使得向量与共线．