2023-2024学年吉林省长春市东北师范大学附属中学高一上学期10月期中数学试题含答案

这是一份2023-2024学年吉林省长春市东北师范大学附属中学高一上学期10月期中数学试题含答案，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题，应用题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，集合，，则（ ）
A．B．
C．D．或
【答案】A
【分析】解二次不等式化简集合，再利用集合的交集运算即可得解.
【详解】由，解得或，所以或，
因为，所以.
故选：A.
2．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
【答案】B
【分析】根据不等式构成的集合，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.
【详解】由不等式构成的集合为，不等式的构成的集合为，
此时满足集合是集合的真子集，所以是的必要不充分条件，
所以时的必要不充分条件.
故选：B.
3．下列各组函数是同一函数的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
【答案】D
【分析】利用函数的概念判断.
【详解】A. 定义域为与定义域为R，故不是同一函数；
B. 定义域为R， 定义域为，故不是同一函数；
C. 与，解析式不同，故不是同一函数；
D. 因为，，定义域都为R，解析式相同，故是同一函数.
故选：D
4．下列四个命题中，既是全称量词命题又是真命题的是（ ）
A．任一无理数的平方是无理数B．至少有一个实数，使
C．，D．，使
【答案】C
【分析】根据全称量词命题的定义排除BD，举反例排除A，根据二次函数的性质判断C即可.
【详解】对A，任一无理数的平方是无理数为全称量词命题，但可举反例的平方为2是有理数，故A错误；
对B，“至少有一个实数”表明该命题为存在量词命题，故B错误；
对C，“，”为全称量词命题，且根据二次函数的判别式可得该命题为真，故C正确；
对D，“” 表明该命题为存在量词命题，故D错误；
故选：C
5．已知是定义在[a - 1，2a]上的偶函数，那么a＋b的值是（ ）
A．－B．C．－D．
【答案】B
【分析】由偶函数的定义得且a－1＝－2a求出a、b，然后求a＋b
【详解】∵在[a - 1，2a]上是偶函数
∴有：b＝0，且a－1＝－2a
∴a＝
∴a＋b＝
故选：B
【点睛】本题考查了函数的奇偶性；根据偶函数的定义且定义域关于原点对称求参数值
6．定义域为R的函数满足条件：①，恒有；②；③，则不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据已知，利用函数的单调性、奇偶性，分类讨论解不等式.
【详解】因为，恒有，
所以在上恒成立，即在上单调递增，
因为，所以，即是定义在R上的偶函数，
所以函数在上单调递减，又，所以，
对于不等式，
当时，，可得；
当时，，可得；
综上，不等式的解集是.
故选：A
二、多选题
7．下列结论不正确的是（ ）
A．当时，
B．当时，的最小值是
C．当时，的最小值是
D．若，，且，则的最小值是
【答案】BC
【分析】根据基本不等式求最值成立的前提条件是“一正、二定，三相等”判断各选项即可．
【详解】A. 当时，，
当且仅当，即时等号成立，A正确；
B. 当时，，
当且仅当时等号成立，但无实解，故最小值2取不到，B错误；
C. 当时，，最小值显然不可能是正值，C错误；
D. 因为，，且，
则，
当且仅当，即时等号成立，D正确．
故选：BC
三、单选题
8．若函数与在区间上都是减函数，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先由二次函数的性质得到，再利用分离常数法与反比例函数的单调性得到在上恒成立，进而得到，从而得解.
【详解】因为的对称轴为，开口向下，且在上为减函数，
所以，
因为，且在上为减函数，
所以在上恒成立，即在上恒成立，可得，
综上，.
故选：B.
四、多选题
9．下列四个命题中，正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】BC
【分析】举反例排除AD，利用不等式的性质与作差法可判断BC，从而得解.
【详解】对于A，取，满足，但，故A错误；
对于B，因为，所以，故，所以，故B正确；
对于C，因为，则，，，
则，所以，故C正确；
对于D，取，满足，
但，即不成立，故D错误.
故选：BC.
10．已知函数是奇函数，则下列选项正确的有（ ）
A．B．在区间单调递减
C．的最小值为D．的最大值为2
【答案】ABC
【分析】利用函数是奇函数，可得，求出可判断A；利用函数的单调性即可依次判断B、C、D，从而得解.
【详解】函数是奇函数，则，代入可得，
经检验，当时，满足题意，故A正确；
由A得，，
对勾函数在上单调递增，
所以在上单调递减，故B正确；
当时，，当且仅当，即时，等号成立；
当时，，当且仅当，即时，等号成立；
所以，所以，
所以，故C正确，D错误.
故选：ABC.
11．下列命题为真命题的是（ ）
A．若，，则B．若，则
C．若，，则D．若，则函数的最小值是3
【答案】ABC
【分析】利用基本不等式逐一判断各选项即可.
【详解】对于A：，
当且仅当时取等号，故A正确；
对于B：因为，所以，
所以，
当且仅当，即时取等号，故B正确；
对于C：因为，所以，
当且仅当，即时取等号，故C正确；
对于D：因为，所以，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值是，故D错误；
故选：ABC.
12．已知函数，下列说法正确的是（ ）
A．
B．函数的值域为
C．函数的单调递增区间为
D．设，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围是
【答案】BD
【分析】根据分段函数解析式、值域、单调性、不等式恒成立等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】A选项，，A选项错误.
B选项，当时，；
当时，，当且仅当时等号成立，
所以函数的值域为，B选项正确.
C选项，，所以C选项错误.
D选项，不等式在上恒成立，
画出的图象如下图所示，
由，消去并化简得，
由解得（负根舍去）.
将代入得，
结合图象可知.
故选：BD
【点睛】分段函数就是将一个函数分成几段，在每段的解析式都不一样.需要注意的是，分段函数虽然在不同的区间内函数的解析式不同，但是分段函数是一个函数而不是多个函数，仍然是一个整体.一个分段函数可能涉及到多种类型的基本函数，增大考查的知识面，也是函数考查的常考题型.
五、填空题
13．不等式的解集是 .
【答案】
【分析】利用分式不等式的解法进行求解即可.
【详解】，
，解得，
不等式的解集为.
故答案为：.
14．已知，则的值 .
【答案】
【分析】根据函数的解析式求得正确答案.
【详解】.
故答案为：
15．记号表示，中取较大的数，如.记函数，则函数的最小值是 .
【答案】
【分析】分类讨论，与，结合函数定义及一次函数与二次函数的性质即可得解.
【详解】当，即时，；
当，即或时，，
则在上单调递减，在上单调递增，
又，；
综上，，即最小值为.
故答案为：.
16．已知函数对任意的，有，设函数，且在区间上单调递增.若，则实数的取值范围为 .
【答案】
【分析】由及，可得函数为偶函数，根据函数的奇偶性与单调性解不等式即可.
【详解】因为函数对任意的，有，，
则，
所以函数为偶函数，
又函数在区间上单调递增，
所以由，得，
即，则，解得，
故答案为：.
六、解答题
17．已知函数的定义域为集合，集合.
(1)当时，求；
(2)若是的充分不必要条件，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出定义域，得到，进而计算出或，从而求出结果；
（2）分与，根据条件列出不等式，即可求出的取值范围.
【详解】（1）由，得到，所以，
当时，，所以或，
故或.
（2）因为是的充分不必要条件，故，
当时，此时，得到，满足题意，
时，由，得到，
综上，的取值范围为.
18．已知，，.
(1)若，求的最小值；
(2)若，求的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意可得，再利用基本不等式中“1”的妙用即可得解；
（2）根据题意整理可得，结合基本不等式运算求解即可.
【详解】（1）当时，则，即，
又，，则，
当且仅当，即时等号成立，
故的最小值为.
（2）当，则，即，
又，，所以，则，
又，则，
整理得：，解得或（舍去），
当且仅当，即时，等号成立，
故的最小值为.
19．已知二次函数.
(1)令，若函数的图象与轴无交点，求实数的取值范围；
(2)设函数，若对任意的，总存在，使得，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用二次函数图象的特征，得到判别式即可得解；
（2）由给定条件可得在上的值域是在值域的子集，再结合二次函数与对勾函数的单调性即可得解.
【详解】（1）因为，所以，
又函数的图像与轴无交点，则一元二次方程无实根，
所以，解得，
所以实数的取值范围是.
（2）因为“对任意的，总存在，使得”
等价于“在上的值域是在值域的子集”，
因为，开口向上，对称轴为，
所以在上单调递增，故，，
所以在上的值域为，
而对于，不妨取，
则，
因为，所以，
所以，即，
所以在上单调递减，又，，
则在上的值域为，
所以，则有，解得，
所以实数的取值范围为.
七、应用题
20．2021年3月1日，国务院新闻办公室举行新闻发布会，工业和信息化部提出了芯片发展的五项措施，进一步激励国内科技巨头加大了科技研发投入的力度.根据市场调查某科技公司生产某款电子产品的年固定成本为50万元，每生产1万部还需另投入20万元.若该科技公司一年内共生产该款电子产品万部并能全部销售完，平均每万部的销售收入为万元，且
(1)写出年利润（万元）关于年产量（万部）的函数解析式；
(2)当年产量为多少万部时，公司在该款电子产品的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润.
【答案】(1)
(2)当产量为万部时，利润最大，最大利润为万元
【分析】（1）利用销售收入减去成本，即可求得.
（2）根据二次函数的性质、基本不等式求得正确答案.
【详解】（1）依题意.
（2）当时，开口向下，对称轴，
万元.
当时，万元，
当且仅当时等号成立.
所以当产量为万部时，利润最大，最大利润为万元.
八、解答题
21．设，，函数.
(1)若在上的最大值为，求的取值范围；
(2)当时，若，不等式恒成立，求的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据二次函数的对称性、最值求得的取值范围.
（2）通过转换主参变量的方法，结合一元二次不等式的解法求得的取值范围，进而求得的最大值.
【详解】（1）二次函数的开口向上，
对称轴为，，
关于直线的对称点为，
由于在上的最大值为，则.
（2）依题意，，，，
不等式，对任意恒成立，
即，对任意恒成立，
整理得，对任意恒成立，
整理得，对任意恒成立，
由于，所以只需，
即，解得，
而，所以，所以的最大值为.
22．已知函数，都是定义在上的函数，且，在上单调递增.在上单调递增，，且对，，都有.
(1)求的解析式；
(2)解不等式.
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）利用反证法，结合函数的单调性证得，从而得解；
（2）利用赋值法证得是奇函数，从而将问题转化为解不等式，再分类讨论即可得解.
【详解】（1）因为在上恒成立，则，
假设存在，使得，
因为在上单调递增，
若，则，不满足题意；
若，则，不满足题意；
所以假设不成立，即，所以对任意，.
（2）因为，
令，则，所以，
令，则，故，
又是定义在上的函数，所以是奇函数，则，
由（1）知，
所以等价于，则，显然，
又在上单调递增，，
则在上单调递增，，
所以当时，，则，故；
当时，，则，故；
综上：或.
【点睛】关键点睛：本题解决的关键是利用反证法，结合单调性证得，从而得到，从而得解.