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    吉林省东北师范大学附属中学2022-2023学年高一上学期期末数学试题

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    这是一份吉林省东北师范大学附属中学2022-2023学年高一上学期期末数学试题,共17页。试卷主要包含了单选题,多选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    一、单选题(共8题,每题4分,共32分)
    1. 下列函数是奇函数的是( )
    A. B.
    C. D.
    【答案】D
    【解析】
    【分析】由奇函数的定义可判断选项正误.
    【详解】对于A,定义域为,,其为偶函数,故A错误;
    对于B,其定义域为,其为非奇非偶函数,故B错误;
    对于C,定义域为,,其为偶函数,故C错误;
    对于D,定义域为,,其为奇函数,故D正确.
    故选:D
    2. 已知半径为3的扇形圆心角是,则该圆心角所对弧长是( )
    A. B. C. D.
    【答案】A
    【解析】
    【分析】直接代入弧长公式计算即可.
    【详解】该圆心角所对弧长为.
    故选:A.
    3. 函数的零点所在区间为( )
    A. B. C. D.
    【答案】C
    【解析】
    【分析】由零点存在性定理得到答案.
    【详解】,,

    为连续函数,且单调递增,
    由零点存在性定理得:的零点所在区间为.
    故选:C
    4. 已知,则( )
    A. B. C. D.
    【答案】D
    【解析】
    【分析】利用诱导公式化简可得出所求代数式值.
    【详解】.
    故选:D.
    5. 函数的单调递减区间为( )
    A. B.
    C. D.
    【答案】B
    【解析】
    【分析】先求出函数的定义域,然后利用二次函数的单调性和复合函数的单调性即可求解.
    【详解】要使函数有意义,则有,解得:或,
    所以函数的定义域为.
    令,开口向上,在上单调递增,在上单调递减,
    又在上单调递增,由复合函数的单调性可知:
    函数在上单调递减,在上单调递增,
    所以函数的单调递减区间为,
    故选:.
    6. 若,,,则a,b,c的大小关系为( )
    A. B.
    C. D.
    【答案】C
    【解析】
    【分析】由正弦函数的单调性比较a与b的大小,再由商数关系和余弦函数的值域比较b和c,即可.
    【详解】因为在上单调递增,
    所以,即.
    又因为,
    所以.
    综上:.
    故选:C.
    7. 已知,且,则等于( )
    A. B. C. D.
    【答案】A
    【解析】
    【分析】利用平方关系由结合已知角的范围求出的值,再代入二倍角公式和和角公式计算即可.
    【详解】因为,
    所以,
    所以.
    因为,所以,
    所以.
    则.
    故选:A.
    8. 已知函数,若存在实数,,,()满足,则( )
    A. B.
    C. D.
    【答案】C
    【解析】
    【分析】根据题意分段函数的定义,逐个分析即可.
    【详解】由得,

    由得,

    对应函数图像如图所示,
    若,
    则,A错;
    ,关于对称,,B错;
    由,
    ,得,
    即,C对;
    由,得(),
    ,D错.
    故选:C
    二、多选题(共4题,每题4分,共16分)
    9. 下列等式成立的有( )
    A.
    B.
    C.
    D.
    【答案】BCD
    【解析】
    【分析】由对数运算法则和三角恒等变换逐个计算判断即可.
    【详解】A选项,,A不正确;
    B选项,,B正确;
    C选项,,C正确;
    D选项,,D正确.
    10. 若函数在区间上单调递增,则的取值范围可以是( )
    A. B. [2,4.5]C. [6,7.5]D. [10,10.5]
    【答案】AC
    【解析】
    【分析】根据正弦函数的单调增区间可知:,解之,赋值即可求解.
    【详解】因为函数在区间上单调递增,
    ,则,所以,,
    解得:,
    令,因为,所以,故选项正确;
    令,则,故选项正确;
    故选:.
    11. 已知函数y=f(x)是R上的奇函数,对于任意x∈R,都有f(x+4)=f(x)+f(2)成立,当x∈[0,2)时,f(x)=2x-1,给出下列结论,其中正确的是( )
    A. f(2)=0
    B. 点(4,0)是函数y=f(x)的图像的一个对称中心
    C. 函数y=f(x)在(-6,-2)上不具有单调性
    D. 函数y=f(x)在[-6,6]上有3个零点
    【答案】AB
    【解析】
    【分析】对于A项,令求得;
    对于B项,只需验证成立.
    对于C项,根据B项得到周期为4,转化到(-2,2)上的单调性
    对于D项,根据周期和奇函数求得.
    【详解】
    当时,,所以
    函数y=f(x)是上的奇函数,所以,故,所以A正确.
    因为①,所以②
    令①式中的为得:,
    又因为函数y=f(x)是上的奇函数,所以,故③
    ②③联立可得,故B正确.
    因为,所以函数是以为周期的周期函数.
    函数y=f(x)在(-6,-2)上的单调性,与y=f(x)在(-2,2)上的单调性相同
    画出在上的图像为:
    故函数函数y=f(x)在(-6,-2)上的单调递增,所以C不正确.
    因为函数y=f(x)是上的奇函数,所以
    又由A项,所函数y=f(x)在[-6,6]上有7个零点
    故D不正确.
    故选:AB
    12. 函数的定义域为I,若存在,使得,则称是函数的二阶不动点,也叫稳定点.下列函数中存在唯一稳定点的函数是( )
    A. B.
    C. D.
    【答案】AD
    【解析】
    【分析】根据定义依次计算每个选项得到A选项有一个解,B选项有无数个解,根据函数和函数图像无交点得到C不满足,再判断D选项有唯一解得到答案.
    【详解】,定义域为,,解得,A满足;
    ,定义域为,,恒成立,B不满足;
    ,定义域为,,即,根据函数和函数图像无交点,知方程无解,C不满足;
    ,定义域为,,易知,且是方程的解,当时,,方程无解;当时,,方程无解,D满足.
    故选:AD
    三、填空题(共4题,每题4分,共16分)
    13. 函数的定义域为__________.
    【答案】
    【解析】
    【详解】由,得,解得,
    又,

    ∴函数的定义域为.
    答案:
    14. 已知为定义域在上的偶函数,当时,则=______.
    【答案】2
    【解析】
    【分析】根据偶函数的性质求出当时的解析式即可求解.
    【详解】当,时,因为函数为偶函数,
    所以,即时,,
    因为,所以,
    故答案为:2
    15. 设函数的值域是,则实数的取值范围为_______.
    【答案】
    【解析】
    【分析】由,得到,再根据其值域求解.
    【详解】解:因为,
    所以,
    又,
    所以,
    所以,
    故答案为:
    16. 若定义域为的函数满足对任意能构成三角形三边长的实数a,b,cI,均有f(a),f(b),f(c)也能够成三角形三边长,则m最大值为_____.
    【答案】##
    【解析】
    【分析】不妨设三边的大小关系为:,利用函数的单调性,得出,,的大小关系,作为三角形三边则有任意两边之和大于第三边,再利用基本不等式求出边的范围得出的最大值即可.
    【详解】在上严格增,所以 ,不妨设,
    对任意能构成三角形三边长的实数,均有,,也能构成三角形三边长,
    所以,
    因为,所以,对任意都成立,
    所以,所以,所以,
    所以,所以m的最大值为.
    故答案为:.
    四、解答题(共56分,解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤)
    17. 在平面直角坐标系中,已知角α的顶点与原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,且角α的终边与单位圆交点为P,,且β是第一象限角,求:和的值.
    【答案】 ,
    【解析】
    【分析】先利用题给条件求得,,,,再利用两角差的正弦公式和两角和的正切公式即可求得和的值.
    【详解】角α的终边与单位圆交点为P,
    则,
    由,且β是第一象限角,可得,

    18. 已知函数.
    (1)求函数的单调递增区间.
    (2)若,求的值.
    【答案】(1)
    (2)
    【解析】
    【分析】(1)利用正弦函数的性质求解即可;
    (2)利用可得,两边平方即可求得答案
    【小问1详解】
    由可得,
    解得,
    所以函数的单调递增区间是
    【小问2详解】
    由题意可得,
    所以,两边平方可得,
    所以
    19. 已知函数.
    (1)设函数是定义域在R上的奇函数,当时,,求函数的解析式.
    (2)设不等式解集为M,当时,函数(其中)的最小值为,求实数a的值.
    【答案】(1)
    (2)1
    【解析】
    【分析】(1)由奇函数性质求得,的解析式,即可得的解析式.
    (2)由指数函数单调性解指数不等式得M,化简,令将原命题等价为的最小值为,根据二次函数性质列式求解即可.
    【小问1详解】
    是定义域在R上的奇函数,当时,.
    当时,,则.
    当时,.
    故函数的解析式为.
    【小问2详解】
    由得,即,解得,故

    令,则原命题等价于(其中)的最小值为,
    则当时,,解得().
    故实数a的值为1.
    20. A第公交公司的某路公交车发车时间间隔t(单位:分钟)满足5≤t≤20,t∈N,经测算,该路公交车载客量p(t)与发车时间间隔t满足,其中t∈N.
    (1)求p(5),并说明p(5)的实际意义.
    (2)该路公交车每分钟的净收益(元),问当发车时间间隔为多少时,该路公交车每分钟净收益最大?并求每分钟最大净收益.
    【答案】(1)35;发车时间间隔为5分钟,载客量为35
    (2)6分钟,最大净收益38元
    【解析】
    【小问1详解】

    实际意义为:发车时间间隔为5分钟时,载客量为35.
    【小问2详解】

    当时,,
    任取,则,
    ,所以,,,,
    所以,函数区间上单调递增,同理可证该函数在区间上单调递减,
    所以,当时,取得最大值;
    当时,,该函数在区间上单调递减,
    则当时,取得最大值.
    综上,当发车时间间隔为分钟时,该路公交车每分钟的净收益最大,最大净收益为元.
    21. 已知函数.
    (1)常数ω>0,若函数y=f(ωx)的最小正周期是π,求ω的值.
    (2)若,且方程在上有实数解,求实数α的取值范围.
    【答案】(1)ω=2 (2)
    【解析】
    【分析】(1)根据倍角公式和辅助角公式以及周期的计算方法即可求解;(2)将函数化简后根据三角换元,正弦函数的单调性和对号函数的性质即可求解.
    【小问1详解】

    .
    的最小正周期为,
    所以,
    所以.
    【小问2详解】
    ,
    在上有实数解,
    即在上有实数解,
    即在上有实数解,
    令,
    所以,
    由,
    所以,
    所以,
    所以,
    同时,
    所以,
    所以在上有实数解等价于在上有解,
    即在上有解,
    ①时,无解;
    ②时,有解,
    即有解,
    即在有解,
    令,
    所以的值域为,
    所以在有解等价于.
    22. 已知函数的图像过点,.
    (1)求函数的解析式.
    (2)设,若对于任意的,都有,求实数m的取值范围.
    【答案】(1);
    (2)m取值范围.
    【解析】
    【分析】(1)由已知求得,,代入即可得到,;
    (2)已知可转化为,即转化为求在上的最大值,由已知可得,,根据二次函数的性质可知所以的最大值在或处取得.作差可得.即可得到,.令,根据定义法证明在时的单调性,根据单调性求解不等式,即可求出m的取值范围.
    【小问1详解】
    由已知可得,,所以,
    所以,定义域为.
    所以有,,;
    【小问2详解】
    若对于任意,都有,
    只需满足成立.
    由(1)知,,对称轴为.
    由,可得,,所以,即有.
    根据二次函数的性质,可得在上单调递减,在上单调递增,
    所以的最大值在或处取得.
    又,,

    又,所以,所以,
    所以.
    由成立,可得,,
    即,.
    令,,则原不等式等价于.
    ,且设,
    则,
    因为,,所以,,,
    所以,所以,所以.
    所以,所以,
    所以在上单调递增.
    又,则由,可解得.
    【点睛】关键点睛:利用单调性的定义证明函数的单调性是解题的关键.
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