河南省焦作市沁阳市高级中学2023-2024学年高二上学期9月月考数学试题

沁阳市高级中学高二数学9月月考

数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1．已知两点，则直线的斜率为（    ）

A．2    B．     C．     D．﹣2

2．已知点，则以线段为直径的圆的方程为（    ）

A．      B．

C．     D．

3．若直线与直线垂直，则的值为（    ）

A．0    B．﹣1     C．﹣2     D．﹣3

4．直线与圆相切，则＝（    ）

A．﹣5或15   B．5或﹣15    C．﹣21或1    D．﹣1或21

5．已知焦点在轴上的椭圆过点，且离心率，则椭圆的标准方程是（    ）

A．  B．   C．   D．

6．抛物线的焦点坐标为（    ）

A．   B．    C．    D．

7．已知点，为直线上的一个动点，则的面积为（    ）

A．5    B．     C．     D．

8．设椭圆，的离心率分别为，若，则＝（    ）

A．   B．     C．     D．

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9．已知椭圆的焦距是，则m的值可能是（    ）

A．    B．13     C．     D．19

10．已知圆，则下列说法正确的是（    ）

A．点在圆外      B．圆的半径为

C．圆关于对称    D．直线截圆的弦长为3

11．下列说法正确的是（    ）

A．直线必过定点

B．过两点的直线方程为

C．直线的倾斜角为60°

D．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是8

12．如图，是双曲线与椭圆的公共焦点，点是，在第一象限内的公共点，设方程为，则下列说法正确的是（    ）

A．

B．的内切圆与轴相切于点

C．若，则的离心率为

D．若，则的方程为

三、填空题（本大题共4小题，共20．0分）

13．经过两条直线和的交点，且与直线平行的直线方程是______．

14．两圆和的位置关系是______．

15．已知是椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，且，若的面积为9，则＝______．

16．已知双曲线的左右焦点分别为，点在上，点在轴上，，，则的离心率为______．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．（本小题10.0分）

已知顶点，边上的高为且垂足为．

（1）求边上中线所在的直线方程；

（2）求点的坐标．

18．（本小题12.0分）

已知圆的圆心坐标，直线被圆截得弦长为．

（Ⅰ）求圆的方程；

（Ⅱ）从圆外一点向圆引切线，求切线方程．

19．（本小题12.0分）

已知圆与圆相交．

（1）求交点所在直线方程；

（2）若点是圆上任意一点，求点到（1）中交点所在直线距离的最大值和最小值．

20．（本小题12.0分）

已知双曲线的方程为

（1）求双曲线的离心率；

（2）求与双曲线有公共的渐近线，且经过点的双曲线的方程．

21．（本小题12.0分）

已知抛物线的的焦点为是抛物线上一点，且．

（1）求抛物线的标准方程；

（2）直线与抛物线交于两点，若以为直径的圆过原点，求直线的方程．

22．（本小题12.0分）

已知椭圆经过定点，离心率．

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）斜率为的直线与椭圆交于两点，为坐标原点，求面积的最大值及此时直线的方程．

数学月考答案和解析

1—4CBDA 5—8DCDA 9BD 10BC 11AD 12BCD

13． 14．外切 15．3 16．

17．【答案】解：（1）因为顶点，作出直角坐标系下的图像，

所以的中点为，

故边上中线所在的直线方程为，

即；

（2）由题，

所以边上的高为所在直线的斜率为，

故所在直线方程为，即；

所在直线方程为，即．

又边上的高为且垂足为，

所以点的坐标满足，解得，

故点的坐标为．

【解析】本题考查直线方程的确定、中点坐标公式斜率公式以及两条直线的垂直以及交点，属于基础题．

（1）结合题设先由中点坐标公式求得的中点的坐标，然后由直线的两点式方程可得所在的直线方程；

（2）先由斜率公式求得直线的斜率，然后结合直线的垂直关系确定边上的高的斜率，再由直线的点斜式确定直线，的方程，最后联立直线，解方程可得结果．

18．【答案】解：（Ⅰ）设圆的标准方程为，

则圆心到直线的距离为：

，

则，

∴圆的标准方程为；

（Ⅱ）①当切线的斜率不存在时，切线方程为：，此时满足直线与圆相切；

②当切线的斜率存在时，设切线方程为，即，

则圆心到直线的距离为：，

化简得，解得，

∴切线方程为，

综上，切线的方程为或．

【解析】本题考查了直线与圆的位置关系的应用问题，是基础题．

（Ⅰ）根据题意设出圆的标准方程，由圆心到直线的距离和半径、弦长的关系，求出的值，从而写出圆的标准方程；

（Ⅱ）讨论切线的斜率不存在和斜率存在时，求出对应切线的方程．

19．【答案】解：（1）由条件知两圆相交，

①，

②，

①﹣②可得，

即交点所在直线方程为．

（2）由题可知圆心到直线的距离为

，

即圆与直线相离，

所以圆上点到直线的，．

【解析】本题考查了圆与圆的位置关系、点到直线的距离等，属于中档题．

（1）两个圆的方程相减即可得到交点所在直线方程；

（2）求圆心到直线的距离加圆半径长即可．

20．【答案】解：（1）由双曲线方程，可知，

∴，

∴．

（2）依题意，设所求双曲线的方程为，

将点代入，可得，解得，

∴所求双曲线的方程为，即．

【解析】本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，属于基础题．

（1）利用双曲线的方程的标准形式，求出的值，即得离心率的值．

（2）根据题意中所给的双曲线的渐近线方程，则可设双曲线的标准方程为，将点代入方程，求出即可得答案．

21．【答案】解：（1）抛物线的准线为，

所以，解得，

所以抛物线的标准方程为．

（2）设，

联立与，

得，，即时，

有：，

因为以为直径的圆过原点，

所以

即，

化简可得，

所以，

解得或（舍去），

所以直线的方程为．

【解析】本题考查了抛物线的标准方程、抛物线的性质及几何意义和直线与抛物线的位置关系，是中档题．

（1）由抛物线的定义得，得出可得抛物线的标准方程；

（2）设，联立与，由以为直径的圆过原点，得，可得，进而得出直线的方程．

22．【答案】解：（1）依题意可得,

所以可解得

故椭圆的标准方程为

（2）设直线的方程为，

联立方程组消去得，化简得

所以即.

所以

又原点到直线的距离

所以

当且仅当即时取等号

故面积的最大值为1，此时直线的方程为