2022-2023学年河南省焦作市武陟中学高一上学期期末数学试题含答案

2022-2023学年河南省焦作市武陟中学高一上学期期末数学试题

一、单选题

1．已知全集，集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用并集和补集的定义求解即可.

【详解】因为全集，集合，，

所以，

所以,

故选：B

2．使“”成立的一个充分不必要条件是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由得，再根据充分不必要条件判断即可.

【详解】由得，，即，得，

所以，使“”成立的一个充分不必要条件可以是的子集，

所以，由各选项可知 “”满足题意，

所以，使“”成立的一个充分不必要条件可以是“”.

故选：D．

3．已知命题p：，或，则命题的否定是（    ）

A．，或 B．，

C．，或 D．，

【答案】D

【分析】存在量词命题的否定是特称量词命题，把存在改为任意，把结论否定.

【详解】首先确定量词，排除选项A，B；

其次“或”的否定形式为,

故命题p的否定为“，”．

故选：D．

4．已知a＝，b＝c＝2，则a，b，c的大小关系是（    ）

A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜a＜c D．b＜c＜a

【答案】C

【分析】由对数式和根式的运算，确定三个数的范围再比较大小.

【详解】∵，∴；

又，

所以，∴．

故选：C．

5．已知某校高三年级共人，其中实验班人，为了解学生们的学习状况，高三年级组织了一次全员的数学测验，现将全部数学试卷用分层抽样的方法抽取份进行研究，则样本中实验班的试卷份数为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据分层抽样可求得样本中实验班的试卷份数.

【详解】根据题意，样本中实验班的试卷份数为.

故选：B.

6．若函数，则的零点所在区间是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由已知可推得在上为增函数．然后分别求解，可得，，，，即可根据零点存在定理，得出答案.

【详解】定义域为，且的图象在上是连续的.

根据对数函数的单调性可知，任意，有成立，

则，即，故在上为增函数．

又，，

，.

即，根据零点存在定理可知，的零点所在区间是.

故选：C.

7．已知，，，，则的最小值为（    ）

A．8 B．10 C． D．

【答案】C

【分析】利用结合均值不等式求解即可.

【详解】因为，，

所以，，

所以，

当且仅当即时取等号，

所以的最小值为，

故选：C.

8．已知函数，则（    ）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】B

【分析】由已知可推得.又因为，所以，即可得出答案.

【详解】因为恒成立，所以的定义域为，

且.

，

所以，，

所以，.

故选：B.

【点睛】关键点睛：涉及较复杂的函数求值问题，探求给定函数的性质，再借助性质计算是解题的关键.

二、多选题

9．已知函数(是常数），，则以下结论错误的是（    ）

A． B．在区间上单调递增

C．的定义域为 D．在区间上，

【答案】CD

【分析】由题知，，进而结合幂函数的性质依次讨论各选项即可得答案.

【详解】解：由得，，即，函数在定义域上单调递增，故选项A，B正确；

因为的定义域为，故选项C错误；

因为在区间上，，故选项D错误．

故选：CD．

10．已知，则以下不等式成立的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】ABD

【分析】由已知可推得，.根据基本不等式可判断B项；根据对数函数、指数函数的单调性可判断C、D项.

【详解】由已知可得，，.

对于A项，由题意知，故，故选项A正确；

对于B项，由已知可得，当且仅当时等号成立.

因为，所以，故选项B正确；

对于C项，由已知，故为上的减函数，

又，所以，故选项C错误；

对于D项，因为，，所以，，

所以，故D项正确.

故选：ABD．

11．现有一组数据：，则（    ）

A．这组数据的平均值为6

B．这组数据的中位数为

C．这组数据的分位数为7

D．对任意的最小值为这组数据的方差

【答案】ABD

【分析】根据平均值、中位数、分位数的定义分别计算可判断ABC选项，再根据二次函数的最小值的取法和方差的定义可判断D选项.

【详解】对于A：这组数据的平均数为，故A正确；

对于B：这组数据的中位数为，故B正确；

对于C：该组数据是从小到大排列的，得，它的分位数为第5个数10，故C错误；

对于D：

当时，此二次函数取最小值，最小值为，由方差定义可知，该组数据的方差

故D正确.

故选：ABD.

12．若不等式的解集为，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】BC

【分析】根据已知条件可得，和是方程的两根，且.进而可根据两根之积，求出的值.然后根据两根之和求出.

【详解】由已知可得，和是方程的两根，且，

所以.

又，则，则．

又，则，则．

故选:BC．

三、填空题

13．如图是一组数据的频率分布直方图，分段区间分别是，则          .

【答案】/

【分析】根据频率和为列式求解.

【详解】根据题意得，，

解得.

故答案为：

14．已知冰箱里有4袋牛奶，其中1袋枣味､3袋原味，若小明从中任取两袋，则取到枣味牛奶的概率为          .

【答案】/0.5

【分析】根据样本空间和所求事件包含的样本点，由古典概型的概率公式求值.

【详解】设4袋牛奶编号分别为，其中为枣味，为原味，

从中任取两袋，则样本空间，共6个样本点，

用事件表示“取到枣味”，则，共3个样本点，

根据古典概型的概率公式可得，.

故答案为：

15．已知函数，则的最小值为      ．

【答案】/

【分析】由可得，再利用均值不等式求解即可.

【详解】由题意得，即，

所以，

所以由均值不等式得，

当且仅当，即时取等号，

所以的最小值为，

故答案为：

16．若函数，则的解集为      ．

【答案】

【分析】由题知为偶函数，且在区间上单调递增，进而根据单调性与奇偶性解不等式即可.

【详解】解：函数的定义域为，定义域关于原点对称，

所以，，即为偶函数．

设，则，，，

所以，，

所以，在区间上单调递增，

所以，根据偶函数的性质，易知等价于，

所以，，解得．

所以，的解集为

故答案为：

四、解答题

17．已知，，．

(1)求的值；

(2)解不等式：．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用对数的概念列方程组求解即可；

（2）利用换元法令，解一元二次不等式，结合指数函数的单调性即可求解.

【详解】（1）由可得，

代入得，

又因为，

所以，；

（2）由（1）得，所以不等式即为，

令得，解得，

即，解得，

所以不等式的解集为.

18．某工厂生产的每件产品所用原材料的质量（单位：千克）是一定值，每件产品的价格是以长度（单位：米）计算的，产品越长也就越细，要求工人的技术水平越高，产品价格也就越高，但市场对各种长度的产品都有需求.为了预测市场需求并合理安排生产任务，查阅以往售出的产品的长度，随机抽取了件产品，并将得到的数据按如下方式分为组：、、、，绘制成如下的频率分布直方图：

工厂今年一月份按频率分布直方图提供的数据生产了件产品.

(1)求今年一月份生产的产品长度在的件数；

(2)现从和两组产品中以分层抽样的方式抽取件产品，客户在这件产品中再随机抽取件，求这件产品在和两组中各有件的概率.

【答案】(1)件

(2)

【分析】（1）将产品长度在的频率乘以可得结果；

（2）分析可知，在的产品有（件），设编号分别为、、，在的产品有（件），编号分别为、、、，列举出所有的基本事件，并确定所求事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.

【详解】（1）由频率分布直方图可得，产品长度在的有（件）.

（2）由题可知，按分层抽样抽取的件产品中，

在的产品有（件），设编号分别为、、

在的产品有（件），编号分别为、、、，

则在件产品中随机抽取件，所有的基本事件有：、、、、、、、、、、、、、

、、、、、、、，共有个基本事件，

其中事件“抽到的件产品在和两组中各有件”所包含的基本事件有：

、、、、、、、、、

、、，共个基本事件，

故所求概率为.

19．某种植户要倚靠院墙建一个高3m的长方体温室用于育苗，至多有54m2的材料可用于3面墙壁和顶棚的搭建，设温室中墙的边长分别为，如图所示．

(1)写出：满足的关系式；

(2)求温室体积的最大值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据长方形面积公式即可得到.

（2）首先利用基本不等式即可得到，令，得到，再解不等式即可得到答案.

【详解】（1）由题意得：顶棚所用材料的面积为，3面墙壁所用材料的面积为，

所以．

（2）因为，当且仅当时取等号，

所以，令，则，

解得，∴，当且仅当，时取等号，

所以温室体积，则温室体积的最大值为．

20．已知定义在R上的函数满足，.

(1)求的值；

(2)若，，求满足的的最大值．

【答案】(1)；

(2)6.

【分析】（1）令，代入即可得出；

（2）令，，代入可得，.依次求解，即可得出，，进而得出答案.

【详解】（1）令，由已知可得，解得或（舍去）.

所以，.

（2）令，，，则由已知可得，.

显然，所以.

所以，，，，，，.

所以，满足的的最大值为6.

21．已知集合满足以下条件：①；②若，则.

(1)求证：集合至少有3个元素；

(2)若集合，写出属于集合的两个元素，并说明理由.

【答案】(1)证明见解析

(2)，理由见解析

【分析】（1）由已知条件可得，时，有且，所以集合至少有3个元素

（2）当无意义时，可得，，故属于集合的两个元素是.

【详解】（1）证明：由，得，

则，

则，

周而复始，故由题意易得集合至少有3个元素.

（2）当时，无意义，故；

令，解得，

即当时，，

故.

故属于集合的两个元素是.

22．已知函数，，．

(1)若对，，求的取值范围；

(2)若对，或，求的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用一元二次函数的图象和性质求解即可；

（2）根据的取值分情况讨论即可求解.

【详解】（1）由题意可得恒成立，

则即，解得，

故的取值范围为.

（2）当时，，，符合题意；

当时，由，解得或，

故当时，恒成立，而在上为减函数，故只需，而由，得，故符合题意；

当时，由，解得或，

故当时，恒成立，而在上为增函数，故只需，解得，

综上的取值范围是．