2022-2023学年河南省焦作市温县第一高级中学高二上学期期末数学试题（解析版）

2022-2023学年河南省焦作市温县第一高级中学高二上学期期末数学试题

一、单选题

1．若复数，则（    ）

A． B．1 C． D．2

【答案】B

【分析】由复数的除法运算求出复数，然后根据复数模长公式即可求解.

【详解】解：因为复数，

所以，

所以，

故选：B.

2．已知函数，则此函数的最小值等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】将函数配凑为，利用基本不等式可求得结果.

【详解】，，

（当且仅当，即时取等号），

的最小值为.

故选：D.

3．要得到函数的图象，只需将函数的图象（    ）

A．向左平移个单位长度

B．向右平移个单位长度

C．向左平移个单位长度

D．向右平移个单位长度

【答案】D

【分析】由三角函数图象变换判断．

【详解】，因此将函数的图象向右平移个单位．

故选：D．

4．从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同工作，则选派方案共有

A．180种 B．360种 C．15种 D．30种

【答案】B

【详解】试题分析：从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四种不同工作，利用排列的意义可得：选派方案有．

详解：

从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四种不同工作，则选派方案有=360种．

故选B．

点睛：解答排列、组合应用题要从“分析”、“分辨”、“分类”、“分步”的角度入手．(1)“分析”就是找出题目的条件、结论，哪些是“元素”，哪些是“位置”；(2)“分辨”就是辨别是排列还是组合，对某些元素的位置有、无限制等；(3)“分类”就是将较复杂的应用题中的元素分成互相排斥的几类，然后逐类解决；(4)“分步”就是把问题化成几个互相联系的步骤，而每一步都是简单的排列、组合问题，然后逐步解决．

5．若，则正整数的值是（    ）

A．2 B．3 C．4 D．2或3

【答案】D

【分析】直接根据组合数的性质求解即可.

【详解】,

或者，

解得或，

经检验，都成立，

故选：D

6．已知的展开式中各项的二项式系数之和为64，则其展开式中的系数为（    ）

A．160 B． C．60 D．

【答案】B

【分析】由二项式系数的性质求出，写出二项展开式的通项公式，令的指数为3，即可得出答案.

【详解】由展开式中各项的二项式系数之和为64，得，得．

∵的展开式的通项公式为，

令，则，所以其展开式中的系数为．

故选：B.

7．甲，乙两人独立地破解同一个谜题，破解出谜题的概率分别为，则谜题没被破解的概率为（    ）

A． B． C． D．1

【答案】A

【分析】根据相互独立事件的乘法公式即可得解.

【详解】解：设“甲独立地破解出谜题”为事件A，“乙独立地破解出谜题”为事件B，

，

故，

所以，

即谜题没被破解的概率为.

故选：A.

8．某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如表：

根据如表可得回归方程中的为7．根据此模型预测广告费用为10万元时销售额为（    ）万元A．63.6              B．75.5              C．73.5              D．72.0

【答案】C

【分析】线性回归方程．根据回归方程必过样本中心点，求出回归系数，再将代入，即可得到预报销售额．

【详解】解：由题意，，，

由回归方程中的为7可得，，解得，

所以，回归方程为，

所以时，元．

故选：C．

9．圆关于直线对称后的圆的方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】由题可得圆心关于直线的对称点，半径不变，进而即得.

【详解】圆的圆心 半径为 ，由得，

设圆心关于直线对称点的坐标为，则

 ，解得,

所以对称圆的方程为.

故选：A.

10．设随机变量，满足：，，则（    ）

A．4 B．5 C．6 D．7

【答案】A

【分析】二项分布与次独立重复试验的模型．先利用二项分布的数学期望公式求出，再利用方差的性质求解即可．

【详解】解：因为，则，

又，所以．

故选：A．

11．2022年北京冬奥会的顺利召开，引起大家对冰雪运动的关注．若A，B，C三人在自由式滑雪、花样滑冰、冰壶和跳台滑雪这四项运动中任选一项进行体验，则不同的选法共有（    ）

A．12种 B．16种 C．64种 D．81种

【答案】C

【分析】按照分步乘法计数原理计算可得；

【详解】解：每个人都可在四项运动中选一项，即每人都有四种选法，可分三步完成，

根据分步乘法计数原理，不同的选法共有种．

故选：C

12．某市新冠疫情封闭管理期间，为了更好的保障社区居民的日常生活，选派名志愿者到甲、乙、丙三个社区进行服务，每人只能去一个地方，每地至少派一人，则不同的选派方案共有（    ）

A．种 B．种 C．种 D．种

【答案】A

【分析】首先将名志愿者分成组，再分配到个社区.

【详解】首先将名志愿者分成组，再分配到个社区，可分为种情况，

第一类：名志愿者分成，共有（种）选派方案，

第二类：名志愿者分成，共有（种）选派方案，

第三类：名志愿者分成，共有（种）选派方案，

所以共（种）选派方案，

故选：A.

二、填空题

13．已知，则______．

【答案】－1

【分析】由二项式定理，结合二项式展开式的系数的求法求解即可．

【详解】令，则，

故答案为：－1．

14．在空间直角坐标系中，已知，，则_______．

【答案】5

【分析】根据题意，求得，再根据空间向量的模的计算公式，即可求得结果.

【详解】因为，，故可得，

故.

故答案为：.

15．重庆八中某次数学考试中，学生成绩服从正态分布.若，则从参加这次考试的学生中任意选取3名学生，至少有2名学生的成绩高于120的概率是__________.

【答案】##0.15625

【分析】结合正态分布特点先求出，再由独立重复试验的概率公式即可求解.

【详解】因学生成绩符合正态分布，故，故任意选取3名学生，至少有2名学生的成绩高于120的概率为.

故答案为：

16．设，分别是椭圆的左右焦点，过点的直线交椭圆E与A，B两点，，轴，则椭圆的离心率为___________.

【答案】

【分析】根据椭圆的定义结合，求得，再利用勾股定理构造齐次式即可得解.

【详解】解：由，

得，所以，

因为轴，

所以，

即，所以，

即椭圆的离心率为.

故答案为：.

三、解答题

17．甲袋中有个黑球，个白球，乙袋中有个黑球，个白球，从两袋中各取一球．

(1)求“两球颜色相同”的概率；

(2)设表示所取白球的个数，求的概率分布列．

【答案】(1)

(2)分布列答案见解析

【分析】（1）利用独立事件和互斥事件的概率公式可求得所求事件的概率；

（2）分析可知随机变量的可能取值有、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列.

【详解】（1）解：从甲中取出黑球的概率为，取出白球的概率为，

从乙中取出黑球的概率为，取出白球的概率为，

故“两球颜色相同”的概率．

（2）解：由题意可得，所有可能取值为、、，

，，，

故的分布列如下表所示：

18．某校所在省市高考采用新高考模式，学生按“”模式选科参加高考：“3”为全国统一高考的语文､数学､外语3门必考科目；“1”由考生在物理､历史2门中选考1门科目；“2”由考生在思想政治､地理､化学､生物学4门中选考2门科目，

(1)为摸清该校本届考生的选科意愿，从本届750名学生中随机抽样调查了100名学生，得到如下部分数据分布：

请在答题卡的本题表格中填好上表中余下的5个空，并判断是否有99.9%的把握认为该校“学生选科的方向”与“学生的性别”有关；

(2)已选物理方向的甲､乙两名同学，在“4选2”的选科中，求他们恰有一门选择相同学科的概率.

附：.

【答案】(1)填表答案见解析，有99.9%的把握认为该校“学生选科的方向”与“学生的性别”有关

(2)

【分析】（1）根据题意完善列联表，计算，即可得出结论.

（2）先求出已选物理方向的甲､乙两名同学，在“4选2”的选科中，所有的基本事件的总数，再求出在“4选2”的选科中，他们恰有一门选择相同学科的事件总数，由古典概率的公式代入即可得出答案.

【详解】（1）根据题意可得，列联表如下：

由于的观测值，

所以有99.9%的把握认为该校“学生选科的方向”与“学生的性别”有关.

（2）已选物理方向的甲､乙两名同学，在“4选2”的选科中，所有的基本事件（记为事件）列举如下：（政，地；政，地），（政，地；政，化），（政，地；政，生），（政，地；化，地），（政，地；生，地），（政，地；生，化），（政，化；政，地），（政，化；政，化），（政，化；政，生），（政，化；化，地），（政，化；生，地），（政，化；生，化），（政，生；政，地），（政，生；政，化），（政，生；政，生），（政，生；化，地），（政，生；生，地），（政，生；生，化），（地，化；政，地），（地，化；政，化），（地，化；政，生），（地，化；化，地），（地，化；生，地），（地，化；生，化），（地，生；政，地），（地，生；政，化），（地，生；政，生），（地，生；化，地），（地，生；生，地），（地，生；生，化），（化，生；政，地），（化，生；政，化），（化，生；政，生），（化，生；化，地），（化，生；生，地），（化，生；生，化），共36种，

设事件在“4选2”的选科中，他们恰有一门选择相同学科，有24种，

则.

19．在中，角，，所对的边分别为，，，且．

（1）求角的大小；

（2）若，的面积为，求的周长．

【答案】(1) (2)

【详解】试题分析：（1）由正弦定理，将边长转化为正弦，由内角的范围和特殊三角函数值，求出角A；（2）由余弦定理以及三角形面积公式求出的值，再求出周长．

试题解析：（1）由正弦定理知：

，，；

；

，

（2）；

；

；

的周长为

20．如图，正四棱柱中，，点在上且．

（Ⅰ）证明：平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值．

【答案】（Ⅰ）证明见解析．

（Ⅱ）

【详解】试题分析：（1）以为坐标原点，射线为轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系．可得各点坐标，从而可得各向量坐标，根据向量数量积为0则两向量垂直，可得，根据线面垂直的判定定理可证得平面．（2）根据向量垂直数量积等于0可求得平面的一个法向量，由数量积公式可求得两法向量所成角的二面角．两法向量所成的角与二面角的平面角相等或互补，所以观察图像可得所求二面角的平面角为锐角，所以所求二面角的平面角的余弦值等于两法向量余弦值的绝对值．

试题解析：以为坐标原点，射线为轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系．

依题设，．

.

（1） ，

，即

又，平面．

（2）由（1）知为面的一个法向量．

设向量是平面的法向量，则，

．

令，则，．

所以

观察可知二面角的平面角为锐角，

∴二面角的余弦值为．

【解析】1线面垂直；2用空间向量法解决立体几何问题．

【方法点晴】本题主要考查的是线线垂直、线面垂直、空间直角坐标系和空间向量在立体几何中的应用，属于中档题．用空间向量法解题时一定要注意二面角的余弦值等于两法向量夹角的余弦值或其绝对值，否则很容易出现错误．证明线面垂直的关键是证明线线垂直，证明线线垂直常用的方法是直角三角形、等腰三角形的“三线合一”和菱形、正方形的对角线．

21．已知圆，圆，直线过点．

(1)若直线被圆所截得的弦长为，求直线的方程；

(2)若直线与圆相交于，两点，求线段的中点的轨迹方程.

【答案】(1)或

(2)

【分析】（1）根据题意，由直线与圆的位置关系可得圆心到直线的距离，进而分直线的斜率存在与否两种情况讨论，求出直线的方程，综合即可得答案；

（2）根据题意，设的坐标为，分析可得，则在以为直径上为圆上，据此分析可得答案．

【详解】（1）解：根据题意，圆，圆心为，半径，

若直线被圆所截得的弦长为，则圆心到直线的距离，

分2种情况讨论：

当直线的斜率不存在时，，显然满足题意，

当直线的斜率存在时，可设直线方程即，

则圆心到直线的距离，

所以，解得，此时直线方程为，

综上可得满足题意的直线或，

（2）解：根据题意，设的坐标为，

为线段的中点，则有，则在以为直径的圆上，

又由圆，其圆心的坐标为且，

因为，，

所以，变形可得；

故的轨迹方程为，显然点位于圆内部，

由且，解得或，

所以的轨迹方程为．

22．已知椭圆：的离心率为，且经过点．

(1)求椭圆的方程．

(2)过点的直线交椭圆于、两点，求为原点面积的最大值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由题意可得，解得，，即可得出答案．

（2）由题意可知直线的斜率存在，设直线，,，,，联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理可得，，由弦长公式可得，点到直线的距离公式可得点到直线的距离，再计算的面积，利用基本不等式，即可得出答案．

【详解】（1）解：由题意可得，

解得，

所以椭圆的标准方程为．

（2）解：由题意可知直线的斜率存在，设直线，,，,，

联立，得，

，

所以，即或，

则，

故，

点到直线的距离，

所以的面积，

设，则，

故，当且仅当时，等号成立，

所以面积的最大值为．