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2023-2024学年宁夏回族自治区高二上学期期末测试数学训练卷（二）含答案
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这是一份2023-2024学年宁夏回族自治区高二上学期期末测试数学训练卷（二）含答案，共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据双曲线的离心率可求得的值，由此可得出双曲线的渐近线方程.
【详解】，，，
渐近线方程为，渐近线方程为．
故选：B．
2．已知数列满足且，则（ ）
A．3B．C．-2D．
【答案】B
【分析】由已知可得数列递推式，求出其前面几项，可得数列的周期，由此可求得答案.
【详解】由题意数列满足，则，
故由，得，
由此可知数列的周期为4，
故，
故选：B
3．已知点在抛物线上，是抛物线的焦点，点为直线上的动点，则的最小值为（ ）
A．8B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意，求得抛物线的焦点为，设点关于的对称点为，得出，得到当且仅当点为直线与的交点时，取得最小值，结合两点间距离公式，即可求解.
【详解】由抛物线，可得焦点为，准线方程为，
如图所示，设点关于的对称点为，则，
可得，当且仅当点为直线与的交点时，取得最小值，
则，
即的最小值为.
故选：D.
4．两个正数、的等差中项是，等比中项是，且，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据已知条件可得出关于、的等式组，解出、的值，可得出的值，由此可得出该椭圆的离心率的值.
【详解】因为两个正数、的等差中项是，等比中项是，且，
则，解得，所以，故.
故选：C.
5．已知等差数列为递增数列，且满足，，则其通项公式为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用等差数列性质求出 ，，从而求出通项公式.
【详解】由数列为递增等差数列，则，且，
又因为，所以，，
所以数列的公差，，
所以数列的通项公式为，故B项正确.
故选：B.
6．如图，是双曲线与椭圆的公共焦点，点A是在第一象限内的交点，若，则（ ）
A．双曲线的渐近线为B．的离心率为
C．的方程为D．的面积为
【答案】D
【分析】设双曲线的方程为，椭圆的方程为，根据已知，结合双曲线以及椭圆的定义求出的值，即可得出A、B、C；根据余弦定理以及正余弦之间的关系求出的值，即可根据三角形的面积公式，得出答案.
【详解】设双曲线的方程为，椭圆的方程为，
则，，
所以，，，，
所以公共焦点为，，，
所以，
因为点A是在第一象限内的交点，所以，
根据双曲线的定义可得，，
所以，
根据椭圆的定义可得，，
所以，，
所以椭圆的方程为，
椭圆的离心率为，故BC项错误；
对于A项，双曲线的渐近线方程为，故A项错误；
对于D项，由余弦定理得，
又，所以，
所以，故D项正确.
故选：D.
7．记为等比数列的前n项和，若，，则（ ）．
A．120B．85C．D．
【答案】C
【分析】方法一：根据等比数列的前n项和公式求出公比，再根据的关系即可解出；
方法二：根据等比数列的前n项和的性质求解．
【详解】方法一：设等比数列的公比为，首项为，
若，则，与题意不符，所以；
若，则，与题意不符，所以；
由，可得，，①，
由①可得，，解得：，
所以．
故选：C．
方法二：设等比数列的公比为，
因为，，所以，否则，
从而，成等比数列，
所以有，，解得：或，
当时，，即为，
易知，，即；
当时，，
与矛盾，舍去．
故选：C．
【点睛】本题主要考查等比数列的前n项和公式的应用，以及整体思想的应用，解题关键是把握的关系，从而减少相关量的求解，简化运算．
8．设抛物线的焦点为，准线为，点为上一动点，为定点，则下列结论错误的是（ ）
A．准线的方程是B．的最大值为2
C．的最小化为5D．以线段为直径的圆与轴相切
【答案】B
【分析】选项A根据抛物线的方程直接求出准线；选项B利用进行求解；选项C根据抛物线定义，将转化成M到准线的距离，利用数形结合进行求解；选项D根据直线与圆相切的定义进行判断.
【详解】对于选项A，可知，所以焦点，准线方程为，故A正确；
对于选项B，，
当点M在射线EF上时等号成立，即的最大值为，故B错误；
对于选项C，过点M，E分别作准线的垂线，垂足分别为A，B，则，当点M在线段EB上时等号成立，
所以的最小值为5，故C正确；
对于选项D，设，线段MF的中点为D，则，
所以线段为直径的圆与轴相切，故D正确.
故选：B
二、多选题
9．已知数列满足，数列满足，记数列的前项和为，则下列结论正确的是（ ）
A．数列是等差数列B．
C．D．
【答案】ABC
【分析】由题意可得，再根据等差数列的定义及性质即可判断AB；求出数列和的通项，再利用裂项相消法即可求出，从而可判断CD.
【详解】因为，所以，
所以，且，
所以数列是等差数列，且该数列的首项为1，公差为，
所以，所以选项AB正确；
因为，所以，
所以，
所以
，所以选项C正确，D错误．
故选：ABC．
10．已知抛物线的焦点为F，过F且倾斜角为的直线l交抛物线于A，B两点，以下结论中正确的有（ ）
A．直线l的方程为
B．原点到直线l的距离为
C．
D．以AB为直径的圆过原点
【答案】ABC
【分析】对选项A，利用点斜式求出直线方程即可判断A正确，对选项B，利用点到直线的距离公式即可判断B正确，对选项C，首先联立直线和抛物线，再利用焦点弦公式即可判断C正确，对选项D，根据即可判断D错误.
【详解】如图所示：
对选项A，抛物线的焦点为，所以直线l的方程为，故A正确；
对选项B，，故B正确.
对选项C，联立，
设，，则，，
所以，故C正确.
对选项D，
，故D错误.
故选：ABC
11．“外观数列”是一类有趣的数列，该数列由正整数构成，后一项是前一项的“外观描述”．例如：取第一项为1，将其外观描述为“1个1”，则第二项为11；将11描述为“2个1”，则第三项为21；将21描述为“1个2，1个1”，则第四项为1211；将1211描述为“1个1，1个2，2个1”，则第五项为111221，…，这样每次从左到右将连续的相同数字合并起来描述，给定首项即可依次推出数列后面的项．对于外观数列，下列说法正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则的最后一个数字为6D．若，则从开始出现数字4
【答案】AC
【分析】根据数列的新定义一一求解.
【详解】对于A项，，即“2个2”，，即“2个2”，
以此类推，该数列的各项均为22，则，故A项正确；
对于B项，，即“1个1，1个3”，，即“3个1，1个3”，
故，即“1个3，2个1，1个3”，故，故B项错误；
对于C项，，即“1个6”，，即“1个1，1个6”，
，即“3个1，1个6”，故，即“1个3，2个1，1个6”，
以此类推可知，的最后一个数字均为6，故C项正确；
对于D项，因为，则，，，，
若数列中，中为第一次出现数字4，
则中必出现了4个连续的相同数字，
如，则在的描述中必包含“1个1，1个1”，
即，显然的描述应该是“2个1”，矛盾，不合乎题意，
若或，同理可知均不合乎题意，
故不包含数字4，故D项错误．
故选:AC．
12．已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， 抛物线 ，（）与椭圆C在第一象限的交点为P，若 ，则椭圆C的离心率为 （ ）
A．B．C．D．
【答案】CD
【分析】作垂直于抛物线的准线于点，则抛物线的定义得出，设，则，由椭圆的定义可得，在中利用余弦定理可求出的值，从而可求出离心率.
【详解】由题意可知抛物线的焦点为，准线方程为，准线过点，
作垂直于抛物线的准线于点，则，
因为‖轴，所以，
所以,
设，则，
所以，
在中，由余弦定理得,
所以，整理得，
解得或，
当时，椭圆的离心率为，
当时，椭圆的离心率为，
综上，椭圆离心率为或，
故选：CD
【点睛】关键点点睛：此题考查椭圆离心率的求法，考查抛物线与椭圆的综合问题，考查余弦定理的应用，解题的关键是根据题意利用抛物线和椭圆的定义求解，考查计算能力，属于较难题.
三、填空题
13．已知圆与圆和圆均外切，则点的轨迹方程为 .
【答案】
【分析】根据两圆外切时半径与圆心的关系得出，即可得出，根据双曲线的定义得出点的轨迹为双曲线的上支，设出其方程为，根据双曲线的定义列式解出与，即可得出答案.
【详解】当圆与圆均外切时，，
所以，
则点的轨迹为双曲线的上支，设轨迹方程为，
则，
则，
所以轨迹方程为.
故答案为：.
14．如图所示，为完成一项探月工程，某月球探测器飞行到月球附近时，首先在以月球球心F为圆心的圆形轨道Ⅰ上绕月球飞行，然后在P点处变轨进入以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月球飞行，最后在Q点处变轨进入以F为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月球飞行，设圆形轨道Ⅰ的半径为R，圆形轨道Ⅲ的半径为r，则椭圆轨道Ⅱ的离心率为 .（用R、r表示）
【答案】
【分析】由题设可得即可求出椭圆参数，根据离心率定义求椭圆轨道Ⅱ的离心率.
【详解】由F为椭圆轨道Ⅱ的焦点，若分别为长轴长、焦距，则，故，
所以椭圆轨道Ⅱ的离心率为.
故答案为：
15．正项数列中，为数列的前n项和，且对任意满足.若k，，且，则的最大值为 .
【答案】18
【分析】利用递推关系求出，再利用条件确定对应范围，最后确定最值取法.
【详解】由题意可知正项数列中，为数列的前n项和，且对任意满足,①,
当时, ,解得,
当时, ,②,
得:,整理得,
由于数列为正项数列,故,
所以以为首项,2为公差的等差数列,
即,
所以,
又k，，且，即,整理可得
,
,
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，，
当时，；
所以时,或时， 最大,
所以的最大值为18,
故答案为:18
16．已知数列满足，若，则 ；若，，，，则当时，满足条件的的所有项组成的集合为 ．
【答案】
【分析】利用等比数列的求和公式可求得；由已知可得出，根据，可得出的取值范围，即可得出满足条件的的取值集合.
【详解】因为，
，
当时，，所以，，
又因为，所以，，，
所以，，即，
因为，所以，满足条件的的取值集合为.
故答案为：；.
四、解答题
17．设数列满足．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用数列的递推关系可解，注意验证当时，是否满足上式；
（2）利用错位相减法求和即可.
【详解】（1）当时，，
因为①，
当时，②，
①②得，，
所以，
当时，，满足上式，
故数列的通项公式为．
（2）由（1）知，，记的前项和为，
则，
所以
④③得，，
所以数列的前项和为．
18．已知抛物线的焦点为F，过点的直线l交抛物线于M，N两点，点A到C的准线的距离为3.
（1）求抛物线C的方程；
（2）若的面积为，求直线l的方程.
【答案】（1）；（2）.
【分析】(1)由抛物线的性质即可求解.
(2)联立直线方程和抛物线方程，再根据韦达定理和弦长公式，得到MN的长度，再由点到直线距离公式，求出三角形的高，即可求解.
【详解】解：（1）由抛物线，得其准线方程为，
因为点到准线的距离为3.所以，解得，
所以抛物线方程为.
（2）由（1）得，
设直线l的方程为，
联立消去y得，
设，
由韦达定理知，
所以，
因为，所以F到直线l的距离，
所以的面积，
所以，解得，
所以直线l的方程为.
19．某市为改善市民出行，大力发展轨道交通建设，规划中的轨道交通s号线线路示意图如图所示，已知M、N是东西方向主干道边两个景点，P、Q是南北方向主干道边两个景点，四个景点距离城市中心O均为，线路AB段上的任意一点N到景点M的距离比到景点的距离都多6km，线路BC段上任意一点到O的距离都相等，线路CD段上的任意一点到景点Q的距离比到景点P的距离都多6km，以O为原点建立平面直角坐标系xOy.
（1）求轨道交通s号线线路示意图所在曲线的方程；
（2）规划中的线路AB段上需建一站点G到景点Q的距离最近，问如何设置站点G位置？
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）由题意结合双曲线即圆的定义可得轨道交通s号线线路示意图所在曲线的方程；
（2），由，写出两点间的距离，化为关于的函数，利用配方法求最值.
【详解】解：（1）∵线路段上的任意一点到N景点的距离比到景点M的距离都多6，
∴线路段所在的的曲线是以定点M，N为左右焦点的双曲线的左支，
则其方程为；
∵线路段上任意一点到O的距离都相等，
∴线路段所在的曲线是以O为圆心，以为半径的圆，
则其方程为；
∵线路段上的任意一点到景点Q的距离比到景点P的距离都多6，
∴线路段所在的曲线是以定点Q，P为上下焦点的双曲线的下支，
则其方程为.
故轨道交通s号线线路示意图所在曲线的方程为；
（2）设，由，则，
由（1）得，，即.
则.
∴当时，.
则站点为时，站点G到景点Q的距离最近.
【点睛】本题考查轨迹方程的求法，训练了利用配方法求最值，考查运算求解能力，是中档题.
20．记为等比数列的前n项和，．
(1)若，求的值；
(2)若，求证：．
【答案】(1)60；
(2)证明见解析.
【分析】（1）根据等比数列前项和的性质列方程求得，然后可得；
（2）利用等比数列前项和的性质求出，然后整理变形即可得证.
【详解】（1）设等比数列的公比为q，
因为，所以，
，所以,
故，，成等比数列，且公比为，
所以，
整理得，
因为，故，
解得，
所以．
（2）因为，所以，由（1）知，，
因为数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以
又，
则
所以
21．已知数列：，，…，.如果数列：，，满足，，其中，则称为的“衍生数列”.
(1)若数列：，，，的“衍生数列”是：5，，7，2，求；
(2)若为偶数，且的“衍生数列”是，证明：的“衍生数列”是；
(3)若为奇数，且的“衍生数列”是，的“衍生数列”是，…依次将数列，，，…第（）项取出，构成数列：，，….求证：是等差数列.
【答案】(1)2，1，4，5
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）根据题意中的新定义，列出关于的方程，解之即可；
（2）由题意得，进而，，将上式n个等式中的第2,4,6，这个式子都乘以-1，相加得，结合“衍生数列”的定义即可求解；
（3）设数列中后者是前者的“衍生数列”.欲证数列成等差数列，只需证明成等差数列，只需证即可.
【详解】（1）由题意知，
，
解得，
所以；
（2）由，得，
所以，，
由于n为偶数，将上式n个等式中的第2,4,6，，这个式子都乘以-1，相加得
，
即，所以，
又，，
根据“衍生数列”的定义知，数列是的“衍生数列”；
（3）设数列中后者是前者的“衍生数列”.
欲证数列成等差数列，只需证明成等差数列，
即只要证明即可.
由（2）知，
，
所以，即成等差数列，
所以成等差数列.
22．己知椭圆经过点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点的直线交该椭圆于C，D两点（点C在点D的上方），椭圆的上、下顶点分别为A，B，直线与直线交于点Q.证明：点Q在定直线上.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）代入点的坐标可得方程；
（2）方法一联立方程，求出可得答案；方法二结合转化可得答案；方法三利用点的坐标代入方程进行转化，结合韦达定理可得答案.
【详解】（1）∵椭圆过点M，∴，
∵，∴，
∴椭圆的标准方程为.
（2）方法一：设直线l的方程为，，，，
，，
∴直线方程为：，直线方程：.
联立，方程可得
，∴.
∴点Q在定直线上运动.
方法二：和差转化
由方法一可得，
∴，
∴.
方法三：点代平方差
∵D在椭圆上，∴，∴
∴
，
∴.
一、单选题
1．双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据双曲线的离心率可求得的值，由此可得出双曲线的渐近线方程.
【详解】，，，
渐近线方程为，渐近线方程为．
故选：B．
2．已知数列满足且，则（ ）
A．3B．C．-2D．
【答案】B
【分析】由已知可得数列递推式，求出其前面几项，可得数列的周期，由此可求得答案.
【详解】由题意数列满足，则，
故由，得，
由此可知数列的周期为4，
故，
故选：B
3．已知点在抛物线上，是抛物线的焦点，点为直线上的动点，则的最小值为（ ）
A．8B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意，求得抛物线的焦点为，设点关于的对称点为，得出，得到当且仅当点为直线与的交点时，取得最小值，结合两点间距离公式，即可求解.
【详解】由抛物线，可得焦点为，准线方程为，
如图所示，设点关于的对称点为，则，
可得，当且仅当点为直线与的交点时，取得最小值，
则，
即的最小值为.
故选：D.
4．两个正数、的等差中项是，等比中项是，且，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据已知条件可得出关于、的等式组，解出、的值，可得出的值，由此可得出该椭圆的离心率的值.
【详解】因为两个正数、的等差中项是，等比中项是，且，
则，解得，所以，故.
故选：C.
5．已知等差数列为递增数列，且满足，，则其通项公式为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用等差数列性质求出 ，，从而求出通项公式.
【详解】由数列为递增等差数列，则，且，
又因为，所以，，
所以数列的公差，，
所以数列的通项公式为，故B项正确.
故选：B.
6．如图，是双曲线与椭圆的公共焦点，点A是在第一象限内的交点，若，则（ ）
A．双曲线的渐近线为B．的离心率为
C．的方程为D．的面积为
【答案】D
【分析】设双曲线的方程为，椭圆的方程为，根据已知，结合双曲线以及椭圆的定义求出的值，即可得出A、B、C；根据余弦定理以及正余弦之间的关系求出的值，即可根据三角形的面积公式，得出答案.
【详解】设双曲线的方程为，椭圆的方程为，
则，，
所以，，，，
所以公共焦点为，，，
所以，
因为点A是在第一象限内的交点，所以，
根据双曲线的定义可得，，
所以，
根据椭圆的定义可得，，
所以，，
所以椭圆的方程为，
椭圆的离心率为，故BC项错误；
对于A项，双曲线的渐近线方程为，故A项错误；
对于D项，由余弦定理得，
又，所以，
所以，故D项正确.
故选：D.
7．记为等比数列的前n项和，若，，则（ ）．
A．120B．85C．D．
【答案】C
【分析】方法一：根据等比数列的前n项和公式求出公比，再根据的关系即可解出；
方法二：根据等比数列的前n项和的性质求解．
【详解】方法一：设等比数列的公比为，首项为，
若，则，与题意不符，所以；
若，则，与题意不符，所以；
由，可得，，①，
由①可得，，解得：，
所以．
故选：C．
方法二：设等比数列的公比为，
因为，，所以，否则，
从而，成等比数列，
所以有，，解得：或，
当时，，即为，
易知，，即；
当时，，
与矛盾，舍去．
故选：C．
【点睛】本题主要考查等比数列的前n项和公式的应用，以及整体思想的应用，解题关键是把握的关系，从而减少相关量的求解，简化运算．
8．设抛物线的焦点为，准线为，点为上一动点，为定点，则下列结论错误的是（ ）
A．准线的方程是B．的最大值为2
C．的最小化为5D．以线段为直径的圆与轴相切
【答案】B
【分析】选项A根据抛物线的方程直接求出准线；选项B利用进行求解；选项C根据抛物线定义，将转化成M到准线的距离，利用数形结合进行求解；选项D根据直线与圆相切的定义进行判断.
【详解】对于选项A，可知，所以焦点，准线方程为，故A正确；
对于选项B，，
当点M在射线EF上时等号成立，即的最大值为，故B错误；
对于选项C，过点M，E分别作准线的垂线，垂足分别为A，B，则，当点M在线段EB上时等号成立，
所以的最小值为5，故C正确；
对于选项D，设，线段MF的中点为D，则，
所以线段为直径的圆与轴相切，故D正确.
故选：B
二、多选题
9．已知数列满足，数列满足，记数列的前项和为，则下列结论正确的是（ ）
A．数列是等差数列B．
C．D．
【答案】ABC
【分析】由题意可得，再根据等差数列的定义及性质即可判断AB；求出数列和的通项，再利用裂项相消法即可求出，从而可判断CD.
【详解】因为，所以，
所以，且，
所以数列是等差数列，且该数列的首项为1，公差为，
所以，所以选项AB正确；
因为，所以，
所以，
所以
，所以选项C正确，D错误．
故选：ABC．
10．已知抛物线的焦点为F，过F且倾斜角为的直线l交抛物线于A，B两点，以下结论中正确的有（ ）
A．直线l的方程为
B．原点到直线l的距离为
C．
D．以AB为直径的圆过原点
【答案】ABC
【分析】对选项A，利用点斜式求出直线方程即可判断A正确，对选项B，利用点到直线的距离公式即可判断B正确，对选项C，首先联立直线和抛物线，再利用焦点弦公式即可判断C正确，对选项D，根据即可判断D错误.
【详解】如图所示：
对选项A，抛物线的焦点为，所以直线l的方程为，故A正确；
对选项B，，故B正确.
对选项C，联立，
设，，则，，
所以，故C正确.
对选项D，
，故D错误.
故选：ABC
11．“外观数列”是一类有趣的数列，该数列由正整数构成，后一项是前一项的“外观描述”．例如：取第一项为1，将其外观描述为“1个1”，则第二项为11；将11描述为“2个1”，则第三项为21；将21描述为“1个2，1个1”，则第四项为1211；将1211描述为“1个1，1个2，2个1”，则第五项为111221，…，这样每次从左到右将连续的相同数字合并起来描述，给定首项即可依次推出数列后面的项．对于外观数列，下列说法正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则的最后一个数字为6D．若，则从开始出现数字4
【答案】AC
【分析】根据数列的新定义一一求解.
【详解】对于A项，，即“2个2”，，即“2个2”，
以此类推，该数列的各项均为22，则，故A项正确；
对于B项，，即“1个1，1个3”，，即“3个1，1个3”，
故，即“1个3，2个1，1个3”，故，故B项错误；
对于C项，，即“1个6”，，即“1个1，1个6”，
，即“3个1，1个6”，故，即“1个3，2个1，1个6”，
以此类推可知，的最后一个数字均为6，故C项正确；
对于D项，因为，则，，，，
若数列中，中为第一次出现数字4，
则中必出现了4个连续的相同数字，
如，则在的描述中必包含“1个1，1个1”，
即，显然的描述应该是“2个1”，矛盾，不合乎题意，
若或，同理可知均不合乎题意，
故不包含数字4，故D项错误．
故选:AC．
12．已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， 抛物线 ，（）与椭圆C在第一象限的交点为P，若 ，则椭圆C的离心率为 （ ）
A．B．C．D．
【答案】CD
【分析】作垂直于抛物线的准线于点，则抛物线的定义得出，设，则，由椭圆的定义可得，在中利用余弦定理可求出的值，从而可求出离心率.
【详解】由题意可知抛物线的焦点为，准线方程为，准线过点，
作垂直于抛物线的准线于点，则，
因为‖轴，所以，
所以,
设，则，
所以，
在中，由余弦定理得,
所以，整理得，
解得或，
当时，椭圆的离心率为，
当时，椭圆的离心率为，
综上，椭圆离心率为或，
故选：CD
【点睛】关键点点睛：此题考查椭圆离心率的求法，考查抛物线与椭圆的综合问题，考查余弦定理的应用，解题的关键是根据题意利用抛物线和椭圆的定义求解，考查计算能力，属于较难题.
三、填空题
13．已知圆与圆和圆均外切，则点的轨迹方程为 .
【答案】
【分析】根据两圆外切时半径与圆心的关系得出，即可得出，根据双曲线的定义得出点的轨迹为双曲线的上支，设出其方程为，根据双曲线的定义列式解出与，即可得出答案.
【详解】当圆与圆均外切时，，
所以，
则点的轨迹为双曲线的上支，设轨迹方程为，
则，
则，
所以轨迹方程为.
故答案为：.
14．如图所示，为完成一项探月工程，某月球探测器飞行到月球附近时，首先在以月球球心F为圆心的圆形轨道Ⅰ上绕月球飞行，然后在P点处变轨进入以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月球飞行，最后在Q点处变轨进入以F为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月球飞行，设圆形轨道Ⅰ的半径为R，圆形轨道Ⅲ的半径为r，则椭圆轨道Ⅱ的离心率为 .（用R、r表示）
【答案】
【分析】由题设可得即可求出椭圆参数，根据离心率定义求椭圆轨道Ⅱ的离心率.
【详解】由F为椭圆轨道Ⅱ的焦点，若分别为长轴长、焦距，则，故，
所以椭圆轨道Ⅱ的离心率为.
故答案为：
15．正项数列中，为数列的前n项和，且对任意满足.若k，，且，则的最大值为 .
【答案】18
【分析】利用递推关系求出，再利用条件确定对应范围，最后确定最值取法.
【详解】由题意可知正项数列中，为数列的前n项和，且对任意满足,①,
当时, ,解得,
当时, ,②,
得:,整理得,
由于数列为正项数列,故,
所以以为首项,2为公差的等差数列,
即,
所以,
又k，，且，即,整理可得
,
,
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，，
当时，；
所以时,或时， 最大,
所以的最大值为18,
故答案为:18
16．已知数列满足，若，则 ；若，，，，则当时，满足条件的的所有项组成的集合为 ．
【答案】
【分析】利用等比数列的求和公式可求得；由已知可得出，根据，可得出的取值范围，即可得出满足条件的的取值集合.
【详解】因为，
，
当时，，所以，，
又因为，所以，，，
所以，，即，
因为，所以，满足条件的的取值集合为.
故答案为：；.
四、解答题
17．设数列满足．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用数列的递推关系可解，注意验证当时，是否满足上式；
（2）利用错位相减法求和即可.
【详解】（1）当时，，
因为①，
当时，②，
①②得，，
所以，
当时，，满足上式，
故数列的通项公式为．
（2）由（1）知，，记的前项和为，
则，
所以
④③得，，
所以数列的前项和为．
18．已知抛物线的焦点为F，过点的直线l交抛物线于M，N两点，点A到C的准线的距离为3.
（1）求抛物线C的方程；
（2）若的面积为，求直线l的方程.
【答案】（1）；（2）.
【分析】(1)由抛物线的性质即可求解.
(2)联立直线方程和抛物线方程，再根据韦达定理和弦长公式，得到MN的长度，再由点到直线距离公式，求出三角形的高，即可求解.
【详解】解：（1）由抛物线，得其准线方程为，
因为点到准线的距离为3.所以，解得，
所以抛物线方程为.
（2）由（1）得，
设直线l的方程为，
联立消去y得，
设，
由韦达定理知，
所以，
因为，所以F到直线l的距离，
所以的面积，
所以，解得，
所以直线l的方程为.
19．某市为改善市民出行，大力发展轨道交通建设，规划中的轨道交通s号线线路示意图如图所示，已知M、N是东西方向主干道边两个景点，P、Q是南北方向主干道边两个景点，四个景点距离城市中心O均为，线路AB段上的任意一点N到景点M的距离比到景点的距离都多6km，线路BC段上任意一点到O的距离都相等，线路CD段上的任意一点到景点Q的距离比到景点P的距离都多6km，以O为原点建立平面直角坐标系xOy.
（1）求轨道交通s号线线路示意图所在曲线的方程；
（2）规划中的线路AB段上需建一站点G到景点Q的距离最近，问如何设置站点G位置？
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）由题意结合双曲线即圆的定义可得轨道交通s号线线路示意图所在曲线的方程；
（2），由，写出两点间的距离，化为关于的函数，利用配方法求最值.
【详解】解：（1）∵线路段上的任意一点到N景点的距离比到景点M的距离都多6，
∴线路段所在的的曲线是以定点M，N为左右焦点的双曲线的左支，
则其方程为；
∵线路段上任意一点到O的距离都相等，
∴线路段所在的曲线是以O为圆心，以为半径的圆，
则其方程为；
∵线路段上的任意一点到景点Q的距离比到景点P的距离都多6，
∴线路段所在的曲线是以定点Q，P为上下焦点的双曲线的下支，
则其方程为.
故轨道交通s号线线路示意图所在曲线的方程为；
（2）设，由，则，
由（1）得，，即.
则.
∴当时，.
则站点为时，站点G到景点Q的距离最近.
【点睛】本题考查轨迹方程的求法，训练了利用配方法求最值，考查运算求解能力，是中档题.
20．记为等比数列的前n项和，．
(1)若，求的值；
(2)若，求证：．
【答案】(1)60；
(2)证明见解析.
【分析】（1）根据等比数列前项和的性质列方程求得，然后可得；
（2）利用等比数列前项和的性质求出，然后整理变形即可得证.
【详解】（1）设等比数列的公比为q，
因为，所以，
，所以,
故，，成等比数列，且公比为，
所以，
整理得，
因为，故，
解得，
所以．
（2）因为，所以，由（1）知，，
因为数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以
又，
则
所以
21．已知数列：，，…，.如果数列：，，满足，，其中，则称为的“衍生数列”.
(1)若数列：，，，的“衍生数列”是：5，，7，2，求；
(2)若为偶数，且的“衍生数列”是，证明：的“衍生数列”是；
(3)若为奇数，且的“衍生数列”是，的“衍生数列”是，…依次将数列，，，…第（）项取出，构成数列：，，….求证：是等差数列.
【答案】(1)2，1，4，5
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）根据题意中的新定义，列出关于的方程，解之即可；
（2）由题意得，进而，，将上式n个等式中的第2,4,6，这个式子都乘以-1，相加得，结合“衍生数列”的定义即可求解；
（3）设数列中后者是前者的“衍生数列”.欲证数列成等差数列，只需证明成等差数列，只需证即可.
【详解】（1）由题意知，
，
解得，
所以；
（2）由，得，
所以，，
由于n为偶数，将上式n个等式中的第2,4,6，，这个式子都乘以-1，相加得
，
即，所以，
又，，
根据“衍生数列”的定义知，数列是的“衍生数列”；
（3）设数列中后者是前者的“衍生数列”.
欲证数列成等差数列，只需证明成等差数列，
即只要证明即可.
由（2）知，
，
所以，即成等差数列，
所以成等差数列.
22．己知椭圆经过点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点的直线交该椭圆于C，D两点（点C在点D的上方），椭圆的上、下顶点分别为A，B，直线与直线交于点Q.证明：点Q在定直线上.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）代入点的坐标可得方程；
（2）方法一联立方程，求出可得答案；方法二结合转化可得答案；方法三利用点的坐标代入方程进行转化，结合韦达定理可得答案.
【详解】（1）∵椭圆过点M，∴，
∵，∴，
∴椭圆的标准方程为.
（2）方法一：设直线l的方程为，，，，
，，
∴直线方程为：，直线方程：.
联立，方程可得
，∴.
∴点Q在定直线上运动.
方法二：和差转化
由方法一可得，
∴，
∴.
方法三：点代平方差
∵D在椭圆上，∴，∴
∴
，
∴.
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