宁夏回族自治区2023-2024学年高二上学期期末测试数学训练卷（二）(含答案)

这是一份宁夏回族自治区2023-2024学年高二上学期期末测试数学训练卷（二）(含答案)，共19页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1、双曲线的离心率为,则其渐近线方程为( )
A.B.C.D.
2、已知数列满足,且,则( )
A.3B.C.-2D.
3、已知点在抛物线上,F是抛物线的焦点,点P为直线上的动点,则的最小值为( )
A.8B.C.D.
4、两个正数a、b的等差中项是,等比中项是,且,则椭圆的离心率为( )
A.B.C.D.
5、已知等差数列为递增数列,且满足,,则其通项公式为( )
A.B.C.D.
6、如图,,是双曲线与椭圆的公共焦点,点A是,在第一象限内的交点,若,则( )
A.双曲线的渐近线为B.的离心率为
C.的方程为D.的面积为
7、记为等比数列的前n项和,若,,则( )
A.120B.85C.-85D.-120
8、设抛物线的焦点为F,准线为l,点M为C上一动点,为定点,则下列结论错误的是( )
A.准线l的方程是B.的最大值为2
C.的最小化为5D.以线段MF为直径的圆与y轴相切
二、多项选择题
9、已知数列满足,数列满足,记数列的前n项和为,则下列结论正确的是( )
A.数列是等差数列B.
C.D.
10、已知抛物线的焦点为F,过F且倾斜角为的直线l交抛物线于A,B两点,以下结论中正确的有( )
A.直线l的方程为
B.原点到直线l的距离为
C.
D.以AB为直径的圆过原点
11、“外观数列”是一类有趣的数列,该数列由正整数构成,后一项是前一项的“外观描述”.例如：取第一项为1,将其外观描述为“1个1”,则第二项为11;将11描述为“2个1”,则第三项为21;将21描述为“1个2,1个1”,则第四项为1211;将1211描述为“1个1,1个2,2个1”,则第五项为111221,…,这样每次从左到右将连续的相同数字合并起来描述,给定首项即可依次推出数列后面的项.对于外观数列,下列说法正确的是( )
A.若,则B.若,则
C.若,则的最后一个数字为6D.若,则从开始出现数字4
12、已知椭圆的左、右焦点分别为,抛物线,（,）与椭圆C在第一象限的交点为P,若,则椭圆C的离心率为( )
A.B.C.D.
三、填空题
13、已知圆M与圆和圆均外切,则点M的轨迹方程为______________.
14、如图所示,为完成一项探月工程,某月球探测器飞行到月球附近时,首先在以月球球心F为圆心的圆形轨道Ⅰ上绕月球飞行,然后在P点处变轨进入以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月球飞行,最后在Q点处变轨进入以F为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月球飞行,设圆形轨道Ⅰ的半径为R,圆形轨道Ⅲ的半径为r,则椭圆轨道Ⅱ的离心率为____________.（用R、r表示）
15、正项数列中,为数列的前n项和,且对任意满足.若k,,且,则的最大值为___________.
四、解答题
16、已知数列满足,若,则____________;若,,,,则当时,满足条件的的所有项组成的集合为__________.
17、设数列满足.
(1)求的通项公式;
(2)求数列的前n项和.
18、已知抛物线的焦点为F,过点的直线l交抛物线于M,N两点,点A到C的准线的距离为3.
（1）求抛物线C的方程;
（2）若的面积为,求直线l的方程.
19、某市为改善市民出行,大力发展轨道交通建设,规划中的轨道交通s号线线路示意图如图所示,已知M、N是东西方向主干道边两个景点,P、Q是南北方向主干道边两个景点,四个景点距离城市中心O均为,线路AB段上的任意一点N到景点M的距离比到景点的距离都多6km,线路BC段上任意一点到O的距离都相等,线路CD段上的任意一点到景点Q的距离比到景点P的距离都多6km,以O为原点建立平面直角坐标系xOy.
（1）求轨道交通s号线线路示意图所在曲线的方程;
（2）规划中的线路AB段上需建一站点G到景点Q的距离最近,问如何设置站点G位置？
20、记为等比数列的前n项和,.
(1)若,求的值;
(2)若,求证：.
21、已知数列：,,…,.如果数列：,,满足,,其中,3,···,n则称为的“衍生数列”.
(1)若数列：,,,的“衍生数列”是：5,-2,7,2,求;
(2)若n为偶数,且的“衍生数列”是,证明：的“衍生数列”是;
(3)若n为奇数,且的“衍生数列”是,的“衍生数列”是,…依次将数列,,,…第（,2,···,n）项取出,构成数列：,,….求证：是等差数列.
22、己知椭圆经过点.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)过点的直线l交该椭圆于C,D两点（点C在点D的上方）,椭圆的上、下顶点分别为A,B,直线AD与直线BC交于点Q.证明：点Q在定直线上.
参考答案
1、答案：B
解析：,,,
渐近线方程为,渐近线方程为.
故选：B.
2、答案：B
解析：由题意数列满足,则,
故由,得,,,.
由此可知数列的周期为4,
故,
故选：B.
3、答案：D
解析：由抛物线,可得焦点为,准线方程为,
如图所示,设点关于的对称点为,则,
可得,当且仅当点P为直线与的交点时,取得最小值,
则,
即的最小值为.
故选：D.
4、答案：C
解析：因为两个正数a、b的等差中项是,等比中项是,且,
则,解得,所以,故.
故选：C.
5、答案：B
解析：由数列为递增等差数列,则,且,
又因为,所以,,
所以数列的公差,,
所以数列的通项公式为,故B项正确.
故选：B.
6、答案：D
解析：设双曲线的方程为,椭圆的方程为,
则,,
所以,,,,
所以公共焦点为,,,
所以,
因为点A是,在第一象限内的交点,所以,
根据双曲线的定义可得,,
所以,
根据椭圆的定义可得,,
所以,,
所以椭圆的方程为,
椭圆的离心率为,故BC项错误;
对于A项,双曲线的渐近线方程为,故A项错误;
对于D项,由余弦定理得,
又,所以,
所以,故D项正确.
故选：D.
7、答案：C
解析：方法一：设等比数列的公比为q,首项为,
若,则,与题意不符,所以;
若,则,与题意不符,所以;
由,可得,,①,
由①可得,,解得：,
所以.
故选：C.
方法二：设等比数列的公比为q,
因为,,所以,否则,
从而,,,,成等比数列,
所以有,,解得：或,
当时,,,,
即为-1,-4,-16,,
易知,,即;
当时,,
与矛盾,舍去.
故选：C.
8、答案：B
解析：对于选项A,可知,所以焦点,准线方程为,故A正确;
对于选项B,,
当点M在射线EF上时等号成立,即的最大值为,故B错误;
对于选项C,过点M,E分别作准线的垂线,垂足分别为A,B,
则,
当点M在线段EB上时等号成立,
所以的最小值为5,故C正确;
对于选项D,设,线段MF的中点为D,则,
所以线段MF为直径的圆与y轴相切,故D正确.
故选：B.
9、答案：ABC
解析：因为,所以,
所以,且,
所以数列是等差数列,且该数列的首项为1,公差为-2,
所以,所以选项AB正确;
因为,所以,
所以,
所以
,所以选项C正确,D错误.
故选：ABC.
10、答案：ABC
解析：如图所示：
对选项A,抛物线的焦点为,所以直线l的方程为,故A正确;
对选项B,,故B正确.
对选项C,联立,
设,,则,,
所以,故C正确.
对选项D,
,故D错误.
故选：ABC.
11、答案：AC
解析：对于A项,,即“2个2”,,即“2个2”,
以此类推,该数列的各项均为22,则,故A项正确;
对于B项,,即“1个1,1个3”,,即“3个1,1个3”,
故,即“1个3,2个1,1个3”,故,故B项错误;
对于C项,,即“1个6”,,即“1个1,1个6”,
,即“3个1,1个6”,故,即“1个3,2个1,1个6”,
以此类推可知,的最后一个数字均为6,故C项正确;
对于D项,因为,则,,,,
若数列中,中为第一次出现数字4,
则中必出现了4个连续的相同数字,
如,则在的描述中必包含“1个1,1个1”,
即,显然的描述应该是“2个1”,矛盾,不合乎题意,
若或,同理可知均不合乎题意,
故不包含数字4,故D项错误.
故选：AC.
12、答案：CD
解析：由题意可知抛物线的焦点为,准线方程为,准线过点,
作PE垂直于抛物线的准线l于点E,则,
因为轴,所以,
所以,
设,则,
所以,
在中,由余弦定理得,
所以,整理得,
解得或,
当时,椭圆的离心率为,
当时,椭圆的离心率为,
综上,椭圆离心率为或,
故选：CD.
13、答案：
解析：当圆M与圆,均外切时,,
所以,
则点M的轨迹为双曲线D的上支,设轨迹方程为,
则,
则,
所以轨迹方程为.
故答案为：.
14、答案：
解析：由F为椭圆轨道Ⅱ的焦点,若,分别为长轴长、焦距,则,
故,
所以椭圆轨道Ⅱ的离心率为.
故答案为：.
15、答案：18
解析：由题意可知正项数列中,为数列的前n项和,且对任意满足,①,
当时,,解得,
当时,,②,
得:,整理得,
由于数列为正项数列,故,
所以以1为首项,2为公差的等差数列,
即,
所以,
又k,,且,即,
整理可得,
,
当时,,;
当时,,;
当时,,;
当时,,;
当时,,,
当时,,;
所以,;,时,或,时,最大,
所以的最大值为18,
故答案为：18.
16、答案：;
解析：因为,
,
当时,,所以,,
又因为,所以,,,
所以,,即,
因为,所以,满足条件的的取值集合为.
故答案为：;.
17、答案：(1)
(2)
解析：（1）当时,,
因为①,
当时,②,
①②得,,
所以,
当时,,满足上式,
故数列的通项公式为.
（2）由（1）知,,记的前项和为,
则,
所以
④③得,,
所以数列的前n项和为.
18、答案：（1）;
（2）.
解析：（1）由抛物线,得其准线方程为,
因为点到准线的距离为3.所以,解得,
所以抛物线方程为.
（2）由（1）得,
设直线l的方程为,
联立消去y得,
设,
由韦达定理知,
所以,
因为,所以F到直线l的距离,
所以的面积,
所以,解得,
所以直线l的方程为.
19、答案：（1）;
（2）.
解析：（1）线路AB段上的任意一点到N景点的距离比到景点M的距离都多6,
线路AB段所在的的曲线是以定点M,N为左右焦点的双曲线的左支,
则其方程为;
线路BC段上任意一点到O的距离都相等,
线路BC段所在的曲线是以O为圆心,以OB为半径的圆,
则其方程为;
线路CD段上的任意一点到景点Q的距离比到景点P的距离都多6,
线路CD段所在的曲线是以定点Q,P为上下焦点的双曲线的下支,
则其方程为.
故轨道交通s号线线路示意图所在曲线的方程为;
（2）设,由,则,
由（1）得,,即.
则.
当时,.
则站点为时,站点G到景点Q的距离最近.
20、答案：(1)60;
(2)证明见解析.
解析：（1）设等比数列的公比为q,
因为,所以,
,所以,
故,,成等比数列,且公比为,
所以,
整理得,
因为,故,
解得,
所以.
（2）因为,所以,由（1）知,,
因为数列,,,···,是以为首项,为公比的等比数列,
所以
又,
则
所以
21、答案：(1)2,1,4,5
(2)证明见解析
(3)证明见解析
解析：（1）由题意知,,
,,
解得,,,.
所以,1,4,5;
（2）由,得,
所以,,
由于n为偶数,将上式n个等式中的第2,4,6,···,n,这个式子都乘以-1,
相加得,
即,所以,
又,,
根据“衍生数列”的定义知,数列是的“衍生数列”;
（3）设数列,,中后者是前者的“衍生数列”.
欲证数列成等差数列,只需证明,,成等差数列,
即只要证明即可.
由（2）知,
,
所以,即,,成等差数列,
所以成等差数列.
22、答案：(1)
(2)证明见解析
解析：（1）椭圆过点M, ,
, ,
椭圆的标准方程为.
（2）方法一：设直线l的方程为,,,,
,,
直线方程为：,直线BC方程：.
联立AD,BC方程可得
, .
点Q在定直线上运动.
方法二：和差转化
由方法一可得,
,
.
方法三：点代平方差
D在椭圆上, ,
,
.