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    2023-2024学年宁夏回族自治区高二上学期期末测试数学训练卷(二)含答案

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    这是一份2023-2024学年宁夏回族自治区高二上学期期末测试数学训练卷(二)含答案,共20页。试卷主要包含了单选题,多选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    一、单选题
    1.双曲线的离心率为,则其渐近线方程为( )
    A.B.
    C.D.
    【答案】B
    【分析】根据双曲线的离心率可求得的值,由此可得出双曲线的渐近线方程.
    【详解】,,,
    渐近线方程为,渐近线方程为.
    故选:B.
    2.已知数列满足且,则( )
    A.3B.C.-2D.
    【答案】B
    【分析】由已知可得数列递推式,求出其前面几项,可得数列的周期,由此可求得答案.
    【详解】由题意数列满足,则,
    故由,得,
    由此可知数列的周期为4,
    故,
    故选:B
    3.已知点在抛物线上,是抛物线的焦点,点为直线上的动点,则的最小值为( )
    A.8B.C.D.
    【答案】D
    【分析】根据题意,求得抛物线的焦点为,设点关于的对称点为,得出,得到当且仅当点为直线与的交点时,取得最小值,结合两点间距离公式,即可求解.
    【详解】由抛物线,可得焦点为,准线方程为,
    如图所示,设点关于的对称点为,则,
    可得,当且仅当点为直线与的交点时,取得最小值,
    则,
    即的最小值为.
    故选:D.
    4.两个正数、的等差中项是,等比中项是,且,则椭圆的离心率为( )
    A.B.C.D.
    【答案】C
    【分析】根据已知条件可得出关于、的等式组,解出、的值,可得出的值,由此可得出该椭圆的离心率的值.
    【详解】因为两个正数、的等差中项是,等比中项是,且,
    则,解得,所以,故.
    故选:C.
    5.已知等差数列为递增数列,且满足,,则其通项公式为( )
    A.B.
    C.D.
    【答案】B
    【分析】根据给定条件,利用等差数列性质求出 ,,从而求出通项公式.
    【详解】由数列为递增等差数列,则,且,
    又因为,所以,,
    所以数列的公差,,
    所以数列的通项公式为,故B项正确.
    故选:B.
    6.如图,是双曲线与椭圆的公共焦点,点A是在第一象限内的交点,若,则( )
    A.双曲线的渐近线为B.的离心率为
    C.的方程为D.的面积为
    【答案】D
    【分析】设双曲线的方程为,椭圆的方程为,根据已知,结合双曲线以及椭圆的定义求出的值,即可得出A、B、C;根据余弦定理以及正余弦之间的关系求出的值,即可根据三角形的面积公式,得出答案.
    【详解】设双曲线的方程为,椭圆的方程为,
    则,,
    所以,,,,
    所以公共焦点为,,,
    所以,
    因为点A是在第一象限内的交点,所以,
    根据双曲线的定义可得,,
    所以,
    根据椭圆的定义可得,,
    所以,,
    所以椭圆的方程为,
    椭圆的离心率为,故BC项错误;
    对于A项,双曲线的渐近线方程为,故A项错误;
    对于D项,由余弦定理得,
    又,所以,
    所以,故D项正确.
    故选:D.
    7.记为等比数列的前n项和,若,,则( ).
    A.120B.85C.D.
    【答案】C
    【分析】方法一:根据等比数列的前n项和公式求出公比,再根据的关系即可解出;
    方法二:根据等比数列的前n项和的性质求解.
    【详解】方法一:设等比数列的公比为,首项为,
    若,则,与题意不符,所以;
    若,则,与题意不符,所以;
    由,可得,,①,
    由①可得,,解得:,
    所以.
    故选:C.
    方法二:设等比数列的公比为,
    因为,,所以,否则,
    从而,成等比数列,
    所以有,,解得:或,
    当时,,即为,
    易知,,即;
    当时,,
    与矛盾,舍去.
    故选:C.
    【点睛】本题主要考查等比数列的前n项和公式的应用,以及整体思想的应用,解题关键是把握的关系,从而减少相关量的求解,简化运算.
    8.设抛物线的焦点为,准线为,点为上一动点,为定点,则下列结论错误的是( )
    A.准线的方程是B.的最大值为2
    C.的最小化为5D.以线段为直径的圆与轴相切
    【答案】B
    【分析】选项A根据抛物线的方程直接求出准线;选项B利用进行求解;选项C根据抛物线定义,将转化成M到准线的距离,利用数形结合进行求解;选项D根据直线与圆相切的定义进行判断.
    【详解】对于选项A,可知,所以焦点,准线方程为,故A正确;
    对于选项B,,
    当点M在射线EF上时等号成立,即的最大值为,故B错误;
    对于选项C,过点M,E分别作准线的垂线,垂足分别为A,B,则,当点M在线段EB上时等号成立,
    所以的最小值为5,故C正确;
    对于选项D,设,线段MF的中点为D,则,
    所以线段为直径的圆与轴相切,故D正确.
    故选:B
    二、多选题
    9.已知数列满足,数列满足,记数列的前项和为,则下列结论正确的是( )
    A.数列是等差数列B.
    C.D.
    【答案】ABC
    【分析】由题意可得,再根据等差数列的定义及性质即可判断AB;求出数列和的通项,再利用裂项相消法即可求出,从而可判断CD.
    【详解】因为,所以,
    所以,且,
    所以数列是等差数列,且该数列的首项为1,公差为,
    所以,所以选项AB正确;
    因为,所以,
    所以,
    所以
    ,所以选项C正确,D错误.
    故选:ABC.
    10.已知抛物线的焦点为F,过F且倾斜角为的直线l交抛物线于A,B两点,以下结论中正确的有( )
    A.直线l的方程为
    B.原点到直线l的距离为
    C.
    D.以AB为直径的圆过原点
    【答案】ABC
    【分析】对选项A,利用点斜式求出直线方程即可判断A正确,对选项B,利用点到直线的距离公式即可判断B正确,对选项C,首先联立直线和抛物线,再利用焦点弦公式即可判断C正确,对选项D,根据即可判断D错误.
    【详解】如图所示:

    对选项A,抛物线的焦点为,所以直线l的方程为,故A正确;
    对选项B,,故B正确.
    对选项C,联立,
    设,,则,,
    所以,故C正确.
    对选项D,
    ,故D错误.
    故选:ABC
    11.“外观数列”是一类有趣的数列,该数列由正整数构成,后一项是前一项的“外观描述”.例如:取第一项为1,将其外观描述为“1个1”,则第二项为11;将11描述为“2个1”,则第三项为21;将21描述为“1个2,1个1”,则第四项为1211;将1211描述为“1个1,1个2,2个1”,则第五项为111221,…,这样每次从左到右将连续的相同数字合并起来描述,给定首项即可依次推出数列后面的项.对于外观数列,下列说法正确的是( )
    A.若,则B.若,则
    C.若,则的最后一个数字为6D.若,则从开始出现数字4
    【答案】AC
    【分析】根据数列的新定义一一求解.
    【详解】对于A项,,即“2个2”,,即“2个2”,
    以此类推,该数列的各项均为22,则,故A项正确;
    对于B项,,即“1个1,1个3”,,即“3个1,1个3”,
    故,即“1个3,2个1,1个3”,故,故B项错误;
    对于C项,,即“1个6”,,即“1个1,1个6”,
    ,即“3个1,1个6”,故,即“1个3,2个1,1个6”,
    以此类推可知,的最后一个数字均为6,故C项正确;
    对于D项,因为,则,,,,
    若数列中,中为第一次出现数字4,
    则中必出现了4个连续的相同数字,
    如,则在的描述中必包含“1个1,1个1”,
    即,显然的描述应该是“2个1”,矛盾,不合乎题意,
    若或,同理可知均不合乎题意,
    故不包含数字4,故D项错误.
    故选:AC.
    12.已知椭圆 的左、右焦点分别为 , 抛物线 ,()与椭圆C在第一象限的交点为P,若 ,则椭圆C的离心率为 ( )
    A.B.C.D.
    【答案】CD
    【分析】作垂直于抛物线的准线于点,则抛物线的定义得出,设,则,由椭圆的定义可得,在中利用余弦定理可求出的值,从而可求出离心率.
    【详解】由题意可知抛物线的焦点为,准线方程为,准线过点,
    作垂直于抛物线的准线于点,则,
    因为‖轴,所以,
    所以,
    设,则,
    所以,
    在中,由余弦定理得,
    所以,整理得,
    解得或,
    当时,椭圆的离心率为,
    当时,椭圆的离心率为,
    综上,椭圆离心率为或,
    故选:CD
    【点睛】关键点点睛:此题考查椭圆离心率的求法,考查抛物线与椭圆的综合问题,考查余弦定理的应用,解题的关键是根据题意利用抛物线和椭圆的定义求解,考查计算能力,属于较难题.
    三、填空题
    13.已知圆与圆和圆均外切,则点的轨迹方程为 .
    【答案】
    【分析】根据两圆外切时半径与圆心的关系得出,即可得出,根据双曲线的定义得出点的轨迹为双曲线的上支,设出其方程为,根据双曲线的定义列式解出与,即可得出答案.
    【详解】当圆与圆均外切时,,
    所以,
    则点的轨迹为双曲线的上支,设轨迹方程为,
    则,
    则,
    所以轨迹方程为.
    故答案为:.
    14.如图所示,为完成一项探月工程,某月球探测器飞行到月球附近时,首先在以月球球心F为圆心的圆形轨道Ⅰ上绕月球飞行,然后在P点处变轨进入以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月球飞行,最后在Q点处变轨进入以F为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月球飞行,设圆形轨道Ⅰ的半径为R,圆形轨道Ⅲ的半径为r,则椭圆轨道Ⅱ的离心率为 .(用R、r表示)
    【答案】
    【分析】由题设可得即可求出椭圆参数,根据离心率定义求椭圆轨道Ⅱ的离心率.
    【详解】由F为椭圆轨道Ⅱ的焦点,若分别为长轴长、焦距,则,故,
    所以椭圆轨道Ⅱ的离心率为.
    故答案为:
    15.正项数列中,为数列的前n项和,且对任意满足.若k,,且,则的最大值为 .
    【答案】18
    【分析】利用递推关系求出,再利用条件确定对应范围,最后确定最值取法.
    【详解】由题意可知正项数列中,为数列的前n项和,且对任意满足,①,
    当时, ,解得,
    当时, ,②,
    得:,整理得,
    由于数列为正项数列,故,
    所以以为首项,2为公差的等差数列,
    即,
    所以,
    又k,,且,即,整理可得
    ,
    ,
    当时,;
    当时,;
    当时,;
    当时,;
    当时,,
    当时,;
    所以时,或时, 最大,
    所以的最大值为18,
    故答案为:18
    16.已知数列满足,若,则 ;若,,,,则当时,满足条件的的所有项组成的集合为 .
    【答案】
    【分析】利用等比数列的求和公式可求得;由已知可得出,根据,可得出的取值范围,即可得出满足条件的的取值集合.
    【详解】因为,

    当时,,所以,,
    又因为,所以,,,
    所以,,即,
    因为,所以,满足条件的的取值集合为.
    故答案为:;.
    四、解答题
    17.设数列满足.
    (1)求的通项公式;
    (2)求数列的前项和.
    【答案】(1)
    (2)
    【分析】(1)利用数列的递推关系可解,注意验证当时,是否满足上式;
    (2)利用错位相减法求和即可.
    【详解】(1)当时,,
    因为①,
    当时,②,
    ①②得,,
    所以,
    当时,,满足上式,
    故数列的通项公式为.
    (2)由(1)知,,记的前项和为,
    则,
    所以
    ④③得,,
    所以数列的前项和为.
    18.已知抛物线的焦点为F,过点的直线l交抛物线于M,N两点,点A到C的准线的距离为3.
    (1)求抛物线C的方程;
    (2)若的面积为,求直线l的方程.
    【答案】(1);(2).
    【分析】(1)由抛物线的性质即可求解.
    (2)联立直线方程和抛物线方程,再根据韦达定理和弦长公式,得到MN的长度,再由点到直线距离公式,求出三角形的高,即可求解.
    【详解】解:(1)由抛物线,得其准线方程为,
    因为点到准线的距离为3.所以,解得,
    所以抛物线方程为.
    (2)由(1)得,
    设直线l的方程为,
    联立消去y得,
    设,
    由韦达定理知,
    所以,
    因为,所以F到直线l的距离,
    所以的面积,
    所以,解得,
    所以直线l的方程为.
    19.某市为改善市民出行,大力发展轨道交通建设,规划中的轨道交通s号线线路示意图如图所示,已知M、N是东西方向主干道边两个景点,P、Q是南北方向主干道边两个景点,四个景点距离城市中心O均为,线路AB段上的任意一点N到景点M的距离比到景点的距离都多6km,线路BC段上任意一点到O的距离都相等,线路CD段上的任意一点到景点Q的距离比到景点P的距离都多6km,以O为原点建立平面直角坐标系xOy.
    (1)求轨道交通s号线线路示意图所在曲线的方程;
    (2)规划中的线路AB段上需建一站点G到景点Q的距离最近,问如何设置站点G位置?
    【答案】(1);(2).
    【分析】(1)由题意结合双曲线即圆的定义可得轨道交通s号线线路示意图所在曲线的方程;
    (2),由,写出两点间的距离,化为关于的函数,利用配方法求最值.
    【详解】解:(1)∵线路段上的任意一点到N景点的距离比到景点M的距离都多6,
    ∴线路段所在的的曲线是以定点M,N为左右焦点的双曲线的左支,
    则其方程为;
    ∵线路段上任意一点到O的距离都相等,
    ∴线路段所在的曲线是以O为圆心,以为半径的圆,
    则其方程为;
    ∵线路段上的任意一点到景点Q的距离比到景点P的距离都多6,
    ∴线路段所在的曲线是以定点Q,P为上下焦点的双曲线的下支,
    则其方程为.
    故轨道交通s号线线路示意图所在曲线的方程为;
    (2)设,由,则,
    由(1)得,,即.
    则.
    ∴当时,.
    则站点为时,站点G到景点Q的距离最近.
    【点睛】本题考查轨迹方程的求法,训练了利用配方法求最值,考查运算求解能力,是中档题.
    20.记为等比数列的前n项和,.
    (1)若,求的值;
    (2)若,求证:.
    【答案】(1)60;
    (2)证明见解析.
    【分析】(1)根据等比数列前项和的性质列方程求得,然后可得;
    (2)利用等比数列前项和的性质求出,然后整理变形即可得证.
    【详解】(1)设等比数列的公比为q,
    因为,所以,
    ,所以,
    故,,成等比数列,且公比为,
    所以,
    整理得,
    因为,故,
    解得,
    所以.
    (2)因为,所以,由(1)知,,
    因为数列是以为首项,为公比的等比数列,
    所以
    又,

    所以
    21.已知数列:,,…,.如果数列:,,满足,,其中,则称为的“衍生数列”.
    (1)若数列:,,,的“衍生数列”是:5,,7,2,求;
    (2)若为偶数,且的“衍生数列”是,证明:的“衍生数列”是;
    (3)若为奇数,且的“衍生数列”是,的“衍生数列”是,…依次将数列,,,…第()项取出,构成数列:,,….求证:是等差数列.
    【答案】(1)2,1,4,5
    (2)证明见解析
    (3)证明见解析
    【分析】(1)根据题意中的新定义,列出关于的方程,解之即可;
    (2)由题意得,进而,,将上式n个等式中的第2,4,6,这个式子都乘以-1,相加得,结合“衍生数列”的定义即可求解;
    (3)设数列中后者是前者的“衍生数列”.欲证数列成等差数列,只需证明成等差数列,只需证即可.
    【详解】(1)由题意知,

    解得,
    所以;
    (2)由,得,
    所以,,
    由于n为偶数,将上式n个等式中的第2,4,6,,这个式子都乘以-1,相加得

    即,所以,
    又,,
    根据“衍生数列”的定义知,数列是的“衍生数列”;
    (3)设数列中后者是前者的“衍生数列”.
    欲证数列成等差数列,只需证明成等差数列,
    即只要证明即可.
    由(2)知,

    所以,即成等差数列,
    所以成等差数列.
    22.己知椭圆经过点.
    (1)求椭圆的标准方程;
    (2)过点的直线交该椭圆于C,D两点(点C在点D的上方),椭圆的上、下顶点分别为A,B,直线与直线交于点Q.证明:点Q在定直线上.
    【答案】(1)
    (2)证明见解析
    【分析】(1)代入点的坐标可得方程;
    (2)方法一联立方程,求出可得答案;方法二结合转化可得答案;方法三利用点的坐标代入方程进行转化,结合韦达定理可得答案.
    【详解】(1)∵椭圆过点M,∴,
    ∵,∴,
    ∴椭圆的标准方程为.
    (2)方法一:设直线l的方程为,,,,
    ,,
    ∴直线方程为:,直线方程:.
    联立,方程可得
    ,∴.
    ∴点Q在定直线上运动.
    方法二:和差转化
    由方法一可得,
    ∴,
    ∴.
    方法三:点代平方差
    ∵D在椭圆上,∴,∴


    ∴.
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