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吉林省白城市第一中学2025届高三上学期开学考试数学试题（原卷版+解析版）
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一、单选题（共8小题）
1. 已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，若对任意恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数在时的解析式及函数的奇偶性画出函数的图像，再根据知，函数的图像在函数图像的下方，进而得关于a的一元二次不等式，从而得出结论.
【详解】
当时，，由是奇函数，可作出的图象如下．
又对任意恒成立，所以的图象恒在的图象的下方，
即将的图象向右平移1个单位长度后得到的图象恒在的图象的下方，
如图所示，所以，解得．
故选：B．
2. 已知函数和的定义域及值域均为，它们的图像如图所示，则函数的零点的个数为（ ）
A. 2B. 3C. 5D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】根据函数的零点，再结合图形即可求解.
【详解】由题意，知函数零点，即方程根.
令，，则.
当时，满足方程的有2个，此时有4个不同的实数根；
当时，满足方程的有1个，此时有2个不同的实数根.
综上可知方程共有6个实数根，即函数共有6个零点.
故选：D
3. 已知函数，若存在，使，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先画图象，结合图象判断，再利用图象判断时的值域，即得结果.
【详解】作出的大致图象如图，交点横坐标，自左向右依次排列，
由图可知，关于轴对称，，即，则.
由图象知，时，，
所以.
故选:B.
4. 已知函数恒有零点，则实数k的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】函数有零点转化为方程恒有解，换元后化为方程恒有解，令，利用导数求出函数的最大值，即可求解.
【详解】令
得：，
令，则，
，
即，
，
令，
则，
由恒成立知，
当时，， 单调递增，
当时，， 单调递减，
时，，
时方程恒有根，
即，
故选：D
5. 已知函数是定义在上的偶函数，其导函数为，若，且是偶函数，，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. 0,+∞D.
【答案】A
【解析】
【分析】由函数是定义在上的偶函数，是偶函数可得是周期为4的周期函数，令，然后利用gx的单调性可解出不等式.
【详解】因为函数是定义在上的偶函数，是偶函数，
所以，即是周期为4的周期函数，
所以，
令，则，因为，所以，
所以gx在上单调递减，
由可得，即，所以，
故选：A.
6. 已知定义域为的函数的导函数为，且，若，则函数的零点个数为（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】由，构造函数，根据，求得，进而得到，利用导数法求解.
【详解】因为，
所以，
则，
所以，即，
因为，
所以，解得，
所以，
则，
所以，
当或时，，当时，，
所以当时，函数取得极大值，
当时，函数取得极小值，
又当时，，
所以函数的零点个数为1，
故选：B
7. 已知数列满足，给出以下结论，正确的个数是（ ）
①；②；③存在无穷多个,使；④
A. 4B. 3C. 2D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】归纳猜想可说明①正确③错误，利用放缩法可证明，从而，可证明②正确，由得，可知，累加法可证明④正确.
【详解】，,，则单调递增且大于0， 所以单调递增，所以 ，即故①正确；
令，则，所以在0,+∞上单调递增，且当且仅当时，，所以，即.因为，且，，故②正确；
，，，由归纳法可知，，故不存在无穷多个,使，故③错误；
由得，，累加可得：可知④正确.
故选：B.
8. 当x∈（0，+∞）时，若关于x的方程有两解（e是自然对数的底数），则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】将题设方程有解转化为在上有两个正根，构造并应用导数研究单调性及值域，进而可求a的范围.
【详解】当时，若关于的方程有两解，等价于有两个正根，即有两个正根，
设，，则，而；
当时，，f(x)单调递增；当时，，f(x)单调递减，
∴，且时，；时，，
∴f(x)与在时有两个交点，
∴实数的取值范围是，
故选：C .
二、多选题（共3小题）
（2023·黑龙江省齐齐哈尔市第一中学月考）
9. 已知是定义域为R的奇函数，且为偶函数．当时，，下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】对于A，利用的奇偶性得到，代入即可求得，由此判断即可；
对于BC，利用的奇偶性与换元法得到，进而得到，从而利用赋值法即可得解；
对于D，由选项BC中的结论可推得是周期函数，进而推得，从而得以判断.
【详解】对于A，因为是定义域为R的奇函数，所以，
又因为当时，，
所以，解得，
所以，，故A错误；
对于B，因为为偶函数，所以，
令，则，所以，
令，则，故B正确；
对于C，因为，所以，
令，则，故C正确；
对于D，因为，所以，
所以是的周期函数，则，
令，则由得，
故，
所以由的周期性可知，，
所以，故D错误.
故选：BC.
10. 已知符号函数，下列说法正确的是（ ）
A. 函数是奇函数
B. 对任意的，
C. 对任意的，
D. 的值域为
【答案】AC
【解析】
【分析】由已知结合函数奇偶性、单调性和定义及指数函数的性质分别检验各项即可判断
【详解】解：对于A，当时，，则；当时，，则，当时，，所以函数是奇函数，所以A正确；
对于B，当时，，则，所以B错误；
对于C，因为，所以，所以C正确；
对于D，因为，其值域为，所以D错误，
故选：AC
11. 已知定义域为的函数的图象连续不断，且，，当x∈0,+∞时，，若，则实数的取值可以为（ ）
A. －1B. C. D. 1
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用已知条件得到，构造函数，利用已知条件得到函数为奇函数且函数在0,+∞上单调递减，可得函数在上单调递减，所给的不等式转化为，利用单调性求解即可.
【详解】依题意可得：，故，
令，则，所以函数为奇函数，
，因为当x∈0,+∞时，，
即当x∈0,+∞时，，
故在0,+∞上单调递减，由为奇函数可知，在上单调递减，
因为，
故，
即，故，故，
故实数的取值范围为.
由选项可知：BCD正确；
故选：BCD.
三、填空题（共5小题）
（2023·安徽省滁州市期中联考）
12. 若，则最小值为__________.
【答案】2
【解析】
【分析】化简已知式为，再由基本不等式先求出的最小值，即可得出答案.
【详解】由，可得，
则两边同除以，得，
又因为，
当且仅当，即或时等号成立，
所以.
故答案为：2
13. 设，对任意实数x，用fx表示中的较小者．若函数至少有3个零点，则的取值范围为______.
【答案】
【解析】
【分析】设，，分析可知函数至少有一个零点，可得出，求出的取值范围，然后对实数的取值范围进行分类讨论，根据题意可得出关于实数的不等式，综合可求得实数的取值范围.
【详解】设，，由可得.
要使得函数至少有个零点，则函数至少有一个零点，则，
解得或.
①当时，，作出函数、的图象如下图所示：
此时函数只有两个零点，不合乎题意；
②当时，设函数的两个零点分别为、，
要使得函数至少有个零点，则，
所以，，解得；
③当时，，作出函数、的图象如下图所示：
由图可知，函数的零点个数为，合乎题意；
④当时，设函数的两个零点分别为、，
要使得函数至少有个零点，则，
可得，解得，此时.
综上所述，实数的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
14. 定义域为的奇函数，当时，，则关于的方程所有根之和为，则实数的值为________
【答案】##
【解析】
【分析】由题意，作函数y=fx与的图象，根据对称性结合，从而可得，进而可解.
【详解】由题意，作函数y=fx与的图象如下，
结合图象，
设函数的零点分别为，
则，，即，
故，
∵关于的方程所有根之和为，
∴．
故答案为：.
15. 已知定义在R上的偶函数和奇函数满足，且对任意的，恒成立，则实数的取值范围是___________.
【答案】
【解析】
【分析】由，再根据函数的奇偶性得，两式联立可得，再由参变分离法得在上恒成立，判断函数的单调性与最小值，即可求解.
【详解】函数满足①，所以，由函数的奇偶性可得，②，由①②得，，因为对任意的，恒成立，即对任意的，恒成立，令，则函数在上为减函数，所以，所以.
故答案为：
16. 设函数（其中为自然对数的底数），若存在实数使得恒成立，则实数的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】由题意可得，令，函数和函数的图象，一个在直线上方，一个在直线下方，等价于一个函数的最小值大于另一个函数的最大值，即可得出答案．
【详解】函数的定义域为，
由，得，所以，
令，
由题意知，函数和函数的图象，一个在直线上方，一个在直下方，等价于一个函数的最小值大于另一个函数的最大值，
由，得，
所以当时，单调递增，
当时，单调递减，
所以，没有最小值，
由，得，
当时，在上单调递增，
在上单调递减，
所以有最大值，无最小值，不合题意，
当时，在上单调递减，
在上单调递增，
所以，
所以即，
所以，即的取值范围为．
故答案为：.
【点睛】本题考查了利用导数求参数的取值范围问题，其中涉及到利用导数求函数的最值问题，难度较大.构造函数是求解导数问题的常用方法.
四、解答题（共6小题）
(2023·济南模拟)
17. 已知函数.
（1）当时，求在上的最大值；
（2）当时，，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求导，得到导函数在上恒大于等于0，从而得到函数最值；
（2）先由特殊点的函数值和导函数值，确定，再证明其充分性，从而得到的取值范围.
【小问1详解】
当时，，
，
当时，，
所以在上单调递增，所以.
【小问2详解】
注意到，，则，
若，，由（1）知，当时，；
当时，，
所以恒成立，符合题意；
若，，
当时，，不合题意；
若，因为时，，
所以在上单调递增，
因，又，
所以存在，，
当时，，
在上单调递减，，不合题意；
综上，，的取值范围是.
【点睛】导函数求解函数的取值范围题目，先由特殊点的函数值或导函数的值确定参数的取值范围，即必要性探究，再证明其充分性成立，这是求解参数取值范围的一种常用思路.
18. 某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额x成正比，且投资1万元时的收益为万元，投资股票等风险型产品的收益与投资额x的算术平方根成正比，且投资1万元时的收益为0.5万元．
（1）分别写出两种产品的收益与投资额的函数关系；
（2）该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎样分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益为多少万元？
【答案】（1），，；
（2）投资债券等稳健型产品为16万元，投资股票等风险型产品为4万元，投资收益最大为3万元．
【解析】
【分析】（1）根据题目中的正比关系设出函数解析式，代入已知数据求出系数即可；
（2）设投资股票等风险型产品为x万元，则投资债券等稳健型产品为万元，列出收益的算式，利用配方法求收益的最大值.
【小问1详解】
依题意设，由，得；
设，由，得.
【小问2详解】
设投资股票等风险型产品为x万元，则投资债券等稳健型产品为万元，
，∵，
当，万元时，收益最大万元，
故20万元资金，投资债券等稳健型产品为16万元，投资股票等风险型产品为4万元，
投资收益最大为3万元．
（2023·江苏省盐城市联盟五校第一次学情调研）
19. 已知函数，.
（1）当时，
（i）求曲线在点处的切线方程；
（ii）求的单调区间及在区间上的最值；
（2）若对，恒成立，求a的取值范围.
【答案】（1）（i）；（ii）答案见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）（i）求出，求导得到，由点斜式写出切线方程；
（ii）求导，得到函数单调性，进而得到函数的极值，最值情况；
（2）变形为对恒成立问题，令，求导得到其单调性，并画出函数图象，求出恒过点，且在处切线方程为，刚好在切线上，结合图象在上方，再由图象及直线斜率得到不等式，求出a的取值范围.
【小问1详解】
（i）当时，，，
，，
故曲线在点处的切线方程为，
即；
（ii），，
，
令，解得，令，解得，
当时，，
又，，
其中，
故，
故的单调递增区间为，单调递减区间为；
在区间上的最大值为，最小值为；
【小问2详解】
，
对，恒成立，
变形为对恒成立，
令，则，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
其中，，当时，恒成立，
故画出的图象如下：
其中恒过点，
又，故在处的切线方程为，
又在上，
结合图象可得此时在上方，
另外由图象可知当的斜率为0时，满足要求，当的斜率小于0时，不合要求，
故要想满足，需要，
解得，
a的取值范围是
【点睛】对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件.
20. 已知二次函数.
（1）若该二次函数有两个互为相反数的零点，解不等式；
（2）若关于x的方程的两个实根均大于且小于4，求实数t的取值范围．
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【分析】（1）设二次函数的两个零点分别为，，由求出t，直接解得；
（2）由根的分布情况列不等式组，求出实数t的取值范围．
【小问1详解】
设二次函数的两个零点分别为，，
由已知得，
而，所以，故，
不等式即，解得或，
故不等式的解集为或.
【小问2详解】
因为方程的两个实根均大于且小于4，所以，即，
解得：，即实数t的取值范围为.
21. 已知函数．
（1）试讨论函数的单调性；
（2）证明：当时，恒成立．
【答案】（1）答案见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）求出函数的定义域，以及，分、两种情况讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数的增区间和减区间；
（2）当时，可得出，要证原不等式成立，即证不等式恒成立，令，即证，令，利用导数法证得即可证得结论成立.
【小问1详解】
解：函数的定义域为，
则．
当时，，此时，函数的增区间为，无减区间；
当时，令，可得，列表如下：
此时，函数的增区间为，减区间为．
综上，当时，函数的增区间为，无减区间；
当时，函数的增区间为，减区间为．
【小问2详解】
证明：当时，恒成立，
即当时，恒成立．
又，，所以，，
故只需证明：不等式恒成立．
令，则，上述不等式等价于．
令，则．
又，当且仅当时，即当时，等号成立，
所以，，
令，可得，令，可得，
所以，函数在上单调递减，在上单调递增，则，
所以，对任意的恒成立，
所以，当时，恒成立，
即当时，恒成立．
【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：
（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化证明（或），进而构造辅助函数；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
22. 已知函数.
（1）求在处的切线方程；
（2）若是的最大的极大值点，求证：.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）求导，根据导数值即可求解，
（2）先对上考虑导函数的正负确定单调性，进而考虑上导函数的正负，结合零点存在性定理即可确定函数的极值点求证.
【小问1详解】
∵，∴
又，所以在处的切线方程为，
【小问2详解】
由（1）得，所以，
当时，，所以在无极大值点.
当时，令，则在上单调递增，
又，，
所以存在，使得，即，
当时，，单调递减；当时，，单调递增.
又，，
所以当时，，即，
所以是的极小值点，在内无极大值点
∵，，
所以存在，使得，即，即，
当时，；当时，，
所以是的极大值点，也是的最大的极大值点.
因为在上单调递减，所以，
.
所以
【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤
(1)作差或变形；
(2)构造新的函数；
(3)利用导数研究的单调性或最值；
(4)根据单调性及最值，得到所证不等式．
单调递增
极大值
单调递减
一、单选题（共8小题）
1. 已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，若对任意恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数在时的解析式及函数的奇偶性画出函数的图像，再根据知，函数的图像在函数图像的下方，进而得关于a的一元二次不等式，从而得出结论.
【详解】
当时，，由是奇函数，可作出的图象如下．
又对任意恒成立，所以的图象恒在的图象的下方，
即将的图象向右平移1个单位长度后得到的图象恒在的图象的下方，
如图所示，所以，解得．
故选：B．
2. 已知函数和的定义域及值域均为，它们的图像如图所示，则函数的零点的个数为（ ）
A. 2B. 3C. 5D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】根据函数的零点，再结合图形即可求解.
【详解】由题意，知函数零点，即方程根.
令，，则.
当时，满足方程的有2个，此时有4个不同的实数根；
当时，满足方程的有1个，此时有2个不同的实数根.
综上可知方程共有6个实数根，即函数共有6个零点.
故选：D
3. 已知函数，若存在，使，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先画图象，结合图象判断，再利用图象判断时的值域，即得结果.
【详解】作出的大致图象如图，交点横坐标，自左向右依次排列，
由图可知，关于轴对称，，即，则.
由图象知，时，，
所以.
故选:B.
4. 已知函数恒有零点，则实数k的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】函数有零点转化为方程恒有解，换元后化为方程恒有解，令，利用导数求出函数的最大值，即可求解.
【详解】令
得：，
令，则，
，
即，
，
令，
则，
由恒成立知，
当时，， 单调递增，
当时，， 单调递减，
时，，
时方程恒有根，
即，
故选：D
5. 已知函数是定义在上的偶函数，其导函数为，若，且是偶函数，，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. 0,+∞D.
【答案】A
【解析】
【分析】由函数是定义在上的偶函数，是偶函数可得是周期为4的周期函数，令，然后利用gx的单调性可解出不等式.
【详解】因为函数是定义在上的偶函数，是偶函数，
所以，即是周期为4的周期函数，
所以，
令，则，因为，所以，
所以gx在上单调递减，
由可得，即，所以，
故选：A.
6. 已知定义域为的函数的导函数为，且，若，则函数的零点个数为（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】由，构造函数，根据，求得，进而得到，利用导数法求解.
【详解】因为，
所以，
则，
所以，即，
因为，
所以，解得，
所以，
则，
所以，
当或时，，当时，，
所以当时，函数取得极大值，
当时，函数取得极小值，
又当时，，
所以函数的零点个数为1，
故选：B
7. 已知数列满足，给出以下结论，正确的个数是（ ）
①；②；③存在无穷多个,使；④
A. 4B. 3C. 2D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】归纳猜想可说明①正确③错误，利用放缩法可证明，从而，可证明②正确，由得，可知，累加法可证明④正确.
【详解】，,，则单调递增且大于0， 所以单调递增，所以 ，即故①正确；
令，则，所以在0,+∞上单调递增，且当且仅当时，，所以，即.因为，且，，故②正确；
，，，由归纳法可知，，故不存在无穷多个,使，故③错误；
由得，，累加可得：可知④正确.
故选：B.
8. 当x∈（0，+∞）时，若关于x的方程有两解（e是自然对数的底数），则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】将题设方程有解转化为在上有两个正根，构造并应用导数研究单调性及值域，进而可求a的范围.
【详解】当时，若关于的方程有两解，等价于有两个正根，即有两个正根，
设，，则，而；
当时，，f(x)单调递增；当时，，f(x)单调递减，
∴，且时，；时，，
∴f(x)与在时有两个交点，
∴实数的取值范围是，
故选：C .
二、多选题（共3小题）
（2023·黑龙江省齐齐哈尔市第一中学月考）
9. 已知是定义域为R的奇函数，且为偶函数．当时，，下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】对于A，利用的奇偶性得到，代入即可求得，由此判断即可；
对于BC，利用的奇偶性与换元法得到，进而得到，从而利用赋值法即可得解；
对于D，由选项BC中的结论可推得是周期函数，进而推得，从而得以判断.
【详解】对于A，因为是定义域为R的奇函数，所以，
又因为当时，，
所以，解得，
所以，，故A错误；
对于B，因为为偶函数，所以，
令，则，所以，
令，则，故B正确；
对于C，因为，所以，
令，则，故C正确；
对于D，因为，所以，
所以是的周期函数，则，
令，则由得，
故，
所以由的周期性可知，，
所以，故D错误.
故选：BC.
10. 已知符号函数，下列说法正确的是（ ）
A. 函数是奇函数
B. 对任意的，
C. 对任意的，
D. 的值域为
【答案】AC
【解析】
【分析】由已知结合函数奇偶性、单调性和定义及指数函数的性质分别检验各项即可判断
【详解】解：对于A，当时，，则；当时，，则，当时，，所以函数是奇函数，所以A正确；
对于B，当时，，则，所以B错误；
对于C，因为，所以，所以C正确；
对于D，因为，其值域为，所以D错误，
故选：AC
11. 已知定义域为的函数的图象连续不断，且，，当x∈0,+∞时，，若，则实数的取值可以为（ ）
A. －1B. C. D. 1
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用已知条件得到，构造函数，利用已知条件得到函数为奇函数且函数在0,+∞上单调递减，可得函数在上单调递减，所给的不等式转化为，利用单调性求解即可.
【详解】依题意可得：，故，
令，则，所以函数为奇函数，
，因为当x∈0,+∞时，，
即当x∈0,+∞时，，
故在0,+∞上单调递减，由为奇函数可知，在上单调递减，
因为，
故，
即，故，故，
故实数的取值范围为.
由选项可知：BCD正确；
故选：BCD.
三、填空题（共5小题）
（2023·安徽省滁州市期中联考）
12. 若，则最小值为__________.
【答案】2
【解析】
【分析】化简已知式为，再由基本不等式先求出的最小值，即可得出答案.
【详解】由，可得，
则两边同除以，得，
又因为，
当且仅当，即或时等号成立，
所以.
故答案为：2
13. 设，对任意实数x，用fx表示中的较小者．若函数至少有3个零点，则的取值范围为______.
【答案】
【解析】
【分析】设，，分析可知函数至少有一个零点，可得出，求出的取值范围，然后对实数的取值范围进行分类讨论，根据题意可得出关于实数的不等式，综合可求得实数的取值范围.
【详解】设，，由可得.
要使得函数至少有个零点，则函数至少有一个零点，则，
解得或.
①当时，，作出函数、的图象如下图所示：
此时函数只有两个零点，不合乎题意；
②当时，设函数的两个零点分别为、，
要使得函数至少有个零点，则，
所以，，解得；
③当时，，作出函数、的图象如下图所示：
由图可知，函数的零点个数为，合乎题意；
④当时，设函数的两个零点分别为、，
要使得函数至少有个零点，则，
可得，解得，此时.
综上所述，实数的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
14. 定义域为的奇函数，当时，，则关于的方程所有根之和为，则实数的值为________
【答案】##
【解析】
【分析】由题意，作函数y=fx与的图象，根据对称性结合，从而可得，进而可解.
【详解】由题意，作函数y=fx与的图象如下，
结合图象，
设函数的零点分别为，
则，，即，
故，
∵关于的方程所有根之和为，
∴．
故答案为：.
15. 已知定义在R上的偶函数和奇函数满足，且对任意的，恒成立，则实数的取值范围是___________.
【答案】
【解析】
【分析】由，再根据函数的奇偶性得，两式联立可得，再由参变分离法得在上恒成立，判断函数的单调性与最小值，即可求解.
【详解】函数满足①，所以，由函数的奇偶性可得，②，由①②得，，因为对任意的，恒成立，即对任意的，恒成立，令，则函数在上为减函数，所以，所以.
故答案为：
16. 设函数（其中为自然对数的底数），若存在实数使得恒成立，则实数的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】由题意可得，令，函数和函数的图象，一个在直线上方，一个在直线下方，等价于一个函数的最小值大于另一个函数的最大值，即可得出答案．
【详解】函数的定义域为，
由，得，所以，
令，
由题意知，函数和函数的图象，一个在直线上方，一个在直下方，等价于一个函数的最小值大于另一个函数的最大值，
由，得，
所以当时，单调递增，
当时，单调递减，
所以，没有最小值，
由，得，
当时，在上单调递增，
在上单调递减，
所以有最大值，无最小值，不合题意，
当时，在上单调递减，
在上单调递增，
所以，
所以即，
所以，即的取值范围为．
故答案为：.
【点睛】本题考查了利用导数求参数的取值范围问题，其中涉及到利用导数求函数的最值问题，难度较大.构造函数是求解导数问题的常用方法.
四、解答题（共6小题）
(2023·济南模拟)
17. 已知函数.
（1）当时，求在上的最大值；
（2）当时，，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求导，得到导函数在上恒大于等于0，从而得到函数最值；
（2）先由特殊点的函数值和导函数值，确定，再证明其充分性，从而得到的取值范围.
【小问1详解】
当时，，
，
当时，，
所以在上单调递增，所以.
【小问2详解】
注意到，，则，
若，，由（1）知，当时，；
当时，，
所以恒成立，符合题意；
若，，
当时，，不合题意；
若，因为时，，
所以在上单调递增，
因，又，
所以存在，，
当时，，
在上单调递减，，不合题意；
综上，，的取值范围是.
【点睛】导函数求解函数的取值范围题目，先由特殊点的函数值或导函数的值确定参数的取值范围，即必要性探究，再证明其充分性成立，这是求解参数取值范围的一种常用思路.
18. 某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额x成正比，且投资1万元时的收益为万元，投资股票等风险型产品的收益与投资额x的算术平方根成正比，且投资1万元时的收益为0.5万元．
（1）分别写出两种产品的收益与投资额的函数关系；
（2）该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎样分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益为多少万元？
【答案】（1），，；
（2）投资债券等稳健型产品为16万元，投资股票等风险型产品为4万元，投资收益最大为3万元．
【解析】
【分析】（1）根据题目中的正比关系设出函数解析式，代入已知数据求出系数即可；
（2）设投资股票等风险型产品为x万元，则投资债券等稳健型产品为万元，列出收益的算式，利用配方法求收益的最大值.
【小问1详解】
依题意设，由，得；
设，由，得.
【小问2详解】
设投资股票等风险型产品为x万元，则投资债券等稳健型产品为万元，
，∵，
当，万元时，收益最大万元，
故20万元资金，投资债券等稳健型产品为16万元，投资股票等风险型产品为4万元，
投资收益最大为3万元．
（2023·江苏省盐城市联盟五校第一次学情调研）
19. 已知函数，.
（1）当时，
（i）求曲线在点处的切线方程；
（ii）求的单调区间及在区间上的最值；
（2）若对，恒成立，求a的取值范围.
【答案】（1）（i）；（ii）答案见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）（i）求出，求导得到，由点斜式写出切线方程；
（ii）求导，得到函数单调性，进而得到函数的极值，最值情况；
（2）变形为对恒成立问题，令，求导得到其单调性，并画出函数图象，求出恒过点，且在处切线方程为，刚好在切线上，结合图象在上方，再由图象及直线斜率得到不等式，求出a的取值范围.
【小问1详解】
（i）当时，，，
，，
故曲线在点处的切线方程为，
即；
（ii），，
，
令，解得，令，解得，
当时，，
又，，
其中，
故，
故的单调递增区间为，单调递减区间为；
在区间上的最大值为，最小值为；
【小问2详解】
，
对，恒成立，
变形为对恒成立，
令，则，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
其中，，当时，恒成立，
故画出的图象如下：
其中恒过点，
又，故在处的切线方程为，
又在上，
结合图象可得此时在上方，
另外由图象可知当的斜率为0时，满足要求，当的斜率小于0时，不合要求，
故要想满足，需要，
解得，
a的取值范围是
【点睛】对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件.
20. 已知二次函数.
（1）若该二次函数有两个互为相反数的零点，解不等式；
（2）若关于x的方程的两个实根均大于且小于4，求实数t的取值范围．
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【分析】（1）设二次函数的两个零点分别为，，由求出t，直接解得；
（2）由根的分布情况列不等式组，求出实数t的取值范围．
【小问1详解】
设二次函数的两个零点分别为，，
由已知得，
而，所以，故，
不等式即，解得或，
故不等式的解集为或.
【小问2详解】
因为方程的两个实根均大于且小于4，所以，即，
解得：，即实数t的取值范围为.
21. 已知函数．
（1）试讨论函数的单调性；
（2）证明：当时，恒成立．
【答案】（1）答案见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）求出函数的定义域，以及，分、两种情况讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数的增区间和减区间；
（2）当时，可得出，要证原不等式成立，即证不等式恒成立，令，即证，令，利用导数法证得即可证得结论成立.
【小问1详解】
解：函数的定义域为，
则．
当时，，此时，函数的增区间为，无减区间；
当时，令，可得，列表如下：
此时，函数的增区间为，减区间为．
综上，当时，函数的增区间为，无减区间；
当时，函数的增区间为，减区间为．
【小问2详解】
证明：当时，恒成立，
即当时，恒成立．
又，，所以，，
故只需证明：不等式恒成立．
令，则，上述不等式等价于．
令，则．
又，当且仅当时，即当时，等号成立，
所以，，
令，可得，令，可得，
所以，函数在上单调递减，在上单调递增，则，
所以，对任意的恒成立，
所以，当时，恒成立，
即当时，恒成立．
【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：
（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化证明（或），进而构造辅助函数；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
22. 已知函数.
（1）求在处的切线方程；
（2）若是的最大的极大值点，求证：.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）求导，根据导数值即可求解，
（2）先对上考虑导函数的正负确定单调性，进而考虑上导函数的正负，结合零点存在性定理即可确定函数的极值点求证.
【小问1详解】
∵，∴
又，所以在处的切线方程为，
【小问2详解】
由（1）得，所以，
当时，，所以在无极大值点.
当时，令，则在上单调递增，
又，，
所以存在，使得，即，
当时，，单调递减；当时，，单调递增.
又，，
所以当时，，即，
所以是的极小值点，在内无极大值点
∵，，
所以存在，使得，即，即，
当时，；当时，，
所以是的极大值点，也是的最大的极大值点.
因为在上单调递减，所以，
.
所以
【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤
(1)作差或变形；
(2)构造新的函数；
(3)利用导数研究的单调性或最值；
(4)根据单调性及最值，得到所证不等式．
单调递增
极大值
单调递减
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