2024年中考数学二次函数训练专题-压轴题专题（八）（试题+解析）

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（1）求这条抛物线的函数解析式；
（2）已知直线l是过点C(0，－3)且垂直于y轴的定直线，若抛物线上的任意一点P(m，n)到直线l的距离为d，求证：PF＝d；
（3）已知坐标平面内的点D(4，3)，请在抛物线上找一点Q，使△DFQ的周长最小，并求此时 △ DFQ周长的最小值及点Q的坐标．
2．如图，抛物线过点A（0，1）和C，顶点为D，直线AC与抛物线的对称轴BD的交点为B（ 3 ，0），平行于y轴的直线EF与抛物线交于点E，与直线AC交于点F，点F的横坐标为 433 ，四边形BDEF为平行四边形．
（1）求点F的坐标及抛物线的解析式；
（2）若点P为抛物线上的动点，且在直线AC上方，当△PAB面积最大时，求点P的坐标及△PAB面积的最大值；
（3）在抛物线的对称轴上取一点Q，同时在抛物线上取一点R，使以AC为一边且以A，C，Q，R为顶点的四边形为平行四边形，求点Q和点R的坐标．
3．如图，抛物线 y=−12x2+bx+c 与 x 轴交于点 A(−1,0) 和点 B(4,0) ，与y轴交于点C，连接 BC ，点P是线段 BC 上的动点（与点 B,C 不重合），连接 AP 并延长 AP 交抛物线于点Q，连接 CQ,BQ ，设点Q的横坐标为m．
（1）求抛物线的解析式和点C的坐标；
（2）当 △BCQ 的面积等于2时，求m的值；
（3）在点P运动过程中， PQAP 是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．
4．如图，已知二次函数y =ax2+bx +c(a≠0)的图象与x轴交于A(1 ，0) ，B(4，0)两点，与y轴交于点C，直线 y=−12x+2 经过B，C两点.
（1）直接写出二次函数的解析式 ；
（2）平移直线BC，当直线BC与抛物线有唯一公共点Q时，求此时点Q的坐标；
（3）过（2）中的点Q作QE // y轴，交x轴于点E.若点M是抛物线上一个动点，点N是x轴上一个动点.是否存在以E，M，N三点为顶点的直角三角形(其中M为直角顶点)与△BOC相似?如果存在，请直接写出满足条件的点M的个数和其中一个符合条件的点M的坐标；如果不存在，请说明理由.
5．如图，已知抛物线y= 12 x2+bx+c与x轴相交于A(-6，0)，B(1，0)，与y轴相交于点C，直线l⊥AC，垂足为C。
（1）求该抛物线的表达式；
（2）若直线I与该抛物线的另一个交点为D，求点D的坐标；
（3）设动点P(m，n)在该抛物线上，当∠PAC=45°时，求m的值。
6．如图，抛物线 y=ax2+bx−4 经过A（－3，6），B（5，－4）两点，与y轴交于点C，连接AB，AC，BC.
（1）求抛物线的表达式；
（2）求证：AB平分 ∠CAO ；
（3）抛物线的对称轴上是否存在点M，使得 ΔABM 是以AB为直角边的直角三角形.若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.
7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=−x2+bx+c 与x轴交于点 A,B ，与y轴交于点C，且直线 y=x−6 过点B，与y轴交于点D，点C与点D关于x轴对称．点P是线段 OB 上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，交直线 BD 于点N．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）当 △MDB 的面积最大时，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，在y轴上是否存在点Q，使得以 Q,M,N 三点为顶点的三角形是直角三角形，若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
8．如图，在平面直角坐标系中，矩形 ABCD 的边 BC 与x轴、y轴的交点分别为 C(8，0)，B(0，6)，CD=5 ，抛物线 y=ax2−154x+c(a≠0) 过B，C两点，动点M从点D开始以每秒5个单位长度的速度沿 D→A→B→C 的方向运动到达C点后停止运动．动点N从点O以每秒4个单位长度的速度沿 OC 方向运动，到达C点后，立即返回，向 CO 方向运动，到达O点后，又立即返回，依此在线段 OC 上反复运动，当点M停止运动时，点N也停止运动，设运动时间为 t ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求点D的坐标；
（3）当点M，N同时开始运动时，若以点M，D，C为顶点的三角形与以点B，O，N为顶点的三角形相似，求t的值；
（4）过点D与x轴平行的直线，交抛物线的对称轴于点Q，将线段 BA 沿过点B的直线翻折，点A的对称点为 A′ ，求 A′Q+QN+DN 的最小值．
9．如图，抛物线 y=3+36x2+bx+c 与 x 轴交于 A ， B 两点，点 A ， B 分别位于原点的左、右两侧， BO=3AO=3 ，过点 B 的直线与 y 轴正半轴和抛物线的交点分别为 C ， D ， BC=3CD ．
（1）求 b ， c 的值；
（2）求直线 BD 的函数解析式；
（3）点 P 在抛物线的对称轴上且在 x 轴下方，点 Q 在射线 BA 上，当 ΔABD 与 ΔBPQ 相似时，请直接写出所有满足条件的点 Q 的坐标．
10．在平面直角坐标系 xOy 中，把与x轴交点相同的二次函数图象称为“共根抛物线”.如图，抛物线 L1：y=12x2−32x−2 的顶点为D，交x轴于点A、B（点A在点B左侧），交y轴于点C.抛物线 L2 与 L1 是“共根抛物线”，其顶点为P.
（1）若抛物线 L2 经过点 (2，−12) ，求 L2 对应的函数表达式；
（2）当 BP−CP 的值最大时，求点P的坐标；
（3）设点Q是抛物线 L1 上的一个动点，且位于其对称轴的右侧.若 △DPQ 与 △ABC 相似，求其“共根抛物线” L2 的顶点P的坐标.
11．如图，直线 y=−2x+10 分别与x轴，y轴交于点A，B两点，点C为OB的中点，抛物线 y=x2+bx+c 经过A，C两点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点D是直线AB下方的抛物线上的一点，且 △ABD 的面积为 452 ，求点D的坐标；
（3）点P为抛物线上一点，若 △APB 是以AB为直角边的直角三角形，求点P到抛物线的对称轴的距离．
12．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y=kx+3 分别交x轴、y轴于A，B两点，经过A，B两点的抛物线 y=−x2+bx+c 与x轴的正半轴相交于点 C(1，0) ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若P为线段AB上一点， ∠APO=∠ACB ，求AP的长；
（3）在（2）的条件下，设M是y轴上一点，试问：抛物线上是否存在点N，使得以A，P，M，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
13．如图，抛物线 y=ax2+bx+8(a≠0) 与x轴交于点 A(−2，0) 和点 B(8，0) ，与y轴交于点C，顶点为D，连接 AC，BC，BC 与抛物线的对称轴l交于点E．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P是第一象限内抛物线上的动点，连接 PB，PC ，当 S△PBC=35S△ABC 时，求点P的坐标；
（3）点N是对称轴l右侧抛物线上的动点，在射线 ED 上是否存在点M，使得以点M，N，E为顶点的三角形与 △OBC 相似？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．