2023-2024学年吉林省吉林市桦甸市八年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年吉林省吉林市桦甸市八年级（上）期末数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列运算正确的是
( )
A. a2·a3=a6B. (ab)2=a2b2C. (a2)3=a5D. a2+a2=a4
2.点P(−2,5)关于x轴对称的点的坐标为( )
A. (2,−5)B. (5,−2)C. (−2,−5)D. (2,5)
3.在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
4.如图，D，E分别是AB，AC边上的点，∠BDC=∠CEB，若添加下列一个条件后，仍不能证明△BDF≌△CEF的是( )
A. AB=AC
B. BF=CF
C. DF=EF
D. ∠B=∠C
5.若分式1−|x|1−x的值为0，则x的值为( )
A. −1B. 1C. −1或1D. −1或0
6.关于x的方程k2x−4−1=xx−2的解为正数，则k的取值范围是( )
A. k<4B. k>−4C. k<4且k≠−4D. k>−4且k≠4
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
7.如果一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形是______ 边形．
8.“燕山雪花大如席，片片吹落轩辕台.”这是诗仙李白眼里的雪花.单个雪花的重量其实很轻，只有0.00003kg左右，0.00003用科学记数法可表示为______ ．
9.已知等腰三角形的两边长分别是4和9，则周长是______．
10.空调安装在墙上时，一般都会象如图所示的方法固定在墙上，这种方法应用的数学知识是______．
11.已知x+y=7，xy=5，则x2+y2的值为______ ．
12.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB+BC=12，则AB的长为______ ．
13.若(x+n)2=x2+4x+m，则m= ______ ．
14.如图，在△ABC中，点D、E分别是边BC、AB的中点．若△ABC的面积等于8，则△BDE的面积等于______．
三、解答题：本题共12小题，共84分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题5分)
化简：(x+2)2+x(x−4)．
16.(本小题5分)
因式分解：x2(m−n)+y2(n−m)．
17.(本小题5分)
解方程：3x−2=2+x2−x．
18.(本小题5分)
如图，树AB垂直于地面，为测树高，小华在C处测得∠ACB=15°，然后他沿CB方向走了30米，到达D处，测得∠ADB=30°，你能帮助小华计算出树的高度吗？
19.(本小题7分)
先化简，再求值：1−x−yx+2y÷x2−y2x2+4xy+4y2，其中x=4，y=−2．
20.(本小题7分)
已知：在△ABC中，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E，F，且∠ADE=∠CDF，AD=CD，连接BD.求证：BD平分∠ABC．
21.(本小题7分)
如图，在平面直角坐标系中，△ABC顶点的坐标分别是A(−1,3)、B(−5,1)、C(−2,−2)．
(1)画出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′，并写出△A′B′C′各顶点的坐标；
(2)求出△ABC的面积．
22.(本小题7分)
如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE=CF，BD=CE．
(1)求证：△DEF是等腰三角形；
(2)当∠A=40°时，求∠DEF的度数．
23.(本小题8分)
探究活动：
(1)如图1是边长分别为a、b的正方形，可以求出阴影部分的面积是______ .(写成两数平方差的形式)
(2)如图2，若将图1中阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，面积是______ .(写成多项式乘积的形式)
(3)比较图1、图2阴影部分的面积，可以得到等式：______ ．
知识应用：
①计算：(x+3y)(x−3y)(x2+9y2).
②计算998×1002．
24.(本小题8分)
李师傅近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车．
(1)用含a的代数式表示出新能源车每千米行驶费用．
(2)若燃油车的每千米行驶费用比新能源车每千米行驶费用多0.48元.请你帮李师傅计算一下，这两款车的每千米行驶费用各是多少？
25.(本小题10分)
如图1，点P、Q分别是等边△ABC边AB、BC上的动点(端点除外)，点P从顶点A、点Q从顶点B同时出发，且它们的运动速度相同，连接AQ、CP交于点M．
(1)求证：△ABQ≌△CAP；
(2)当点P、Q分别在AB、BC边上运动时，∠QMC变化吗？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数．
(3)如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则∠QMC变化吗？若变化，请说明理由；若不变，则求出它的度数．
26.(本小题10分)
为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小红在组内做了如下尝试：如图①，在△ABC中，AD是BC边上的中线，延长AD到M，使DM=AD，连接BM．
【探究发现】
(1)如图①，AC与BM的数量关系是______ ，位置关系是______ ；
【初步应用】
(2)如图②，△ABC中，若AB=10，AC=6，求BC边上中线AD的取值范围；
【探究提升】
(3)如图③，AD是△ABC的BC边中线，过点A分别向外作AE⊥AB、AF⊥AC，使得AE=AB，AF=AC，延长DA交EF于点P，判断线段EF与AD的数量关系和位置关系，并说明理由．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．
根据同底数幂相乘，底数不变指数相加；积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方再把所得的幂相乘；幂的乘方，底数不变指数相乘；以及合并同类项法则对各选项分析判断即可得解．
【解答】
解：A.a2·a3=a2+3=a5，故本选项错误；
B.(ab)2=a2b2，故本选项正确；
C.(a2)3=a2×3=a6，故本选项错误；
D.a2+a2=2a2，故本选项错误．
故选：B．
2.【答案】C
【解析】解：点P(−2,5)关于x轴对称的点的坐标为(−2,−5)，
故选：C．
直接利用关于x轴对称点的性质(横坐标相同，纵坐标互为相反数)即可得出答案．
本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：(1)关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；(2)关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．
3.【答案】D
【解析】解：A、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
D、是轴对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
4.【答案】D
【解析】【解答】
解：A、∵∠BDC=∠CEB，
∴∠ADC=∠AEB，
在△ADC与△AEB中，
∠ADC=∠AEB∠A=∠AAC=AB，
∴△ADC≌△AEB(AAS)，
∴AD=AE，
∴BD=CE，
在△BDF与△CEF中，
∠BDC=∠CEB∠BFD=∠CFEBD=CE，
∴△BDC≌△CEB(AAS)，不符合题意；
B、在△BDF与△CEF中，
∠BDC=∠CEB∠BFD=∠CFEBF=CF，
∴△BDF≌△CEF(AAS)，不符合题意；
C、在△BDF与△CEF中，
∠BDC=∠CEBDF=EF∠BFD=∠CFE，
∴△BDF≌△CEF(ASA)，不符合题意；
D、结合已知只能得到角相等，不能得到边相等，所以不能够证明全等，符合题意．
故选：D．
【分析】
结合已知，利用全等三角形的判定方法逐项判断即可．
本题考查了全等三角形的证明；解题的关键是熟练掌握全等三角形的证明方法，注意证明全等至少有一对边相等．
5.【答案】A
【解析】解：∵分式1−|x|1−x的值为0，
∴1−|x|=0，1−x≠0，
解得，x=−1，
故选：A．
根据分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零列出方程和不等式，解方程和不等式得到答案．
本题考查的是分式的值为零的条件，掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零是解题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：k2x−4−1=xx−2，
k−(2x−4)=2x，
k−2x+4=2x，
4x=k+4，
x=k+44，
∵方程的解为正数，
∴k+4>0，
∴k>−4，
∵x≠2，
∴k+44≠2，
∴k≠4，
∴k>−4且k≠4，
故选：D．
先求分式方程的解为x=k+44，再由题意可得k+4>0，k+44≠2，求出k的范围即可．
本题考查分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法，注意方程增根的情况是解题的关键．
7.【答案】六
【解析】解：设这个多边形为n边形，由题意得，
(n−2)×180°=360°×2，
解得n=6，
即这个多边形为六边形，
故答案为：六．
根据多边形的内角和与外角和的计算方法列方程求解即可．
本题考查多边形的内角与外角，掌握多边形内角和、外角和的计算方法是正确解答的前提．
8.【答案】3×10−5
【解析】解：0.00003=3×10−5．
故答案为：3×10−5．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
9.【答案】22
【解析】解：当等腰三角形的腰为4时，三边为4，4，9，4+4<9，三边关系不成立，
当等腰三角形的腰为9时，三边为4，9，9，三边关系成立，周长为4+9+9=22．
故答案为：22．
根据腰为4或9，分类求解，注意根据三角形的三边关系进行判断．
本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系定理．关键是根据已知边那个为腰，分类讨论．
10.【答案】三角形的稳定性
【解析】【分析】
本题主要考查了三角形的稳定性，正确掌握三角形的这一性质是解题的关键．
支架钉在墙上的方法是构造了三角形，因而应用了三角形的稳定性，本题据此回答即可．
【解答】
解：这种方法应用的数学知识是：三角形的稳定性．
故答案为三角形的稳定性．
11.【答案】39
【解析】解：∵x+y=7，xy=5，
∴x2+y2=(x+y)2−2xy
=49−10
=39．
故答案为：39．
根据完全平方公式将x2+y2化为(x+y)2−2xy，再代入计算即可．
本题考查完全平方公式，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键．
12.【答案】8
【解析】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，
∴BC=12AB，
设BC=x，
∵AB+BC=12，
∴AB=12−x，
∵BC=12AB，即x=12(12−x)，
解得：x=4．
则AB=2BC=2x=8．
故答案为：8．
由在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，利用30°所对的直角边等于斜边的一半得到BC为AB的一半，列出方程，求出方程的解即可求出AB的长．
此题考查了含30°直角三角形的性质，利用了方程的思想，熟练掌握含30°直角三角形的性质是解本题的关键．
13.【答案】4
【解析】解：∵(x+2)2=x2+4x+4，
∴n=2，m=4，
故答案为：4．
根据完全平方公式进行计算即可．
本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键．
14.【答案】2
【解析】解：∵点D是边BC的中点，△ABC的面积等于8，
∴S△ABD=12S△ABC=4，
∵E是AB的中点，
∴S△BDE=12S△ABD=12×4=2，
故答案为：2．
根据三角形的面积公式即可得到结论．
本题考查了三角形的中线，三角形的面积的计算，正确的识别图形是解题的关键．
15.【答案】解：原式=x2+4x+4+x2−4x
=2x2+4．
【解析】直接利用完全平方公式以及整式的乘法运算法则化简求出即可．
此题主要考查了整式的混合运算，正确应用完全平方公式是解题关键．
16.【答案】解：x2(m−n)+y2(n−m)
=x2(m−n)−y2(m−n)
=(m−n)(x2−y2)
=(m−n)(x+y)(x−y)．
【解析】先变形，提公因式，再用平方差公式分解因式即可．
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，掌握a2−b2=(a+b)(a−b)是解题的关键．
17.【答案】解：方程的两边同乘以x−2得：3=2(x−2)−x，
去括号得：3=2x−4−x，
∴x=7．
检验：当x=7时：x−2≠0，所以x=7为原方程的解
【解析】首先找到最简公分母，去掉分母，然后整理方程，即可求解．
本题主要考查解分式方程，关键在于方程两边同乘以最简公分母，简化方程．注意最后要进行检验．
18.【答案】解：∵∠ADB=30°，∠ACB=15°，
∴∠CAD=∠ADB−∠ACB=15°，
∴∠ACB=∠CAD，
∴AD=CD=30，
又∵∠ABD=90°，
∴AB=12AD=15，
∴树的高度为15米．
【解析】根据三角形外角的性质得到∠CAD=∠ADB−∠ACB=15°，根据等腰三角形的性质得到AD=CD=30，由直角三角形的性质即可得到结论．
本题考查了含30°角的直角三角形的性质，三角形的外角的性质，熟练掌握含30°角的直角三角形的性质是解题的关键．
19.【答案】解：原式=1−x−yx+2y⋅(x+2y)2(x+y)(x−y)
=1−x+2yx+y
=x+y−x−2yx+y
=−yx+y，
当x=4，y=−2时，原式=24−2=1．
【解析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x=4，y=−2代入进行计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．
20.【答案】证明：∵DE⊥AB，DF⊥BC，
∴∠AED=∠CFD=90°，
在△ADE和△CDF中，
∠ADE=∠CDF∠AED=∠CFDAD=CD，
∴△ADE≌△CDF(AAS)，
∴DE=DF(全等三角形的对应边相等)，
∵∠AED=∠CFD=90°，
∴∠ABD=∠CBD，
即：BD平分∠ABC．
【解析】根据AAS证明△ADE≌△CDF，可得DE=DF，利用角平分线的判定可证明结论．
本题主要考查角平分线的判定，全等三角形的判定与性质，利用AAS证明△ADE≌△CDF是解题的关键．
21.【答案】解：(1)如图所示，△A′B′C′即为所求，
由图知A′(1,3)，B′(5,1)，C′(2,−2)；
(2)△ABC的面积为5×4−12×1×5−12×3×3−12×2×4=9．
【解析】本题考查了利用轴对称变换作图，三角形的面积，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．
(1)根据网格结构找出点A、B、C关于y轴的对称点A′、B′、C′的位置，然后顺次连接即可；根据平面直角坐标系写出各点的坐标即可；
(2)利用三角形所在的长方形的面积减去四周三个小直角三角形的面积列式计算即可得解．
22.【答案】(1)证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
在△DBE和△CEF中
BE=CF∠ABC=∠ACBBD=CE，
∴△DBE≌△CEF，
∴DE=EF，
∴△DEF是等腰三角形；
(2)解：如图所示：
∵△DBE≌△CEF，
∴∠1=∠3，∠2=∠4，
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠B=12(180°−40°)=70°
∴∠1+∠2=110°
∴∠3+∠2=110°
∴∠DEF=70°．

【解析】本题考查了等腰三角形的判定和性质的运用，三角形内角和定理的运用，全等三角形的判定与性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．
(1)由AB=AC，∠ABC=∠ACB，BE=CF，BD=CE.利用边角边定理证明△DBE≌△CEF，然后即可求证△DEF是等腰三角形．
(2)根据∠A=40°可求出∠ABC=∠ACB=70°根据△DBE≌△CEF，利用三角形内角和定理即可求出∠DEF的度数．
23.【答案】a2−b2 =(a+b)(a−b) a2−b2=(a+b)(a−b)
【解析】解：(1)图1中阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即a2−b2，
故答案为：a2−b2；
(2)图2长方形的长为a+b，宽为a−b，因此面积为(a+b)(a−b)，
故答案为：(a+b)(a−b)，
(3)由图1、图2的面积相等可得，a2−b2=(a+b)(a−b)，
故答案为：a2−b2=(a+b)(a−b)；
①原式=(x2−9y2)(x2+9y2)
=x4−81y4；
②原式=(1000−2)(1000+2)
=10002−22
=1000000−4
=999996．
(1)用代数式表示图1中阴影部分所看作两个正方形的面积差即可；
(2)图2长方形的长为a+b，宽为a−b，由长方形的面积公式可得答案；
(3)由(1)(2)可得答案；
①连续2次利用平方差公式即可；
②将原式化为(1000−2)(1000+2)，再根据平方差公式进行计算即可．
本题考查平方差公式的几何背景，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的前提．
24.【答案】36a
【解析】解：(1)由图可得，
新能源车每千米行驶费用为60×0.6a=36a(元)，
故答案为：36a；
(2)由题意可得，
40×92a=36a+0.48，
解得a=300，
经检验，a=300是原分式方程的根，
∴40×92a=3602×300=0.6，36a=36300=0.12，
答：燃油车每千米行驶费用是0.6元，新能源车每千米行驶费用是0.12元．
(1)根据图中的信息，可以用含a的代数式表示出新能源车每千米行驶费用；
(2)根据燃油车的每千米行驶费用比新能源车每千米行驶费用多0.48元，可以列出相应的分式方程，然后求解，注意分式方程要检验．
本题考查列代数式、分式方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程．
25.【答案】(1)证明：∵△ABC是等边三角形
∴∠ABQ=∠CAP=60°，AB=CA，
又∵点P、Q运动速度相同，
∴AP=BQ，
在△ABQ与△CAP中，
∵AB=CA∠ABQ=∠CAPBQ=AP,
∴△ABQ≌△CAP(SAS)；
(2)解：点P、Q在运动的过程中，∠QMC不变．
理由：∵△ABQ≌△CAP，
∴∠BAQ=∠ACP，
∵∠QMC=∠ACP+∠MAC，
∴∠QMC=∠BAQ+∠MAC=∠BAC=60°；
(3)解：点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动时，∠QMC不变．
理由：在△ABQ与△CAP中，
BQ=AP∠CAP=∠ABQ=60°AB=CA,
∴△ABQ≌△CAP(SAS)，
∴∠BAQ=∠ACP，
∵∠QMC=∠BAQ+∠APM，
∴∠QMC=∠ACP+∠APM=180°−∠CAP=180°−60°=120°．
【解析】此题是一个综合性题目，主要考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识．
(1)根据等边三角形的性质，利用SAS证明△ABQ≌△CAP；
(2)由△ABQ≌△CAP根据全等三角形的性质可得∠BAQ=∠ACP，结合三角形内角和定理和邻补角性质，从而可得到∠QMC的度数；
(3)由△ABQ≌△CAP根据全等三角形的性质可得∠BAQ=∠ACP，结合三角形内角和定理和邻补角性质，可得到∠QMC的度数．
26.【答案】AC=BM AC//BM
【解析】解：(1)∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD，
在△ADC和△MDB中，
CD=BD∠CDA=∠BDMAD=MD，
∴△ADC≌△MDB(SAS)，
∴AC=BM，∠CAD=∠M，
∴AC//BM，
故答案为：AC=BM，AC//BM；
(2)如图2，延长AD到M，使DM=AD，连接BM，
由(1)可知，△MDB≌△ADC(SAS)，
∴BM=AC=6，
在△ABM中，AB−BM∴10−6即4<2AD<16，
∴2即BC边上的中线AD的取值范围为2(3)EF=2AD，EF⊥AD，理由如下：
如图3，延长AD到M，使得DM=AD，连接BM，
由(1)可知，△BDM≌△CDA(SAS)，
∴BM=AC，
∵AC=AF，
∴BM=AF，
由(2)可知，AC//BM，
∴∠BAC+∠ABM=180°，
∵AE⊥AB、AF⊥AC，
∴∠BAE=∠FAC=90°，
∴∠BAC+∠EAF=180°，
∴∠ABM=∠EAF，
在△ABM和△EAF中，
AB=EA∠ABM=∠EAFBM=AF，
∴△ABM≌△EAF(SAS)，
∴AM=EF，∠BAM=∠E，
∵AD=DM，
∴AM=2AD，
∴EF=2AD，
∵∠EAM=∠BAM+∠BAE=∠E+∠APE，
∴∠APE=∠BAE=90°，
∴EF⊥AD．
(1)证明△ADC≌△MDB(SAS)，得AC=BM，∠CAD=∠M，再由平行线的判定即可得出AC//BM，
(2)延长AD到M，使DM=AD，连接BM，由(1)可知，△MDB≌△ADC(SAS)，得BM=AC=6，再由三角形的三边关系即可得出结论；
(3)延长AD到M，使得DM=AD，连接BM，由(1)可知，△BDM≌△CDA(SAS)，得BM=AC，再证△ABM≌△EAF(SAS)，得AM=EF，∠BAM=∠E，则EF=2AD，然后由三角形的外角性质证出∠APE=∠BAE=90°，即可得出结论．
本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、倍长中线法、三角形的三边关系、平行线的判定与性质以及三角形的外角性质等知识，本题综合性强，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键，属于中考常考题型．燃油车
油箱容积：40升
油价：9元/升
续航里程：2a千米
每千米行驶费用：40×92a元
新能源车
电池电量：60千瓦时
电价：0.6元/千瓦时
续航里程：a千米
每千米行驶费用：______ 元