2023-2024学年吉林省吉林市永吉三校八年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年吉林省吉林市永吉三校八年级（上）期末数学试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史，下列由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.世界上最小的开花结果植物是澳大利亚的出水浮萍，这种植物的果实像一个微小的无花果，质量只有0.00 000 0076克，用科学记数法表示是( )
A. 7.6×108克B. 7.6×10−7克C. 7.6×10−8克D. 7.6×10−9克
3.以下列每组数为长度(单位：cm)的三根小木棒，其中能搭成三角形的是( )
A. 2，2，4B. 1，2，3C. 3，4，5D. 3，4，8
4.如图，两个三角形全等，则∠α的度数是( )
A. 50°B. 58°C. 72°D. 60°
5.下列运算正确的是( )
A. (4ab)2=8a2b2B. 2a2+a2=3a4
C. a6÷a4=a2D. (a+b)2=a2+b2
6.甲车行驶40km与乙车行使30km所用的时间相同，已知甲车比乙车每小时多行驶15km.设甲车的速度为xkm/h，依题意，下列所列方程正确的是( )
A. 40x=30x−15B. 30x=40x+15C. 40x=30x+15D. 30x=40x−15
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
7.化简：(−2a2)3= ．
8.如图，自行车的三角形支架，这是利用三角形具有______ 性．
9.分解因式：2x2y−8y= ．
10.一个多项式，把它因式分解后有一个因式为(x+1)，请你写出一个符合条件的多项式：______ ．
11.如图，己知∠1=∠2，要判定△ABD≌△ACD，则需要补充的一个条件为______．
12.如图，E为三角形ABC边CA延长线上一点，过点E作ED/​/BC.若∠BAC=70°，∠CED=50°，则∠B=______°.
13.如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上一个动点，若PA=3，则PQ的最小值为 ．
14.如图，∠1、∠2、∠3、∠4是五边形ABCDE的4个外角．若∠A=120°，则∠1+∠2+∠3+∠4=______．
三、计算题：本大题共3小题，共17分。
15.(2a+3b)(2a−3b)−(a−3b)2．
16.解方程：1x−2+3=1−x2−x．
17.小明解方程2x−x−1x=1出现了错误，解答过程如下：
方程两边都乘以x，得2−(x−1)=1(第一步)
去括号，得2−x+1=1(第二步)
移项，合并同类项，得−x=−2(第三步)
解得x=2(第四步)
∴原方程的解为x=2(第五步)
(1)小明解答过程是从第______步开始出错的，这一步正确的解答结果______，此步的根据是______．
(2)小明的解答过程缺少______步骤，此方程的解为______．
四、解答题：本题共9小题，共67分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题5分)
先化简，再求值：2xx+2−xx−2+4xx2−4，其中x=1．
19.(本小题5分)
如图，点B，F，C，E在一直线上，∠B=∠E，BF=EC，AB=DE.求证：AC // DF．
20.(本小题7分)
如图，在△ABC中，请用尺规作图法作线段AD交BC于点D，使得AD将△ABC分成面积相等的两部分(保留作图痕迹，不写作法)．
21.(本小题7分)
某校八年级两个班的“班级小书库”中各有图书300本.已知2班比1班人均图书多2本，1班的人数比2班的人数多20%.求两个班各有多少人？
22.(本小题7分)
如图(1)，方格图中每个小正方形的边长为1，点A、B、C都是格点．
(1)画出△ABC关于直线MN对称的△A1B1C1；
(2)写出AA1的长度；
(3)如图(2)，A、C是直线MN同侧固定的点，B是直线MN上的一个动点，在直线MN上画出点B，使AB+BC最小．
23.(本小题8分)
如图，已知∠ABC=90°，D是直线AB上的点，AD=BC，如图，过点A作AF⊥AB，并截取AF=BD，连接DC、DF、CF．
(1)求证：△FAD≌△DBC；
(2)判断△CDF的形状并证明．
24.(本小题8分)
如图所示，图1是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中的虚线剪成四个完全相同的小长方形，将四个小长方形按图2、图3摆放，分别拼成较大的长方形、正方形．
(1)图1的面积为______ ；(用m与n的代数式表示)
(2)在图2中，m与n的等量关系为______ ；
(3)在图3中，若大正方形的面积为49，阴影小正方形的面积为24，请直接写出两个关于m，n的等式．
25.(本小题10分)
目前，“双师课堂”正成为教育界的一大热点．双师课堂的“双师”，指的是一位一线城市“名师”和一位当地城市“辅导教师”，上课模式为“名师”进行线上实时讲课，“辅导教师”在当地城市的线下课堂进行课堂管理，并对学生的学习状况进行跟进督导、巩固练习、批改作业等课堂服务．某校为响应号召，利用暑期在各班安装能够进行双师教学的设备．该校南楼安装的56台设备由甲队完成，北楼安装的32台设备由乙队完成．已知甲队的安装速度是乙队的2倍，且两队同时开工，甲队比乙队提前1天安装完成．甲、乙两队每天各安装多少台双师教学设备？
26.(本小题10分)
如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，∠B=70°，∠C=30°．
(1)求∠BAE的度数；
(2)求∠DAE的度数；
(3)探究：小明认为如果只知道∠B−∠C=40°，也能得出∠DAE的度数？你认为可以吗？若能，请你写出求解过程；若不能，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A，B，C选项中的图案都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
D选项中的图案能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：D．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2.【答案】C
【解析】解：0.00 000 0076克=7.6×10−8克，
故选：C．
对于绝对值小于1的数，用科学记数法表示为a×10n形式，其中1≤a<10，n是一个负整数，除符号外，数字和原数左边第一个不为0的数前面0的个数相等，根据以上内容写出即可．
本题考查了科学记数法表示较小的数，注意：对于绝对值小于1的数，用科学记数法表示为a×10n形式，其中1≤a<10，n是一个负整数，除符号外，数字和原数左边第一个不为0的数前面0的个数相等．
3.【答案】C
【解析】解：∵2+2=4，
∴A不能构成三角形；
∵1+2=3，
∴B不能构成三角形；
∵3+4>5，4−3<5，
∴C能构成三角形；
∵3+4<8，
∴D不能构成三角形．
故答案为：C．
根据两边之和大于第三边，两边之差小于第三边判断即可．
本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握三边关系定理是解题的关键．
4.【答案】A
【解析】解：∵两个三角形全等，
∴∠α=50°，
故选：A．
根据全等三角形的对应角相等解答．
本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：A、(4ab)2=16a2b2，故A不符合题意；
B、2a2+a2=3a2，故B不符合题意；
C、a6÷a4=a2，故C符合题意；
D、(a+b)2=a2+2ab+b2，故D不符合题意；
故选：C．
根据积的乘方，合并同类项，同底数幂的除法法则，完全平方公式进行计算，逐一判断即可解答．
本题考查了整式的混合运算，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法，完全平方公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
6.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
设甲车的速度为xkm/h，则乙车的速度为(x−15)km/h，根据时间=路程÷速度结合甲车行驶40km与乙车行使30km所用的时间相同，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【解答】
解：设甲车的速度为xkm/h，则乙车的速度为(x−15)km/h，
根据题意得：40x=30x−15．
故选：A．
7.【答案】−8a6
【解析】【分析】
根据积的乘方与幂的乘方的运算法则计算即可．
本题主要考查积的乘方与幂的乘方，掌握积的乘方与幂的乘方的运算法则是解题的关键．
【解答】
解：(−2a2)3=(−2)3⋅(a2)3=−8a6．
故答案为：−8a6．
8.【答案】稳定
【解析】解：自行车的三角形支架，这是利用了三角形的稳定性．
故答案为：稳定．
根据三角形具有稳定性解答．
本题考查了三角形的稳定性，是基础题．
9.【答案】2y(x+2)(x−2)
【解析】解：2x2y−8y，
=2y(x2−4)，
=2y(x+2)(x−2)．
故答案为：2y(x+2)(x−2)．
先提取公因式2y，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一个多项式有公因式首先提取公因式，再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
10.【答案】x2−1(答案不唯一)．
【解析】解：∵x2−1=(x+1)(x−1)，
∴符合条件的一个多项式是x2−1，
故答案为：x2−1(答案不唯一)．
根据题意，可以写出分解因式中含有(x+1)的一个多项式，本题答案不唯一，符合题意即可．
本题考查因式分解的应用，解答本题的关键是明确题意，写出符合题意的一个多项式．
11.【答案】BD=CD
【解析】解：BD=CD，
理由是：∵在△ABD和△ACD中
BD=CD∠1=∠2AD=AD
∴△ABD≌△ACD(SAS)，
故答案为：BD=CD．
此题是一道开放型的题目，答案不唯一，只要添加一个条件，符合全等三角形的判定定理即可．
本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键．
12.【答案】60
【解析】【分析】
本题主要考查了平行线的性质，解题时注意运用两直线平行，内错角相等．
利用平行线的性质，即可得到∠CED=∠C=50°，再根据三角形内角和定理，即可得到∠B的度数．
【解答】
解：∵ED/​/BC，
∴∠CED=∠C=50°，
又∵∠BAC=70°，
∴三角形ABC中，∠B=180°−50°−70°=60°，
故答案为：60．
13.【答案】3
【解析】【分析】
本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，垂线段最短的性质，熟记性质是解题的关键．
根据垂线段最短可知当PQ⊥OM时，PQ的值最小，再根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得PQ=PA．
【解答】
解：根据垂线段最短，PQ⊥OM时，PQ的值最小，
∵OP平分∠MON，PA⊥ON，
∴PQ=PA=3．
故答案为：3．
14.【答案】300°
【解析】解：由题意得，∠5=180°−∠EAB=60°，
又∵多边形的外角和为360°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4=360°−∠5=300°．
故答案为：300°．
根据题意先求出∠5的度数，然后根据多边形的外角和为360°即可求出∠1+∠2+∠3+∠4的值．
本题考查了多边形的外角和等于360°的性质以及邻补角的和等于180°的性质，是基础题，比较简单．
15.【答案】解：原式=4a2−9b2−a2+6ab−9b2=3a2+6ab−18b2．
【解析】原式第一项利用平方差公式化简，第二项利用完全平方公式展开，去括号合并即可得到结果．
此题考查了平方差公式，以及完全平方公式，熟练掌握公式是解本题的关键．
16.【答案】解：两边乘x−2得到，1+3(x−2)=x−1，
去括号得：1+3x−6=x−1，
解得：x=2，
∵x=2时，x−2=0，
∴x=2是原分式方程的增根，
∴原方程无解．
【解析】本题考查分式方程的解，解题的关键是掌握解分式方程的步骤，注意解分式方程必须检验．
去分母化为整式方程即可解决问题．
17.【答案】一 2−(x−1)=x 等式的基本性质 检验 x=1.5
【解析】解：(1)小明解答过程是从第一步开始出错的，这一步正确的解答结果2−(x−1)=x，此步的根据是等式的基本性质．
(2)小明的解答过程缺少检验步骤，此方程的解为x=1.5．
故答案为：(1)一；2−(x−1)=x；等式的基本性质；(2)检验；x=1.5
(1)检查小明解方程过程，找出错误步骤分析即可；
(2)根据分式方程求解必须检验判断，并求出正确的解即可．
此题考查了解分式方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18.【答案】解：原式=2x(x−2)(x+2)(x−2)−x(x+2)(x+2)(x−2)+4x(x+2)(x−2)
=2x2−4x−x2−2x+4x(x+2)(x−2)
=x2−2x(x+2)(x−2)
=x(x−2)(x+2)(x−2)
=xx+2，
当x=1时，原式=11+2=13．
【解析】先通分，再计算加减，再把x的值代入进行计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
19.【答案】证明：∵BF=EC，
∴BF+CF=EC+CF，
∴BC=EF，
在△ABC和△DEF中，
BC=EF∠B=∠EAB=DE，
∴△ABC≌△DEF(SAS)，
∴∠ACB=∠DFE，
∴AC/​/DF．
【解析】证明△ABC≌△DEF(SAS)，由全等三角形的性质得出∠ACB=∠DFE，由平行线的判定可得出结论．
本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的判定．解题的关键是证明△ABC≌△DEF．
20.【答案】解：如图，作BC的垂直平分线交BC于D，
则AD为所作．

【解析】作BC的垂直平分线交BC于D，则BD=CD，根据三角形面积公式得到△ABD的面积等于△ACD的面积．
本题考查了作图−复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了三角形的面积．
21.【答案】解：设2班有x人，
由题意得：300(1+20%)x+2=300x，
解得：x=25，
经检验：x=25是原方程的根，且符合题意，
则(1+20%)x=30．
答：1班有30人，2班有25人．
【解析】设2班有x人，则一班有(1+20%)x人，根据2班比1班人均图书多2本，列方程求解．
本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，找出合适的等量关系列方程求解．
22.【答案】解：(1)如图所示：△A1B1C1，即为所求；
(2)AA1的长度为：10；
(3)如图所示：点B′即为所求，此时AB′+B′C最小．
【解析】此题主要考查了轴对称变换以及利用轴对称求最短路线，正确得出对应点位置是解题关键．
(1)直接利用轴对称图形的性质分别得出对应点位置进而得出答案；
(2)利用网格直接得出AA1的长度；
(3)利用轴对称求最短路线的方法得出点B位置．
23.【答案】解：(1)∵AF⊥AD，∠ABC=90°，
∴∠FAD=∠DBC，
在△FAD与△DBC中，
AD=BC∠FAD=∠DBCAF=BD，
∴△FAD≌△DBC(SAS)；
(2)∵△FAD≌△DBC(SAS)，
∴FD=DC，
∴△CDF是等腰三角形，
∵△FAD≌△DBC，
∴∠FDA=∠DCB，
∵∠BDC+∠DCB=90°，
∴∠BDC+∠FDA=90°，
∴△CDF是等腰直角三角形；
【解析】(1)利用SAS证明△AFD和△BDC全等即可；
(2)利用全等三角形的性质得出FD=DC，即可判断三角形的形状；
此题考查了全等三角形的判定与性质的运用，等腰直角三角形的判定及性质的运用．解答时证明三角形全等是关键．
24.【答案】4mn m=3n
【解析】解：(1)图1的面积为：2m⋅2n=4mn，
故答案为：4mn；
(2)在图2中，m与n的等量关系为m=3n，
故答案为：m=3n；
(3)由图3可得，
(m+n)2=49，(m−n)2=24，
∴m2+2mn+n2=49，m2−2mn+n2=24，
∴(m2+2mn+n2)−(m2−2mn+n2)=49−24，
∴4mn=25，
由上可得，关于m，n的两个等式为(m+n)2=49，4mn=25．
(1)根据图1和长方形的面积=长×宽，可以用含m、n的代数式表示出图1的面积；
(2)根据图2，可以直接写出m与n的等量关系；
(3)根据大正方形的面积为49，阴影小正方形的面积为24，可以得到(m+n)2=49，(m−n)2=24，然后变形即可得到4mn的值．
本题考查列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式．
25.【答案】解：设乙队每天安装x台双师教学设备，
根据题意，得562x+1=32x，
解得x=4，
经检验，x=4是原分式方程的根，且符合题意，
2×4=8(台)，
答：甲队每天安装8台双师教学设备，乙队每天安装4台双师教学设备．
【解析】设乙队每天安装x台双师教学设备，根据甲队比乙队提前1天安装完成，列分式方程，求解即可．
本题考查了分式方程的应用，根据题意建立等量关系是解题的关键．
26.【答案】解：(1)∵∠B=70°，∠C=30°，
∴∠BAC=180°−70°−30°=80°，
因为AE平分∠BAC，
所以∠BAE=40°；
(2)∵AD⊥BC，∠B=70°，
∴∠BAD=90°−∠B=90°−70°=20°，
而∠BAE=40°，
∴∠DAE=20°；
(3)可以．
理由如下：
∵AE为角平分线，
∴∠BAE=180°−∠B−∠C2，
∵∠BAD=90°−∠B，
∴∠DAE=∠BAE−∠BAD=180°−∠B−∠C2−(90°−∠B)=∠B−∠C2，
若∠B−∠C=40°，则∠DAE=20°．
【解析】(1)利用三角形的内角和定理求出∠BAC，再利用角平分线定义求∠BAE．
(2)先求出∠BAD，就可知道∠DAE的度数．
(3)用∠B，∠C表示∠DAE即可．
熟练运用角平分线定义和三角形的内角和定理．同时也要熟练掌握角与角之间的代换．