吉林省长春市第八中学2022-2023学年高一上学期期末数学试题(含答案)

长春八中2022—2023学年（上）期末考试

数学试题

一、单选题（每题5分，共40分）

1．已知扇形的面积为9，半径为3，则扇形的圆心角（正角）的弧度数为（    ）

A．1  B．  C．2  D．

2．函数在上的图象大致为（    ）

A．B．C．D．

3．“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件  B．必要不充分条件  C．充要条件  D．既不充分也不必要条件

4．若函数（，且）的图象过定点，则（    ）

A．  B．1  C．2  D．3

5．若，，，则a，b，c的大小关系为（    ）

A．  B．  C．  D．

6．函数的值域是（    ）

A．  B．  C．  D．

7．已知、都是锐角，且，，则（    ）

A．  B．  C．或  D．或

8．已知同时满足下列三个条件：①；②是奇函数；③．若在上没有最小值，则实数t的取值范围是（    ）

A．  B．  C．  D．

二、多选题（每题5分，共20分）

9．若函数，则下列函数为偶函数的是（    ）

A．  B．  C．  D．

10．下列命题为真命题的是（    ）

A．若，，则  B．若，则

C．若，，则  D．若，则

11．已知函数，则有关函数的说法正确的是（    ）

A．的图象关于点对称  B．的最小正周期为

C．的图象关于直线对称  D．的最大值为

12．函数的部分图象如图所示，则（    ）

A．  B．  C．的单调递减区间为

D．图象的对称轴方程为

三、填空题（每题5分，共20分）

13．已知幂函数的图象过点，则______．

14．的值为______．

15．______．

16．的值为______．

四、解答题

17．（本题10分）（1）计算：；

（2）已知．求的值．

18．（本题12分）已知函数，

（1）求函数的最小正周期；

（2）求使函数取得最大值时自变量x的集合．

19．（本题12分），，．

（1）求a值以及函数的定义域；

（2）求函数在区间上的最小值．

20．（本题12分）已知．

（1）求的值；

（2）若，，求的值．

21．（本题12分）已知函数．

（1）求的单调递增区间；

（2）当时，关于x的方程恰有4个不同的实数根，求m的取值范围．

22．（本题12分）已知，，m为实数．

（1）当时，求函数的最大值；

（2）求函数的最大值的解析式；

（3）若对任意恒成立，求实数t的取值范围．

长春八中2022—2023学年（上）期末考试（答案）

一、单选题

【答案】C

【详解】设扇形的圆心角的弧度数为，由题意得，得．

2．【答案】D

【详解】由知：是奇函数，排除B、C．由，排除A．

3．【答案】A

【详解】由可以得到，但是由，得或．

4．【答案】C

【详解】依题意，函数（且）过定点，则．

5．【答案】

【详解】因为，，，所以．

6．【答案】A

【详解】∵，∴函数，故当时，函数取得最小值为，当时，函数取得最大值为2，故函数的值域为，故答案为．

7．【答案】B

【详解】因为、都是锐角，且，所以，

∴又∴．

8．【答案】D

【详解】由，可得 因为是奇函数 所以是奇函数，即， 又因为，即 所以k是奇数，取，此时 所以函数              因为在上没有最小值，此时              所以此时解得．

二、多选题

9．【答案】BCD

【详解】，故是奇函数，A错误．

，故是偶函数，B正确．

，故是偶函数，C正确．

，故是偶函数，D正确．故选：BCD．

10．【答案】ABD

【详解】对于A，若，，则，所以，故A正确；

对于B，若，则，故B正确；

对于C，若，，则，所以，所以，故C错误；

对于D，，则，所以，故D正确．故选ABD．

11．【答案】AB

【详解】由题意可知，

当时，，，故函数的图象关于点对称，故A正确；

函数的最小正周期，故B正确；

当时，，，所以函数的图象不关于直线对称，故C错误；

函数的最大值为1，故D错误，故选：AB．

12．【答案】AD

【详解】由图可得：且，∴，则，A正确．

由，则，得，即，B错误．综上，有，由，，得，C错误．

由，得，D正确．故选：AD．

三、填空题

13．【答案】3

【详解】设，由于图象过点，得，，∴，∴，故答案为3．

14．【答案】

【详解】．

15．【答案】

【详解】．

16．【答案】

【详解】原式=．

四．解答题

17．【答案】（1）；（2）4

【详解】（1）；

（2）．

18．【答案】（1）；（2）．

【详解】．

（1）周期．

（2）当时，解得，，所以最大值是，

此时使函数取得最大值时自变量x的集合．

19．【答案】（1），；（2）；

【详解】（1），解得： 

故，由，解得：，故函数的定义域是；

（2）由（1）得，令，得，则原函数为，，由于该函数在上单调递减，∴，因此，函数在区间上的最小值是．

20．【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）先化简已知得，即得的值；（2）求出即得解．

【详解】（1）．所以．

（2）因为，，所以，

∴，∴，所以．

21．【答案】（1）；（2）

（1）解：①，令，，解得，，故的单调递增区间为；

②当时，在上单调递增，在上单调递减，，，，令，故当时，有2个不同的实数根，由，可得或m，因为有2个不同的实数根，所以有2个不同的实数根，且，故m的取值范围为．

22．【答案】（1）3（2）（3）

【详解】（1）当时，

因为，所以当时，取得最大值，的最大值为3．

（2），

令，，所以二次函数的对称轴为，

①当即时，时取最大值，；

②当即，时取最大值，；

③当即时，时取最大值，，

综上．

（3）对任意恒成立，仅需即可，由（2）得，当时，的对称轴为，所以，当时，单调递减，所以，

综上，所以．