湖北省沙市中学2023-2024学年高一上学期11月期中考试数学试卷(含答案)

这是一份湖北省沙市中学2023-2024学年高一上学期11月期中考试数学试卷(含答案)，共16页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1、集合,则的子集的个数为( )
A.2B.5C.6D.8
2、命题“,”的否定是( )
A.,B.,
C.,D.,
3、下列函数是其定义域上的奇函数且在定义域上是增函数的是( )
A.B.C.D.
4、命题“,”为真命题的一个必要不充分条件是( )
A.B.C.D.
5、我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观,形少数时难入微,数形结合白般好,隔离分家万事休.”在数学的学习和研究中,有时可凭借函数的图象分析函数解析式的特征.已知函数的部分图象如图所示,则函数的解析式可能为( )
A.B.C.D.
6、是定义域为R上的奇函数,当时,为常数）,则( )
A.9B.7C.-9D.-7
7、若函数的值域为,则实数a的取值范围是( )
A.B.C.D.
8、定义在R上的函数满足：对任意的,（）,都有,且,函数关于直线对称,则不等式的解集是( )
A.B.
C.D.
二、多项选择题
9、下列说法中正确的是( )
A.若,则B.若,,则
C.若,,则D.若,,则
10、下列四个命题是真命题的是( )
A.若函数的定义域为,则函数的定义域为
B.函数的值域为
C.函数满足,则
D.若方程的两个不等实根都在区间内,则实数m的取值范围为
11、已知,则下列结论正确的是( )
A.ab的最小值为16B.的最小值为9
C.的最大值为1D.的最小值为
12、若函数满足对,,当时,不等式恒成立,则称在上为“平方差增函数”,则下列函数中,在上是“平方差增函数”有( )
A.B.
C.D.
三、填空题
13、已知函数,则__________.
14、已知函数是定义在R上的奇函数,且当时,,则在R上的解析式为____________.
15、已知函数是R上的减函数,则实数a的取值范围是__________.
16、若函数与对于任意,都有,则称函数与是区间上的“m阶依附函数”．已知函数与是区间上的“2阶依附函数”,则实数a的取值范围是__________．
四、解答题
17、已知集合,.
（1）若,求;
（2）设命题,命题,若p是q成立的必要不充分条件,求实数a的取值范围.
18、已知幂函数在上是减函数,.
（1）求的解析式;
（2）若,求实数a的取值范围.
19、已知函数.
（1）若恒成立,求实数a的取值范围;
（2）当时,函数在有解,求实数m的取值范围.
20、随着我国经济发展、医疗消费需求增长、人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等因素的影响,医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势.某医疗器械公司为了进一步增加市场竞争力,计划改进技术生产某产品.已知生产该产品的年固定成本为200万元,最大产能为100台.每生产x台,需另投入成本万元,且,由市场调研知,该产品每台的售价为200万元,且全年内生产的该产品当年能全部销售完.
（1）写出年利润万元关于年产量x台的函数解析式（利润销售收入成本）;
（2）当该产品的年产量为多少时,公司所获利润最大？最大利润是多少？
21、函数对任意实数x,y恒有,且当时,.
（1）判断的奇偶性;
（2）求证：是R上的减函数;
（3）若,解关于x的不等式.
22、已知函数是定义域上的奇函数,且.
（1）求函数的解析式;
（2）若方程在上有两个不同的根,求实数m的取值范围;
（3）令,若对,都有,求实数t的取值范围.
参考答案
1、答案：D
解析：因为,
所以,
所以的子集的个数为.
故选：D.
2、答案：B
解析：命题“,”的否定是：,.
故选：B.
3、答案：C
解析：A：函数定义域为R,且,故为奇函数,
当时,而在上递减,上递增,
故在上递增,上递减,易知：定义域上不是增函数,不符合;
B：函数定义域为,显然不关于原点对称,不为奇函数,不符合;
C：函数定义域为R,且,故为奇函数,函数单调递增,符合;
D：函数定义域为,且,故为奇函数,函数分别在、上递增,整个定义域不递增,不符合.
故选：C.
4、答案：A
解析：由“,”为真命题,得对于恒成立,
令,易知,时,,所以,,
故“”是命题“,”为真命题的一个必要不充分条件,
故选：A．
5、答案：C
解析：由题干中函数图象可知其对应的函数为奇函数,
而D中的函数为偶函数,故排除D;
由题干中函数图象可知函数的定义域不是实数集,故排除B;
对于A,当时,,不满足图象;对于C,当时,,满足图象.
故排除A,选C.
故选：C.
6、答案：D
解析：因为是定义域为R且是奇函数,
所以,
所以,,,
故选：D.
7、答案：A
解析：,
当时,在上单调递增,
所以,此时,
当时,由,
当且仅当,即时取等号,
因为在上单调递增,
若的值域为,则有,即,则,
综上,,
所以实数a的取值范围为
故选：A.
8、答案：C
解析：因为对任意的,,都有,
所以在上单调递减,
因为关于直线对称,所以关于y轴对称,即为偶函数,
所以在上单调递增,
因为,所以,
当时,,令得,即,
所以,所以,
当时,,令得,即,
所以,所以,
综上,的解集为.
故选：C.
9、答案：AC
解析：对于A,由,得,则,A正确;
对于B,由,得,而,则,B错误;
对于C,由,得,而,则,C正确;
对于D,由,知,D错误.
故选：AC.
10、答案：AD
解析：A. 因为函数的定义域为,所以,解得 ,
所以函数的定义域为,故是真命题;
B. 函数的定义域为,且在定义域上单调递增,所以函数的值域为,故不是真命题;
C. 由,得,联立解得,故不是真命题;
D.令,因为的两个不等实根都在区间内,
所以,即,
解得,所以实数的取值范围为,故是真命题;
故选：AD.
11、答案：ABD
解析：对于A,因为,
所以（舍去）,所以,
当且仅当,即时取等号,
所以ab的最小值为16,故A正确;
对于B,因为,
所以,
则,
当且仅当,即时取等号,
所以的最小值为9,故B正确;
对于C,由B得,则,
则,故C错误;
对于D,,
当,即时,取得最小值,
所以当时,的最小值为,故D正确.
故选：ABD.
12、答案：BC
解析：若函数满足对,,当时,不等式恒成立,
则,
令,则,,,且,
在上是增函数,
对于A,则,对称轴是,
故在递增,在递减,故A错误;
对于B,,则,是对勾函数,
故在递增,故B正确;
对于C,,故,对称轴是,
故在递增,故C正确;
对于D,,则,
故在递减,故D错误;
故选：BC.
13、答案：2
解析：由分段函数解析式可知,将代入可得,
再将代入可得,
即可计算出.
故答案为：2.
14、答案：
解析：因为函数是定义在R上的奇函数,则,
当时,则,可得,
所以.
故答案为：.
15、答案：
解析：因为函数是R上的减函数,
所以,
解得,
故答案为：.
16、答案：
解析：因为函数与是区间上的“2阶依附函数”,
所以在上恒成立,
又在上单调递增,则,
所以在上恒成立,即在上恒成立,
,
令,,设,
,则在上单调递增,
所以,
所以．
故答案为：．
17、答案：（1）或;
（2）.
解析：（1）,
当时,,或,
或;
（2）由题意可得集合B是集合A的真子集,
,或,解得,
实数a的取值范围是.
18、答案：（1）
（2）
解析：（1）由于函数是幂函数,故,
解得或,
当时,在上是增函数,不合题意;
当时,在上是减函数,符合题意,
故.
（2）由（1）知,则,
结合幂函数在上为增函数,
得,解得,
即.
19、答案：（1）
（2）
解析：（1）,
故恒成立,
当时,不恒成立,舍去,
当时,要想恒成立,
则要满足,解得,
综上,实数a的取值范围为;
（2）当时,函数在有解,
即在上有解,
所以在上有解,所以只需,
令,
因为,所以,
由对勾函数性质可知,在,
即上单调递减,在,即上单调递增,
由于,,
由于,故,
故,解得,
实数m的取值范围是.
20、答案：（1）
（2）综上可知,该产品的年产量为70台时,公司所获利润最大,最大利润是1760万元.
解析：（1）由题意可得：当时,,当时,
,
故．
（2）当时,,
得时万元;
当时,,
当且仅当,即时等号成立,
此时万元.
综上可知,该产品的年产量为70台时,公司所获利润最大,最大利润是1760万元.
21、答案：（1）奇函数
（2）证明见解析
（3）答案见解析
解析：（1）由题意,函数对任意实数x,y恒有,
令得,解得：.
取,则由得,
,即,
函数是奇函数.
（2）证明：任取,且,则,
当时,, ,
由得,
,
,
是R上的减函数.
（3）由得,
由得,
则,
不等式可化为,
是R上的减函数,
,即①.
（i）当时,不等式①式即为,解得：,即原不等式解集为;
（ii）当时,不等式①式化为,即,
若,上式不等式即,解得：,即原不等式解集为;
若,则,原不等式解集为;
若,则,原不等式解集为;
（iii）当时,不等式①式化为,即,
此时,原不等式解集为;
综上,当时,原不等式解集为;
当时,原不等式解集为;
当时,原不等式解集为;
当时,原不等式解集为;
当时,原不等式解集为.
22、答案：（1）
（2）
（3）
解析：（1）,又是奇函数,,
,解得,.
经验证,函数满足定义域,成立,
所以.
（2）方程在上有两个不同的根,
即在上有两个不相等的实数根,
需满足,解得.
（3）有题意知,
令,
因为函数在上单调递减,在上单调递增,
函数的对称轴为,
函数在上单调递增.
当时,;当时,;
即,
又对都有恒成立,
,
即,
解得,又,
t的取值范围是.