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2023-2024学年山东省济宁市嘉祥县第一中学高一上学期期中考试数学试题含答案
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这是一份2023-2024学年山东省济宁市嘉祥县第一中学高一上学期期中考试数学试题含答案，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．设集合，，则（ ）
A．B．
C．D．或
【答案】B
【分析】根据集合的交集运算求解即可>
【详解】解：，，
．
故选：B．
2．命题“，”的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题即可得解.
【详解】因为全称量词命题的否定为存在量词命题，
所以命题“，”的否定是，.
故选：C.
3．下列关系式中，根式与分数指数幂互化正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据指数幂的运算性质，再结合指数幂的意义即可得到答案
【详解】对于A，由有意义可知，而当时，无意义，故A错误；
对于B，当时，，而无意义，故B错误；
对于C，，故C错误．
对于D，．故D正确．
故选：D.
4．已知，，，均为实数，则下列命题中正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，则
【答案】D
【分析】利用特殊值判断A，根据不等式的性质判断B、C、D.
【详解】对于A：若、、、，满足，，
但是，，即，故A错误；
对于B：因为，，故，故B错误；
对于C：，而，故，故C错误；
对于D：因为，所以，，所以，故D正确.
故选：D.
5．已知是定义在上的偶函数，且在是增函数，设，，，则a，b，c的大小关系是
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用函数的奇偶性化简，再根据单调性比较出三者的大小关系.
【详解】由于是偶函数，故.由于在是增函数，所以，即.
故选D.
【点睛】本小题主要考查利用函数的奇偶性、单调性比较大小，属于基础题.
6．已知函数，关于函数的结论正确的是（ ）
A．B．的值域为
C．的解集为D．若，则x的值是1或
【答案】B
【分析】根据函数解析式，画出函数图象，结合图象一一判断即可；
【详解】解：因为，函数图象如下所示：
由图可知，故A错误；
的值域为，故B正确；
由解得，故C错误；
，即，解得，故D错误；
故选：B
7．设是定义在上的奇函数，且，当时，，则
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】函数满足
是周期为的周期函数，
当时，
故
故选
点睛：本题考查了函数的奇偶性与周期性，要求较大的数的函数值只需利用周期性进行转化，然后再运用函数是奇函数求得结果，属于基础题型
8．若函数且满足对任意的实数都有成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据函数是上的增函数，需要满足指数函数和一次函数都是增函数，且在分割点处函数值满足对应关系，据此列出不等式求解即可.
【详解】函数满足对任意的实数都有，
所以函数是上的增函数，
则由指数函数与一次函数单调性可知应满足，
解得，
所以数的取值范围为
故选：.
【点睛】本题考查根据分段函数的单调性求参数范围，涉及指数函数的单调性，属综合基础题.
二、多选题
9．下列给出的各选项，正确的是（ ）
A．函数与是相同函数
B．是的一个必要不充分条件
C．若的定义域是，则函数的定义域是
D．若函数（且）在上是减函数，则
【答案】ABCD
【分析】A选项，有定义域和对应法则均相同得到A正确；B选项，根据推出关系得到B正确；C选项，根据抽象函数定义域和具体函数定义域得到不等式，求出答案；D选项，由复合函数单调性得到，结合定义域得到，故D正确.
【详解】A选项，函数与定义域与对应法则均相同，故是相同函数，A正确；
B选项，因为，，故是的一个必要不充分条件，B正确；
C选项，令，解得，故定义域为，C正确；
D选项，因为且，所以在上单调递减，
要想函数（且）在上是减函数，
则要在定义域上单调递增，
故，且此时在时恒成立，
由于在上的最小值为，
故，解得，所以，D正确.
故选：ABCD
10．已知，都为正数，且，则下列说法正确的是（ ）
A．的最大值为B．的最小值为
C．的最大值为D．的最小值为
【答案】ABD
【分析】利用基本不等式一一判断即可.
【详解】对于A：，，，
，当且仅当，即，时，等号成立，
即的最大值为，故A正确，
对于B：，，，
，
由A可知，，，当且仅当，时，等号成立，
即的最小值为，故B正确，
对于C：，，，
，当且仅当，即，时，等号成立，
显然不成立，所以的最大值取不到，故C错误，
对于D，，，，
，
当且仅当，即，时，等号成立，
即的最小值为，故D正确，
故选：ABD．
11．下列说法正确的是（ ）
A．函数（且）的图像恒过定点
B．若，则
C．函数的值域为
D．关于的不等式的解集为，则不等式的解集为
【答案】BC
【分析】根据指数函数的性质判断A，根据指数幂的运算性质判断B，利用换元法及二次函数的性质判断C，关于方程的根为和，且，即可得到、、的关系，从而求出不等式的解集，即可判断D.
【详解】对于A：因为，所以函数（且）的图像恒过定点，故A错误；
对于B：因为，所以，则（负值舍去），故B正确；
对于C：令，则，，
令，，
当时，函数有最大值，
所以函数的值域为，故C正确；
对于D：因为关于的不等式的解集为，
所以关于方程的根为和，且，
即，且，解得，
∴由，得，
由化简得，解得，
即不等式的解集为，故D错误.
故选：BC
12．对任意两个实数，定义若，，下列关于函数的说法正确的是（ ）
A．函数是偶函数
B．方程有三个解
C．函数在区间上单调递增
D．函数有4个单调区间
【答案】ABD
【分析】结合题意作出函数的图象，进而数形结合求解即可.
【详解】解：根据函数与，，画出函数的图象，如图．
由图象可知，函数关于y轴对称，所以A项正确；
函数的图象与x轴有三个交点，所以方程有三个解，所以B项正确；
函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，所以C项错误，D项正确．
故选：ABD
三、填空题
13．已知集合与集合是两个相等的集合，求的值是 ．
【答案】
【分析】根据集合相等可得答案.
【详解】因为集合与集合是两个相等的集合，
所以，，，
解得，，
所以两个集合分别为，
.
故答案为：.
14．已知，则 .
【答案】
【分析】利用换元法求解即可
【详解】令，则，
所以，
即，
故答案为：
15． ．
【答案】
【分析】根据指数及对数运算律计算化简即可.
【详解】.
故答案为： .
四、双空题
16．若函数是定义在上的奇函数，当时，，则当时，函数的解析式为 ；若函数是定义在上的偶函数，且在上为增函数．则不等式的解集为
【答案】
【分析】第一空利用奇函数的性质计算即可，第二空利用单调性结合偶函数的性质解不等式即可.
【详解】令，即，则；
由题意可得：.
故答案为：；
五、解答题
17．已知集合.
（1）当时，求；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）分别求解集合，再求解的值；
（2）由条件可知，利用子集关系，分和列式求解实数的取值范围.
【详解】解：（1）当时，
或
（2），，
①当时，，此时满足；
②当时，要使成立，
则需满足，
综上，实数的取值范围是
18．已知二次函数满足条件，及.
(1)求的解析式；
(2)解不等式.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）设，，利用已知条件列出方程，求出，，即可得到解析式．
（2）依题意可得，再分、、三种情况讨论，分别求出不等式的解集.
【详解】（1）设，，
则，
又，，
所以，恒成立，
，解得，所以；
（2）不等式，即，
即，即，
当时,解得，
当时,解得，
当时,解得，
综上可得,当时,不等式的解集为，
当时,不等式的解集为，
当时,不等式的解集为.
19．已知幂函数在上单调递增，函数.
(1)当时，记、的值域分别为集合，，设：，：，若是成立的必要条件，求实数的取值范围.
(2)设，且在上单调，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用幂函数定义及单调性求出并求出集合，再利用单调性求出集合，借助集合的包含关系求解作答.
（2）求出函数的解析式，结合二次函数的性质，列出不等式求解作答.
【详解】（1）因为是幂函数，又函数在上单调递增，
则有，解得，所以，当时，，即，
函数是上的增函数，当时，，即，
因，是成立的必要条件，则，显然，
则，解得，
所以实数的取值范围是.
（2）由（1）可得，
又在上单调，所以或，
解得或，
即实数的取值范围为.
20．设，且.
（1）求的值及的定义域；
（2）求在区间上的最小值.
【答案】（1），；（2）.
【分析】（1）由函数值可求得参数值，由真数大于0可得定义域；
（2）把函数式变形为，然后确定函数的单调性，从而得最小值．
【详解】（1）由得，解得，
由得，因此，函数的定义域为；
（2）由（1）得，
令，由得，
则原函数为，，由于该函数在上单调递减，
所以，因此，函数在区间上的最小值是.
【点睛】本题考查对数函数的性质，掌握复合函数的单调性解题关键：（前提条件：在函数定义域内）
21．为宣传2023年杭州亚运会，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸（记为矩形，如图）上设计四个等高的宣传栏（栏面分别为两个等腰三角形和两个全等的直角三角形且），宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为.为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为10cm（宣传栏中相邻两个三角形板块间在水平方向上的留空宽度也都是10cm），设.
(1)当时，求海报纸（矩形）的周长；
(2)为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸量最少（即矩形的面积最小）？
【答案】(1)900cm
(2)选择长、宽分别为350cm，140cm的海报纸，可使用纸量最少
【分析】（1）根据宣传栏的面积以及可计算出直角三角形的高，再根据留空宽度即可求得矩形的周长；
（2）根据阴影部分面积为定值，表示出矩形面积的表达式利用基本不等式即可求得面积的最小值，验证等号成立的条件即可得出对应的长和宽.
【详解】（1）设阴影部分直角三角形的高为cm，
所以阴影部分的面积，所以，
又，故，
由图可知cm，cm.
海报纸的周长为cm.
故海报纸的周长为900 cm.
（2）由（1）知，，，
，
当且仅当，即cm，cm时等号成立，
此时，cm，cm.
故选择矩形的长、宽分别为350 cm，140 cm的海报纸，可使用纸量最少.
22．设函数，是定义域为的奇函数.
(1)确定的值.
(2)若，判断并证明的单调性；
(3)若，使得对一切恒成立，求出的范围.
【答案】(1)
(2)在上单调递增，证明见解析
(3)
【分析】（1）根据奇函数的性质计算可得；
（2）首先求出的值，即可得到函数解析式，再利用单调性的定义证明即可；
（3）依题意可得对恒成立，由，即可得到，从而得解.
【详解】（1）因为是定义域为的奇函数，
则，
而，解得，
所以的值是.
（2）由（1）得，是定义域为的奇函数，
又，则，即，又，解得，
则
所以函数在上单调递增，证明如下：
设且，
则，
因为，则，即，，
于是得，即，
所以函数在定义域上单调递增.
（3）当时，，
因为，，
因为函数在上单调递增，所以，
所以，解得，所以的取值范围为.
增
增
增
减
增
减
减
增
减
减
减
增
一、单选题
1．设集合，，则（ ）
A．B．
C．D．或
【答案】B
【分析】根据集合的交集运算求解即可>
【详解】解：，，
．
故选：B．
2．命题“，”的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题即可得解.
【详解】因为全称量词命题的否定为存在量词命题，
所以命题“，”的否定是，.
故选：C.
3．下列关系式中，根式与分数指数幂互化正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据指数幂的运算性质，再结合指数幂的意义即可得到答案
【详解】对于A，由有意义可知，而当时，无意义，故A错误；
对于B，当时，，而无意义，故B错误；
对于C，，故C错误．
对于D，．故D正确．
故选：D.
4．已知，，，均为实数，则下列命题中正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，则
【答案】D
【分析】利用特殊值判断A，根据不等式的性质判断B、C、D.
【详解】对于A：若、、、，满足，，
但是，，即，故A错误；
对于B：因为，，故，故B错误；
对于C：，而，故，故C错误；
对于D：因为，所以，，所以，故D正确.
故选：D.
5．已知是定义在上的偶函数，且在是增函数，设，，，则a，b，c的大小关系是
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用函数的奇偶性化简，再根据单调性比较出三者的大小关系.
【详解】由于是偶函数，故.由于在是增函数，所以，即.
故选D.
【点睛】本小题主要考查利用函数的奇偶性、单调性比较大小，属于基础题.
6．已知函数，关于函数的结论正确的是（ ）
A．B．的值域为
C．的解集为D．若，则x的值是1或
【答案】B
【分析】根据函数解析式，画出函数图象，结合图象一一判断即可；
【详解】解：因为，函数图象如下所示：
由图可知，故A错误；
的值域为，故B正确；
由解得，故C错误；
，即，解得，故D错误；
故选：B
7．设是定义在上的奇函数，且，当时，，则
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】函数满足
是周期为的周期函数，
当时，
故
故选
点睛：本题考查了函数的奇偶性与周期性，要求较大的数的函数值只需利用周期性进行转化，然后再运用函数是奇函数求得结果，属于基础题型
8．若函数且满足对任意的实数都有成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据函数是上的增函数，需要满足指数函数和一次函数都是增函数，且在分割点处函数值满足对应关系，据此列出不等式求解即可.
【详解】函数满足对任意的实数都有，
所以函数是上的增函数，
则由指数函数与一次函数单调性可知应满足，
解得，
所以数的取值范围为
故选：.
【点睛】本题考查根据分段函数的单调性求参数范围，涉及指数函数的单调性，属综合基础题.
二、多选题
9．下列给出的各选项，正确的是（ ）
A．函数与是相同函数
B．是的一个必要不充分条件
C．若的定义域是，则函数的定义域是
D．若函数（且）在上是减函数，则
【答案】ABCD
【分析】A选项，有定义域和对应法则均相同得到A正确；B选项，根据推出关系得到B正确；C选项，根据抽象函数定义域和具体函数定义域得到不等式，求出答案；D选项，由复合函数单调性得到，结合定义域得到，故D正确.
【详解】A选项，函数与定义域与对应法则均相同，故是相同函数，A正确；
B选项，因为，，故是的一个必要不充分条件，B正确；
C选项，令，解得，故定义域为，C正确；
D选项，因为且，所以在上单调递减，
要想函数（且）在上是减函数，
则要在定义域上单调递增，
故，且此时在时恒成立，
由于在上的最小值为，
故，解得，所以，D正确.
故选：ABCD
10．已知，都为正数，且，则下列说法正确的是（ ）
A．的最大值为B．的最小值为
C．的最大值为D．的最小值为
【答案】ABD
【分析】利用基本不等式一一判断即可.
【详解】对于A：，，，
，当且仅当，即，时，等号成立，
即的最大值为，故A正确，
对于B：，，，
，
由A可知，，，当且仅当，时，等号成立，
即的最小值为，故B正确，
对于C：，，，
，当且仅当，即，时，等号成立，
显然不成立，所以的最大值取不到，故C错误，
对于D，，，，
，
当且仅当，即，时，等号成立，
即的最小值为，故D正确，
故选：ABD．
11．下列说法正确的是（ ）
A．函数（且）的图像恒过定点
B．若，则
C．函数的值域为
D．关于的不等式的解集为，则不等式的解集为
【答案】BC
【分析】根据指数函数的性质判断A，根据指数幂的运算性质判断B，利用换元法及二次函数的性质判断C，关于方程的根为和，且，即可得到、、的关系，从而求出不等式的解集，即可判断D.
【详解】对于A：因为，所以函数（且）的图像恒过定点，故A错误；
对于B：因为，所以，则（负值舍去），故B正确；
对于C：令，则，，
令，，
当时，函数有最大值，
所以函数的值域为，故C正确；
对于D：因为关于的不等式的解集为，
所以关于方程的根为和，且，
即，且，解得，
∴由，得，
由化简得，解得，
即不等式的解集为，故D错误.
故选：BC
12．对任意两个实数，定义若，，下列关于函数的说法正确的是（ ）
A．函数是偶函数
B．方程有三个解
C．函数在区间上单调递增
D．函数有4个单调区间
【答案】ABD
【分析】结合题意作出函数的图象，进而数形结合求解即可.
【详解】解：根据函数与，，画出函数的图象，如图．
由图象可知，函数关于y轴对称，所以A项正确；
函数的图象与x轴有三个交点，所以方程有三个解，所以B项正确；
函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，所以C项错误，D项正确．
故选：ABD
三、填空题
13．已知集合与集合是两个相等的集合，求的值是 ．
【答案】
【分析】根据集合相等可得答案.
【详解】因为集合与集合是两个相等的集合，
所以，，，
解得，，
所以两个集合分别为，
.
故答案为：.
14．已知，则 .
【答案】
【分析】利用换元法求解即可
【详解】令，则，
所以，
即，
故答案为：
15． ．
【答案】
【分析】根据指数及对数运算律计算化简即可.
【详解】.
故答案为： .
四、双空题
16．若函数是定义在上的奇函数，当时，，则当时，函数的解析式为 ；若函数是定义在上的偶函数，且在上为增函数．则不等式的解集为
【答案】
【分析】第一空利用奇函数的性质计算即可，第二空利用单调性结合偶函数的性质解不等式即可.
【详解】令，即，则；
由题意可得：.
故答案为：；
五、解答题
17．已知集合.
（1）当时，求；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）分别求解集合，再求解的值；
（2）由条件可知，利用子集关系，分和列式求解实数的取值范围.
【详解】解：（1）当时，
或
（2），，
①当时，，此时满足；
②当时，要使成立，
则需满足，
综上，实数的取值范围是
18．已知二次函数满足条件，及.
(1)求的解析式；
(2)解不等式.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）设，，利用已知条件列出方程，求出，，即可得到解析式．
（2）依题意可得，再分、、三种情况讨论，分别求出不等式的解集.
【详解】（1）设，，
则，
又，，
所以，恒成立，
，解得，所以；
（2）不等式，即，
即，即，
当时,解得，
当时,解得，
当时,解得，
综上可得,当时,不等式的解集为，
当时,不等式的解集为，
当时,不等式的解集为.
19．已知幂函数在上单调递增，函数.
(1)当时，记、的值域分别为集合，，设：，：，若是成立的必要条件，求实数的取值范围.
(2)设，且在上单调，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用幂函数定义及单调性求出并求出集合，再利用单调性求出集合，借助集合的包含关系求解作答.
（2）求出函数的解析式，结合二次函数的性质，列出不等式求解作答.
【详解】（1）因为是幂函数，又函数在上单调递增，
则有，解得，所以，当时，，即，
函数是上的增函数，当时，，即，
因，是成立的必要条件，则，显然，
则，解得，
所以实数的取值范围是.
（2）由（1）可得，
又在上单调，所以或，
解得或，
即实数的取值范围为.
20．设，且.
（1）求的值及的定义域；
（2）求在区间上的最小值.
【答案】（1），；（2）.
【分析】（1）由函数值可求得参数值，由真数大于0可得定义域；
（2）把函数式变形为，然后确定函数的单调性，从而得最小值．
【详解】（1）由得，解得，
由得，因此，函数的定义域为；
（2）由（1）得，
令，由得，
则原函数为，，由于该函数在上单调递减，
所以，因此，函数在区间上的最小值是.
【点睛】本题考查对数函数的性质，掌握复合函数的单调性解题关键：（前提条件：在函数定义域内）
21．为宣传2023年杭州亚运会，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸（记为矩形，如图）上设计四个等高的宣传栏（栏面分别为两个等腰三角形和两个全等的直角三角形且），宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为.为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为10cm（宣传栏中相邻两个三角形板块间在水平方向上的留空宽度也都是10cm），设.
(1)当时，求海报纸（矩形）的周长；
(2)为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸量最少（即矩形的面积最小）？
【答案】(1)900cm
(2)选择长、宽分别为350cm，140cm的海报纸，可使用纸量最少
【分析】（1）根据宣传栏的面积以及可计算出直角三角形的高，再根据留空宽度即可求得矩形的周长；
（2）根据阴影部分面积为定值，表示出矩形面积的表达式利用基本不等式即可求得面积的最小值，验证等号成立的条件即可得出对应的长和宽.
【详解】（1）设阴影部分直角三角形的高为cm，
所以阴影部分的面积，所以，
又，故，
由图可知cm，cm.
海报纸的周长为cm.
故海报纸的周长为900 cm.
（2）由（1）知，，，
，
当且仅当，即cm，cm时等号成立，
此时，cm，cm.
故选择矩形的长、宽分别为350 cm，140 cm的海报纸，可使用纸量最少.
22．设函数，是定义域为的奇函数.
(1)确定的值.
(2)若，判断并证明的单调性；
(3)若，使得对一切恒成立，求出的范围.
【答案】(1)
(2)在上单调递增，证明见解析
(3)
【分析】（1）根据奇函数的性质计算可得；
（2）首先求出的值，即可得到函数解析式，再利用单调性的定义证明即可；
（3）依题意可得对恒成立，由，即可得到，从而得解.
【详解】（1）因为是定义域为的奇函数，
则，
而，解得，
所以的值是.
（2）由（1）得，是定义域为的奇函数，
又，则，即，又，解得，
则
所以函数在上单调递增，证明如下：
设且，
则，
因为，则，即，，
于是得，即，
所以函数在定义域上单调递增.
（3）当时，，
因为，，
因为函数在上单调递增，所以，
所以，解得，所以的取值范围为.
增
增
增
减
增
减
减
增
减
减
减
增
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