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2023-2024学年山东省新泰市第一中学（实验部）高一上学期期中考试数学试题含答案
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这是一份2023-2024学年山东省新泰市第一中学（实验部）高一上学期期中考试数学试题含答案，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．若集合，，则，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】确定，再根据集合的运算法则依次判断每个选项即可.
【详解】集合，，则，
对选项A：，，错误；
对选项B：，错误；
对选项C：，错误；
对选项D：，，正确；
故选：D
2．已知，则三个数的大小顺序是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用指数函数与对数函数的性质结合中间值0和1比较后可得.
【详解】由，
，
，
所以.
故选：B.
3．1614年纳皮尔在研究天文学的过程中，为了简化计算面发明对数；1637年笛卡尔开始使用指数运算；1707年欧拉发现了指数与对数的互逆关系，对数源于指数，对数的发明先于指数，这已成为历史珍闻. ，，，估计的值约为（ ）
A．0.1654B．0.2314C．0.3055D．0.4897
【答案】C
【分析】根据指数与对数式的互化，可得x的表达式，利用对数运算，结合已知可求得答案.
【详解】由可得，即,
故选：C.
4．“”是“在上单调递增”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】充分性直接证明，必要性举特值验证.
【详解】在单调递增，充分性成立，
若时在单调递增，但是不满足，所以必要性不成立.
故选：A
5．甲、乙分别解关于x的不等式．甲抄错了常数b，得到解集为；乙抄错了常数c，得到解集为．如果甲、乙两人解不等式的过程都是正确的，那么原不等式解集应为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据韦达定理求得参数b、c，解不等式即可.
【详解】由韦达定理得，即，故不等式为，解集为.
故选：A
6．已知函数是R上的偶函数，且在上恒有，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据函数是R上的偶函数得到的对称轴，然后根据得到函数在上的单调性，进而得到函数在R上的单调性，最后求得答案.
【详解】因为函数是R上的偶函数，所以关于直线对称，在上恒有，当时，，所以在单调递减，在单调递增，不等式需满足，解得.
故选：C．
7．函数的图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由函数的定义域可排除A选项；再由可排除B选项；再由函数的单调性可选出D选项.
【详解】根据，根据分母不为0，则，
，
根据得，
则，则，排除A、B项；
而，其图像关于直线对称，
且在上单调递减，在上单调递增，
最后将其向上平移1个单位，则得到图中图像，且当时，，故D正确.
故选：D
8．已知x，，满足，，则（ ）
A．-1B．0C．1D．2
【答案】B
【分析】令，，易得为奇函数且为增函数，再由和，变形得到，求解．
【详解】解：令，，则，
∴为奇函数．
∵，
∴．
又∵，
∴，
∴，．
又∵在R上单调递增，
∴，即．
故选：B．
二、多选题
9．下到说法正确的是（ ）
A．若函数的定义域为，则函数的定义域为
B．函数且的图象恒过定点
C．函数的单调递增区间为
D．的最大值为
【答案】BC
【分析】对于A，根据抽象函数求定义域即可；对于B，根据对数函数图象性质解决即可；对于C，根据分段函数解决即可；对于D，根据指数型复合函数解决即可.
【详解】对于A，函数的定义域为，则函数的定义域应满足，解得，
所以函数的定义域为，故A错误；
对于B，函数，由对数函数的图象性质令，解得，此时，所以函数的图象恒过定点，故B正确；
对于C，当时，函数开口向上，对称轴为，单调增区间为，
当时，函数开口向上，对称轴为，单调增区间为，故C正确；
对于D，，令，当时，，故D错误.
故选：BC
10．已知函数的定义域为，对任意实数，满足：．且，当时，．则下列选项正确的是（ ）
A．B．
C．为奇函数D．为上的减函数
【答案】ACD
【分析】特殊值代入计算即可得到A正确，特殊值代入可得B错误，经过变换可得到C正确，根据函数的单调性的定义得到D正确.
【详解】对于A，由题可知，故，故A正确；
对于B，由题可知，，故B错误；
对于C，，故，为奇函数，故C正确；
对于D，当时，，
，
是上的减函数，故D正确.
故选：ACD
11．下列说法正确的是（ ）
A．不等式的解集是B．若正实数x，y满足，则的最大值为2
C．若，则D．若，则
【答案】AD
【分析】解不等式得到A正确，举反例得到BC错误，作差计算，D正确，得到答案.
【详解】对选项A：，则，正确；
对选项B：取，满足，此时，错误；
对选项C：取得到，错误；
对选项D：，则，正确；
故选：AD
12．已知函数，若方程有三个实数根，，，且，则下列结论正确的为（ ）
A．
B．的取值范围为
C．的取值范围为
D．不等式的解集为
【答案】ACD
【分析】分析给定函数的性质，作出函数的图象，数形结合逐一分析各选项判断作答.
【详解】函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，
方程的三个实数根分别是直线与函数图象交点的横坐标，如图，
由，必有，而，则，即，解得，A正确；
因在上单调递增，，当时，直线与函数的图象只有两个公共点，
因此，方程有三个实数根，当且仅当，B不正确；
在中，当时，，而函数在上单调递减，则当时，，，C正确；
当时，因当时，，于是得，且，解得，
当时，，解得，所以不等式的解集为，D正确.
故选：ACD
三、填空题
13．设函数，则的单调递增区间为 ．
【答案】
【分析】将函数视为复合函数，根据“同增异减”的判断原则，进行求解；注意定义域的取舍.
【详解】记，
因为为减函数，所以当单调递增时，单调递减，
由得或，
又当时，单调递减.
故．
故答案为：.
14．设，则的值为 .
【答案】11
【分析】代入分段函数，结合分段函数自变量范围，逐步求出函数值.
【详解】.
故答案为：.
15．若任意，不等式恒成立，则实数的范围为 .
【答案】
【分析】变换得到，利用均值不等式计算最值得到答案.
【详解】，不等式恒成立，即，
，当且仅当时等号成立，故.
故答案为：
16．设函数的定义域为R，为偶函数，为奇函数，当时，，若，则 ．
【答案】
【分析】根据函数的奇偶性，先求得，然后求得.
【详解】因为是偶函数，所以①，
因为是奇函数，所以②，
令，由①得：，
由②得：，
因为，所以，
令，由②得：，
所以当时，，
.
故答案为：
四、解答题
17．已知集合．
(1)若，求；
(2)若，求实数a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）代入，求出集合A，B，然后求并集即可.
（2）解含参的二次不等式得集合B，再根据列不等式求解即可.
【详解】（1），
当时，，
；
（2），
又由（1），
，
或，
实数a的取值范围是.
18．求值：
(1)；
(2)；
(3).
【答案】(1)
(2)8
(3)
【分析】依照指数和对数的运算律计算依次计算代数式的值.
【详解】（1）原式；
（2）原式；
（3）原式.
19．已知幂函数为偶函数，．
(1)若，求；
(2)已知，若关于x的不等式在上恒成立，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先利用幂函数的定义及性质求出，再利用列方程求出；
（2）将问题转化为，构造函数，利用函数单调性的定义判断的单调性，根据单调性可求得，进而可得的取值范围
【详解】（1）对于幂函数，得，
解得或，
又当时，不为偶函数，
，
，
，
，
解得；
（2）关于x的不等式在上恒成立，
即在上恒成立，
即，
先证明在上单调递增：
任取，
则，
，
，，又，
，
，即，
故在上单调递增，
，
，又，
解得.
20．我国某企业为了进一步增加市场竞争力，计划在2023年利用新技术生产某款新手机.通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本万，每生产（千部）手机，需另投入可变成本万元，且，由市场调研知，每部手机售价万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完.（利润销售额－固定成本－可变成本）
(1)求2023年的利润（万元）关于年产量（千部）的函数关系式；
(2)2023年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)
(2)产量为（千部）时，企业所获利润最大，最大利润是万元
【分析】（1）根据已知条件，结合利润销售额－固定成本－可变成本的公式，分，两种情况讨论，即可求解．
（2）根据已知条件，结合二次函数的性质，以及基本不等式的公式，分别求解分段函数的最大值，再通过比较大小，即可求解．
【详解】（1）解：当时，
，
当时，，
故．
（2）解：若时，，
当时，万元，
当时，，
当且仅当，即时，万元，
故年产量为（千部）时，企业所获利润最大，最大利润是万元．
21．已知函数是奇函数
(1)求实数的值；
(2)判断在定义域上的单调性，并用单调性的定义加以证明；
(3)若，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)单调递减，证明见解析
(3)
【分析】（1）由可求出实数的值；
（2）函数在上单调递减，再由单调性的定义证明；
（3）由函数的奇偶性可得，再由函数的单调性即可得出答案.
【详解】（1）依题意，的定义域为，
由是奇函数得，即，
于是.
（2）在上单调递减.
设.
，因为，所以，
于是在上单调递减.
（3）由得，
因为是奇函数，所以，即，
由（2）得，于是恒成立.
因为在单调递减，所以.
综上，满足题设的的取值范围是.
22．函数.
(1)如果时，有意义，求实数的取值范围；
(2)当时，值域为，求实数的值；
(3)在（2）条件下，.解关于的不等式.
【答案】(1)
(2)0
(3)答案见解析
【分析】（1）变换，令，计算最值得到答案.
（2）令，的值域包含，考虑和两种情况，计算得到答案.
（3）确定，函数单调递增，得到，考虑，，，几种情况，解得答案.
【详解】（1），，即，
令，，则恒成立，
，，故，
a的取值范围为.
（2）令，的值域包含，
①时，，其值域为，满足条件；
②时，，令，，，
函数为开口向下的抛物线，的值域为，不满足条件；
综上所述：.
（3），定义域为，，函数单调递增，
，即，
即，且，
①当时，解集为或；
②当时，解集为；
③当时，解集为或；
④当时，解集为；
一、单选题
1．若集合，，则，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】确定，再根据集合的运算法则依次判断每个选项即可.
【详解】集合，，则，
对选项A：，，错误；
对选项B：，错误；
对选项C：，错误；
对选项D：，，正确；
故选：D
2．已知，则三个数的大小顺序是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用指数函数与对数函数的性质结合中间值0和1比较后可得.
【详解】由，
，
，
所以.
故选：B.
3．1614年纳皮尔在研究天文学的过程中，为了简化计算面发明对数；1637年笛卡尔开始使用指数运算；1707年欧拉发现了指数与对数的互逆关系，对数源于指数，对数的发明先于指数，这已成为历史珍闻. ，，，估计的值约为（ ）
A．0.1654B．0.2314C．0.3055D．0.4897
【答案】C
【分析】根据指数与对数式的互化，可得x的表达式，利用对数运算，结合已知可求得答案.
【详解】由可得，即,
故选：C.
4．“”是“在上单调递增”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】充分性直接证明，必要性举特值验证.
【详解】在单调递增，充分性成立，
若时在单调递增，但是不满足，所以必要性不成立.
故选：A
5．甲、乙分别解关于x的不等式．甲抄错了常数b，得到解集为；乙抄错了常数c，得到解集为．如果甲、乙两人解不等式的过程都是正确的，那么原不等式解集应为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据韦达定理求得参数b、c，解不等式即可.
【详解】由韦达定理得，即，故不等式为，解集为.
故选：A
6．已知函数是R上的偶函数，且在上恒有，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据函数是R上的偶函数得到的对称轴，然后根据得到函数在上的单调性，进而得到函数在R上的单调性，最后求得答案.
【详解】因为函数是R上的偶函数，所以关于直线对称，在上恒有，当时，，所以在单调递减，在单调递增，不等式需满足，解得.
故选：C．
7．函数的图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由函数的定义域可排除A选项；再由可排除B选项；再由函数的单调性可选出D选项.
【详解】根据，根据分母不为0，则，
，
根据得，
则，则，排除A、B项；
而，其图像关于直线对称，
且在上单调递减，在上单调递增，
最后将其向上平移1个单位，则得到图中图像，且当时，，故D正确.
故选：D
8．已知x，，满足，，则（ ）
A．-1B．0C．1D．2
【答案】B
【分析】令，，易得为奇函数且为增函数，再由和，变形得到，求解．
【详解】解：令，，则，
∴为奇函数．
∵，
∴．
又∵，
∴，
∴，．
又∵在R上单调递增，
∴，即．
故选：B．
二、多选题
9．下到说法正确的是（ ）
A．若函数的定义域为，则函数的定义域为
B．函数且的图象恒过定点
C．函数的单调递增区间为
D．的最大值为
【答案】BC
【分析】对于A，根据抽象函数求定义域即可；对于B，根据对数函数图象性质解决即可；对于C，根据分段函数解决即可；对于D，根据指数型复合函数解决即可.
【详解】对于A，函数的定义域为，则函数的定义域应满足，解得，
所以函数的定义域为，故A错误；
对于B，函数，由对数函数的图象性质令，解得，此时，所以函数的图象恒过定点，故B正确；
对于C，当时，函数开口向上，对称轴为，单调增区间为，
当时，函数开口向上，对称轴为，单调增区间为，故C正确；
对于D，，令，当时，，故D错误.
故选：BC
10．已知函数的定义域为，对任意实数，满足：．且，当时，．则下列选项正确的是（ ）
A．B．
C．为奇函数D．为上的减函数
【答案】ACD
【分析】特殊值代入计算即可得到A正确，特殊值代入可得B错误，经过变换可得到C正确，根据函数的单调性的定义得到D正确.
【详解】对于A，由题可知，故，故A正确；
对于B，由题可知，，故B错误；
对于C，，故，为奇函数，故C正确；
对于D，当时，，
，
是上的减函数，故D正确.
故选：ACD
11．下列说法正确的是（ ）
A．不等式的解集是B．若正实数x，y满足，则的最大值为2
C．若，则D．若，则
【答案】AD
【分析】解不等式得到A正确，举反例得到BC错误，作差计算，D正确，得到答案.
【详解】对选项A：，则，正确；
对选项B：取，满足，此时，错误；
对选项C：取得到，错误；
对选项D：，则，正确；
故选：AD
12．已知函数，若方程有三个实数根，，，且，则下列结论正确的为（ ）
A．
B．的取值范围为
C．的取值范围为
D．不等式的解集为
【答案】ACD
【分析】分析给定函数的性质，作出函数的图象，数形结合逐一分析各选项判断作答.
【详解】函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，
方程的三个实数根分别是直线与函数图象交点的横坐标，如图，
由，必有，而，则，即，解得，A正确；
因在上单调递增，，当时，直线与函数的图象只有两个公共点，
因此，方程有三个实数根，当且仅当，B不正确；
在中，当时，，而函数在上单调递减，则当时，，，C正确；
当时，因当时，，于是得，且，解得，
当时，，解得，所以不等式的解集为，D正确.
故选：ACD
三、填空题
13．设函数，则的单调递增区间为 ．
【答案】
【分析】将函数视为复合函数，根据“同增异减”的判断原则，进行求解；注意定义域的取舍.
【详解】记，
因为为减函数，所以当单调递增时，单调递减，
由得或，
又当时，单调递减.
故．
故答案为：.
14．设，则的值为 .
【答案】11
【分析】代入分段函数，结合分段函数自变量范围，逐步求出函数值.
【详解】.
故答案为：.
15．若任意，不等式恒成立，则实数的范围为 .
【答案】
【分析】变换得到，利用均值不等式计算最值得到答案.
【详解】，不等式恒成立，即，
，当且仅当时等号成立，故.
故答案为：
16．设函数的定义域为R，为偶函数，为奇函数，当时，，若，则 ．
【答案】
【分析】根据函数的奇偶性，先求得，然后求得.
【详解】因为是偶函数，所以①，
因为是奇函数，所以②，
令，由①得：，
由②得：，
因为，所以，
令，由②得：，
所以当时，，
.
故答案为：
四、解答题
17．已知集合．
(1)若，求；
(2)若，求实数a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）代入，求出集合A，B，然后求并集即可.
（2）解含参的二次不等式得集合B，再根据列不等式求解即可.
【详解】（1），
当时，，
；
（2），
又由（1），
，
或，
实数a的取值范围是.
18．求值：
(1)；
(2)；
(3).
【答案】(1)
(2)8
(3)
【分析】依照指数和对数的运算律计算依次计算代数式的值.
【详解】（1）原式；
（2）原式；
（3）原式.
19．已知幂函数为偶函数，．
(1)若，求；
(2)已知，若关于x的不等式在上恒成立，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先利用幂函数的定义及性质求出，再利用列方程求出；
（2）将问题转化为，构造函数，利用函数单调性的定义判断的单调性，根据单调性可求得，进而可得的取值范围
【详解】（1）对于幂函数，得，
解得或，
又当时，不为偶函数，
，
，
，
，
解得；
（2）关于x的不等式在上恒成立，
即在上恒成立，
即，
先证明在上单调递增：
任取，
则，
，
，，又，
，
，即，
故在上单调递增，
，
，又，
解得.
20．我国某企业为了进一步增加市场竞争力，计划在2023年利用新技术生产某款新手机.通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本万，每生产（千部）手机，需另投入可变成本万元，且，由市场调研知，每部手机售价万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完.（利润销售额－固定成本－可变成本）
(1)求2023年的利润（万元）关于年产量（千部）的函数关系式；
(2)2023年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)
(2)产量为（千部）时，企业所获利润最大，最大利润是万元
【分析】（1）根据已知条件，结合利润销售额－固定成本－可变成本的公式，分，两种情况讨论，即可求解．
（2）根据已知条件，结合二次函数的性质，以及基本不等式的公式，分别求解分段函数的最大值，再通过比较大小，即可求解．
【详解】（1）解：当时，
，
当时，，
故．
（2）解：若时，，
当时，万元，
当时，，
当且仅当，即时，万元，
故年产量为（千部）时，企业所获利润最大，最大利润是万元．
21．已知函数是奇函数
(1)求实数的值；
(2)判断在定义域上的单调性，并用单调性的定义加以证明；
(3)若，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)单调递减，证明见解析
(3)
【分析】（1）由可求出实数的值；
（2）函数在上单调递减，再由单调性的定义证明；
（3）由函数的奇偶性可得，再由函数的单调性即可得出答案.
【详解】（1）依题意，的定义域为，
由是奇函数得，即，
于是.
（2）在上单调递减.
设.
，因为，所以，
于是在上单调递减.
（3）由得，
因为是奇函数，所以，即，
由（2）得，于是恒成立.
因为在单调递减，所以.
综上，满足题设的的取值范围是.
22．函数.
(1)如果时，有意义，求实数的取值范围；
(2)当时，值域为，求实数的值；
(3)在（2）条件下，.解关于的不等式.
【答案】(1)
(2)0
(3)答案见解析
【分析】（1）变换，令，计算最值得到答案.
（2）令，的值域包含，考虑和两种情况，计算得到答案.
（3）确定，函数单调递增，得到，考虑，，，几种情况，解得答案.
【详解】（1），，即，
令，，则恒成立，
，，故，
a的取值范围为.
（2）令，的值域包含，
①时，，其值域为，满足条件；
②时，，令，，，
函数为开口向下的抛物线，的值域为，不满足条件；
综上所述：.
（3），定义域为，，函数单调递增，
，即，
即，且，
①当时，解集为或；
②当时，解集为；
③当时，解集为或；
④当时，解集为；
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