2022-2023学年山东省济宁市嘉祥县第一中学高二上学期期末数学试题（解析版）

2022-2023学年山东省济宁市嘉祥县第一中学高二上学期期末数学试题

一、单选题

1．设直线的斜率为，且，则直线的倾斜角的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据题意，由及已知条件，代入计算，即可得到结果.

【详解】因为，且

所以

故选:C.

2．已知抛物线上的点到其准线的距离为，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】首先根据抛物线的标准方程的形式，确定的值，再根据焦半径公式求解.

【详解】，，

因为点到的准线的距离为，所以，得．

故选：C

3．若直线与圆相离，则过点的直线与圆的位置关系是（    ）

A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定

【答案】C

【分析】根据题意，求出圆心到直线的距离大于半径，得到，故点在圆内，进而判断结果.

【详解】因为直线与圆相离，

所以圆心到直线的距离大于半径，

即，所以，故点在圆内，

所以过点的直线与圆相交，

故选：C.

4．已知在空间四边形中，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据得到G为CD的中点，再利用平行四边形法则得到，最后代入计算即可.

【详解】因为，故G为CD的中点，如图，

由平行四边形法则可得，

所以.

故选：A.

5．数列满足，且则的值为（　　）

A． B．

C．2 D．1

【答案】C

【分析】根据数列的递推关系式，求得数列的周期性，结合周期性得到，即可求解.

【详解】由题意，数列满足，且，

可得，

可得数列是以三项为周期的周期数列，

所以.

故选：C.

6．若直线平分圆的周长，则的最小值为　　

A．1 B． C． D．5

【答案】B

【分析】根据圆心在直线上得，可得，再用基本不等式可得结果．

【详解】因为直线平分圆的周长，

所以圆心在直线上，

所以，即，

，

当且仅当，故选B．

【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，基本不等式的应用，属中档题．利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数是否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.

7．甲､乙两队进行羽毛球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获得冠军，乙队需要再赢两局才能得到冠军，若甲队每局获胜的概率为，则甲队获得冠军的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由题设知甲、乙两队获胜的概率分别为、，甲队要获得冠军，则至少在两局内赢一局，利用概率的乘法和加法公式求概率即可.

【详解】由题意知：每局甲队获胜的概率为，乙队获胜的概率为，

∴至少在两局内甲队赢一局，甲队才能获得冠军，

当第一局甲队获胜，其概率为；

当第一局甲队输，第二局甲队赢，其概率为.

∴甲队获得冠军的概率为.

故选：B.

8．观察下面数阵，

则该数阵中第9行，从左往右数的第20个数是（    ）

A．545 B．547 C．549 D．551

【答案】C

【分析】根据数阵中数的排列规律1,3,5,7,9，都是连续的奇数，第一行1个数，第二行2个数，第三行4个数，第四行8个数，，第九行个数，分别求出从左起第1个数的规律，按照此规律求出答案即可.

【详解】根据数阵中数的排列规律1,3,5,7,9，都是连续的奇数，

第一行1个数，

第二行个数，且第1个数是；

第三行个数，且第1个数是；

第四行个数，且第1个数是；

第九行个数，且第1个数是，

第2个数是，第3个数是，则第20个数是，

故选：.

二、多选题

9．（多选）关于频率和概率，下列说法正确的是（    ）

A．某同学投篮3次，命中2次，则该同学每次投篮命中的概率为

B．费勒抛掷10000次硬币，得到硬币正面向上的频率为0.4979；皮尔逊抛掷24000次硬币，得到硬币正面向上的频率为0.5005．如果某同学抛掷36000次硬币那么得到硬币正面向上的频率可能大于0.5005

C．某类种子发芽的概率为0.903，若抽取2000粒种子试种，则一定会有1806粒种子发芽

D．将一颗质地均匀的骰子抛掷6000次，则掷出的点数大于2的次数大约为4000次

【答案】BD

【分析】通过对频率和概率的定义的理解，即可判断各选项，从而得出答案.

【详解】解：A中，某同学投篮3次，命中2次，只能说明频率为，而不能说明概率为，故A选项错误；

B中，当试验次数很多时，硬币正面向上的频率在0.5附近摆动，可能大于0.5，也可能小于0.5，故B选项正确；

C中，只能说明大约有1806粒种子发芽，并不是定有1806粒种子发芽，故C选项错误；

D中，点数大于2的概率为，故抛掷6000次点数大于2的次数大约为4000次，故D选项正确．

故选：BD．

10．已知椭圆的两个焦点分别为，与轴正半轴交于点，下列选项中给出的条件，能够求出椭圆标准方程的选项是（    ）

A．

B．已知椭圆的离心率为，短轴长为2

C．是等边三角形，且椭圆的离心率为

D．设椭圆的焦距为4，点在圆上

【答案】ABD

【分析】逐项代入分析即可求解.

【详解】根据之间的关系即可求解，故选项A正确；

根据即可求解，故选项B正确；

是等边三角形，且椭圆的离心率为，只能确定，不能求椭圆标准方程，故选项C不正确；

设椭圆的焦距为4，点在圆上，所以，即可求出椭圆标准方程,故选项D正确.

故选：ABD.

11．已知数列的前项和为，且，则下列说法正确的是（    ）

A．数列的奇数项成等差数列 B．数列的偶数项成等比数列

C． D．

【答案】BD

【分析】根据推出，从而得到的奇数项成等比数列，偶数项成等比数列，A错误，B正确；

写出奇数项和偶数项的通项公式，从而判断D正确，并求出，C错误.

【详解】，则，

两式相除得：，

中令得：，

因为，所以，

所以数列的奇数项成等比数列，首项为，公比为4，

数列的偶数项成等比数列，首项为，公比为4，

故A错误，B正确；

当为奇数时，，

当为偶数时，，

当为奇数时，为偶数，故，

当为偶数时，为奇数，故，

综上：，D正确；

，，C错误.

故选：BD

12．如图，若正方体的棱长为1，点M是正方体的侧面上的一个动点（含边界），P是棱上靠近G点的三等分点，则下列结论正确的有（    ）

A．沿正方体的表面从点A到点P的最短路程为

B．保持与垂直时，M的运动轨迹是线段

C．若保持，则点M在侧面内运动路径长度为

D．当M在D点时，三棱锥的体积取到最大值

【答案】BD

【分析】利用平面分析可判断A，利用空间直角坐标系得到轨迹方程为直线方程可判断B，利用向量坐标表示表示模长可得轨迹为圆即可判断C，利用点到直线的距离公式可判断D.

【详解】对于A，将正方体的下面和右面展开可得如下图形，

连接,则，

因此A到点P的最短路程为，故A错误；

对于B，建系如图，设，

，

所以，即，

又因为是侧面上的一个动点（含边界），

所以M的运动轨迹是线段,

为靠近点的三等分点和靠近点三等分点的的连线段.

故B正确；

对于C，由B选项过程可得，

整理得，

所以M在侧面内运动路径是以为圆心，为半径的圆，

而点到的距离等于，

所以要保持，则点在侧面外，

所以点M在侧面内运动路径长度为，故C错误；

对于D，设平面的法向量为，

，

所以，令，解得，

所以点到平面的距离等于，

因为点在平面内，所以，

所以当，即当M在D点时，三棱锥的高最大，

又因为的面积为定值，

所以当M在D点时，三棱锥的体积最大，故D正确.

故选:BD.

三、填空题

13．已知向量，，满足，则______．

【答案】

【分析】根据空间向量减法和数量积的坐标表示公式进行求解即可.

【详解】解：因为，，，

所以，∵，则，解得．

故答案为：．

14．在一段线路中并联两个自动控制的常用开关，只要其中有一个开关能够闭合，线路就能正常工作.假定在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是，则这段时间内线路正常工作的概率为________.

【答案】0.91##

【分析】首先求出线路不能正常工作的概率，利用对立事件即可求出线路正常工作的概率.

【详解】线路不能正常工作的概率为：

，

∴能够正常工作的概率为，

故答案为：0.91.

15．记为等比数列的前项和.若，则__________.

【答案】

【分析】利用等比数列求和公式列方程求解即可.

【详解】设等比数列公比为，

当时，，无解；

当时，，得，

.

故答案为：

16．已知椭圆，的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与交于，两点，的周长是13，则_____．

【答案】6

【分析】由题意可知为等边三角形，为线段的垂直平分线，利用定义转化的周长为4a，即可求出a，b，c，设的方程为，联立椭圆方程，利用韦达定理，根据弦长公式求解即可.

【详解】如图，连接，

因为的离心率为，所以，即，

所以，

因为，所以为等边三角形，

又，所以直线为线段的垂直平分线，

所以，，

则的周长为，

，

而，所以直线的方程为，

代入椭圆的方程，得，

设，，则，

所以，

故答案为：6.

四、解答题

17．为数列的前项和，已知，．

(1)求的通项公式；

(2)设，求数列的前项和．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据前项和，由，作差即可求解的通项公式；

（2）根据裂项求和法即可求解．

【详解】（1）解：①当时，，

又，∴，

②当时，由，可得

两式相减得：，整理得，

∵，∴，

∴是以首项为4，公差为3的一个等差数列，

∴；

（2）解：由（1）可得，

数列的前项和：．

18．某校高一年级组织学科活动竞赛，现随机抽取了100名学生进行成绩统计，成绩的频率分布直方图如图所示，数据的分组依次为：、、、、、．

(1)求a的值及这100名学生成绩的众数；

(2)若采用分层抽样的方法，从成绩在和内的学生中共抽取7人，查看他们的答题情况来分析知识点上的缺漏，再从中随机选取2人进行调查分析，求这2人中恰好有1人成绩在内的概率．

【答案】(1),众数为75.

(2)

【分析】（1）利用频率分布直方图直接求解；（2）利用古典概率模型求解即可.

【详解】（1），

众数为75.

（2）设这2人中恰好有1人成绩在内为事件，

由题设可知，成绩在和内的频率为0.20,0.15，

则抽取的7人中，成绩在的人数为4，成绩在内的学生数为3，

记成绩在得4位同学分别为，

成绩在得3位同学分别为，

则从7人中，任取2人，基本事件有：

共21个，

其中事件包含的基本事件有

共12个，

所以这2人中恰好有1人成绩在内的概率为.

19．已知抛物线：的焦点到顶点的距离为.

(1)求抛物线的方程；

(2)已知过点的直线交抛物线于不同的两点，，为坐标原点，设直线，的斜率分别为，，求的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由抛物线的几何性质有焦点到顶点的距离为，从而即可求解；

（2）当直线的斜率不存在时，不符合题意；当直线的斜率存在时，设的方程为，，，联立抛物线的方程，由韦达定理及两点间的斜率公式即可求解.

【详解】（1）解：依题意，，解得，

∴抛物线的方程为；

（2）解：当直线的斜率不存在时，直线与抛物线仅有一个交点，不符合题意；

当直线的斜率存在时，设的方程为，，，

由消去可得，

∵直线交抛物线于不同的两点，

∴，由韦达定理得，

∴.

20．如图1，在中，，，，是的中点，在上，.沿着将折起，得到几何体，如图2

(1)证明：平面平面；

(2)若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）根据图1可知折叠后，，由此可证平面，再根据面面垂直的判定定理，即可证明结果；

（2）由题可知是二面角的平面角，易证是等边三角形，连接，根据图1中的几何关系和面面垂直的性质定理可证平面，再以为原点，，，为，，轴建系，利用空间向量法即可求出线与平面所成角.

【详解】（1）证明：因为在图1中，沿着将折起，

所以在图2中有，，

又，

所以平面，

又因为平面，

所以平面平面；

（2）解：由（1）知，，，

所以是二面角的平面角，

所以，

又因为，

所以是等边三角形，

连接，

在图1中，因为，，

所以，

因为是的中点，

所以，

所以是等边三角形.

取的中点，连接，，

则，，

因为平面平面，平面平面，

所以平面，

所以，，两两垂直，

以为原点，，，为，，轴建系，如图所示.

，，，

所以，，

设平面的法向量为，

则即

取，得平面的一个法向量为，

所以.

设直线与平面所成角为，则.

21．若数列的前n项和为，且，等差数列满足，.

(1)求数列，的通项公式；

(2)设，求数列的前n项和.

【答案】(1)；

(2)

【分析】（1）利用得到数列是等比数列，利用等比数列的通项公式可得数列，再代入数列满足的等式可得的通项公式；

（2）利用错位相减法可求和.

【详解】（1），

又，

两式相减得，

即，故数列是以3为公比的等比数列，

又当时，，得，

，

，，

等差数列的公差为，

（2）由（1）可得，

，

上两式相减得，

22．已知椭圆：的左焦点为，左顶点为，离心率为.

(1)求的方程；

(2)若过坐标原点且斜率为的直线与E交于A，B两点，直线AF与的另一个交点为，的面积为，求直线的方程.

【答案】(1)

(2)或

【分析】（1）由左顶点为得，再根据离心率为，求出值，则得到值，则求出的方程.

（2）设直线方程为，联立椭圆方程得，设，，则得到韦达定理式，利用弦长公式得到，则有，解出即可.

【详解】（1）设椭圆E的半焦距为.

因为椭圆的左顶点为，所以.

又离心率，所以.

所以，

所以的方程为.

（2）由（1）可知，设直线的方程为.

由消去并整理得.

设，，

则，，

所以.

因此，

解得，即，

所以直线的方程为或.

【点睛】关键点睛：第二问通常采取设线法，为了减少计算，我们引入参数，设直线的方程为，联立椭圆得到方程，则得到韦达定理式，再利用弦长公式得到其面积相关方程，解出参数即可.