2022-2023学年河北省石家庄二中教育集团高二上学期期末四校联考数学试题（解析版）

2022-2023学年河北省石家庄二中教育集团高二上学期期末四校联考数学试题

一、单选题

1．若直线在轴、轴上的截距分别是-2和3，则，的值分别为

A．3，2 B．-3，-2 C．-3，2 D．3，-2

【答案】D

【详解】分析：将代入直线方程即可求解．

详解：由题意，得，

解得．

点睛：本题考查直线的方程等知识，意在考查学生的基本计算能力和数学转化能力．

2．已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，则此双曲线的渐近线方程是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】求出双曲线方程中的即得解.

【详解】解：∵抛物线的焦点是（2，0），∴，，∴，

∴．

所以双曲线的渐近线方程为.

故选：D

3．的展开式中的系数是（    ）

A．  B．840 C．210 D．

【答案】B

【分析】根据二项式展开式的通项公式，即可求得答案.

【详解】由题意可得的展开式通项公式为 ，

故展开式的系数为 ，

故选：B

4．已知由正数组成的等比数列中，前6项的乘积是64，那么的最小值是

A．2 B．4 C．8 D．16

【答案】B

【详解】分析：先利用题意和等比数列的性质得到，再利用基本不等式进行求解．

详解：由等比数列的性质，得

，

即，

又因为，

所以

（当且仅当时取等号）．

点睛：本题考查等比数列的性质、基本不等式等知识，意在考查学生的逻辑思维能力和基本计算能力．

5．2023年元旦假期，小明同学外出去某超市购物，获得了该超市的一次抽奖机会，需从9个外观完全相同的盲盒中，随机抽取3个．已知这9个盲盒中，其中3个盲盒各装有1支完全相同的钢笔，另外6个盲盒中，各装有不同的1个小饰品，则拆开选取的3个盲盒后，小明获奖的情形为（    ）种

A．84 B．42 C．41 D．35

【答案】B

【分析】对抽到钢笔的情形分种情况讨论，按照分类加法计数原理计算可得.

【详解】解：依题意小明抽到支钢笔，则抽到个不同的小饰品，有种；

小明抽到支钢笔，则抽到个不同的小饰品，有种；

小明抽到支钢笔，则只有种；

小明抽到支钢笔，则抽到个不同的小饰品，由种；

综上可得小明获奖的情形有种.

故选：B

6．已知圆M：，圆N：，圆N上存在点P，过P作圆M的两条切线PA，PB，若，则m的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据，得到，得出点P的轨迹是圆心在原点，半径为的圆，结合两圆的位置关系列出不等式组，即可求解.

【详解】由题意，圆：可化为，

因为，所以四边形MAPB是正方形，所以，

可得点P的轨迹是圆心在原点，半径为的圆，

又因为点P在圆N上，所以，解得，

所以m的取值范围为.

故选：D.

7．已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是，接下来的两项是，，再接下来的三项是，，，依此类推，则该数列的前94项和是

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】分析：先归纳出的项数和变化规律，再确定第94项在第几组，是第几项，再利用等比数列的前项和公式进行求解．

详解：由题意，得共有项，

且，

令，

则的最大值为，且，

则该数列的前94项的和为

．

点睛：归纳推理是由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或由个别事实概括出一般结论的推理，其思维过程如下：

试验、观察概括、推广猜测一般性结论．

8．设，分别为具有公共焦点与的椭圆和双曲线的离心率，为两曲线的一个公共点，且满足，则的最小值为（   ）

A．3 B． C．4 D．

【答案】B

【分析】对椭圆和双曲线的离心率分别求出，首先根据椭圆及双曲线的定义求出，可得，得

，就得到了的关系，最后利用基本不等式求得最小值.

【详解】解：由题意设焦距为，椭圆的长轴长，双曲线的实轴长为，

不妨令在双曲线的右支上，由双曲线的定义，

由椭圆的定义，又，故，

得，将代入得，

∴．

故选：B．

二、多选题

9．已知数列的前n项和为，且(其中a为常数)，则下列说法正确的是（    ）

A．数列一定是等比数列 B．数列可能是等差数列

C．数列可能是等比数列 D．数列可能是等差数列

【答案】BD

【分析】由和的关系求得，，分类讨论a是否为0，判断选项正误.

【详解】因为，当时，，得，

将代入，得，，

即，

当时，，不是等比数列，是等差数列，，也是等差数列；

当时，是以为首项，2为公比的等比数列，不是等比数列；

故答案为：BD.

10．将四个不同的小球放入三个分别标有1，2，3号的盒子中，不允许有空盒子，下列结果正确的有（ ）

A． B．   C． D．18

【答案】BC

【分析】根据题意，分析可得三个盒子中有1个中放2个球，有2种解法：

(1)分2步进行分析：①、先将四个不同的小球分成3组，②、将分好的3组全排列，对应放到3个盒子中，由分步计数原理计算可得答案；

(2)分2步进行分析：①、在4个小球中任选2个，在3个盒子中任选1个，将选出的2个小球放入选出的小盒中，②、将剩下的2个小球全排列，放入剩下的2个小盒中，由分步计数原理计算可得答案，综合2种解法即可得答案．

【详解】根据题意，四个不同的小球放入三个分别标有1，2，3号的盒子中，且没有空盒，则三个盒子中有1个中放2个球，剩下的2个盒子中各放1个，有2种解法：

(1)分2步进行分析：

①、先将四个不同的小球分成3组，有种分组方法；

②、将分好的3组全排列，对应放到3个盒子中，有种放法；

则没有空盒的放法有种；

(2)分2步进行分析：

①、在4个小球中任选2个，在3个盒子中任选1个，将选出的2个小球放入选出的小盒中，有种情况；

②、将剩下的2个小球全排列，放入剩下的2个小盒中，有种放法；

则没有空盒的放法有种；

故选：BC．

11．已知是数列的前项和，且，则下列选项中正确的是（    ）.

A．（）

B．

C．若，则

D．若数列单调递增，则的取值范围是

【答案】AC

【分析】对于A， 由 ，多写一项，两式相减即可得出答案.

对于B，由 （），多递推一项，两式相减即可得出答案少了条件.

对于C，由分析知，所以奇数项是以为首项，2为公差的等差数列，偶数项是以为首项，2为公差的等差数列，由等差数列得前项和公式即可得出答案.

对于D，因为数列单调递增，根据，即可求出的取值范围.

【详解】对于A，因为，当，两式相减得：

（）,所以A正确.

对于B，因为（）,所以，

两式相减得：（），所以B不正确.

对于C，，令，则，，因为

，所以.令，则， ，所以.

因为（），而，所以.

所以奇数项是以为首项，2为公差的等差数列.

偶数项是以为首项，2为公差的等差数列.

则：

，所以C正确.

对于D，，令，则，，则

又因为，令则，所以，

同理：，

，

因为数列单调递增，所以，

解得：，

解得：，

解得：，

解得：，

解得：，

所以的取值范围是，所以D不正确.

故选：AC.

【点睛】本题考查的是等差数列的知识，解题的关键是利用，得出的奇数项、偶数项分别成等差数列，考查学生的逻辑推理能力和运算求解能力，属于难题.

12．已知、分别为双曲线的左、右焦点，过且倾斜角为的直线与双曲线的右支交于、两点，记的内切圆的半径为，的内切圆的半径为，圆的面积为，圆的面积为，则（    ）

A．的取值范围是 B．直线与轴垂直

C．若，则 D．的取值范围是

【答案】BCD

【分析】对直线的斜率是否存在进行分类讨论，利用直线与双曲线的位置关系求出的取值范围，可判断A选项；利用切线长定理以及双曲线的定义可判断B选项；求出，分析出轴，求出，可判断C选项；求出的取值范围，利用双勾函数的单调性可判断D选项.

【详解】对于A选项，在双曲线中，，，，

所以，、，

若直线轴，此时与双曲线的右支交于两点，此时；

当直线的斜率存在时，设直线的方程为，设点、，

联立可得，

由题意可得，解得或，

因为，此时，

综上所述，的取值范围是，A错；

对于B选项，设圆分别切、、于点、、，设点，

由切线长定理可得，，，

所以，

，可得，即点，故点为双曲线的右顶点，

同理可知，圆切与点，且轴，轴，故轴，B对；

对于C选项，连接、，

则，即，

因为，所以，，

所以，，且，所以，，则，

又因为，所以，，此时，、关于轴对称，

所以，为等腰直角三角形，则，故，即轴，

此时，直线的方程为，联立，可得，故，C对；

对于D选项，，所以，，故，

则，则，

因为函数在上为减函数，在上为增函数，

由C选项可知，，则，

所以，，D对.

故选：BCD.

【点睛】法点睛：直线与双曲线位置关系的判断方法：

（1）方程思想的应用：

把直线方程与双曲线的方程联立成方程组，通过消元后化为的形式，在的情况下考察方程的判别式.

①时，直线与双曲线有两个不同的公共点；

②时，直线与双曲线只有一个公共点；

③时，直线与双曲线没有公共点.

当时，直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线有一个公共点.

（2）数形结合思想的应用

①直线过定点时，根据定点的位置和双曲线的渐近线的斜率与直线的斜率的大小关系可确定其位置关系；

②直线斜率一定时，通过平移直线，比较直线斜率与渐近线斜率的关系来确定其位置关系.

三、填空题

13．直线的倾斜角的是______．

【答案】

【分析】根据直线的斜率与倾斜角的关系即可求解.

【详解】因为直线的斜率，设直线的倾斜角为，

则，因为，所以，

故答案为：.

14．的展开式中的系数是__________．

【答案】120

【分析】利用二项式定理得到的展开式中的系数为，从而得到答案为.

【详解】的展开式中的系数为，

故的展开式中的系数是.

故答案为：120

15．在平面直角坐标系中，过动点作圆A：的一条切线PQ，其中Q为切点，若，则的最大值为__________.

【答案】##

【分析】先求出点P轨迹方程，然后求出的最大值，由可得出答案.

【详解】，

设，则，

化简得，

故点P轨迹是以为圆心、为半径的圆，

所以的最大值为

由，则故的最大值为

故答案为：

16．已知数列的前n项和，则数列的前n项和______．

【答案】

【分析】根据递推公式求出数列的通项公式，进而得到，利用裂项相消法即可求解.

【详解】∴

又∵  ∴，

当时，

，

，满足上式∴，

故答案为：.

四、解答题

17．已知以点为圆心的圆与直线相切，过点的直线l与圆A相交于M，N两点，Q是MN的中点，．

(1)求圆A的标准方程；

(2)求直线l的方程．

【答案】(1)

(2)或

【分析】（1）由圆与直线相切结合点线距离公式可得半径，即可求得标准方程；

（2）分别讨论直线l与x轴垂直与否，设出直线方程，结合垂径定理、点线距离公式列方程即可解得参数.

【详解】（1）设圆A半径为R，由圆与直线相切得，

∴圆A的标准方程为.

（2）i. 当直线l与x轴垂直时，即，此时，符合题意；

ii. 当直线l不与x轴垂直时，设方程为，即，

Q是MN的中点，，∴，即，解得，∴直线l为：.

∴直线l的方程为或.

18．已知双曲线(a＞0，b＞0)交x轴于A，B两点，实轴长为2，且双曲线的离心率为2．

(1)求双曲线C的标准方程；

(2)设直线(km≠0)与双曲线交于D，E两点，Q为双曲线虚轴在y轴正半轴的端点，若，求实数m的取值范围．

【答案】(1)

(2)或

【分析】（1）根据离心率和之间的关系即可求出标准方程；

（2）联立圆锥曲线和直线方程，以及向量之间的关系得出，继而得出即可求解参数的取值范围.

【详解】（1）解：由题意得：

由题意可知a2＝1又，得a2＝1，b2＝3，即双曲线C的标准方程为．

（2）由题意知：，设D(x1，y1)，E(x2，y2)，线段DE的中点坐标为G(x3，y3)，

联立，得，依题意得

得①

且，即有

代入直线方程得

由知，，即．

即 (k≠0)．则，②

且，③  由①②③式得，或．

19．已知数列中，，.

(1)证明：数列是等比数列；

(2)求及.

【答案】(1)见解析；

(2)，.

【分析】（1）依据题设条件构设数列，然后运用等比数列的定义进行分析推证；

（2）借助（1）的结论直接求解出，再依据数列通项的递推关系式求出：

【详解】（1）证明：设，则，

因为，

所以数列是以为首项，为公比的等比数列.

（2）由（1）的，即．

由得.

20．已知等比数列满足，，且为等差数列．

(1)求数列的通项公式；

(2)若，，对任意正整数，恒成立，试求的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用等比数列的通项公式和等差中项求解即可；

（2）由（1）得，利用错位相减法得，则原不等式转化为对任意正整数恒成立，求的最小值即可.

【详解】（1）因为数列是等比数列，且满足，

所以①，

②，

又因为为等差数列，所以，即③，

联立①②③解得，所以.

（2）由（1）得，

所以④，

⑤，

⑤④得

，

由题意即对任意正整数恒成立，

所以恒成立，则即可，

又因为，所以，即的取值范围是.

21．设抛物线的焦点为，其准线与轴交于，抛物线上一点的纵坐标为4，且该点到焦点的距离为5.

（1）求抛物线的方程；

（2）自引直线交抛物线于两个不同的点，设.若，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）

【解析】（1）根据抛物线定义：抛物线线上一点到焦点距离等于到准线距离，得化简即可；

（2）设，联立直线与抛物线方程设，用弦长公式表示，由及韦达定理将用表示出来，此时用表示，结合解不等式.

【详解】解：（1）根据题意作图如下：

因为抛物线上一点的纵坐标为4，且该点到焦点F的距离为5，

又抛物线线上一点到焦点距离等于到准线距离，

所以，故抛物线的方程为.

（2）由题意直线斜率存在，设，

由，，

设，则，①

所以，

因为，所以代入①化简得

令，

则

因为，所以，

即，

所以

即

所以实数的取值范围.

【点睛】在运用圆锥曲线问题中的设而不求方法技巧时，需要做到：

①凡是不必直接计算就能更简洁地解决问题的，都尽可能实施“设而不求”；

②“设而不求”不可避免地要设参、消参，而设参的原则是宜少不宜多.

22．设圆的圆心为，点，点为圆上动点，线段的垂直平分线与线段交于点，设点的轨迹为曲线.

（1）求曲线的方程；

（2）若直线与曲线交于点，，与圆：切于点，问：是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，说明理由.

【答案】（1）；（2）是定值，定值为2.

【解析】(1)由垂直平分线的定义知，证明为定值即可根据椭圆的定义写出点E的轨迹方程；（2）分类讨论，当直线斜率不存在时，求出直线方程及其与椭圆的交点，利用向量证明，则；当直线斜率存在时，设出直线方程并与椭圆联立，利用直线与圆相切的性质、韦达定理及向量证明，则.

【详解】（1）由条件可得，半径.

又线段的垂直平分线与线段交于点，所以.

则有.

所以点的轨迹为以，为焦点，实轴长为的椭圆，

其方程为.

（2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为.

由椭圆的方程可知，，

解法1：则，，.即.

从而在中，.

解法2：则.

解法3：因为切点为，所以.

②当直线的斜率存在时，设的方程为，，.

因为直线与圆相切，所以，即.

联立和椭圆方程，得.

则，

，.

解法1：则

所以.

从而在中，.

所以为定值2.

解法2：所以

又因为，在椭圆上，

所以上式

所以为定值2.

解法3：设切点，联立，

得.

所以，.

此时，有

所以为定值2.

【点睛】解决圆锥曲线中的定值问题的基本思路是：定值问题必然是在变化中所表现出来的不变的量，那么就可以用变化的量表示问题中的直线方程、数量积、比例关系等，从而找出这些直线方程、数量积、比例关系不受变化的量所影响的一个值。

1、从特殊入手，求出定值，再证明

圆锥曲线中的定值问题往往与圆锥曲线中的“常数”有关，如椭圆的长、短轴，双曲线的实虚轴，抛物线的焦参数等，在求定值之前，要大胆设参，运算推理，到最后消除参数求出定值；

2、直接推理计算，通过消参得到定值

直接推理计算，通过消参得到定值的关键在于引进参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式得恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量.