2023-2024学年北京市昌平区第二中学高一上学期期中考试数学试题含答案

这是一份2023-2024学年北京市昌平区第二中学高一上学期期中考试数学试题含答案，共14页。试卷主要包含了单选题，填空题，双空题，解答题，证明题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，，那么（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】解不等式，求得整数的取值，由此可求得.
【详解】解不等式，得，，所以，整数的可能取值有、、，
因此，.
故选：C.
【点睛】本题考查交集的计算，考查计算能力，属于基础题.
2．方程组的解集是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据消元法求得不等式组的解，结合集合的表示方法，即可求解.
【详解】由题意，将代入，可得，即，
当时，；当时，，
所以方程组的解集为.
故选：B.
3．下列函数既是偶函数，上为增函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由已知结合基本初等函数的单调性及奇偶性检验各选项即可判断．
【详解】，是奇函数，不符合题意；
在上为减函数，不符合题意；
为偶函数，在上为增函数，符合题意．
故选：D
4．已知命题p：“”，则为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据命题的否定的定义判断．
【详解】特称命题的否定是全称命题．
命题p：“”，的否定为：．
故选：C．
5．设，，则下列不等式中一定正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据不等式的性质，举出反例逐一判断即可.
【详解】解：对于A，当时，，故A错误；
对于B，当时，，故B错误；
对于C，因为，所以，故C正确；
对于D，当时，，故D错误.
故选：C.
6．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【分析】根据充分必要条件的定义分别判断即可．
【详解】解：时，由，解得：，
时，解得：，不是必要条件，
反之也推不出，比如，不是充分条件，
故“”是“”的既不充分也不必要条件．
故选：D．
7．已知函数．若满足：对于任意的，且，都有，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据已知条件判断出在区间上的单调性，由此列不等式来求得的取值范围.
【详解】由于对于任意的，且，都有，
所以在区间上单调递增，
所以.
故选：B
8．若函数为上的减函数，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意可知二次函数在区间上为减函数，函数在区间上为减函数，且有，可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.
【详解】由于函数为上的减函数，
则二次函数在区间上为减函数，该二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，所以，；
函数在区间上为减函数，则，且有.
所以，，解得.
因此，实数的取值范围是.
故选：C.
【点睛】本题考查利用分段函数的单调性求参数的取值范围，要注意分析每支函数的单调性以及分界点处函数值的大小关系，考查计算能力，属于中等题.
9．已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．是偶函数，递增区间是
B．是偶函数，递减区间是
C．是奇函数，递减区间是
D．是奇函数，递增区间是
【答案】C
【分析】根据函数的单调性和奇偶性分别判断即可．
【详解】解：，定义域是R，
故是奇函数，
而时，，对称轴是，
故在上单调递减，在单调上递增，
根据函数的对称性，得在上单调递增，在上单调递减．
故选：C．
10．已知函数，，若对，使得，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据二次函数的性质求出在时的值域为，再根据一次为增函数，求，由题意得值域是值域的子集，从而得到实数的取值范围．
【详解】解：∵函数的图象是开口向上的抛物线，且关于直线对称，
∴时，的最小值为，最大值为，
可得值域为，
又∵，，
∴为单调增函数，值域为，
即，
∵，，使得，
∴，解得：．
故选：D．
二、填空题
11．函数的定义域是 .
【答案】
【解析】由题意知，解不等式组即可求出定义域.
【详解】由题意知 ，解得且，
故函数的定义域为.
故答案为：.
【点睛】求函数定义域要注意：
①分母不为零；
②偶次根式的被开方数非负；
③对数的真数大于零；
④指数函数、对数函数的底数大于零且不等于1.
12．不等式的解集为 .
【答案】
【分析】等价于且，然后解出即可.
【详解】因为，所以且
所以
故答案为：
【点睛】本题考查的是分式不等式的解法，较简单.
三、双空题
13．已知集合，其中．
①集合 ；
②若，都有或，则c的取值范围是 ．
【答案】
【分析】先求出集合A，再利用补集的定义求出；由题设知，从而求c的取值范围．
【详解】由或，则；
由，都有或，则，而或，，
所以，即c的取值范围是.
故答案为：；
14．设是定义在上的奇函数，且时，，则 ；当时， ．
【答案】 2
【分析】根据函数的奇偶性求出以及当时的解析式即可．
【详解】是定义在上的奇函数，则，
则，
令，则，
故，
故当时，，又，故时也成立，
所以当时，.
故答案为：2；．
15．函数的最小值是 ，此时 ．
【答案】 12 4
【分析】当时，，结合基本不等式即可求解．
【详解】当时，
当且仅当，即时取等号．
故答案为：12；4．
四、填空题
16．写出一个使得命题“恒成立”是假命题的实数的值： ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】对进行分类讨论，根据一元二次不等式恒成立的知识求得正确答案.
【详解】依题意，“恒成立”是假命题，
当时，恒成立，不符合题意.
当时，可以为负数，符合题意.
当时，，解得.
综上所述，或.
故答案为：（答案不唯一）
五、解答题
17．已知全集，若集合，．
(1)求、、；
(2)若集合，且，求实数的取值范围．
【答案】(1)；；
(2)
【分析】（1）利用集合交集、并集与补集的定义求解即可；
（2）由，得到，利用子集的定义求解即可．
【详解】（1）因为集合，或，
所以；
；
；
（2）因为，
又，所以，故，
所以实数的取值范围为．
18．已知函数．
(1)求和；
(2)若，求的值；
(3)作出函数的图象；并根据图象写出单调区间；
(4)当方程有3个解时，直接写出实数k的取值范围．
【答案】(1)，
(2)或或
(3)作图见解析，增区间为，减区间为
(4)
【分析】（1）结合函数解析式代入求值即可得出结果；
（2）结合函数解析式分类讨论解方程即可求出的所有解；
（3）结合函数解析式利用分段函数性质以及二次函数作图规则画出图象，结合图象即可求单调区间；
（4）由函数图象即可知当时直线与函数的图象有3个交点，即可求解．
【详解】（1）已知函数可得，
，
；
（2）由可知，
当时，可得，解得或，
当时，可得，解得，
综上可得或或；
（3）函数的图象如下图所示：
由图象可知函数的增区间为，减区间为；
（4）当方程有3个解时，
即直线与函数的图象有3个交点，
由函数的图象可得当方程有3个解时，实数k的取值范围为．
19．如图所示，某学校要建造一个一面靠墙的无盖长方体垃圾池，垃圾池的容积为，为了合理利用地形，要求垃圾池靠墙一面的长为，如果池底每平方米的造价为200元，池壁每平方米的造价为180元（不计靠墙一面的造价），设垃圾池的高为，墙高，
(1)试将垃圾池的总造价y（元）表示为的函数，并指出x的取值范围；
(2)怎样设计垃圾池能使总造价最低？最低总造价是多少？
【答案】(1)详解见解析
(2)当垃圾池的高为m、宽为3m时，垃圾池总造价最低为10800元.
【分析】利用长方体垃圾池的容积及长与高表示宽，再求各面面积，得出总造价，利用均值不等式求最值.
【详解】（1）无盖长方体垃圾池的容积为，长为，高为m，则宽m，
，即，.
（2），当且仅当取等号，即.
所以当垃圾池的高为m宽为3m时，垃圾池总造价最低为10800元.
20．已知关于的函数，其中．
(1)若不等式的解集是，求的值；
(2)当且时，解不等式．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）根据题意得到关于的一元二次方程的根为，从而利用韦达定理算出的值；
（2）当时，不等式整理为，然后讨论的取值范围，根据一元二次不等式解法的一般结论，求出的解集．
【详解】（1）根据题意，若不等式的解集是，
则关于的一元二次方程的根为，且，
所以，解得，
此时，符合题意；
即
（2）当且时，不等式即，
整理得，
①当时，不等式化为，即，解集为；
②当时，不等式化为，
（i）当时，不等式为，解集为；
（ii）当时，可知，所以不等式的解集为；
（iii）当时，可知，所以不等式的解集为．
③当时，不等式化为，解集为．
综上所述，当时，解集为；
当时，解集为；当时，解集为；
当时，解集为；当时，解集为.
六、证明题
21．已知函数是定义在上的函数.
(1)判断并证明函数的奇偶性；
(2)判断函数的单调性，并用定义法证明；
(3)解不等式.
【答案】(1)函数是定义在上的奇函数，证明见解析；
(2)函数是定义在上的单调递增函数，证明见解析；
(3).
【分析】（1）利用函数奇偶性的定义，即可作出判定与证明；
（2）利用函数单调性的定义，即可作出判断与证明；
（3）利用函数为奇函数，把不等式转化为，再利用的单调性，得出不等式组，即可求解.
【详解】（1）解：函数是定义在上的奇函数.
证明如下：
由题意，函数的定义域为，关于原点对称，
又由，即，
所以函数是定义在上的奇函数.
（2）解：函数是定义在上的单调递增函数.
证明如下：
设，且，
则，
因为，可得，
可得，即，
所以函数是定义在上的单调递增函数.
（3）解：因为函数是定义在上的奇函数，
则不等式变形为，
又因为函数是定义在上的单调递增函数，
所以，解得，
即不等式的解集为.
22．设函数其中P，M是非空数集．记f(P）＝{y|y＝f(x)，x∈P}，f(M)＝{y|y＝f(x)，x∈M}．
（Ⅰ）若P＝[0，3]，M＝(﹣∞，﹣1)，求f(P)∪f(M)；
（Ⅱ）若P∩M＝∅，且f(x)是定义在R上的增函数，求集合P，M；
（Ⅲ）判断命题“若P∪M≠R，则f(P)∪f(M)≠R”的真假，并加以证明．
【答案】（Ⅰ）[0，+∞）；（Ⅱ）P＝（﹣∞，0）∪（0，+∞），M＝{0}；（Ⅲ）真命题，证明见解析
【解析】(Ⅰ)求出f (P)＝[0，3]，f (M)＝ (1，+∞)，由此能过求出f (P)∪f (M)．
(Ⅱ)由f (x)是定义在R上的增函数，且f (0)＝0，得到当x＜0时，f (x)＜0， (﹣∞，0)⊆P． 同理可证 (0，+∞)⊆P． 由此能求出P，M．
(Ⅲ)假设存在非空数集P，M，且P∪M≠R，但f (P)∪f (M)＝R．证明0∈P∪M．推导出f (﹣x0)＝﹣x0，且f (﹣x0)＝﹣ (﹣x0)＝x0，由此能证明命题“若P∪M≠R，则f (P)∪f (M)≠R”是真命题．
【详解】(Ⅰ)因为P＝[0，3]，M＝(﹣∞，﹣1)，
所以f(P)＝[0，3]，f(M)＝(1，+∞)，
所以f(P)∪f (M)＝[0，+∞)．
(Ⅱ)因为f (x)是定义在R上的增函数，且f (0)＝0，
所以当x＜0时，f (x)＜0，
所以(﹣∞，0)⊆P． 同理可证(0，+∞)⊆P．
因为P∩M＝∅，
所以P＝(﹣∞，0)∪(0，+∞)，M＝{0}．
(Ⅲ)该命题为真命题．证明如下：
假设存在非空数集P，M，且P∪M≠R，但f (P)∪f (M)＝R．
首先证明0∈P∪M．否则，若0∉P∪M，则0∉P，且0∉M，
则0∉f (P)，且0∉f (M)，
即0∉f (P)∪f (M)，这与f (P)∪f (M)＝R矛盾．
若∃x0∉P∪M，且x0≠0，则x0∉P，且x0∉M，
所以x0∉f (P)，且﹣x0∉f (M)．
因为f (P)∪f (M)＝R，
所以﹣x0∈f (P)，且x0∈f (M)．
所以﹣x0∈P，且﹣x0∈M．
所以f (-x0)＝﹣x0，且f (-x0)＝﹣(﹣x0)＝x0，
根据函数的定义，必有﹣x0＝x0，即x0＝0，这与x0≠0矛盾．
综上，该命题为真命题．
【点睛】本题考查函数新定义问题，考查学生的创新意识，考查命题真假的判断与证明，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．