2023-2024学年北京市大峪中学高一上学期期中考试数学试题含答案

这是一份2023-2024学年北京市大峪中学高一上学期期中考试数学试题含答案，共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，双空题，计算题，证明题，作图题，应用题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知命题：，，则为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【分析】本题考查全称命题的否定，注意量词的转化.
【详解】全称命题的否定为特称命题，改为，改为，
故选：C
2．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】利用交集的定义可求得集合.
【详解】，，因此，.
故选：B.
3．若，，则一定有（ ）
A．B．C．D．以上答案都不对
【答案】D
【分析】对于ABC，举例判断，
【详解】对于AB，若，则，所以AB错误，
对于C，若，则，所以C错误，
故选：D
4．下列函数中，在定义域上既是奇函数又是减函数的为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据奇偶函数的定义及单调性的定义逐项判断即可.
【详解】对于，对于，，且，
故函数是非奇非偶函数，不满足题意；
对于，函数，满足是奇函数，但在定义域内不具有单调性，不满足条件；
对于，函数的定义域为，不具有对称性，故不具有奇偶性，不满足题意；
对于，对于函数，定义域为，满足，是奇函数，
当时，，则在上单调递减；
当时，，则在上单调递减；
又当时，，所以在上单调递减，满足题意.
故选：
5．在以下区间中，存在函数的零点的是 （ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】分析：要判断函数f（x）=x3+3x-3的零点的位置，我们可以根据零点存在定理，则该区间两端点对应的函数值，应异号，将四个答案中各区间的端点依次代入函数的解析式，易判断零点的位置．
解答：解：∵f（-1）=-7
f（0）=-3
f（1）=1
f（2）=11
f（3）=33
根据零点存在定理，∵f（0）f（1）＜0
故[0，1]存在零点
故选C
点评：要判断函数的零点位于哪个区间，可以根据零点存在定理，即如果函数f（x）在区间（a，b）上存在一个零点，则f（a）?f（b）＜0，如果方程在某区间上有且只有一个根，可根据函数的零点存在定理进行解答，但要注意该定理只适用于开区间的情况，如果已知条件是闭区间或是半开半闭区间，我们要分类讨论．
6．已知函数，若，则（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】C
【分析】首先对进行分类讨论，然后分别将其代入对应的解析式中即可求解的值
【详解】当时，得：，不符合题意，故舍去；
当时，得：，解得：，不符合范围条件，故舍去；
当时，得：，解得：或，
由于，故得：.
故选：C
7．若函数是上的减函数，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据分段函数具有单调性的条件列出不等式组，解出即可.
【详解】因为函数是上的减函数，
所以，
故选：
8．已知是定义在上的奇函数，，若且满足，则的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由题设易知奇函数在、上递增，结合且或，即可求解集.
【详解】由题设在上递增，又是定义在上的奇函数，
所以在上递增，而，则，
由，有或，则或，
所以不等式解集为.
故选：A
9．在一次调查中，A，B，C，D四名同学的阅读量有如下关系：A、C阅读量之和与B、D的阅读量之和相同；A、B的阅读量之和大于C、D的阅读量之和；D的阅读量大于B、C的阅读量之和.那么A、B、C、D阅读量大小排列为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】设A，B，C，D四名同学的阅读量分别为，根据题意可得，由此能求出这四名同学按阅读量从大到小的顺序排列.
【详解】设A，B，C，D四名同学的阅读量分别为，
根据题意可得，
式左边减去，右边减去可得；
故结合式，得；
再结合式，得，
所以这四名同学按阅读量从大到小的顺序排列为，
故选：A.
10．对，表示不超过的最大整数.十八世纪，被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯取整函数，则下列命题中的假命题是（ ）
A．，
B．，
C．函数的值域为
D．若，使得，，，…，同时成立，则正整数的最大值是5
【答案】C
【分析】根据取整函数的定义得，再利用不等式的性质即可判断各命题的真假.
【详解】对于取，则，显然满足，故是真命题；
对于，当为整数时，，
当不为整数时，，且，故，故是假命题；
对于，因为，记，则，，
当时，，
则；
当时，，
所以；
综上：，，故是真命题；
对于，若，使得同时成立，
则，，，，，，
因为，若，则不存在同时满足，．
只有时，存在满足题意，故是真命题，
故选：
二、填空题
11．函数的值域是 .
【答案】
【详解】
函数的值域为
三、双空题
12．已知，则 ， .
【答案】
【分析】由结合解析式求函数值，应用换元法求解析式.
【详解】由，
令，则，
所以，且定义域为R.
故答案为：；
四、填空题
13．已知方程有两个不相等的正根，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】利用判别式与韦达定理得到关于的不等式组，从而得解.
【详解】因为有两个不相等的正根，即有两个不相等的正根，
所以，解得.
故答案为：.
五、双空题
14．函数的定义域为 ，单调递减区间为 .
【答案】 /
【分析】根据偶次方根的被开方数为非负数列不等式，由此求得的定义域，结合二次函数的性质求得的单调递减区间.
【详解】由解得或，
所以的定义域是.
二次函数的开口向上，对称轴为，
所以的单调递减区间是.
故答案为：；
六、填空题
15．对实数a和b，定义运算“”：设函数．若函数恰有两个零点，则实数c的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据定义运算法则化简，画出的图像，结合图像可求出c的取值范围
【详解】因为，
所以
由图可知，当或时，函数与的图象有两个公共点，
的取值范围是.
故答案为：
七、计算题
16．求下列不等式的解集.
(1)；
(2).
(3).
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）原不等式化为，求解即可；
（2）原不等式化为求解即可；
（3）原不等式化为，求解即可.
【详解】（1）不等式可化为
，
又，解得，
故不等式的解集为；
（2）
故不等式的解集为；
（3）
，
解得，
故不等式的解集为
八、证明题
17．已知函数，.
(1)判断并证明函数的奇偶性；
(2)求的值，并计算.
【答案】(1)函数为定义域上的偶函数；证明见解析
(2)；.
【分析】（1）根据函数奇偶性的定义及判定方法，即可求解；
（2）根据，求得，即可求解.
【详解】（1）解：函数为定义域上的偶函数.
证明如下：
由函数的定义域为，关于原点对称，
又由，所以函数为定义域上的偶函数.
（2）解：由，可得，
则
.
九、作图题
18．设为定义在上的偶函数，当时，在时取得最小值，且图象是过点的抛物线的一部分.
(1)写出函数在上的解析式；
(2)求函数在上的解析式；
(3)在直角坐标系中画出函数在定义域上的图象，并直接写出其单调增区间.
【答案】(1)
(2)
(3)图象见解析；
【分析】（1）先判断的函数类型，再利用待定系数法即可得解；
（2）结合（1）中结论，利用函数奇偶性即可求得在上的解析式，从而得解；
（3）由（1）（2）得到在上的解析式，从而作出图象，结合图象即可得解.
【详解】（1）因为当时，的图象是过点的抛物线的一部分，且在时取得最小值，
所以在上是一元二次函数，不妨设为，
所以，解得，
所以；
（2）当时，，
所以，
因为为定义在上的偶函数；
所以，
（3）由（1）（2）可得，，
所以，，
，，
从而作出的图象如图，
所以结合图象，可得的单调增区间为.
十、应用题
19．小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为2万元，每生产万件，需另投入流动成本为万元，在年产量不足8万件时，（万元），在年产量不小于8万件时，（万元），每件产品售价为5元．通过市场分析，小王生产的商品能当年全部售完．
(1)写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式；
（注：年利润=年销售收入－固定成本－流动成本）
(2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)
(2)年产量为10万件时，所获利润最大，最大利润是16万元．
【分析】（1）根据题意分和求出利润，得利润的分段函数；
（2）分别利用二次函数及基本不等式求最值，比较大小可得函数的最大值.
【详解】（1）因为每件产品售价为5元，则（万件）商品销售收入为万元，依题意当时，；
当时，．
所以.
（2）当时，，
此时，当时，取得最大值10；
当时，，
此时，当且仅当，即时，取得最大值16．
因为，所以年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润是16万元．
十一、解答题
20．已知函数.
(1)若，求的值；
(2)若，用函数单调性定义证明在上单调递减；
(3)设，若方程在上有唯一实数解，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）由已知，建立关于的方程，解出即可；
（2）将代入，利用取值，作差，变形，判号，作结论的步骤证明即可；
（3）问题转化为在上有唯一零点，由二次函数的零点分布问题解决．
【详解】（1）由（1）得，，解得；
（2）当时，，设，，且，
则，
，，且，
，，
，
在上单调递减；
（3），
若函数在上有唯一零点，即在上有唯一零点不是函数的零点），
且二次函数的对称轴为，
若函数在上有唯一零点，依题意，
①当（1）时，，解得；
②当△时，，解得，则方程的根为，符合题意；
③当（1）时，解得，则此时的两个零点为，
符合题意．
综上所述，实数的取值范围为．
十二、证明题
21．已知，集合，对于，定义A与B之间的距离为：．
(1)对任意的，请写出可能的值（不必证明）；
(2)设，且P中有4个元素，记P中所有元素间的距离的平均值为，求的最大值；
(3)对，定义：．求证：对任意的，有以下结论成立：
①．
②三个数中至少有一个是偶数．
【答案】(1)证明见解析
(2)，
(3)证明见解析
【分析】（1）（2）由新定义计算，
（3）由新定义与反证法证明，
【详解】（1）由题意得，
，则可能的值为，
（2）设，4个元素中第1个位置共个，个0，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
若要使最大，则，同理得第2，3，4个位置各有2个，2个0，
的最大值为，
（3）①由题意得，，
若，则，，，
若，则，，，
故，
②由①可设，，，
则中有个1，中有个1，
设是使得成立的的个数，
则，
假设均为奇数，则为偶数，矛盾，故假设不成立，
故三个数中至少有一个是偶数．