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2023-2024学年北京市顺义区第二中学高二上学期期中考试数学试题含答案
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这是一份2023-2024学年北京市顺义区第二中学高二上学期期中考试数学试题含答案，共16页。试卷主要包含了单选题，双空题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．在空间直角坐标系中，已知点，，则线段AB的中点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】直接用中点坐标公式求解即可.
【详解】点，,
线段AB的中点的坐标是，即.
故选：C.
2．若向量，，且，则（ ）
A．B．C．3D．6
【答案】A
【分析】根据空间向量共线定理计算即可.
【详解】因为，
所以存在唯一实数，使得，即，
所以，解得，
所以，所以.
故选：A.
3．已知直线经过点，且与直线垂直，则直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据直线方程求其斜率，再利用两直线垂直得到垂直直线斜率，然后利用点斜式方程得到垂直直线方程，化成一般式即为答案.
【详解】因为直线的斜率为，
则与其垂直的直线的斜率为，
又因为直线过点，
则直线的方程为，即.
故选：B.
4．已知直线与互相平行，则（ ）
A．B．C．6D．
【答案】B
【分析】根据两直线平行的充要条件计算即可.
【详解】因为直线与互相平行，
所以，解得，
经检验，符合题意，所以.
故选：B.
5．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则下列选项中能使成立的是（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】B
【分析】只需判断是否成立，即可得出答案.
【详解】要使，则应有.
对于A项，由已知可知不成立，故A项错误；
对于B项，由已知可得，所以，故B项正确；
对于C项，由已知可知不成立，故C项错误；
对于D项，由已知可知不成立，故D项错误.
故选：B.
6．过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（ ）
A．B．
C．或D．或
【答案】C
【分析】分直线过原点和不过原点两种情况讨论，结合直线的截距式即可得解.
【详解】当直线过原点时，方程为，即，
当直线不过原点时，设直线方程为，
则，解得，
所以直线方程为，
综上所求直线方程为或.
故选：C.
7．给出下列命题：
①经过点的直线都可以用方程表示；
②若直线的方向向量，平面的法向量，则；
③直线必过定点；
④如果向量与任何向量不能构成空间向量的一个基底，那么一定共线．
其中真命题的个数是（ ）
A．3B．2C．1D．0
【答案】B
【分析】对于①④，可举出反例；对于②，计算向量数量积得到，从而得到或；对于③，变形后得到直线所过定点.
【详解】对于①，当经过点的直线斜率不存在时，不能用方程表示，①错误；
对于②，因为，故，
则直线与垂直，则或，②错误；
对于③，直线变形为，必过定点，③正确；
对于④，如果向量与任何向量不能构成空间向量的一个基底，则向量与与任何向量均共面，那么一定共线，④正确．
故选：B
8．已知圆，过点作圆的切线.则该切线的一般式方程为
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】考虑过的直线斜率不存在和存在两种情况，设出直线方程，结合圆心到直线的距离等于半径得到方程，求出直线方程.
【详解】的圆心为，半径为，
当过的直线斜率不存在时，直线方程为，
此时圆心到直线的距离为，故不是圆的切线，
当过的直线斜率存在时，设直线方程为，
则，解得，
则直线方程为，化为一般式为.
故选：A
9．如图，空间四边形中，，点为中点，点在侧棱上，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由图形中线段关系，应用向量加减、数乘的几何意义用表示出.
【详解】.
故选：C
10．如图，在棱长为1的正方体中，分别是线段上的点，是直线上的点，满足平面，且不是正方体的顶点，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据正方体的性质得到平面，然后建立空间直角坐标系，设，，，根据∥平面，得到，，然后得到，最后求最值即可.
【详解】
因为为正方体，所以平面，，
因为平面，所以，
因为，平面，所以平面，
如图，以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，
，，
设，，，
，，，
因为∥平面，所以，
因为，所以，即，
，
所以当时，最小，最小为.
故选：A.
二、双空题
11．直线的倾斜角为 ，过点且与直线平行的直线方程是 .
【答案】
【解析】由直线方程求出斜率，根据直线倾斜角与斜率关系求出倾斜角，由直线平行求出待求直线斜率，点斜式即可求出.
【详解】由可得，
所以，
由知.
过点且与直线平行的直线斜率为，
所以，
即.
故答案为：；
三、填空题
12．圆心C为，且半径为3的圆的方程是 .
【答案】
【分析】根据圆心与半径直接求解.
【详解】因为圆心，半径为3，
所以圆的标准方程为：，
故答案为：
13．已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量的模是 .
【答案】
【分析】根据投影向量模长的计算公式，代值计算即可.
【详解】由向量，，
得向量在向量上的投影向量的模为.
故答案为：.
14．已知点，点M、N分别是y轴和直线上的两个动点，则的最小值等于 .
【答案】
【分析】将的最小值转化为点到直线的距离求解即可.
【详解】如图，由已知得的最小值即为到直线的距离,
又直线与轴的交点为，
此时，
又直线斜率为，其与垂直，
即当均为直线与轴的交点时，最小，
最小值为.
故答案为：.
15．《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵．在堑堵中，若，点是直线上的动点，则到直线的最短距离是 ．
【答案】1
【分析】建立空间直角坐标系，利用点到直线的距离公式求解.
【详解】
如图以点C为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，
则，
且，，
因为点是直线上的动点，设点，
则，即，
可得，即，，
则到直线的距离是，
则当时，到直线的最短距离是1.
故答案为：1
四、解答题
16．已知向量，， .
(1)若，求实数的值；
(2)求；
(3)若，，不能构成空间向量的一个基底，求实数的值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由可知，，再由数量积的坐标运算即可.
（2）模长公式的坐标运算即可.
（3）利用空间共面向量定理即可.
【详解】（1）∵，
∴，即，
∴．
（2）∵，，
∴，
∴
（3）若，，不能构成空间向量的一个基底，
则与，共面，
故存在唯一的实数对，使得，
即，
，
∴，解得，
∴.
17．已知长方体中，，，M是中点.
(1)求直线BM与DB所成角的余弦值；
(2)求直线与平面夹角的余弦值.
(3)求三棱锥的体积
【答案】(1)；
(2)；
(3)．
【分析】（1）在中应用余弦定理计算；
（2）建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法求线面角；
（3）由棱锥体积公式计算．
【详解】（1）连接，
由已知，
；
直线BM与DB所成角的余弦值为；
（2）分别以为轴建立空间直角坐标系，如图，
则，，，
设平面的一个法向量是，
则，令得，
，
所以直线与平面夹角的正弦值为，余弦值为；
（3）．
18．已知△ABC的顶点为，，，求：
(1)边AC所在直线的方程；
(2)边AC的垂直平分线的方程；
(3)△ABC的面积.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据直线上的点求出斜率，再由点斜式求解即可；
（2）求出中垂线的斜率及AC中点坐标即可得解；
（3）求出，再由点到直线的距离求出高即可得解.
【详解】（1）由，可得,
故边AC所在直线的方程为，
即.
（2）由（1）知，边AC的垂直平分线的斜率，
又边AC的中点为，
故边AC的垂直平分线的方程为，
即.
（3）因为,
点到直线的距离，
所以.
19．如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，平面ABCD，，E是棱PA的中点.
(1)求证：平面BDE；
(2)求平面BDE与平面ABCD夹角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接交于点，连接，证明即可；
（2）以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.
【详解】（1）连接交于点，连接，
因为四边形为正方形，所以为的中点，
又因E是棱PA的中点，所以，
又平面，平面，
所以平面BDE；
（2）如图，以点为原点建立空间直角坐标系，
则，
故，
设平面的法向量为，
则有，可取，
因为平面ABCD，
所以即为平面的一条法向量，
则，
所以平面BDE与平面ABCD夹角的余弦值为.
20．已知圆C：
(1)求圆的圆心和半径；
(2)求经过点的圆C的切线方程；
(3)求直线l：被圆C截得的弦长.
【答案】(1)圆心，半径
(2)或
(3)
【分析】（1）将圆的方程化为标准方程即可；
（2）分切线斜率存在和不存在两种情况讨论，结合点到直线的距离公式计算即可；
（3）利用圆的弦长公式求解即可.
【详解】（1）将圆C的 方程化为标准方程得，
故圆的圆心，半径；
（2）当切线的斜率不存在时，方程为，
圆心到直线的距离等于，故符合题意，
当切线的斜率存在时，设方程为，即，
则有，解得，
所以切线方程为，
综上所述，切线方程为或；
（3）圆心到直线l：的距离，
所以直线l：被圆C截得的弦长为.
21．如图，在多面体中，四边形是边长为的正方形，平面平面，，，.
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值；
(3)线段上是否存在点，使得平面？若存在，指出点的位置并证明；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)存在，点为中点，证明见解析
【分析】（1）先利用面面垂直的性质可得平面，再根据线面垂直的性质定理和判定定理证明即可；
（2）建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，利用空间向量法求解即可；
（3）设，由求出，再利用空间向量法求解即可.
【详解】（1）因为平面平面，平面平面，，平面,
所以平面，
因为平面，所以，
因为四边形是正方形，
所以，
因为，平面，平面，
所以平面.
（2）由（1）得平面，因为平面，所以，，两两垂直，
以为原点，为轴、 轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
因为，，
所以，.
则，，,，，
所以，，
设平面的一个法向量为，
则，取得，
因为平面，所以为平面的一个法向量，，
所以，
设平面与平面夹角为，
所以，
所以平面与平面夹角的余弦值．
（3）线段上存在点，点为中点，满足平面，证明如下：
设，
因为，
所以，
由（2）知平面的一个法向量为，
因为平面，
所以，解得，
所以线段上存在点，点为中点，满足平面.
一、单选题
1．在空间直角坐标系中，已知点，，则线段AB的中点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】直接用中点坐标公式求解即可.
【详解】点，,
线段AB的中点的坐标是，即.
故选：C.
2．若向量，，且，则（ ）
A．B．C．3D．6
【答案】A
【分析】根据空间向量共线定理计算即可.
【详解】因为，
所以存在唯一实数，使得，即，
所以，解得，
所以，所以.
故选：A.
3．已知直线经过点，且与直线垂直，则直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据直线方程求其斜率，再利用两直线垂直得到垂直直线斜率，然后利用点斜式方程得到垂直直线方程，化成一般式即为答案.
【详解】因为直线的斜率为，
则与其垂直的直线的斜率为，
又因为直线过点，
则直线的方程为，即.
故选：B.
4．已知直线与互相平行，则（ ）
A．B．C．6D．
【答案】B
【分析】根据两直线平行的充要条件计算即可.
【详解】因为直线与互相平行，
所以，解得，
经检验，符合题意，所以.
故选：B.
5．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则下列选项中能使成立的是（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】B
【分析】只需判断是否成立，即可得出答案.
【详解】要使，则应有.
对于A项，由已知可知不成立，故A项错误；
对于B项，由已知可得，所以，故B项正确；
对于C项，由已知可知不成立，故C项错误；
对于D项，由已知可知不成立，故D项错误.
故选：B.
6．过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（ ）
A．B．
C．或D．或
【答案】C
【分析】分直线过原点和不过原点两种情况讨论，结合直线的截距式即可得解.
【详解】当直线过原点时，方程为，即，
当直线不过原点时，设直线方程为，
则，解得，
所以直线方程为，
综上所求直线方程为或.
故选：C.
7．给出下列命题：
①经过点的直线都可以用方程表示；
②若直线的方向向量，平面的法向量，则；
③直线必过定点；
④如果向量与任何向量不能构成空间向量的一个基底，那么一定共线．
其中真命题的个数是（ ）
A．3B．2C．1D．0
【答案】B
【分析】对于①④，可举出反例；对于②，计算向量数量积得到，从而得到或；对于③，变形后得到直线所过定点.
【详解】对于①，当经过点的直线斜率不存在时，不能用方程表示，①错误；
对于②，因为，故，
则直线与垂直，则或，②错误；
对于③，直线变形为，必过定点，③正确；
对于④，如果向量与任何向量不能构成空间向量的一个基底，则向量与与任何向量均共面，那么一定共线，④正确．
故选：B
8．已知圆，过点作圆的切线.则该切线的一般式方程为
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】考虑过的直线斜率不存在和存在两种情况，设出直线方程，结合圆心到直线的距离等于半径得到方程，求出直线方程.
【详解】的圆心为，半径为，
当过的直线斜率不存在时，直线方程为，
此时圆心到直线的距离为，故不是圆的切线，
当过的直线斜率存在时，设直线方程为，
则，解得，
则直线方程为，化为一般式为.
故选：A
9．如图，空间四边形中，，点为中点，点在侧棱上，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由图形中线段关系，应用向量加减、数乘的几何意义用表示出.
【详解】.
故选：C
10．如图，在棱长为1的正方体中，分别是线段上的点，是直线上的点，满足平面，且不是正方体的顶点，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据正方体的性质得到平面，然后建立空间直角坐标系，设，，，根据∥平面，得到，，然后得到，最后求最值即可.
【详解】
因为为正方体，所以平面，，
因为平面，所以，
因为，平面，所以平面，
如图，以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，
，，
设，，，
，，，
因为∥平面，所以，
因为，所以，即，
，
所以当时，最小，最小为.
故选：A.
二、双空题
11．直线的倾斜角为 ，过点且与直线平行的直线方程是 .
【答案】
【解析】由直线方程求出斜率，根据直线倾斜角与斜率关系求出倾斜角，由直线平行求出待求直线斜率，点斜式即可求出.
【详解】由可得，
所以，
由知.
过点且与直线平行的直线斜率为，
所以，
即.
故答案为：；
三、填空题
12．圆心C为，且半径为3的圆的方程是 .
【答案】
【分析】根据圆心与半径直接求解.
【详解】因为圆心，半径为3，
所以圆的标准方程为：，
故答案为：
13．已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量的模是 .
【答案】
【分析】根据投影向量模长的计算公式，代值计算即可.
【详解】由向量，，
得向量在向量上的投影向量的模为.
故答案为：.
14．已知点，点M、N分别是y轴和直线上的两个动点，则的最小值等于 .
【答案】
【分析】将的最小值转化为点到直线的距离求解即可.
【详解】如图，由已知得的最小值即为到直线的距离,
又直线与轴的交点为，
此时，
又直线斜率为，其与垂直，
即当均为直线与轴的交点时，最小，
最小值为.
故答案为：.
15．《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵．在堑堵中，若，点是直线上的动点，则到直线的最短距离是 ．
【答案】1
【分析】建立空间直角坐标系，利用点到直线的距离公式求解.
【详解】
如图以点C为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，
则，
且，，
因为点是直线上的动点，设点，
则，即，
可得，即，，
则到直线的距离是，
则当时，到直线的最短距离是1.
故答案为：1
四、解答题
16．已知向量，， .
(1)若，求实数的值；
(2)求；
(3)若，，不能构成空间向量的一个基底，求实数的值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由可知，，再由数量积的坐标运算即可.
（2）模长公式的坐标运算即可.
（3）利用空间共面向量定理即可.
【详解】（1）∵，
∴，即，
∴．
（2）∵，，
∴，
∴
（3）若，，不能构成空间向量的一个基底，
则与，共面，
故存在唯一的实数对，使得，
即，
，
∴，解得，
∴.
17．已知长方体中，，，M是中点.
(1)求直线BM与DB所成角的余弦值；
(2)求直线与平面夹角的余弦值.
(3)求三棱锥的体积
【答案】(1)；
(2)；
(3)．
【分析】（1）在中应用余弦定理计算；
（2）建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法求线面角；
（3）由棱锥体积公式计算．
【详解】（1）连接，
由已知，
；
直线BM与DB所成角的余弦值为；
（2）分别以为轴建立空间直角坐标系，如图，
则，，，
设平面的一个法向量是，
则，令得，
，
所以直线与平面夹角的正弦值为，余弦值为；
（3）．
18．已知△ABC的顶点为，，，求：
(1)边AC所在直线的方程；
(2)边AC的垂直平分线的方程；
(3)△ABC的面积.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据直线上的点求出斜率，再由点斜式求解即可；
（2）求出中垂线的斜率及AC中点坐标即可得解；
（3）求出，再由点到直线的距离求出高即可得解.
【详解】（1）由，可得,
故边AC所在直线的方程为，
即.
（2）由（1）知，边AC的垂直平分线的斜率，
又边AC的中点为，
故边AC的垂直平分线的方程为，
即.
（3）因为,
点到直线的距离，
所以.
19．如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，平面ABCD，，E是棱PA的中点.
(1)求证：平面BDE；
(2)求平面BDE与平面ABCD夹角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接交于点，连接，证明即可；
（2）以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.
【详解】（1）连接交于点，连接，
因为四边形为正方形，所以为的中点，
又因E是棱PA的中点，所以，
又平面，平面，
所以平面BDE；
（2）如图，以点为原点建立空间直角坐标系，
则，
故，
设平面的法向量为，
则有，可取，
因为平面ABCD，
所以即为平面的一条法向量，
则，
所以平面BDE与平面ABCD夹角的余弦值为.
20．已知圆C：
(1)求圆的圆心和半径；
(2)求经过点的圆C的切线方程；
(3)求直线l：被圆C截得的弦长.
【答案】(1)圆心，半径
(2)或
(3)
【分析】（1）将圆的方程化为标准方程即可；
（2）分切线斜率存在和不存在两种情况讨论，结合点到直线的距离公式计算即可；
（3）利用圆的弦长公式求解即可.
【详解】（1）将圆C的 方程化为标准方程得，
故圆的圆心，半径；
（2）当切线的斜率不存在时，方程为，
圆心到直线的距离等于，故符合题意，
当切线的斜率存在时，设方程为，即，
则有，解得，
所以切线方程为，
综上所述，切线方程为或；
（3）圆心到直线l：的距离，
所以直线l：被圆C截得的弦长为.
21．如图，在多面体中，四边形是边长为的正方形，平面平面，，，.
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值；
(3)线段上是否存在点，使得平面？若存在，指出点的位置并证明；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)存在，点为中点，证明见解析
【分析】（1）先利用面面垂直的性质可得平面，再根据线面垂直的性质定理和判定定理证明即可；
（2）建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，利用空间向量法求解即可；
（3）设，由求出，再利用空间向量法求解即可.
【详解】（1）因为平面平面，平面平面，，平面,
所以平面，
因为平面，所以，
因为四边形是正方形，
所以，
因为，平面，平面，
所以平面.
（2）由（1）得平面，因为平面，所以，，两两垂直，
以为原点，为轴、 轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
因为，，
所以，.
则，，,，，
所以，，
设平面的一个法向量为，
则，取得，
因为平面，所以为平面的一个法向量，，
所以，
设平面与平面夹角为，
所以，
所以平面与平面夹角的余弦值．
（3）线段上存在点，点为中点，满足平面，证明如下：
设，
因为，
所以，
由（2）知平面的一个法向量为，
因为平面，
所以，解得，
所以线段上存在点，点为中点，满足平面.
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