北京市昌平区2021-2022学年高一上学期期末质量抽测数学试题

昌平区2021—2022学年第一学期高一年级期末质量抽测

数学试卷

2022.1

一､选择题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.

1. 已知集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】解绝对值不等式确定集合，然后由交集定义计算．

【详解】，，则.

故选：A.

2. 已知命题：，，则为（    ）

A. ， B. ，

C. ， D. ，

【答案】C

【解析】

【分析】根据特称命题的否定是全称命题即可得解.

【详解】把存在改为任意，把结论否定，为，.

故选：C

3. 下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递减的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据基本函数的性质和偶函数的定义分析判断即可

【详解】对于A，因为，所以是偶函数，图象是开口向下，顶点为原点，对称轴为轴，所以其在区间上单调递减，所以A正确，

对于B，是非奇非偶函数，所以B错误 ，

对于C，因为，所以是奇函数，所以C错误，

对于D，，可知函数在递增，所以D错误，

故选：A

4. 函数的零点个数为（    ）

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

【答案】B

【解析】

【分析】作出函数图像，数形结合求解即可.

【详解】解：根据题意，，故，

故函数与的图像如图，

由于函数与的图像只有一个交点，

所以方程有且只有一个实数根，

所以函数的零点个数为1个.

故选：B

5. 北京2022年冬奥会新增了女子单人雪车､短道速滑混合团体接力､跳台滑雪混合团体､男子自由式滑雪大跳台､女子自由式滑雪大跳台､自由式滑雪空中技巧混合团体和单板滑雪障碍追逐混合团体等个比赛小项，现有甲､乙两名志愿者分别从个比赛小项中各任选一项参加志愿服务工作，且甲､乙两人的选择互不影响，那么甲､乙两名志愿者选择同一个比赛小项进行志愿服务工作的概率是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据古典概型概率的计算公式直接计算.

【详解】由题意可知甲､乙两名志愿者分别从个比赛小项中各任选一项参加志愿服务工作共有种情况，

其中甲､乙两名志愿者选择同一个比赛小项进行志愿服务工作共种，

所以甲､乙两名志愿者选择同一个比赛小项进行志愿服务工作的概率是，

故选：C.

6. 如图，四边形ABCD是平行四边形，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】由平面向量的加减法法则进行计算.

【详解】由题意得，，

所以.

故选：D.

7. 农科院的专家为了了解新培育的甲､乙两种麦苗的长势情况，从种植有甲､乙两种麦苗的两块试验田中各抽取6株麦苗测量株高，得到的数据如下（单位：）：

甲：9，10，11，12，10，20；

乙：8，14，13，10，12，21.

根据所抽取的甲､乙两种麦苗的株高数据，给出下面四个结论，其中正确的结论是（    ）

A. 甲种麦苗样本株高的平均值大于乙种麦苗样本株高的平均值

B. 甲种麦苗样本株高的极差小于乙种麦苗样本株高的极差

C. 甲种麦苗样本株高的75%分位数为10

D. 甲种麦苗样本株高的中位数大于乙种麦苗样本株高的中位数

【答案】B

【解析】

【分析】对A，由平均数求法直接判断即可；由极差概念可判断B，结合百分位数概念可求C；将甲乙两组数据排序，可判断D.

【详解】甲组数据的平均数为，乙组数据的平均数为，故A错误；

甲种麦苗样本株高的极差为11，乙种麦苗样本株高的极差为13，故B正确；

，故甲种麦苗样本株高的75%分位数为第5位数，为12，故C错误；

甲种麦苗样本株高的中位数为，乙种麦苗样本株高的中位数为，故D错误.

故选：B

8. 设且，则“函数在上是减函数”是“函数在上是增函数”的（    ）

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】函数在上是减函数，根据指数函数的单调性得出；函数在上是增函数，得出且，从而可得出答案.

【详解】函数在上是减函数，则；

函数在上是增函数，则，而且，解得：且，

故“函数在上是减函数”是“函数在上是增函数”的充分不必要条件.

故选：A

9. 为了鼓励大家节约用水，北京市居民用水实行阶梯水价，其中每户的户年用水量与水价的关系如下表所示：

假设居住在北京的某户家庭2021年的年用水量为，则该户家庭2021年应缴纳的水费为（    ）

A. 1800元 B. 1400元 C. 1040元 D. 1000元

【答案】C

【解析】

【分析】结合阶梯水价直接求解即可.

【详解】由表可知，当用水量为时，水费为元；

当水价在第二阶段时，超出，水费为元，

则年用水量为，水价为1040元.

故选：C

10. 已知函数，给出下面四个结论：

①的定义域是；

②是偶函数；

③在区间上单调递增；

④的图像与的图像有4个不同的交点.

其中正确的结论是（    ）

A. ①② B. ③④ C. ①②③ D. ①②④

【答案】D

【解析】

【分析】可根据已知的函数解析式，通过求解函数的定义域、奇偶性、单调性和与的图像的交点个数即可判断.

【详解】函数，不难判断函数的定义域为R，故①选项是正确的；

②选项，因为，所以，故②选项也是正确；

选项③，在区间时，，而函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，此时函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，故选项不正确，排除选项；

选项④，可通过画出的图像与的图像，通过观察不难得到，两个函数图像有4个交点，因此，选项④正确.

故选：D.

二､填空题共6小题，每小题5分，共30分.

11. 实数的值为___________.

【答案】

【解析】

【分析】直接根据指数幂运算与对数运算求解即可.

【详解】解：

故答案为：

12. 某校高中三个年级共有学生2000人，其中高一年级有学生750人，高二年级有学生650人.为了了解学生参加整本书阅读活动的情况，现采用分层抽样的方法从中抽取容量为200的样本进行调查，那么在高三年级的学生中应抽取的人数为___________.

【答案】

【解析】

【分析】求出高三年级的学生人数，再根据分层抽样的方法计算即可.

【详解】高三年级有学生人，

用分层抽样的方法从中抽取容量为200的样本，

应抽取高三年级学生的人数为.

故答案为：

13. 已知，，，则，，的大小关系是___________（用“”连接）

【答案】

【解析】

【分析】根据指数函数与对数函数单调性直接判断即可.

【详解】由已知得，所以，

，，

所以，

故答案为：.

14. 某高中校为了减轻学生过重的课业负担，提高育人质量，在全校所有的1000名高中学生中随机抽取了100名学生，了解他们完成作业所需要的时间（单位：h），将数据按照，，，，，，分成6组，并将所得的数据绘制成频率分布直方图（如图所示）.

由图中数据可知___________；估计全校高中学生中完成作业时间不少于的人数为___________.

【答案】    ①. 0.1    ②. 50

【解析】

【分析】利用频率之和为1可求，由图求出完成作业时间不少于的频率，由频数=总数频率可求.

【详解】由可求；由图可知，全校高中学生中完成作业时间不少于的频率为，则对应频数为.

故答案为：；50

15. 函数的定义域为D，给出下列两个条件：①；②任取且，都有恒成立.请写出一个同时满足条件①②的函数，则___________.

【答案】（答案为不唯一）

【解析】

【分析】由题意可知函数在定义域内为增函数，且，从而可得其解析式

【详解】因为函数的定义域为D，且任取且，都有恒成立，

所以的定义域内为增函数，

因为，

所以（答案为唯一）

故答案为：（答案为不唯一）

16. 若函数（且）.①若，则___________；②若有最小值，则实数的取值范围是___________.

【答案】    ①.     ②.

【解析】

【分析】先计算的值，再计算的值；通过分类讨论确定不等式后即可求得的取值范围.

【详解】当时，，

所以，

所以；

当时，，

当时，取得最小值，

当时，且时，，

此时函数无最小值.

当时，且时，，

要使函数有最小值，则必须满足，解得.

故答案为：；.

三､解答题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

17 设向量，，.

（1）求；

（2）若，，求的值；

（3）若，，，求证：A，，三点共线.

【答案】（1）1    （2）2   

（3）证明见解析

【解析】

【分析】（1）先求，进而求；（2）列出方程组，求出，进而求出；（3）求出，从而得到，得到结果.

【小问1详解】

，；

【小问2详解】

，所以，解得：，所以；

【小问3详解】

因为，所以，所以A，，三点共线.

18. 已知函数

（1）若，求的解集；

（2）若方程有两个实数根，，且，求的取值范围.

【答案】（1）   

（2）或.

【解析】

【分析】（1）根据题意，解不等式即可得答案；

（2）由题知，再结合韦达定理解即可得答案.

小问1详解】

解：当时，，

所以，解得，

所以的解集为.

【小问2详解】

解：因为方程有两个实数根，，

所以，解得或.

所以，

所以，解得或.

综上，的取值范围为或.

19. 近年来，手机逐渐改变了人们的生活方式，已经成为了人们生活中的必需品，因此人们对手机性能的要求也越来越高.为了了解市场上某品牌的甲､乙两种型号手机的性能，现从甲､乙两种型号手机中各随机抽取了6部手机进行性能测评，得到的评分数据如下（单位：分）：

假设所有手机性能评分相互独立.

（1）在甲型号手机样本中，随机抽取1部手机，求该手机性能评分不低于90分的概率；

（2）在甲､乙两种型号手机样本中各抽取1部手机，求其中恰有1部手机性能评分不低于90分的概率；

（3）试判断甲型号手机样本评分数据的方差与乙型号手机样本评分数据的方差的大小（只需写出结论）

【答案】（1）   

（2）   

（3）甲型号手机样本评分数据的方差小于乙型号手机样本评分数据的方差.

【解析】

【分析】（1）由于甲型号手机样本中，得共有4部手机性能评分不低于90分，进而得其概率；

（2）由于甲型号的手机有4部评分不低于90分，乙型号的手机有3部评分不低于90分，进而列举基本事件，根据古典概型求解即可；

（3）根据表中数据的分散程度，估计比较即可.

【小问1详解】

解：根据表中数据，甲型号手机样本中，得共有4部手机性能评分不低于90分，

所以随机抽取1部手机，求该手机性能评分不低于90分的概率为

【小问2详解】

解：甲型号的手机有4部评分不低于90分，记为，另外两部记为

乙型号的手机有3部评分不低于90分，记为，另外三部记为，

所以甲､乙两种型号手机样本中各抽取1部手机，共有，，共36种，

其中恰有1部手机性能评分不低于90分的基本事件有，，共18种，

所以所求概率为.

【小问3详解】

解：根据表中数据，可判断甲型号手机样本评分数据的方差小于乙型号手机样本评分数据的方差.

20. 已知函数.

（1）求的定义域；

（2）判断函数的奇偶性，并证明你的结论；

（3）若对于恒成立，求实数的最小值.

【答案】（1）   

（2）函数为偶函数，证明见解析   

（3）

【解析】

【分析】（1）解不等式即可得答案；

（2）根据奇偶性的定义直接判断即可；

（3）根据题意，将问题转化为且在均恒成立，再分离常数，结合函数单调性与基本不等式求解即可.

【小问1详解】

解：由题知，解得，

所以函数的定义域为

【小问2详解】

解：函数为偶函数，证明如下：

由（1）知函数定义域关于原点对称，

所以，

所以函数为偶函数.

【小问3详解】

解：因为对于恒成立，

即对于恒成立，

所以且在均恒成立，

所以且在均恒成立，

由于，当且仅当成立，

在上单调递增，故，所以

所以且，即.

所以实数的取值范围是，最小值

21. 已知函数的定义域为，如果存在，使得，则称为的一阶不动点；如果存在，使得，且，则称为的二阶周期点.

（1）分别判断函数与是否存在一阶不动点；（只需写出结论）

（2）求的一阶不动点；

（3）求的二阶周期点的个数

【答案】（1）不存在一阶不动点，存在一节不动点；   

（2），   

（3）

【解析】

【分析】（1）根据一阶不动点的定义直接分别判断即可；

（2）根据一阶不动点的定义直接计算；

（3）根据分段函数写出，结合二阶周期点的定义判断.

【小问1详解】

设函数，，，，

所以在上单调递增，

又，，

所以，时，即，

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以，即恒成立，

所以不存在一阶不动点；

设函数存在一阶不动点，即存在上，使，解得，成立，所以存在一阶不动点；

【小问2详解】

由已知得，解得或，

所以的一阶不动点为，；

【小问3详解】

由，

当时，，所以，

设，，恒成立，所以在上单调递减，且，，所以在上只有一个零点，即在上只有一个解，，即在上只有一个二阶周期点；

当时，，且，

所以时，，，令，解得成立，所以方程在上只有一个解，即在上只有一个二阶周期点；

当时，，，设，恒成立，所以在上单调递减，且，，所以在只有一个零点，即在上只有一个解，，即在上只有一个二阶周期点；

综上所述，的二阶周期点的个数为.