2023-2024学年江苏省连云港高级中学高一（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省连云港高级中学高一（上）期中数学试卷（含解析），共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.若命题p：∃x∈R，x2+2x+1≤0，则命题p的否定为( )
A. ∃x∉R，x2+2x+1>0B. ∃x∈R，x2+2x+1<0
C. ∀x∉R，x2+2x+1>0D. ∀x∈R，x2+2x+1>0
2.若集合A={0,1,2}，B={1,2,3,4}，则A∪B=( )
A. {0,1,2,3,4}B. {0,1,2}C. {1,2}D. {1,2,3,4}
3.函数y=1+2x2+8x2的最小值为( )
A. 10B. 9C. 8D. 7
4.下列函数中，既是奇函数又在其定义域上为增函数的是( )
A. y=3xB. y=−1xC. y= xD. y=|x|
5.已知lg x(2x)=4，则x=( )
A. −2B. 0C. 2D. 4
6.设f(x)=−x3+(a−2)x2+x是定义在R上的奇函数，则f(a)=( )
A. −4B. −5C. −6D. −7
7.当x∈(1,2)时，不等式x2+4x+m<0恒成立，则m的取值范围是( )
A. m≤−5B. m≤−12C. m<−8D. m<−5
8.定义在R上的函数f(x)满足f(3−x)=f(3+x)，当x2>x1>3时，f(x2)−f(x1)x2−x1>0恒成立，设a=f(2x2−x+5)，b=f(52)，c=f(x2+4)，则( )
A. a>c>bB. c>b>aC. c>a>bD. b>c>a
9.设U为全集，若A∪B=A，则( )
A. A=BB. B⊆AC. A⋂B=BD. ∁UA⊆∁UB
10.若x>0，y>0，则下列各式中，恒等的是( )
A. lgx+lgy=lg(x+y)B. lgxy=lgx−lgy
C. lgx2=(lgx)2D. lgy3 x=3lgy−12lgx
11.已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|x<−3或x>4}，则( )
A. a>0
B. 不等式bx+c>0的解集为{x|x<−4}
C. 不等式ax2−bx+a<0的解集为{x|x<−14或x>13}
D. a+b+c>0
12.已知函数f(x)的定义域为R，对任意实数x，y满足：f(x+y)=f(x)+f(y)+12，且f(12)=0，当x>0时，f(x)>f(0)，则( )
A. f(0)=−12B. f(−1)=−32
C. f(x)为R上的减函数D. f(x)+12为奇函数
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知f(1−x)=x2−2x，则函数f(−1)= ______ ．
14.a<0是|a|>0的______ 条件(从“充分条件、必要条件、充要条件、既不充分又不必要条件”中选填)．
15.设a>0，b>0，且a+b=1，则4a+1b的最小值是______ ．
16.若集合{x|mx2+mx+m+1≥0}=R，则实数m的取值范围为______ ．
三、解答题：本题共6小题，共70分。
17.记函数f(x)= 3−x+ x+1的定义域为集合M，函数g(x)=x2−2x+3的值域为集合N，求：
(1)求M，N；
(2)求M∪N，M⋂(∁RN)．
18.计算：
(1)eln3+lg 525+(0.125)−23，
(2)lg25+lg2lg50+(lg2)2．
19.设全集U=R，集合A=[1,5]，B={x|2−a≤x≤1+2a}，其中a∈R．
(1)若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求a的取值范围；
(2)若“x∈A”是“x∈B”的必要条件，求a的取值范围．
20.已知a，b均为正实数．
(1)证明：a+b2≤ a2+b22；
(2)若Rt△ABC的两条直角边分别为a，b，斜边c=2，求Rt△ABC周长l的最大值．
21.如图所示，某学校的教学楼前有一块矩形空地ABCD，其长为36米，宽为24米，现要在此空地上种植一块矩形草坪，三边留有人行道，人行道宽度为a米与b米均不小于3米，要求“转角处(图中矩形AEFG)”的面积为12平方米．
(1)试用a表示草坪的面积S(a)，并指出a的取值范围；
(2)如何设计人行道的宽度a，b才能使草坪的面积最大？并求出草坪的最大面积．
22.已知定义在R上的奇函数f(x)=ax−bx2+1过原点，且f(−12)=−25．
(1)求实数a，b的值；
(2)判断f(x)在(−1,1)上的单调性并用定义证明；
(3)画出f(x)在R上的图像．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．
根据含有量词的命题的否定即可得到结论．
【解答】
解：命题为存在量词命题，则命题的否定为∀x∈R，x2+2x+1>0，
故选：D．
2.【答案】A
【解析】解：A={0,1,2}，B={1,2,3,4}，
则A∪B={0,1,2,3,4}．
故选：A．
根据并集的含义．
本题主要考查并集及其运算，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】解：函数y=1+2x2+8x2中，∵x≠0，
由基本不等式可得y=1+2x2+8x2≥1+2 2x2⋅8x2=9
当且仅当2x2=8x2时，即x=± 2时取等号，
所以函数的最小值为9．
故选：B．
根据函数形式，结合基本不等式求解函数最小值即可．
本题主要考查基本不等式及其应用，属于基础题．
4.【答案】A
【解析】解：对于A，y=3x是奇函数，在定义域上是增函数，故A正确；
对于B，y=−1x是奇函数，增区间为(−∞,0)，(0,+∞)，故B错误；
对于C，y= x是非奇非偶函数，故C错误；
对于D，y=|x|是偶函数，故D错误．
故选：A．
利用函数的奇偶性、单调性直接求解．
本题考查函数的奇偶性、单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
5.【答案】C
【解析】解：由lg x(2x)=4得( x)4=2x，即x2=2x，
又x>0且x≠1，
所以x=2．
故选：C．
对数式化为指数式，再由指数的运算法则求解．
本题主要考查了对数式与指数式的互化，考查了指数幂的运算性质，属于基础题．
6.【答案】C
【解析】解：根据题意，f(x)=−x3+(a−2)x2+x是定义在R上的奇函数，
则f(−x)+f(x)=[x3+(a−2)x2−x]+[−x3+(a−2)x2+x]=2(a−2)x2=0，必有a=2；
则f(x)=−x3+x，f(a)=f(2)=−8+2=−6．
故选：C．
根据题意，由奇函数的性质求出a的值，即可得函数的解析式，将a的值代入解析式计算可得答案．
本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及函数值的计算，属于基础题．
7.【答案】B
【解析】解：当x∈(1,2)时，不等式x2+4x+m<0恒成立，
即m<−x2−4x在(1,2)上恒成立，
设y=−x2−4x=−(x+2)2+4，在(1,2)上单调递减，
所以y∈(−12,−5)，所以m≤−12．
故选：B．
分离参数，求函数y=−x2−4x在(1,2)上的值域即可求解．
本题考查了函数恒成立问题，考查了函数思想，属于基础题．
8.【答案】A
【解析】解：根据题意，定义在R上的函数f(x)满足f(3−x)=f(3+x)，则f(x)的图象关于直线x=3对称，
而有b=f(52)=f(72)，
又由当x2>x1>3时，有f(x2)−f(x1)x2−x1>0恒成立，则f(x)在(3,+∞)上为增函数，
同时x2+4≥4>72，
又由(2x2−x+5)−(x2+4)=x2−x+1=(x−12)2+34>0，
则有2x2−x+5>x2+4>72，
故有a>c>b．
故选：A．
根据题意，分析可得f(x)的图象关于直线x=3对称，且在(3,+∞)上为增函数，由二次函数的性质分析可得2x2−x+5>x2+4>72，即可得答案．
本题考查函数单调性和对称性的综合应用，涉及不等式的性质，属于中档题．
9.【答案】BCD
【解析】解：因为A∪B=A，等价于B⊆A，等价于A⋂B=B和∁UA⊆∁UB，
故A错误，BCD正确．
故选：BCD．
根据包含关系结合集合间的运算求解．
本题主要考查了集合并集性质的应用，属于基础题．
10.【答案】BD
【解析】解：对于A：lgx+lgy=lg(xy)，故选项A不正确；
对于B，根据对数的运算法则得lgxy=lgx−lgy，故B正确；
对于C：lgx2=2lgx，故选项B不正确；
对于D：lgy3 x=lgy3−lg x=lgy3−lgx12=3lgy−12lgx，故选项D正确．
故选：BD．
根据对数运算法则和性质即可判断．
本题主要考查对数的运算性质，属于基础题．
11.【答案】A
【解析】解：由不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|x<−3或x>4}知，
−3和4是方程ax2+bx+c=0的实数根，且a>0，所以选项A正确；
由根与系数的关系知，−3+4=−ba−3×4=ca，解得b=−a，c=−12a，
所以不等式bx+c>0可化为−ax−12a>0，即x+12<0，
解得x<−12，所以不等式的解集为{x|x<−12}，选项B错误；
不等式ax2−bx+a<0可化为ax2+ax+a<0，即x2+x+1<0，
由Δ=1−4=−3<0，所以不等式的解集为⌀，选项C错误；
由不等式ax2+bx+c<0的解集为{x|x<−3或x>4}知，
1不是不等式的解集，所以a+b+c≤0，选项D错误．
故选：A．
根据一元二次不等式的解集与对应方程的关系，即可得出a、b、c之间的关系，再判断选项中的命题是否正确．
本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题．
12.【答案】ABD
【解析】解：令x=y=0，则f(0)=−12，故A正确；
令x=−12，y=12，则f(0)=f(12)+f(−12)+12=−12，因为f(12)=0，故f(−12)=−1，
所以f(−1)=2f(−12)+12=−32，故B正确；
结合A，B可知，f(0)=−12>f(−12)=−1，故C错误；
令y=−x，则f(0)+12=f(x)+12+f(−x)+12=0，故f(−x)+12=−[f(x)+12]，
故f(x)+12为奇函数，故D正确．
故选：ABD．
利用赋值法求出f(0)的值，然后结合已知求出f(−1)的值，结合定义可判断函数的单调性，奇偶性．
本题考查抽象函数的性质以及函数的奇偶性、单调性的定义，属于中档题．
13.【答案】0
【解析】解：令x=2得f(−1)=22−2×2=0．
故答案为：0．
直接赋值代入即可．
本题主要考查函数值的求解，属于基础题．
14.【答案】充分
【解析】解：由|a|>0，解得a>0或a<0，
则a<0是|a|>0的充分条件，
故答案为：充分．
解出绝对值不等式，再根据充分条件的定义判定即可．
本题考查了充分必要条件，考查不等式问题，是基础题．
15.【答案】9
【解析】解：因为a>0，b>0，且a+b=1，
则4a+1b=(a+b)(4a+1b)=5+4ba+ab≥5+2 4ba⋅ab=9，
当且仅当4ba=ab，即a=2b=23时，等号成立，
所以4a+1b的最小值是9．
故答案为：9．
根据题意利用基本不等式运算求解．
本题主要考查不等式的公式，属于基础题．
16.【答案】[0,+∞)
【解析】解：由题意可知：mx2+mx+m+1≥0对任意的x∈R恒成立，
若m=0，则1≥0，符合题意；
若m≠0，则m>0m2−4m(m+1)≤0，解得m>0；
综上所述：实数m的取值范围为[0,+∞)．
故答案为：[0,+∞)．
根据题意可知：mx2+mx+m+1≥0对任意的x∈R恒成立，分m=0和m≠0两种情况，结合二次函数以及Δ判别式分析求解．
本题考查一元二次不等式的解法，属于基础题．
17.【答案】解：(1)对于函数f(x)= 3−x+ x+1，则3−x≥0x+1≥0，解得−1≤x≤3，
所以M=[−1,3]，
对于g(x)=x2−2x+3=(x−1)2+2≥2，当且仅当x=1时，等号成立，
所以N=[2,+∞)．
(2)由(1)可得：M∪N=[−1,+∞)，∁RN=(−∞,2)，
所以M⋂(∁RN)=[−1,2)．
【解析】(1)根据根式的定义求f(x)的定义域M，根据二次函数求g(x)的值域N；
(2)根据集合间的运算求解．
本题主要考查函数定义域、值域的求解，考查转化能力，属于中档题．
18.【答案】解：(1)原式=3+2lg552+[(12)3]− 23=3+4+22=11．
(2)原式=2lg5+lg2⋅(1+lg5)+(lg2)2=2lg5+lg2+lg2⋅lg5+(lg2)2=2lg5+lg2+lg2(lg5+lg2)=2(lg5+lg2)=2．
【解析】(1)根据指数幂和对数的运算法则计算即可；
(2)根据对数的运算法则计算．
本题主要考查对数的运算性质，属于基础题．
19.【答案】解：(1)由题意得到A=[1,5]，
由“x∈A”是“x∈B”的充分条件可得A⊆B，
则2−a≤11+2a≥5，解得a≥2，
故实数a的取值范围是[2,+∞)；
(2)由“x∈A”是“x∈B”的必要条件可得B⊆A，
当B=⌀时，2−a>1+2a，即a<13时，满足题意，
当B≠⌀时，即a≥13时，则1≤2−a1+2a≤5，
解得13≤a≤1．
综上a≤1，
故实数a的取值范围是(−∞,1]．
【解析】(1)问题转化为A⊆B，可求a的取值范围；
(2)问题转化为B⊆A可解决此题．
本题考查充分、必要条件应用及集合间关系，属于基础题．
20.【答案】解：(1)证明：∵(a+b2)2−a2+b22=−(a−b)24≤0，
∴(a+b2)2≤a2+b22，当且仅当a=b时等号成立，
又a，b为正实数，
则a+b2≤ a2+b22；
(2)由题意得a2+b2=c2=4，
由(1)得a+b≤2 a2+b22=2 2，当且仅当a=b= 2时等号成立，
故Rt△ABC周长l的最大值为2 2+2．
【解析】(1)利用作差法，结合不等式的性质，即可证明结论；
(2)利用(1)中的结论和三角形的性质，即可得出答案．
本题考查不等式的证明，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
21.【答案】解：(1)由条件知ab=12，∴b=12a，
因为b≥3，a≥3，所以b=12a≥3⇒a≤4，所以3≤a≤4，
所以S(a)=(36−2a)(24−b)=(36−2a)(24−12a)=−48(9a+a)+888，
所以S(a)=−48(9a+a)+888(3≤a≤4)；
(2)由(1)S(a)=−48(9a+a)+888≤−48×2 9a×a+888=600，
当且仅当9a=a⇒a=3时取等号，
即a=3，b=4时，S(a)的最大值为600，
所以当人行道的宽度a=3，b=4才能使草坪的面积最大，且草坪的最大面积为600．
【解析】(1)根据题意列出表达式即可；
(2)利用基本不等式求解即可．
本题考查了函数模型的实际应用，属于中档题．
22.【答案】解：(1)定义在(−1,1)上的奇函数f(x)=ax−bx2+1，则f(0)=0，即−b=0，解得b=0，
又f(−12)=−25，即−12a4=−24，解得a=1，
故f(x)=xx2+1，经检验符合题意．
(2)函数f(x)在(−1,1)上是增函数，
证明如下：任取x1，x2∈(−1,1)且x1则f(x1)−f(x2)=x1x12+1−x2x22+1=x1x22+x1−x12x2−x2(x12+1)(x22+1)=x1x2(x2−x1)+(x1−x2)(x12+1)(x22+1)=(x1−x2)(1−x1x2)(x12+1)(x22+1)，
因为−1故f(x1)−f(x2)<0，即f(x1)因此函数f(x)在(−1,1)上是增函数．
(3)
【解析】(1)根据题意，由f(0)=0可求得b，再将点的坐标代入即可求得a；
(2)根据题意，由函数单调性的定义证明即可；
(3)根据题意，直接绘制函数图像．
本题考查函数奇偶性的性质与判断，考查作图能力及推理证明与运算能力，属于中档题．