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人教版2023-2024学年七年级（上）期末必刷压轴题分类训练 含解析
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这是一份人教版2023-2024学年七年级（上）期末必刷压轴题分类训练 含解析，共28页。试卷主要包含了列方程解应用题等内容，欢迎下载使用。
1．12月9日，东方甄选吉林专场正式开播，上百款吉林好物在抖音直播间迅速热卖，包括朝鲜族辣白菜，皓月牛肉，冻梨，大米等．开播5小时，成交订单超过41万单．直播间1号链接为皓月牛肉，每单为100元；2号链接为辣白菜，每单为30元；3号链接为牛肉+辣白菜组合，每单118元．
（1）某单位食堂打算购买牛肉50单，辣白菜a单（a＞50），若在1号和2号链接购买，由于订单量大，辣白菜和牛肉可以打9折，那么需付款 元；若在2号和3号链接购买，由于组合装已经优惠，故辣白菜和牛肉不再打折，那么需付款 元（用含a的代数式表示）．
（2）在（1）的条件下，如果购买牛肉50单，辣白菜70单，通过计算说明怎样购买最合算．
2．某中学在寒假期间对教室内墙进行粉刷，现有甲、乙两个工程队都想承包这项工程，已知甲队每天能粉刷2间教室，乙队每天能粉刷3间教室，若单独粉刷所有教室，甲队比乙队要多用10天，在粉刷过程中，该校每天需要支付甲队1600元，每天支付乙队2500元．
（1）该校一共有多少间教室需要粉刷？
（2）若先由甲、乙两个工程队合作一段时间后，甲队停工了，乙队单独完成剩余部分，且乙队的全部工作时间是甲队的工作时间的2倍还多4天，求乙队共粉刷了多少天？
（3）经学校研究，制定了如下三种方案：
方案一：由甲队单独完成；
方案二：由乙队单独完成；
方案三：按（2）的方式完成．
请你通过计算帮学校选择一种最省钱的粉刷方案．
3．某班准备买一些乒乓球和乒乓球拍，先了解情况如下：甲、乙两家商店出售有同样品牌的乒乓球和乒乓球拍，乒乓球拍每副30元，乒乓球每盒定价5元，经洽谈后，甲店每卖一副球拍赠一盒乒乓球，乙店全部按定价的9折优惠，该班需球拍5副，乒乓球若干盒（不少于5盒）．
（1）当购买多少盒乒乓球时，两种优惠办法付款一样？
（2）当购买30盒乒乓球时，去哪家商店购买更划算？
（3）当购买30盒乒乓球时，你有其它的更好的省钱方案吗？并计算费用．
4．列方程解应用题：
一商场经销的A、B两种商品，A种商品每件进价40元，利润率为50%；B种商品每件进价50元，售价80元．
（1）A种商品每件售价为 元，每件B种商品利润率为 %．
（2）若该商场同时购进A、B两种商品共50件，恰好总进价为2100元，求购进A种商品多少件？
（3）在“春节”期间，该商场只对A、B两种商品进行如下的优惠促销活动：
按上述优惠条件，若小华一次性购买A、B商品实际付款522元，求若没有优惠促销，小华在该商场购买同样商品要付多少元？
5．某社区小型便利超市第一次用3000元购进甲、乙两种商品，两种商品都销售完以后获利500元，其进价和售价如下表：
（注：获利＝售价﹣进价）
（1）该超市第一次购进甲、乙两种商品各多少件？
（2）该超市第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种商品．其中甲种商品的件数不变，乙种商品的件数是第一次的2倍；乙种商品按第一次的售价销售，而甲种商品降价销售．若第二次两种商品都销售完以后获利700元，求甲种商品第二次的售价．
分段计费问题
6．某市为了鼓励居民节约用水，采用分段计费的方法按月计算每户家庭的水费，月用水量不超过20m3时，按2.5元/m3计费；月用水量超过20m3时，其中的20m3仍按2.5元/m3收费，超过部分按3.5元/m3计费，设每户家庭用水量为x m3．
（1）当0＜x≤20时，每户家庭缴纳水费 元（用含x的代数式表示）；
当x＞20时，每户家庭缴纳水费 元（用含x的代数式表示）；
（2）小明家第二季度用水量如下：
求小明第二季度一共缴纳的水费．
7．王师傅去水果批发市场采购苹果，他看中了A、B两家商店的苹果，这两家商店的苹果品质一样，零售价都是6元/千克，批发价各不相同．
A家商店规定：
一次性批发质量不超过1000千克，按零售价的92%优惠计算；
一次性批发质量超过1000千克，但不超过2000千克，按零售价的90%优惠计算；
一次性批发质量超过2000千克，按零售价的88%优惠计算．
B家商店的价格分段计算，规定如下表：
（1）如果他计划批发800千克苹果，他在哪家商店批发比较优惠？
（2）如果他只在一家商店批发x千克苹果（1500＜x＜2000），请你计算他在A、B两家商店批发所需的费用（用含x的代数式表示并化简）．
8．某市为鼓励居民节约用水，采用分段计费的方法按月计算每户家庭的水费，月用水量不超过40立方米时，按2元/立方米计费；月用水量超过40立方米时，其中的40立方米仍按2元/立方米收费，超过部分按3.5元/立方米计费．设每户家庭月用水量为x立方米．
（1）当x不超过40时，应收水费为 （用x的代数式表示）；当x超过40时，应收水费为 （用x的代数式表示化简后的结果）；
（2）小明家四月份用水26立方米，五月份用水52立方米，请帮小明计算一下他家这两个月一共应交多少元水费？
（3）小明家六月份交水费150元，请帮小明计算一下他家这个月用水量多少立方米？
9．为鼓励人们节约用水，某地实行阶梯式计量水价（如下表所示）：
（1）如果某用户某月用水量为10吨，请计算该月需交水费多少元？
（2）如果某用户某月用水量为27吨，请计算该月需交水费多少元？
（3）如果某用户某月用水量为m吨（20＜m＜30），则该月需交水费 元（用含m的代数式表示）．
（4）如果某用户某月用水量为m吨（m＞30），则该月需交水费 元（用含m的代数式表示）．
10．小阳同学在查看家里的电费账单时发现账单上有“第一档电费，第二档电费，峰时段用电量、谷时段用电量、……”等信息，引起了小阳同学的好奇．通过查询国家电网福建电力公司官网知道了电力公司对居民用电设定如下两种计费方式供居民选择：
计费方式一：“分档”计算电费（如表1），即按用电量先计算第一档，超过第一档的部分再计算第二档，依次类推，总电费等于各挡电费的总和；
计费方式二：“分档十分时”计算电费（如表1、表2），总电费等于分档电费、峰时段增加的电费、谷时段减少的电费的总和．
表1
表2
（1）若小阳同学家选择计费方式一，1月份用电量为330度，求1月份应缴电费；
（2）设小阳同学家某月的用电量为x度，x＞230，且峰时段用电量是谷时段用电量的4倍，请用含x的式子表示两种计费方式应缴电费；
（3）小阳同学家在2022年某月的电费为251.5元，若采用计费方式一和计费方式二应缴电费相同，求该月峰时段和谷时段的用电量．
数轴动点问题
11．如图，数轴上A，B两点表示的数分别是m，n满足（m+8）2+|2n﹣20|＝0．点P从点A出发以每秒2个单位的速度往点B的方向运动，点P出发1秒后，点Q从点B出发往点A的方向运动，设点Q的运动时间为t秒，点P出发3秒钟后，点Q恰好位于线段PB的中点处．
（1）求m，n的值，并求线段AB的长度；
（2）点Q每秒运动多少个单位长度？
（3）当BQ＝2PQ时，求t的值．
12．已知数轴上三点M，O，N对应的数分别为﹣1，0，3，点P为数轴上任意一点，其对应的数为x．
（1）如果点P到点M、点N的距离相等，那么x的值是 ；
（2）数轴上是否存在点P，使点P到点M、点N的距离之和是8？若存在，直接写出x的值；若不存在，请说明理由；
（3）如果点P以每分钟3个单位长度的速度从点O向右运动，同时点M和点N分别以每分钟2个单位长度和每分钟1个单位长度的速度也向右运动，设t分钟时点P到点M、点N的距离相等，求t的值．
13．如图，在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，点A到点B的距离记为AB，我们规定：AB的大小可以用位于右边的点表示的数减去左边的点表示的数表示，即AB＝b﹣a．其中b是最大的负整数，a，c满足|a+3|与（c﹣5）2互为相反数．
（1）a＝ ，b＝ ，c＝ ；
（2）以某点D为折点，将此数轴向右对折，若点A在点C的右边，且AC＝2，则D表示的数是 ；
（3）若点A以每秒2个单位长度的速度向右运动t秒时，5AB＝AC．求出t的值．
14．已知点A在数轴上对应的数为a、点B对应的数为b，且|a+5|+（b﹣1）2＝0．A、B之间的距离记作|AB|，定义：|AB|＝|a﹣b|．
（1）求线段AB的长|AB|；
（2）设点P在数轴上对应的数为x，当|PA|﹣|PB|＝2，求x的值；
（3）若点P在A的左侧，M、N分别是PA、PB的中点，当P在A的左侧移动时，下列两个结论：①|PM|+|PN|的值不变；②|PN|﹣|PM|的值不变，其中只有一个结论正确，请判断出正确结论，并求其值．
15．如图一，已知数轴上，点A表示的数为﹣6，点B表示的数为8，动点P从A出发，以3个单位每秒的速度沿射线AB的方向向右运动，运动时间为t秒（t＞0）．
（1）线段AB＝ ．
（2）当点P运动到AB的延长线时BP＝ ．（用含t的代数式表示）
（3）如图二，当t＝3秒时，点M是AP的中点，点N是BP的中点，求此时MN的长度．
（4）当点P从A出发时，另一个动点Q同时从B点出发，以1个单位每秒的速度沿射线向右运动．
①点P表示的数为： （用含t的代数式表示）；
点Q表示的数为： （用含t的代数式表示）；
②存在这样的t值，使B、P、Q三点有一点恰好是以另外两点为端点的线段的中点，请直接写出t值． ．
角的探究问题
16．如图，OD是∠AOB的平分线，OE是∠BOC的平分线．
（1）若∠BOC＝50°，∠BOA＝80°，求∠DOE的度数；
（2）若∠AOC＝150°，求∠DOE的度数；
（3）你发现∠DOE与∠AOC有什么等量关系？给出结论并说明．
17．如图，∠AOB是直角，ON是∠AOC的平分线，OM是∠BOC的平分线．
（1）当∠AOC＝40°，求出∠MON的大小，并写出解答过程理由；
（2）当∠AOC＝50°，求出∠MON的大小，并写出解答过程理由；
（3）当锐角∠AOC＝α时，求出∠MON的大小，并写出解答过程理由．
18．已知：点O是直线AB上的一点，∠COD＝90°，OE是∠BOD的平分线．
（1）当点C、D．E在直线AB的同侧（如图6﹣1）时，
①若∠COE＝35°，求∠AOD的度数．
②若∠COE＝α，则∠AOD＝ ．（用含α的式子表示）
（2）当点C与点D，E在直线AB的两侧（如图6﹣2）时，（1）中②的结论是否仍然成立？请给出你的结论并说明理由．
19．如图1，点A，O，B在同一直线上，∠COD＝90°，射线OE在∠BOD内部．
（1）若OE平分∠BOD，∠AOC＝20°，求∠COE的度数；
（2）如图2，若射线OF平分∠AOE，∠AOF+∠AOC＝∠COD，∠DOE＝90°﹣3α．
①判断图2中哪个角的大小为α，并说明理由；
②直接写出∠AOC与∠BOE的数量关系．
20．已知：点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，∠BOC＝110°．
（1）如图1，求∠AOC的度数；
（2）如图2，过点O作射线OD，使∠COD＝90°，作∠AOC的平分线OM，求∠MOD的度数；
（3）如图3，在（2）的条件下，作射线OP，若∠BOP与∠AOM互余，请画出图形，并求∠COP的度数．
角的动态问题
21．已知直线AB经过点O，∠COD＝90°，OE是∠BOC的平分线．
（1）如图1，若∠AOC＝30°，求∠DOE；
（2）如图1，若∠AOC＝α，直接写出∠DOE＝ ；（用含α的式子表示）
（3）将图1中的∠COD绕顶点O顺时针旋转到图2的位置，其他条件不变，（2）中的结论是否还成立？试说明理由．
22．如图1，已知∠AOB＝120°，∠COD＝60°，OM在∠AOC内，ON在∠BOD内，∠AOM＝∠AOC，∠BON＝∠BOD．（本题中所有角均大于0°且小于等于180°）
（1）∠COD从图1中的位置绕点O逆时针旋转到OC与OB重合时，如图2，则∠MON＝ °；
（2）∠COD从图2中的位置绕点O逆时针旋转n°（0＜n＜120且n≠60），求∠MON的度数；
（3）∠COD从图2中的位置绕点O顺时针旋转n°（0＜n＜180且n≠60a，其中a为正整数），直接写出所有使∠MON＝2∠BOC的n值．
23．如图，以直线AB上一点O为端点作射线OC，使∠AOC＝65°，将一个直角三角形的直角顶点放在点O处．（注：∠DOE＝90°）
（1）如图①，若直角三角板DOE的一边OD放在射线OA上，则∠COE＝ ；
（2）如图②，将直角三角板DOE绕点O顺时针方向转动到某个位置，若OC恰好平分∠AOE，求∠COD的度数；
（3）如图③，将直角三角板DOE绕点O任意转动，如果OD始终在∠AOC的内部，试猜想∠AOD和∠COE有怎样的数量关系？并说明理由．
24．如图，两个形状，大小完全相同的含有30°，60°的三角板如图①放置，PA，PB与直线MN重合，且三角板PAC与三角板PBD均可绕点P逆时针旋转．
（1）试说明：∠DPC＝90°；
（2）如图②，若三角板PAC的边PA从PN处开始绕点P逆时针旋转一定度数，PF平分∠APD，PE平分∠CPD，求∠EPF．
（3）如图③，若三角板PAC的边PA从PN处开始绕点P逆时针旋转，转速为3°/s．同时三角板PBD的边PB从PM处开始绕点P逆时针旋转，转速为2°/s，在两个三角板旋转过程中（PC转到与PM重合时，三角板都停止转运），问的值是否变化？若不变，求出其值，若变化，说明理由．
25．直角三角形纸板COE的直角顶点O在直线AB上．
（1）如图1，当∠AOE＝165°时，∠BOE＝ °；
（2）如图2，OF平分∠AOE，若∠COF＝20°，则∠BOE＝ °；
（3）将三角形纸板COE绕点O逆时针方向转动至如图3的位置，仍有OF平分∠AOE，若∠COF＝56°，求∠BOE的度数．
参考答案
方案选择及销售问题
1．【解答】解：（1）（50×100+30a）×90%＝（4500+27a）（元），
50×118+（a﹣50）×30＝（4400+30a）（元），
故答案为：（ 4500+27a），（4400+30a）；
（2）将a＝70代入4500+27a＝4500+27×70＝6390 （元），
将a＝70代入4400+30a＝4400+30×70＝6500 （元），
∵6390＜6500，
∴应在1号链接和2号链接购买．
2．【解答】解：（1）设该校共有x间教室需要粉刷，则，解得：x＝60．
答：该校共有60间教室需要粉刷．
（2）设甲队的工作时间是y天，则乙队的工作时间为（2y+4）天，由题意可得：
∴2y+3（2y+4）＝60，解得：y＝6，
∴2y+4＝16．
答：乙队共粉刷了16天．
（3）方案一：甲单独完成花费为：（元）；
方案二：乙单独完成花费为：（元）；
方案三：总花费为：6×1600+16×2500＝49600（元）．
∴选择方案一最省钱．
3．【解答】解：（1）设购买x盒乒乓球时，两种优惠办法付款一样，
30×5+（x﹣5）×5＝（30×5+5x）×0.9，
解得，x＝20，
答：购买20盒乒乓球时，两种优惠办法付款一样；
（2）由（1）知购买20盒乒乓球时，两种优惠办法付款一样，
∵30＞20，乙店全部按定价的9折优惠，
∴当购买30盒乒乓球时，去乙商店购买更划算；
（3）可以在甲商店购买5副乒乓球拍，然后再去乙商店购买乒乓球，
所需费用为：30×5+（30﹣5）×5×0.9＝262.5（元），
答：在甲商店购买5副乒乓球拍，然后再去乙商店购买乒乓球可以更省钱，费用为262.5元．
4．【解答】解：（1）设A种商品每件进价为x元，
则x﹣40＝50%×40，
解得：x＝60．
故A种商品每件售价为60元；
每件B种商品利润率为（80﹣50）÷50＝60%．
故答案为：60；60；
（2）设购进A种商品x件，则购进B种商品（50﹣x）件，
由题意得40x+50（50﹣x）＝2100，
解得：x＝40．
故购进A种商品40件；
（3）设小华打折前应付款为y元，
①打折前购物金额超过450元，但不超过600元，
由题意得0.9y＝522，
解得：y＝580；
②打折前购物金额超过600元，
600×0.8+（y﹣600）×0.7＝522，
解得：y＝660．
综上可得，小华在该商场购买同样商品要付580元或660元．
5．【解答】解：（1）设第一次购进甲种商品x件，由题意得：
．
解得 x＝100．
则．
故第一次购进甲种商品100件，乙种商品75件．
（2）设第二次甲种商品的售价为每件y元，由题意得：
（y﹣15）•100+（24﹣20）×75×2＝700．
解得：y＝16．
则甲种商品第二次的售价为每件16元．
分段计费问题
6．【解答】解：（1）由题意可得，
当0＜x≤20时，每户家庭缴纳水费2.5x元，
当x＞20时，每户家庭缴纳水费：2.5×20+3.5（x﹣20）
＝50+3.5x﹣70
＝（3.5x﹣20）元，
故答案为：2.5x，（3.5x﹣20）；
（2）由题意可得，
（2.5×17）+（3.5×24﹣20）+（3.5×31﹣20）
＝42.5+（84﹣20）+（108.5﹣20）
＝42.5+64+88.5
＝195（元），
答：小明第二季度一共缴纳的水费195元．
7．【解答】解：（1）A家商店费用：800×6×92%＝4416（元），
B家商店费用：500×6×95%+（800﹣500）×6×85%＝4380（元）；
答：他在A商店批发比较优惠；
（2）A家商店费用：x×6×90%＝5.4x（元）；
B家商店费用：500×6×95%+1000×6×85%+（x﹣1500）×6×75%
＝4.5x+1200（元）．
8．【解答】解：（1）由题意可得，
当x不超过40时，应收水费为2x元，
当x超过40时，应收水费为：40×2+3.5（x﹣40）＝（3.5x﹣60）（元），
故答案为：2x元，（3.5x﹣60）元；
（2）由题意可得，
小明家四月份的水费为：26×2＝52（元），五月份的水费为3.5×52﹣60＝122（元），
∵52+122＝174（元），
∴小明家这两个月一共应交174元水费；
（3）设小明家这个月用水量x立方米，
∵40×2＝80＜150，
∴3.5x﹣60＝150，
解得x＝60，
答：小明家这个月用水量60立方米．
9．【解答】解：（1）1.6×10＝16（元），
答：该月需交水费16元；
（2）1.6×20+（27﹣20）×2.4＝48.8 （元），
答：该月需交水费48.8元；
（3）1.6×20+（m﹣20）×2.4＝（2.4m﹣16）（元），
故答案为：（2.4m﹣16）；
（4）1.6×20+10×2.4+（m﹣30）×4.8＝（4.8m﹣88）（元），
故答案为：（4.8m﹣88）．
10．【解答】解：（1）由题意得：230×0.5+0.55×（330﹣230）
＝115+55
＝170（元），
答：1月份应缴电费170元；
（2）∵x＞230，
当420≥x＞230时，则“分档”计算电费：230×0.5+0.55（x﹣230）＝0.55x﹣11.5；
当x＞420时，则“分档”计算电费：230×0.5+0.55×（420﹣230）+0.8（x﹣420）＝0.8x﹣116.5，
∴“分档”计算电费：，
∵峰时段用电量是谷时段用电量的4倍，则峰时段用电量是，谷时段用电量是，
当420≥x＞230时，则“分档十分时”计算电费：；
当x＞420时，则“分档十分时”计算电费：，
∴“分档十分时”计算电费：；
（3）∵230×0.5＝115（元），（420﹣230）×0.55＝104.5（元），115+104.5＝219.5（元），219.5＜251.5，
∴（251.5﹣219.5）÷0.8＝40（度），
∴小阳同学家在这个月的用电量为：230+190+40＝460（度），
设峰时段用电量为y度，则谷时段的用电量为（460﹣y）度，
由题意得：0.3y＝0.2（460﹣y），
解得：y＝184，
则460﹣184＝276（度），
答：该月峰时段的用电量为184度，谷时段的用电量为276度．
数轴动点问题
11．【解答】解：（1）∵（m+8）2+|2n﹣20|＝0，
∴m＝﹣8，n＝10，
∴AB＝10﹣（﹣8）＝18；
（2）设点Q每秒运动x个单位长度，
由题意可得：2×2x＝18﹣2×3，
∴x＝3，
答：点Q每秒运动3个单位长度；
（3）由题意可得：3t＝2×|18﹣2﹣5t|，
∴t＝或．
12．【解答】解：（1）根据题意，得：x﹣（﹣1）＝3﹣x，
解得：x＝1，
故答案为：1．
（2）存在，x的值是﹣3或5，
当点P在点M的左侧时，
根据题意，得：﹣1﹣x+3﹣x＝8，
解得：x＝﹣3，
当点P在点M和点N之间时，
根据题意得：PM+PN＝8，不符合题意；
当点P在点N的右侧时，
根据题意，得x﹣3+x﹣（﹣1）＝8，
解得：x＝5，
综上可得：x的值是﹣3或5；
（3）
点P从原点O向右运动t秒时对应在数轴上的数是0+3t＝3t，
点M向右运动t秒时对应在数轴上的数是﹣1+2t，
点N向右运动t秒时对应在数轴上的数是3+t，
PM＝|（﹣1+2t）﹣（3t）|＝|﹣1﹣t|＝|﹣（1+t）|＝1+t，
PN＝|（3+t）﹣3t|＝|3﹣2t|，
当运动t分钟时，点P到点M，点N的距离相等，即PM＝PN，
即1+t＝|3﹣2t|，
①1+t＝3﹣2t
解得：；
②1+t＝﹣（3﹣2t），
解得：t＝4，
综上所述，t的值为或4时，P到点M、点N的距离相等．
13．【解答】解：（1）∵a，c满足|a+3|与（c﹣5）2互为相反数，
∴a+3＝0，c﹣5＝0，
∴a＝﹣3，c＝5，
∵b是最大的负整数，
∴b＝﹣1；
故答案为：﹣3，﹣1，5；
（2）∵AC＝2，c＝5，
∴对叠后点A表示的数为5+2＝7，
设点D表示的数为x，由折叠可得：，
解得：x＝2，
∴D表示的数是2；
故答案为：2；
（3）分三种情况：①当点A在点B左侧时，则5[﹣1﹣（﹣3+2t）]＝5﹣（﹣3+2t），
解得：；
②当点A在点B点C之间时，则5[﹣3+2t﹣（﹣1）]＝5﹣（﹣3+2t），
解得：，
③当点A在点C右侧时，
∵5AB＝AC，
∴此情况不存在，
综上，当5AB＝AC，t秒的值为秒或秒．
14．【解答】解：（1）∵|a+5|+（b﹣1）2＝0，
∴a+5＝0，b﹣1＝0，
∴a＝﹣5，b＝1，
∴|AB|＝|a﹣b|＝|﹣5﹣1|＝6；
（2）分三种情况：
情况1：当P在点A左侧时，如图，
∴|PA|﹣|PB|＝﹣|AB|＝﹣6≠2；
情况2：当P在点B右侧时，如图，
|PA|﹣|PB|＝|AB|＝6≠2，
∴上述两种情况的点P不存在；
情况3：当P在点A、B之间时，如图，
∴|PA|﹣|PB|＝|x﹣（﹣5）|﹣|x﹣1|＝x+5﹣（1﹣x）＝2．
∴x+5﹣（1﹣x）＝2，
解得：x＝﹣1，
即所求x＝﹣1；
（3）|PN|﹣|PM|的值不变，值为3．
如图，
∵M、N分别是PA、PB的中点，
∴点M表示的数为，点N表示的数为，
∴，．
①，
∴|PM|+|PN|的值是变化的；
②，
∴|PN|﹣|PM|的值不变，值为3．
15．【解答】解：（1）根据题意可知，AB＝8﹣（﹣6）＝14；
故答案为：14；
（2）法一：点P所表示的数为：﹣6+3t，
∴当点P运动到AB的延长线时BP＝﹣6+3t﹣8＝3t﹣14；
法二：由点P的运动可知，AP＝3t，
∵AB＝14，
∴当点P运动到AB的延长线时BP＝3t﹣14；
故答案为：3t﹣14；
（3）∵点M是AP的中点，点N是BP的中点，
∴MN＝AB＝×14＝7．
故答案为：7．
（4）①点P表示的数为3t﹣6，点Q表示的数为8+t，
②当点B为PQ的中点时，PB＝BQ，
∴8﹣（3t﹣6）＝8+t﹣8，
∴t＝；
当点P为BQ的中点时，BP＝PQ，
∴3t﹣6﹣8＝8+t﹣（3t﹣6），
∴t＝；
当点Q为BP的中点时，BQ＝QP，
∴t+8﹣8＝（3t﹣6）﹣（8+t），
∴t＝14；
故答案为：①3t﹣6，8+t；
②秒或秒或14秒．
角的探究问题
16．【解答】解：（1）∵OD是∠AOB的平分线，OE是∠BOC的平分线，
∴∠AOD＝∠BOD＝∠BOC，∠BOE＝∠COE＝∠BOA，
∵∠BOC＝50°，∠BOA＝80°，
∴∠BOD＝25°，∠BOE＝40°，
∴∠DOE＝25°+40°＝65°；
（2）∵OD是∠AOB的平分线，OE是∠BOC的平分线，
∴∠AOD＝∠BOD＝∠BOC，∠BOE＝∠COE＝∠BOA，
∵∠AOC＝150°，
∴∠DOE＝∠DOB+∠EOB＝（∠BOC+∠BOA）＝∠AOC＝75°；
（3）∠DOE＝∠AOC；
理由是：∵OD是∠AOB的平分线，OE是∠BOC的平分线，
∴∠AOD＝∠BOD＝∠BOC，∠BOE＝∠COE＝∠BOA，
∴∠DOE＝∠DOB+∠EOB＝（∠BOC+∠BOA）＝∠AOC．
17．【解答】解：（1）∠AOC＝40°时，
∠MON＝∠MOC﹣∠CON
＝（∠BOC﹣∠AOC）
＝∠AOB
＝45°．
（2）当∠AOC＝50°，∠MON＝45°．理由同（1）．
（3）当∠AOC＝α时，∠MON＝45°． 理由同（1）．
18．【解答】解：（1）①∵∠COD＝90°，∠COE＝35°，
∴∠DOE＝∠COD﹣∠COE＝90°﹣35°＝55°．
∵OE平分∠BOD，
∴∠BOD＝2∠DOE＝2×55°＝110°；
∠AOD＝180°﹣∠BOD＝180°﹣110°＝70°；
②由①知，若∠COE＝α，则∠AOD＝2α．
故答案为：2α；
（2）成立．
理由如下：由（1）①可知：
∠AOD＝180°﹣∠BOD
＝180°﹣2∠DOE
＝180°﹣2（90°﹣∠COE）
＝180°﹣180°+2∠COE
＝2α．
19．【解答】解：（1）∵∠COD＝90°，∠AOC＝20°，
∴∠BOD＝180°﹣20°﹣90°＝70°，
∵OE平分∠BOD，
∴，
∴∠COE＝90°+35°＝125°；
（2）①∠AOC的大小为α；理由如下，
设∠AOC＝x，
∵∠AOF+∠AOC＝∠COD，∠COD＝90°，
∴∠AOF＝90°﹣x，∠COF＝90°﹣2x，
∴∠DOF＝2x，
∵射线OF平分∠AOE，
∴∠EOF＝∠AOF＝90°﹣x，
∴∠DOE＝∠EOF﹣∠DOF＝90°﹣3x，
∵∠DOE＝90°﹣3α，
∴x＝α，即∠AOC的大小为α；
②∠BOE＝2∠AOC．
∵∠COD＝90°，∠AOC＝α，∠DOE＝90°﹣3α，
∴∠BOD＝90°﹣α，
∴∠BOE+∠DOE＝90°﹣α，即∠BOE+90°﹣3α＝90°﹣α，
∴∠BOE＝2α，
即∠BOE＝2∠AOC．
20．【解答】解：（1）∵∠BOC＝110°，∠AOB＝180°，
∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝70°．
（2）由（1）知∠AOC＝70°，
∵OM平分∠AOC，
∴，
又∵∠OD＝90°，
∴∠MOD＝∠COD﹣∠COM＝55°．
（3）由（2）知∠AOM＝35°，
∵∠BOP与∠AOM互余，
∴∠BOP+∠AOM＝90°，
∴∠BOP＝90°﹣∠AOM＝90°﹣35°＝55°，
①当射线OP在∠BOC内部时，
∠COP＝∠BOC﹣∠BOP＝110°﹣55°＝55°，
②当射线OP在∠BOC外部时，
∠COP＝∠BOC+∠BOP＝110°+55°＝165°，
综上所述，∠COP的度数为55°或165°．
角的动态问题
21．【解答】解：（1）∵∠COD＝90°，
∴∠AOC+∠BOD＝90°，
∵∠AOC＝30°，
∴∠BOD＝60°，∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣30°＝150°，
∵OE平分∠BOC，
∴，
∴∠DOE＝∠BOE﹣∠BOD＝75°﹣60°＝15°；
（2）∵∠COD＝90°，
∴∠AOC+∠BOD＝90°，
∵∠AOC＝α，
∴∠BOD＝90°﹣α，
∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣α，
∵OE平分∠BOC，
∴，
∴；
故答案为：；
（3）（2）中的结论还成立．
理由如下：
∵∠AOC+∠BOC＝180°，∠AOC＝α，
∴∠BOC＝180°﹣α
∵OE平分∠BOC
∴
∵∠COD＝90°
∴．
22．【解答】解：（1）∵∠AOM＝∠AOC，∠BON＝∠BOD，
∴∠MOC＝∠AOC，∠DON＝∠BOD，
当∠COD从图1中的位置绕点O逆时针旋转到OC与OB重合时，如图2，
∴∠MON＝∠MOB+∠BON
＝∠AOC+BOD
＝×120°+60°
＝80°+20°
＝100°；
故答案为：100°；
（2）∠COD从图2中的位置绕点O逆时针旋转n°（0＜n＜120且n≠60），
①当0＜n＜60时，如（图1），
∵∠BOC＝n°，
∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝120°﹣n°，
∠BOD＝∠COD﹣∠BOC＝60°﹣n°，
∴∠MON＝∠MOC+∠BOC+∠BON
＝（120°﹣n°）+n°+（60°﹣n°）
＝100°；
②当60＜n＜120时，如（图2），
∵∠BOC＝n°，
∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝120°﹣n°，
∠BOD＝∠BOC﹣∠DOC＝n°﹣60°，
∴∠MON＝∠MOC+∠DOC+∠DON
＝（120°﹣n°）+60°+（n°﹣60°）
＝100°；
综上所述：∠MON的度数为100°；
（3）∠COD从图2中的位置绕点O顺时针旋转n°（0＜n＜180且n≠60a，其中a为正整数），∠MON＝2∠BOC，
①当0＜n＜60时，如图3，
∵∠BOC＝n°，
∴∠MON＝2∠BOC＝2n°，
∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝120°+n°，
∠BOD＝∠BOC+∠DOC＝n°+60°，
∴∠MON＝∠MOC+∠DOC﹣∠DON
＝（120°+n°）+60°﹣（n°+60°）
＝100°，
∴2n°＝100°
∴n＝50；
②当60＜n＜180时，如图4，
∵∠BOC＝n°，
∴∠MON＝2∠BOC＝2n°，
∴∠AOC＝360°﹣（∠AOB+∠BOC）＝360°﹣（120°+n°）＝240°﹣n°，
∠BOD＝∠BOC+∠DOC＝n°+60°，
∴∠MON＝360°﹣∠AOM﹣∠AOB﹣∠BON
＝360°﹣（240°﹣n°）﹣120°﹣（60°+n°）
＝140°，
∴2n°＝140°，
∴n＝70；
综上所述：n的值为50或70．
23．【解答】解：（1）∠COE＝∠DOE﹣∠AOC＝90°﹣65°＝25°，
故答案为：25°．
（2）因为OC恰好平分∠AOE，∠AOC＝65°，
所以∠AOC＝∠EOC＝65°，
所以∠COD＝∠DOE﹣∠EOC＝90°﹣65°＝25°，
（3）∠COE﹣∠AOD＝25°，
理由如下：
当OD始终在∠AOC的内部时，有∠AOD+∠COD＝65°，∠COE+∠COD＝90°，
所以∠COE﹣∠AOD＝90°﹣65°＝25°，
24．【解答】解：（1）∵∠DPC＝180°﹣∠CPA﹣∠DPB，∠CPA＝60°，∠DPB＝30°，
∴∠DPC＝180°﹣30°﹣60°＝90°；
（2）设∠CPE＝∠DPE＝x，∠CPF＝y，
则∠APF＝∠DPF＝2x+y，
∵∠CPA＝60°，
∴y+2x+y＝60°，
∴x+y＝30°
∴∠EPF＝x+y＝30°
（3）不变．
设运动时间为t秒，则∠BPM＝2t，
∴∠BPN＝180﹣2t，∠APN＝3t．
∴∠CPD＝360﹣∠DPB﹣∠BPN﹣∠CPA﹣∠APN＝90﹣t，
∴＝＝．
25．【解答】解：（1）∵∠AOE+∠BOE＝180°，∠AOE＝165°，
∴∠BOE＝180°﹣∠AOE＝15°，
故答案为：15；
（2）∵∠COE＝90°，∠COF＝20°，∠COE＝∠COF+∠EOF，
∴∠EOF＝90°﹣20°＝70°，
∵OF平分∠AOE，
∴∠AOE＝2∠EOF＝140°，
∵∠AOE+∠BOE＝180°，
∴∠BOE＝180°﹣∠AOE＝40°，
故答案为：40；
（3）∵∠COE＝90°，∠COE＝∠COF+∠EOF，∠COF＝56°，
∴∠EOF＝90°﹣∠COF＝90°﹣56°＝34°，
∵OF平分∠AOE，
∴∠AOE＝2∠EOF＝68°，
∵∠AOE+∠BOE＝180°，
∴∠BOE＝180°﹣∠AOE＝112°．
打折前一次性购物总金额
优惠措施
少于等于450元
不优惠
超过450元，但不超过600元
按总售价打九折
超过600元
其中600元部分八折优惠，超过600元的部分打七折优惠
甲
乙
进价（元/件）
15
20
售价（元/件）
17
24
月份
4月份
5月份
6月份
用水量
17m3
24m3
31m3
质量范围/千克
0～500部分
500以上～1500部分
1500以上～2500以上部分
2500以上部分
价格
零售价的95%
零售价的85%
零售价的75%
零售价的70%
级别
月用水量
水价
第1级
20吨以下（含20吨）
1.6元/吨
第2级
20吨～30吨（含30吨）
超过20吨部分按2.4元/吨
第3级
30吨以上
超过30吨部分按4.8元/吨
居民用电分档
用电量（单位：度）
电价（单位：元/度）
第一档
不超过230
0.5
第二档
超过230且不超过420
0.55
第三档
超过420
0.8
峰谷时段
电价差额（单位：元/度）
峰时段（8：00～22：00）
+0.03（每度电在各挡电价基础上加价0.03元）
谷时段（22：00～次日8：00）
﹣0.2每度电在各挡电价基础上降低0.2元）
1．12月9日，东方甄选吉林专场正式开播，上百款吉林好物在抖音直播间迅速热卖，包括朝鲜族辣白菜，皓月牛肉，冻梨，大米等．开播5小时，成交订单超过41万单．直播间1号链接为皓月牛肉，每单为100元；2号链接为辣白菜，每单为30元；3号链接为牛肉+辣白菜组合，每单118元．
（1）某单位食堂打算购买牛肉50单，辣白菜a单（a＞50），若在1号和2号链接购买，由于订单量大，辣白菜和牛肉可以打9折，那么需付款 元；若在2号和3号链接购买，由于组合装已经优惠，故辣白菜和牛肉不再打折，那么需付款 元（用含a的代数式表示）．
（2）在（1）的条件下，如果购买牛肉50单，辣白菜70单，通过计算说明怎样购买最合算．
2．某中学在寒假期间对教室内墙进行粉刷，现有甲、乙两个工程队都想承包这项工程，已知甲队每天能粉刷2间教室，乙队每天能粉刷3间教室，若单独粉刷所有教室，甲队比乙队要多用10天，在粉刷过程中，该校每天需要支付甲队1600元，每天支付乙队2500元．
（1）该校一共有多少间教室需要粉刷？
（2）若先由甲、乙两个工程队合作一段时间后，甲队停工了，乙队单独完成剩余部分，且乙队的全部工作时间是甲队的工作时间的2倍还多4天，求乙队共粉刷了多少天？
（3）经学校研究，制定了如下三种方案：
方案一：由甲队单独完成；
方案二：由乙队单独完成；
方案三：按（2）的方式完成．
请你通过计算帮学校选择一种最省钱的粉刷方案．
3．某班准备买一些乒乓球和乒乓球拍，先了解情况如下：甲、乙两家商店出售有同样品牌的乒乓球和乒乓球拍，乒乓球拍每副30元，乒乓球每盒定价5元，经洽谈后，甲店每卖一副球拍赠一盒乒乓球，乙店全部按定价的9折优惠，该班需球拍5副，乒乓球若干盒（不少于5盒）．
（1）当购买多少盒乒乓球时，两种优惠办法付款一样？
（2）当购买30盒乒乓球时，去哪家商店购买更划算？
（3）当购买30盒乒乓球时，你有其它的更好的省钱方案吗？并计算费用．
4．列方程解应用题：
一商场经销的A、B两种商品，A种商品每件进价40元，利润率为50%；B种商品每件进价50元，售价80元．
（1）A种商品每件售价为 元，每件B种商品利润率为 %．
（2）若该商场同时购进A、B两种商品共50件，恰好总进价为2100元，求购进A种商品多少件？
（3）在“春节”期间，该商场只对A、B两种商品进行如下的优惠促销活动：
按上述优惠条件，若小华一次性购买A、B商品实际付款522元，求若没有优惠促销，小华在该商场购买同样商品要付多少元？
5．某社区小型便利超市第一次用3000元购进甲、乙两种商品，两种商品都销售完以后获利500元，其进价和售价如下表：
（注：获利＝售价﹣进价）
（1）该超市第一次购进甲、乙两种商品各多少件？
（2）该超市第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种商品．其中甲种商品的件数不变，乙种商品的件数是第一次的2倍；乙种商品按第一次的售价销售，而甲种商品降价销售．若第二次两种商品都销售完以后获利700元，求甲种商品第二次的售价．
分段计费问题
6．某市为了鼓励居民节约用水，采用分段计费的方法按月计算每户家庭的水费，月用水量不超过20m3时，按2.5元/m3计费；月用水量超过20m3时，其中的20m3仍按2.5元/m3收费，超过部分按3.5元/m3计费，设每户家庭用水量为x m3．
（1）当0＜x≤20时，每户家庭缴纳水费 元（用含x的代数式表示）；
当x＞20时，每户家庭缴纳水费 元（用含x的代数式表示）；
（2）小明家第二季度用水量如下：
求小明第二季度一共缴纳的水费．
7．王师傅去水果批发市场采购苹果，他看中了A、B两家商店的苹果，这两家商店的苹果品质一样，零售价都是6元/千克，批发价各不相同．
A家商店规定：
一次性批发质量不超过1000千克，按零售价的92%优惠计算；
一次性批发质量超过1000千克，但不超过2000千克，按零售价的90%优惠计算；
一次性批发质量超过2000千克，按零售价的88%优惠计算．
B家商店的价格分段计算，规定如下表：
（1）如果他计划批发800千克苹果，他在哪家商店批发比较优惠？
（2）如果他只在一家商店批发x千克苹果（1500＜x＜2000），请你计算他在A、B两家商店批发所需的费用（用含x的代数式表示并化简）．
8．某市为鼓励居民节约用水，采用分段计费的方法按月计算每户家庭的水费，月用水量不超过40立方米时，按2元/立方米计费；月用水量超过40立方米时，其中的40立方米仍按2元/立方米收费，超过部分按3.5元/立方米计费．设每户家庭月用水量为x立方米．
（1）当x不超过40时，应收水费为 （用x的代数式表示）；当x超过40时，应收水费为 （用x的代数式表示化简后的结果）；
（2）小明家四月份用水26立方米，五月份用水52立方米，请帮小明计算一下他家这两个月一共应交多少元水费？
（3）小明家六月份交水费150元，请帮小明计算一下他家这个月用水量多少立方米？
9．为鼓励人们节约用水，某地实行阶梯式计量水价（如下表所示）：
（1）如果某用户某月用水量为10吨，请计算该月需交水费多少元？
（2）如果某用户某月用水量为27吨，请计算该月需交水费多少元？
（3）如果某用户某月用水量为m吨（20＜m＜30），则该月需交水费 元（用含m的代数式表示）．
（4）如果某用户某月用水量为m吨（m＞30），则该月需交水费 元（用含m的代数式表示）．
10．小阳同学在查看家里的电费账单时发现账单上有“第一档电费，第二档电费，峰时段用电量、谷时段用电量、……”等信息，引起了小阳同学的好奇．通过查询国家电网福建电力公司官网知道了电力公司对居民用电设定如下两种计费方式供居民选择：
计费方式一：“分档”计算电费（如表1），即按用电量先计算第一档，超过第一档的部分再计算第二档，依次类推，总电费等于各挡电费的总和；
计费方式二：“分档十分时”计算电费（如表1、表2），总电费等于分档电费、峰时段增加的电费、谷时段减少的电费的总和．
表1
表2
（1）若小阳同学家选择计费方式一，1月份用电量为330度，求1月份应缴电费；
（2）设小阳同学家某月的用电量为x度，x＞230，且峰时段用电量是谷时段用电量的4倍，请用含x的式子表示两种计费方式应缴电费；
（3）小阳同学家在2022年某月的电费为251.5元，若采用计费方式一和计费方式二应缴电费相同，求该月峰时段和谷时段的用电量．
数轴动点问题
11．如图，数轴上A，B两点表示的数分别是m，n满足（m+8）2+|2n﹣20|＝0．点P从点A出发以每秒2个单位的速度往点B的方向运动，点P出发1秒后，点Q从点B出发往点A的方向运动，设点Q的运动时间为t秒，点P出发3秒钟后，点Q恰好位于线段PB的中点处．
（1）求m，n的值，并求线段AB的长度；
（2）点Q每秒运动多少个单位长度？
（3）当BQ＝2PQ时，求t的值．
12．已知数轴上三点M，O，N对应的数分别为﹣1，0，3，点P为数轴上任意一点，其对应的数为x．
（1）如果点P到点M、点N的距离相等，那么x的值是 ；
（2）数轴上是否存在点P，使点P到点M、点N的距离之和是8？若存在，直接写出x的值；若不存在，请说明理由；
（3）如果点P以每分钟3个单位长度的速度从点O向右运动，同时点M和点N分别以每分钟2个单位长度和每分钟1个单位长度的速度也向右运动，设t分钟时点P到点M、点N的距离相等，求t的值．
13．如图，在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，点A到点B的距离记为AB，我们规定：AB的大小可以用位于右边的点表示的数减去左边的点表示的数表示，即AB＝b﹣a．其中b是最大的负整数，a，c满足|a+3|与（c﹣5）2互为相反数．
（1）a＝ ，b＝ ，c＝ ；
（2）以某点D为折点，将此数轴向右对折，若点A在点C的右边，且AC＝2，则D表示的数是 ；
（3）若点A以每秒2个单位长度的速度向右运动t秒时，5AB＝AC．求出t的值．
14．已知点A在数轴上对应的数为a、点B对应的数为b，且|a+5|+（b﹣1）2＝0．A、B之间的距离记作|AB|，定义：|AB|＝|a﹣b|．
（1）求线段AB的长|AB|；
（2）设点P在数轴上对应的数为x，当|PA|﹣|PB|＝2，求x的值；
（3）若点P在A的左侧，M、N分别是PA、PB的中点，当P在A的左侧移动时，下列两个结论：①|PM|+|PN|的值不变；②|PN|﹣|PM|的值不变，其中只有一个结论正确，请判断出正确结论，并求其值．
15．如图一，已知数轴上，点A表示的数为﹣6，点B表示的数为8，动点P从A出发，以3个单位每秒的速度沿射线AB的方向向右运动，运动时间为t秒（t＞0）．
（1）线段AB＝ ．
（2）当点P运动到AB的延长线时BP＝ ．（用含t的代数式表示）
（3）如图二，当t＝3秒时，点M是AP的中点，点N是BP的中点，求此时MN的长度．
（4）当点P从A出发时，另一个动点Q同时从B点出发，以1个单位每秒的速度沿射线向右运动．
①点P表示的数为： （用含t的代数式表示）；
点Q表示的数为： （用含t的代数式表示）；
②存在这样的t值，使B、P、Q三点有一点恰好是以另外两点为端点的线段的中点，请直接写出t值． ．
角的探究问题
16．如图，OD是∠AOB的平分线，OE是∠BOC的平分线．
（1）若∠BOC＝50°，∠BOA＝80°，求∠DOE的度数；
（2）若∠AOC＝150°，求∠DOE的度数；
（3）你发现∠DOE与∠AOC有什么等量关系？给出结论并说明．
17．如图，∠AOB是直角，ON是∠AOC的平分线，OM是∠BOC的平分线．
（1）当∠AOC＝40°，求出∠MON的大小，并写出解答过程理由；
（2）当∠AOC＝50°，求出∠MON的大小，并写出解答过程理由；
（3）当锐角∠AOC＝α时，求出∠MON的大小，并写出解答过程理由．
18．已知：点O是直线AB上的一点，∠COD＝90°，OE是∠BOD的平分线．
（1）当点C、D．E在直线AB的同侧（如图6﹣1）时，
①若∠COE＝35°，求∠AOD的度数．
②若∠COE＝α，则∠AOD＝ ．（用含α的式子表示）
（2）当点C与点D，E在直线AB的两侧（如图6﹣2）时，（1）中②的结论是否仍然成立？请给出你的结论并说明理由．
19．如图1，点A，O，B在同一直线上，∠COD＝90°，射线OE在∠BOD内部．
（1）若OE平分∠BOD，∠AOC＝20°，求∠COE的度数；
（2）如图2，若射线OF平分∠AOE，∠AOF+∠AOC＝∠COD，∠DOE＝90°﹣3α．
①判断图2中哪个角的大小为α，并说明理由；
②直接写出∠AOC与∠BOE的数量关系．
20．已知：点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，∠BOC＝110°．
（1）如图1，求∠AOC的度数；
（2）如图2，过点O作射线OD，使∠COD＝90°，作∠AOC的平分线OM，求∠MOD的度数；
（3）如图3，在（2）的条件下，作射线OP，若∠BOP与∠AOM互余，请画出图形，并求∠COP的度数．
角的动态问题
21．已知直线AB经过点O，∠COD＝90°，OE是∠BOC的平分线．
（1）如图1，若∠AOC＝30°，求∠DOE；
（2）如图1，若∠AOC＝α，直接写出∠DOE＝ ；（用含α的式子表示）
（3）将图1中的∠COD绕顶点O顺时针旋转到图2的位置，其他条件不变，（2）中的结论是否还成立？试说明理由．
22．如图1，已知∠AOB＝120°，∠COD＝60°，OM在∠AOC内，ON在∠BOD内，∠AOM＝∠AOC，∠BON＝∠BOD．（本题中所有角均大于0°且小于等于180°）
（1）∠COD从图1中的位置绕点O逆时针旋转到OC与OB重合时，如图2，则∠MON＝ °；
（2）∠COD从图2中的位置绕点O逆时针旋转n°（0＜n＜120且n≠60），求∠MON的度数；
（3）∠COD从图2中的位置绕点O顺时针旋转n°（0＜n＜180且n≠60a，其中a为正整数），直接写出所有使∠MON＝2∠BOC的n值．
23．如图，以直线AB上一点O为端点作射线OC，使∠AOC＝65°，将一个直角三角形的直角顶点放在点O处．（注：∠DOE＝90°）
（1）如图①，若直角三角板DOE的一边OD放在射线OA上，则∠COE＝ ；
（2）如图②，将直角三角板DOE绕点O顺时针方向转动到某个位置，若OC恰好平分∠AOE，求∠COD的度数；
（3）如图③，将直角三角板DOE绕点O任意转动，如果OD始终在∠AOC的内部，试猜想∠AOD和∠COE有怎样的数量关系？并说明理由．
24．如图，两个形状，大小完全相同的含有30°，60°的三角板如图①放置，PA，PB与直线MN重合，且三角板PAC与三角板PBD均可绕点P逆时针旋转．
（1）试说明：∠DPC＝90°；
（2）如图②，若三角板PAC的边PA从PN处开始绕点P逆时针旋转一定度数，PF平分∠APD，PE平分∠CPD，求∠EPF．
（3）如图③，若三角板PAC的边PA从PN处开始绕点P逆时针旋转，转速为3°/s．同时三角板PBD的边PB从PM处开始绕点P逆时针旋转，转速为2°/s，在两个三角板旋转过程中（PC转到与PM重合时，三角板都停止转运），问的值是否变化？若不变，求出其值，若变化，说明理由．
25．直角三角形纸板COE的直角顶点O在直线AB上．
（1）如图1，当∠AOE＝165°时，∠BOE＝ °；
（2）如图2，OF平分∠AOE，若∠COF＝20°，则∠BOE＝ °；
（3）将三角形纸板COE绕点O逆时针方向转动至如图3的位置，仍有OF平分∠AOE，若∠COF＝56°，求∠BOE的度数．
参考答案
方案选择及销售问题
1．【解答】解：（1）（50×100+30a）×90%＝（4500+27a）（元），
50×118+（a﹣50）×30＝（4400+30a）（元），
故答案为：（ 4500+27a），（4400+30a）；
（2）将a＝70代入4500+27a＝4500+27×70＝6390 （元），
将a＝70代入4400+30a＝4400+30×70＝6500 （元），
∵6390＜6500，
∴应在1号链接和2号链接购买．
2．【解答】解：（1）设该校共有x间教室需要粉刷，则，解得：x＝60．
答：该校共有60间教室需要粉刷．
（2）设甲队的工作时间是y天，则乙队的工作时间为（2y+4）天，由题意可得：
∴2y+3（2y+4）＝60，解得：y＝6，
∴2y+4＝16．
答：乙队共粉刷了16天．
（3）方案一：甲单独完成花费为：（元）；
方案二：乙单独完成花费为：（元）；
方案三：总花费为：6×1600+16×2500＝49600（元）．
∴选择方案一最省钱．
3．【解答】解：（1）设购买x盒乒乓球时，两种优惠办法付款一样，
30×5+（x﹣5）×5＝（30×5+5x）×0.9，
解得，x＝20，
答：购买20盒乒乓球时，两种优惠办法付款一样；
（2）由（1）知购买20盒乒乓球时，两种优惠办法付款一样，
∵30＞20，乙店全部按定价的9折优惠，
∴当购买30盒乒乓球时，去乙商店购买更划算；
（3）可以在甲商店购买5副乒乓球拍，然后再去乙商店购买乒乓球，
所需费用为：30×5+（30﹣5）×5×0.9＝262.5（元），
答：在甲商店购买5副乒乓球拍，然后再去乙商店购买乒乓球可以更省钱，费用为262.5元．
4．【解答】解：（1）设A种商品每件进价为x元，
则x﹣40＝50%×40，
解得：x＝60．
故A种商品每件售价为60元；
每件B种商品利润率为（80﹣50）÷50＝60%．
故答案为：60；60；
（2）设购进A种商品x件，则购进B种商品（50﹣x）件，
由题意得40x+50（50﹣x）＝2100，
解得：x＝40．
故购进A种商品40件；
（3）设小华打折前应付款为y元，
①打折前购物金额超过450元，但不超过600元，
由题意得0.9y＝522，
解得：y＝580；
②打折前购物金额超过600元，
600×0.8+（y﹣600）×0.7＝522，
解得：y＝660．
综上可得，小华在该商场购买同样商品要付580元或660元．
5．【解答】解：（1）设第一次购进甲种商品x件，由题意得：
．
解得 x＝100．
则．
故第一次购进甲种商品100件，乙种商品75件．
（2）设第二次甲种商品的售价为每件y元，由题意得：
（y﹣15）•100+（24﹣20）×75×2＝700．
解得：y＝16．
则甲种商品第二次的售价为每件16元．
分段计费问题
6．【解答】解：（1）由题意可得，
当0＜x≤20时，每户家庭缴纳水费2.5x元，
当x＞20时，每户家庭缴纳水费：2.5×20+3.5（x﹣20）
＝50+3.5x﹣70
＝（3.5x﹣20）元，
故答案为：2.5x，（3.5x﹣20）；
（2）由题意可得，
（2.5×17）+（3.5×24﹣20）+（3.5×31﹣20）
＝42.5+（84﹣20）+（108.5﹣20）
＝42.5+64+88.5
＝195（元），
答：小明第二季度一共缴纳的水费195元．
7．【解答】解：（1）A家商店费用：800×6×92%＝4416（元），
B家商店费用：500×6×95%+（800﹣500）×6×85%＝4380（元）；
答：他在A商店批发比较优惠；
（2）A家商店费用：x×6×90%＝5.4x（元）；
B家商店费用：500×6×95%+1000×6×85%+（x﹣1500）×6×75%
＝4.5x+1200（元）．
8．【解答】解：（1）由题意可得，
当x不超过40时，应收水费为2x元，
当x超过40时，应收水费为：40×2+3.5（x﹣40）＝（3.5x﹣60）（元），
故答案为：2x元，（3.5x﹣60）元；
（2）由题意可得，
小明家四月份的水费为：26×2＝52（元），五月份的水费为3.5×52﹣60＝122（元），
∵52+122＝174（元），
∴小明家这两个月一共应交174元水费；
（3）设小明家这个月用水量x立方米，
∵40×2＝80＜150，
∴3.5x﹣60＝150，
解得x＝60，
答：小明家这个月用水量60立方米．
9．【解答】解：（1）1.6×10＝16（元），
答：该月需交水费16元；
（2）1.6×20+（27﹣20）×2.4＝48.8 （元），
答：该月需交水费48.8元；
（3）1.6×20+（m﹣20）×2.4＝（2.4m﹣16）（元），
故答案为：（2.4m﹣16）；
（4）1.6×20+10×2.4+（m﹣30）×4.8＝（4.8m﹣88）（元），
故答案为：（4.8m﹣88）．
10．【解答】解：（1）由题意得：230×0.5+0.55×（330﹣230）
＝115+55
＝170（元），
答：1月份应缴电费170元；
（2）∵x＞230，
当420≥x＞230时，则“分档”计算电费：230×0.5+0.55（x﹣230）＝0.55x﹣11.5；
当x＞420时，则“分档”计算电费：230×0.5+0.55×（420﹣230）+0.8（x﹣420）＝0.8x﹣116.5，
∴“分档”计算电费：，
∵峰时段用电量是谷时段用电量的4倍，则峰时段用电量是，谷时段用电量是，
当420≥x＞230时，则“分档十分时”计算电费：；
当x＞420时，则“分档十分时”计算电费：，
∴“分档十分时”计算电费：；
（3）∵230×0.5＝115（元），（420﹣230）×0.55＝104.5（元），115+104.5＝219.5（元），219.5＜251.5，
∴（251.5﹣219.5）÷0.8＝40（度），
∴小阳同学家在这个月的用电量为：230+190+40＝460（度），
设峰时段用电量为y度，则谷时段的用电量为（460﹣y）度，
由题意得：0.3y＝0.2（460﹣y），
解得：y＝184，
则460﹣184＝276（度），
答：该月峰时段的用电量为184度，谷时段的用电量为276度．
数轴动点问题
11．【解答】解：（1）∵（m+8）2+|2n﹣20|＝0，
∴m＝﹣8，n＝10，
∴AB＝10﹣（﹣8）＝18；
（2）设点Q每秒运动x个单位长度，
由题意可得：2×2x＝18﹣2×3，
∴x＝3，
答：点Q每秒运动3个单位长度；
（3）由题意可得：3t＝2×|18﹣2﹣5t|，
∴t＝或．
12．【解答】解：（1）根据题意，得：x﹣（﹣1）＝3﹣x，
解得：x＝1，
故答案为：1．
（2）存在，x的值是﹣3或5，
当点P在点M的左侧时，
根据题意，得：﹣1﹣x+3﹣x＝8，
解得：x＝﹣3，
当点P在点M和点N之间时，
根据题意得：PM+PN＝8，不符合题意；
当点P在点N的右侧时，
根据题意，得x﹣3+x﹣（﹣1）＝8，
解得：x＝5，
综上可得：x的值是﹣3或5；
（3）
点P从原点O向右运动t秒时对应在数轴上的数是0+3t＝3t，
点M向右运动t秒时对应在数轴上的数是﹣1+2t，
点N向右运动t秒时对应在数轴上的数是3+t，
PM＝|（﹣1+2t）﹣（3t）|＝|﹣1﹣t|＝|﹣（1+t）|＝1+t，
PN＝|（3+t）﹣3t|＝|3﹣2t|，
当运动t分钟时，点P到点M，点N的距离相等，即PM＝PN，
即1+t＝|3﹣2t|，
①1+t＝3﹣2t
解得：；
②1+t＝﹣（3﹣2t），
解得：t＝4，
综上所述，t的值为或4时，P到点M、点N的距离相等．
13．【解答】解：（1）∵a，c满足|a+3|与（c﹣5）2互为相反数，
∴a+3＝0，c﹣5＝0，
∴a＝﹣3，c＝5，
∵b是最大的负整数，
∴b＝﹣1；
故答案为：﹣3，﹣1，5；
（2）∵AC＝2，c＝5，
∴对叠后点A表示的数为5+2＝7，
设点D表示的数为x，由折叠可得：，
解得：x＝2，
∴D表示的数是2；
故答案为：2；
（3）分三种情况：①当点A在点B左侧时，则5[﹣1﹣（﹣3+2t）]＝5﹣（﹣3+2t），
解得：；
②当点A在点B点C之间时，则5[﹣3+2t﹣（﹣1）]＝5﹣（﹣3+2t），
解得：，
③当点A在点C右侧时，
∵5AB＝AC，
∴此情况不存在，
综上，当5AB＝AC，t秒的值为秒或秒．
14．【解答】解：（1）∵|a+5|+（b﹣1）2＝0，
∴a+5＝0，b﹣1＝0，
∴a＝﹣5，b＝1，
∴|AB|＝|a﹣b|＝|﹣5﹣1|＝6；
（2）分三种情况：
情况1：当P在点A左侧时，如图，
∴|PA|﹣|PB|＝﹣|AB|＝﹣6≠2；
情况2：当P在点B右侧时，如图，
|PA|﹣|PB|＝|AB|＝6≠2，
∴上述两种情况的点P不存在；
情况3：当P在点A、B之间时，如图，
∴|PA|﹣|PB|＝|x﹣（﹣5）|﹣|x﹣1|＝x+5﹣（1﹣x）＝2．
∴x+5﹣（1﹣x）＝2，
解得：x＝﹣1，
即所求x＝﹣1；
（3）|PN|﹣|PM|的值不变，值为3．
如图，
∵M、N分别是PA、PB的中点，
∴点M表示的数为，点N表示的数为，
∴，．
①，
∴|PM|+|PN|的值是变化的；
②，
∴|PN|﹣|PM|的值不变，值为3．
15．【解答】解：（1）根据题意可知，AB＝8﹣（﹣6）＝14；
故答案为：14；
（2）法一：点P所表示的数为：﹣6+3t，
∴当点P运动到AB的延长线时BP＝﹣6+3t﹣8＝3t﹣14；
法二：由点P的运动可知，AP＝3t，
∵AB＝14，
∴当点P运动到AB的延长线时BP＝3t﹣14；
故答案为：3t﹣14；
（3）∵点M是AP的中点，点N是BP的中点，
∴MN＝AB＝×14＝7．
故答案为：7．
（4）①点P表示的数为3t﹣6，点Q表示的数为8+t，
②当点B为PQ的中点时，PB＝BQ，
∴8﹣（3t﹣6）＝8+t﹣8，
∴t＝；
当点P为BQ的中点时，BP＝PQ，
∴3t﹣6﹣8＝8+t﹣（3t﹣6），
∴t＝；
当点Q为BP的中点时，BQ＝QP，
∴t+8﹣8＝（3t﹣6）﹣（8+t），
∴t＝14；
故答案为：①3t﹣6，8+t；
②秒或秒或14秒．
角的探究问题
16．【解答】解：（1）∵OD是∠AOB的平分线，OE是∠BOC的平分线，
∴∠AOD＝∠BOD＝∠BOC，∠BOE＝∠COE＝∠BOA，
∵∠BOC＝50°，∠BOA＝80°，
∴∠BOD＝25°，∠BOE＝40°，
∴∠DOE＝25°+40°＝65°；
（2）∵OD是∠AOB的平分线，OE是∠BOC的平分线，
∴∠AOD＝∠BOD＝∠BOC，∠BOE＝∠COE＝∠BOA，
∵∠AOC＝150°，
∴∠DOE＝∠DOB+∠EOB＝（∠BOC+∠BOA）＝∠AOC＝75°；
（3）∠DOE＝∠AOC；
理由是：∵OD是∠AOB的平分线，OE是∠BOC的平分线，
∴∠AOD＝∠BOD＝∠BOC，∠BOE＝∠COE＝∠BOA，
∴∠DOE＝∠DOB+∠EOB＝（∠BOC+∠BOA）＝∠AOC．
17．【解答】解：（1）∠AOC＝40°时，
∠MON＝∠MOC﹣∠CON
＝（∠BOC﹣∠AOC）
＝∠AOB
＝45°．
（2）当∠AOC＝50°，∠MON＝45°．理由同（1）．
（3）当∠AOC＝α时，∠MON＝45°． 理由同（1）．
18．【解答】解：（1）①∵∠COD＝90°，∠COE＝35°，
∴∠DOE＝∠COD﹣∠COE＝90°﹣35°＝55°．
∵OE平分∠BOD，
∴∠BOD＝2∠DOE＝2×55°＝110°；
∠AOD＝180°﹣∠BOD＝180°﹣110°＝70°；
②由①知，若∠COE＝α，则∠AOD＝2α．
故答案为：2α；
（2）成立．
理由如下：由（1）①可知：
∠AOD＝180°﹣∠BOD
＝180°﹣2∠DOE
＝180°﹣2（90°﹣∠COE）
＝180°﹣180°+2∠COE
＝2α．
19．【解答】解：（1）∵∠COD＝90°，∠AOC＝20°，
∴∠BOD＝180°﹣20°﹣90°＝70°，
∵OE平分∠BOD，
∴，
∴∠COE＝90°+35°＝125°；
（2）①∠AOC的大小为α；理由如下，
设∠AOC＝x，
∵∠AOF+∠AOC＝∠COD，∠COD＝90°，
∴∠AOF＝90°﹣x，∠COF＝90°﹣2x，
∴∠DOF＝2x，
∵射线OF平分∠AOE，
∴∠EOF＝∠AOF＝90°﹣x，
∴∠DOE＝∠EOF﹣∠DOF＝90°﹣3x，
∵∠DOE＝90°﹣3α，
∴x＝α，即∠AOC的大小为α；
②∠BOE＝2∠AOC．
∵∠COD＝90°，∠AOC＝α，∠DOE＝90°﹣3α，
∴∠BOD＝90°﹣α，
∴∠BOE+∠DOE＝90°﹣α，即∠BOE+90°﹣3α＝90°﹣α，
∴∠BOE＝2α，
即∠BOE＝2∠AOC．
20．【解答】解：（1）∵∠BOC＝110°，∠AOB＝180°，
∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝70°．
（2）由（1）知∠AOC＝70°，
∵OM平分∠AOC，
∴，
又∵∠OD＝90°，
∴∠MOD＝∠COD﹣∠COM＝55°．
（3）由（2）知∠AOM＝35°，
∵∠BOP与∠AOM互余，
∴∠BOP+∠AOM＝90°，
∴∠BOP＝90°﹣∠AOM＝90°﹣35°＝55°，
①当射线OP在∠BOC内部时，
∠COP＝∠BOC﹣∠BOP＝110°﹣55°＝55°，
②当射线OP在∠BOC外部时，
∠COP＝∠BOC+∠BOP＝110°+55°＝165°，
综上所述，∠COP的度数为55°或165°．
角的动态问题
21．【解答】解：（1）∵∠COD＝90°，
∴∠AOC+∠BOD＝90°，
∵∠AOC＝30°，
∴∠BOD＝60°，∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣30°＝150°，
∵OE平分∠BOC，
∴，
∴∠DOE＝∠BOE﹣∠BOD＝75°﹣60°＝15°；
（2）∵∠COD＝90°，
∴∠AOC+∠BOD＝90°，
∵∠AOC＝α，
∴∠BOD＝90°﹣α，
∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣α，
∵OE平分∠BOC，
∴，
∴；
故答案为：；
（3）（2）中的结论还成立．
理由如下：
∵∠AOC+∠BOC＝180°，∠AOC＝α，
∴∠BOC＝180°﹣α
∵OE平分∠BOC
∴
∵∠COD＝90°
∴．
22．【解答】解：（1）∵∠AOM＝∠AOC，∠BON＝∠BOD，
∴∠MOC＝∠AOC，∠DON＝∠BOD，
当∠COD从图1中的位置绕点O逆时针旋转到OC与OB重合时，如图2，
∴∠MON＝∠MOB+∠BON
＝∠AOC+BOD
＝×120°+60°
＝80°+20°
＝100°；
故答案为：100°；
（2）∠COD从图2中的位置绕点O逆时针旋转n°（0＜n＜120且n≠60），
①当0＜n＜60时，如（图1），
∵∠BOC＝n°，
∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝120°﹣n°，
∠BOD＝∠COD﹣∠BOC＝60°﹣n°，
∴∠MON＝∠MOC+∠BOC+∠BON
＝（120°﹣n°）+n°+（60°﹣n°）
＝100°；
②当60＜n＜120时，如（图2），
∵∠BOC＝n°，
∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝120°﹣n°，
∠BOD＝∠BOC﹣∠DOC＝n°﹣60°，
∴∠MON＝∠MOC+∠DOC+∠DON
＝（120°﹣n°）+60°+（n°﹣60°）
＝100°；
综上所述：∠MON的度数为100°；
（3）∠COD从图2中的位置绕点O顺时针旋转n°（0＜n＜180且n≠60a，其中a为正整数），∠MON＝2∠BOC，
①当0＜n＜60时，如图3，
∵∠BOC＝n°，
∴∠MON＝2∠BOC＝2n°，
∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝120°+n°，
∠BOD＝∠BOC+∠DOC＝n°+60°，
∴∠MON＝∠MOC+∠DOC﹣∠DON
＝（120°+n°）+60°﹣（n°+60°）
＝100°，
∴2n°＝100°
∴n＝50；
②当60＜n＜180时，如图4，
∵∠BOC＝n°，
∴∠MON＝2∠BOC＝2n°，
∴∠AOC＝360°﹣（∠AOB+∠BOC）＝360°﹣（120°+n°）＝240°﹣n°，
∠BOD＝∠BOC+∠DOC＝n°+60°，
∴∠MON＝360°﹣∠AOM﹣∠AOB﹣∠BON
＝360°﹣（240°﹣n°）﹣120°﹣（60°+n°）
＝140°，
∴2n°＝140°，
∴n＝70；
综上所述：n的值为50或70．
23．【解答】解：（1）∠COE＝∠DOE﹣∠AOC＝90°﹣65°＝25°，
故答案为：25°．
（2）因为OC恰好平分∠AOE，∠AOC＝65°，
所以∠AOC＝∠EOC＝65°，
所以∠COD＝∠DOE﹣∠EOC＝90°﹣65°＝25°，
（3）∠COE﹣∠AOD＝25°，
理由如下：
当OD始终在∠AOC的内部时，有∠AOD+∠COD＝65°，∠COE+∠COD＝90°，
所以∠COE﹣∠AOD＝90°﹣65°＝25°，
24．【解答】解：（1）∵∠DPC＝180°﹣∠CPA﹣∠DPB，∠CPA＝60°，∠DPB＝30°，
∴∠DPC＝180°﹣30°﹣60°＝90°；
（2）设∠CPE＝∠DPE＝x，∠CPF＝y，
则∠APF＝∠DPF＝2x+y，
∵∠CPA＝60°，
∴y+2x+y＝60°，
∴x+y＝30°
∴∠EPF＝x+y＝30°
（3）不变．
设运动时间为t秒，则∠BPM＝2t，
∴∠BPN＝180﹣2t，∠APN＝3t．
∴∠CPD＝360﹣∠DPB﹣∠BPN﹣∠CPA﹣∠APN＝90﹣t，
∴＝＝．
25．【解答】解：（1）∵∠AOE+∠BOE＝180°，∠AOE＝165°，
∴∠BOE＝180°﹣∠AOE＝15°，
故答案为：15；
（2）∵∠COE＝90°，∠COF＝20°，∠COE＝∠COF+∠EOF，
∴∠EOF＝90°﹣20°＝70°，
∵OF平分∠AOE，
∴∠AOE＝2∠EOF＝140°，
∵∠AOE+∠BOE＝180°，
∴∠BOE＝180°﹣∠AOE＝40°，
故答案为：40；
（3）∵∠COE＝90°，∠COE＝∠COF+∠EOF，∠COF＝56°，
∴∠EOF＝90°﹣∠COF＝90°﹣56°＝34°，
∵OF平分∠AOE，
∴∠AOE＝2∠EOF＝68°，
∵∠AOE+∠BOE＝180°，
∴∠BOE＝180°﹣∠AOE＝112°．
打折前一次性购物总金额
优惠措施
少于等于450元
不优惠
超过450元，但不超过600元
按总售价打九折
超过600元
其中600元部分八折优惠，超过600元的部分打七折优惠
甲
乙
进价（元/件）
15
20
售价（元/件）
17
24
月份
4月份
5月份
6月份
用水量
17m3
24m3
31m3
质量范围/千克
0～500部分
500以上～1500部分
1500以上～2500以上部分
2500以上部分
价格
零售价的95%
零售价的85%
零售价的75%
零售价的70%
级别
月用水量
水价
第1级
20吨以下（含20吨）
1.6元/吨
第2级
20吨～30吨（含30吨）
超过20吨部分按2.4元/吨
第3级
30吨以上
超过30吨部分按4.8元/吨
居民用电分档
用电量（单位：度）
电价（单位：元/度）
第一档
不超过230
0.5
第二档
超过230且不超过420
0.55
第三档
超过420
0.8
峰谷时段
电价差额（单位：元/度）
峰时段（8：00～22：00）
+0.03（每度电在各挡电价基础上加价0.03元）
谷时段（22：00～次日8：00）
﹣0.2每度电在各挡电价基础上降低0.2元）
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